2023-2024学年山东省青岛高二年级下册期初考试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年山东省青岛高二下册期初考试数学模拟试题

一、单选题

1.已知直线/：x+y-4=0.则下列结论正确的是()

A.点(2,-2)在直线/上B.直线/在了轴上的截距为-4

C.直线/的倾斜角为'三ITD.直线/的一个方向向量为户=(1,1)

【正确答案】C

【分析】根据点与直线位置关系、截距的定义、斜率和倾斜角关系以及方向向量定义依次判

断各个选项即可.

【详解】对于A,•.•2-2-4=-4*0,.•・点(2,-2)不在直线/上，A错误；

对于B,•.，：y=-x+4,.•./在V轴上的截距为4,B错误；

3兀

对于C,由/：y=-x+4得：直线/斜率％=-1,.,.直线/的倾斜角为二，c正确；

对于D,若直线/的一个方向向量为E=(l,l),则其斜率Z=1,不合题意，D错误.

故选：C.

2.已知函数/(x)的导函数/'(X)的图象如图所示，则下列判断正确的是()

A./(X)在区间(-1,1)上单调递增

B./(x)在区间(-2,0)上单调递增

C.T为/(x)的极小值点

D.2为/(x)的极大值点

【正确答案】D

【分析】由图象可确定/'(X)在不同区间内的正负，由此可得/(x)单调性，结合极值点定

义依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,当xe(-l,O)时，/'(x)<0；当xe(O,l)时，.欢x)>0；

\/(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，A错误；

对于B,当x«-2,0)时，r(x)<0,\/(x)在(-2,0)上单调递减，B错误；

对于C,••・/(x)在(-2,0)上单调递减，不是“X)的极小值点，C错误；

对于D,当xe(O,2)时，/幻)>0；当xe(2,3)时，/(x)<0；

\/(x)在(0,2)上单调递增，在(2,3)上单调递减，.「=2是/(X)的极大值点,D正确.

故选：D.

3.抛物线x=4/的焦点坐标是

A.(1,0)B.(0,1)C.0.(。，1y

【正确答案】C

【详解】因为抛物线方程为》=4贯，则其标准方程为

可得该抛物线焦点在x轴上，且2P=!，4=工

4216

故其焦点坐标为6,0).

故选：C.

4.记等差数列｛q｝的前〃项和为S”，己知$7=14,*=36,则"=()

A.-2B.2C.yD.-1

【正确答案】B

【分析】结合等差数列求和公式和等差数列下标和性质可求得。4,“5,进而求得公差.

【详解】•・•$=7(%；%)=7%=]4,59=9(4+矶=96=36,，%=2,as=4,

，公差"=。5-。4=2.

故选：B.

5.如图，M是四面体。48c的棱8C的中点，点N在线段。股上，点P在线段MV上，且

MN=；ON,AP^AN,则向量而可表示为()

o

—3—1—11—

A.CP=-OA+—OB——OCB.CP=-OA+—OB--OC

4121241616

一1—1—11—

C.CP=-OA+—OB——OCD.CP=-OA+-OB--OC

41216244

【正确答案】A

【分析】根据向量加减法和数乘运算,结合图形关系直接求解即可.

1——2——

【详解】yMN=-0N,:.ON=-OM,

23

:.CP=CA+AP=OA-OC+^AN=OA-OC+^ON-^OA

444

^-OA-OC+-OM^U)A-OC+—\pB+OCV-OA+-OB-^-0C.

46412'厂41212

故选：A.

6.已知半径为2的圆经过点（2,2）,其圆心到直线3x+4y+6=0的距离的最大值为（）

A.1B.2C.4D.6

【正确答案】D

【分析】首先求得圆心的轨迹为以（2,2）为圆心，2为半径的圆，由此可知所求最大值为（2,2）

到直线的距离加上半径2,结合点到直线距离公式可得结果.

【详解】设圆的圆心为（x,y）,则（》_2）2+（夕-2）2=4,

则圆的圆心的轨迹是以（2,2）为圆心，2为半径的圆，

|3x2+4x2+6|

圆心到直线3x+4.y+6=0的距离的最大值为+2=6.

阳+42

故选:D.

7.比利时数学家〃〃发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它

们分别与圆锥的侧面、底切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.

这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10,底面半径为2的圆柱体内放球，球

与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为

一个椭圆，该椭圆的离心率为（）

【正确答案】D

如图，作出圆柱的轴截面，由于乙403=/。。。,所以534408=5吊/。（7。，而由已知可求

出05,4,0。的长，从而可得”=OC=3,而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得6=2,

由此可求出离心率.

【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A,4,延长N4与圆柱交于c,C,,

过点。作垂足为。.

在直角三角形Z8O中，AB=2,BO=---=3,

AD2r22

所以sinZ.AOB==—,又因为sinZ.AOB=sinAOCD===—,

BO3OCOC3

所以。=。。=3.

由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即26=4,则可求得

c=yja2-h2=79^4=75，

所以e=£=1,

a3

故选：D.

此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基

础题.

3111

8.数列｛。〃｝满足％=7，-1=建一，7?GN\贝IJ—+—+…+——的整数部分是（）

2%出。23

A.3B.2C.1D.0

【正确答案】C

【分析】由。向-1=。；-％，得至1—T=-）再利用累加法得到

q-14「Ian

—+—+.-•+—=2---!―-,再根据=（%-1）220,得到a“+]2a〃，从而得到。24的

a\a2a23a24-]

范围求解.

2

【详解】解：由q

得

因为=(&-1)220,

所以4+i之4,

11111cl

则加=1---F…4---=------------=2-------

a-1

Q]a2a”\%4_1_1

所以。24N。232〃222〃3>2,

所以0<」不<1,

所以1<加<2,

所以〃7的整数部分为1,

故选：C

二、多选题

9.已知数列｛/｝为等差数列，公差为d,S,为其前〃项和，若满足凡=0且品，>0,则下

列说法正确的是()

A.d>0B.”8=。C.53=、3D.当且仅当〃=7或8

时，S,取得最小值

【正确答案】ABD

【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式,结合等差数列性质计算并判断数列｛4｝

单调性，再逐项判断作答.

【详解】等差数列｛%｝前〃项和为S“，£5=”等验=15怎=0,即4=0,B正确；

与6==8(q+/)>0，则”9>-。8=°，公差"=与-。8=。9>0，A正确；

数列｛•“｝是递增等差数列，前7项均为负数，第8项为0,从第9项开始为正数，

所以当且仅当"=7或8时\S.取得最小值，D正确;

品-$3=%+%+…+%2+%3=5（。8+。9）=5%>0,C不正确.

故选：ABD

10.已知函数/3=/+*2+版+/在x=l处取得极值10,则下列说法正确的是()

A.。+6=0B.a+b=-7

C./(X)一定有两个极值点D.〃x)的单调递增区间是

-00,—yU[l,+8)

【正确答案】BC

【分析】根据广(1)=0和/⑴=10可求得。力，代回解析式验证X=1是否为极值点可知

«=4,b=-11满足题意，由此可得AB正误；根据极值点定义可知C正确；验证可知/(X)

在(-8，-费u[l,+8)不满足单调递增定义，知D错误.

【详解】•••/'(力=3/+2奴+6,且“X)在x=l处取得极值10,

，⑴=3+2。+人=0fa=4(a=-3

/(l)=l+〃+6+a=10[b=—11[b=3

当a=4,b=-ll时，/,(X)=3X2+8X-11=(3X+11)(X-1),

则当xe(f,-?U(l,+8)时，仆(x)>0；当方4_曰[时，r(x)<0;

\/(x)在(f,-£),(1,+8)上单调递增，在上单调递减，

.•"=1是/(x)的极小值点，满足题意；

当°=-3,6=3B寸，/,(X)=3X2-6X+3=3(X-1)2>0,

\/卜)在R上单调递增，不合题意；

综上所述：a=4,b=—ll；

对于AB,a+b=4-ll=-7fA错误，B正确；

对于C,X=-/和x=l分别为/(x)的极大值点和极小值点，c正确；

对于D,当。=4,6=—11时，f(-^)=x3+4x2—1lx+16,

•//(-4)=-64+64+44+16=60,/(l)=1+4-11+16=10,

.•./(-2)>/(1),即/(X)不满足在U[l,+8)单调递增，

/(x)的单调递增区间应为,肛-弓和[1,”)，D错误.

故选：BC.

11.如图，四边形/8C。为矩形，P/_L平面488,PAHBE,且PA=BC=2BE=2BA,

记四面体P-/CD,E-PBC,E-4c的体积分别为匕，V2,匕，则下列说法正确的是()

A.直线EC〃平面ZPO

B.若尸为PC中点，则平面PEC

C.%=2%

D.直线与平面P/Q所成角的正切值为日

【正确答案】ACD

【分析】利用面面平行的判定可证得平面力尸。〃平面EBC,由面面平行的性质知A正确;

假设B正确，由线面垂直的性质和等腰三角形三线合一性质可知尸/=/C,显然不成立，

知B错误；利用体积桥，结合棱锥体积公式可分别求得匕匕，知C正确；根据线面角定义

作出所求角，由长度关系可求得D正确.

【详解】对于A,••・四边形4BCZ)为矩形，.•./O〃2C,

又PA"BE,P44)<X平面ESC,BE,BCu平面EBC,

〃平面E5C,P4〃平面EBC,又ADcPA=A,/O,PZu平面〃>£>,

二平面ZPD〃平面E8C,又ECu平面E8C,:.EC〃平面4尸。，A正确；

对于B,连接ZC,

假设当F为PC中点时，/尸，平面PEC,

•.•PCu平面PEC,.•./尸，尸C,又尸为PC中点，：.P4=4C,

由已知得：P/=8C=4O</C,.♦•假设错误，B错误；

对于C,设54=8E=1,

由A知：PAH平面EBC,:.%=%EBC=VA-EBC=%TBC=；S“sc.8E+>2A乂W；

vPA1ABCD,80匚平面力88,；.PAA.BC,

又BCA.AB,PAQAB=A,P4/8u平面刃E,.iBCl.平面4E,

1I1?

匕=匕田£="/8C=?,ak2=7.・.匕=2匕，C正确；

对于D,取4中点G,连接DG,EG,

;PNJ.平面力BCD,工8匚平面/88,，尸4148,

5LABA.AD,P4c4D=A,P4,4Du平面P4D,/8J.平面PX。；

•;BE」PA=AG,8E///G,，四边形"EG为平行四边形，.•.EG//",

2--

.1EG1■平面尸4。，.1NEDG即为直线与平面尸工。所成角，

设8力=8E=1,则EG=48=I,DG=4AG2+AD2=75，

,tan"DG=^=某正,即直线E。与平面所成角的正切值为正，D正确.

DGy/555

故选：ACD.

22

12.已知片（-c,O）,g（c,O）分别为椭圆Ef+方=l（a>b>0）的左、右焦点，下列说法正确

的是（）

A.若点7的坐标为（；生0）,尸是椭圆上一动点，则线段尸7长度的最小值为

B.若椭圆上恰有6个不同的点P,使得△尸斗死为等腰三角形，则椭圆E的离心率的取值

范围是停9嗯，1）

C.若圆7的方程为/+/=!/,椭圆上存在点P,过尸作圆7的两条切线，切点分别为/,

B,使得2/尸8=/，则椭圆£的离心率的取值范围是「?」）

D.若点7的坐标为（0力），椭圆上存在点尸使得归丁仁孚分，则椭圆E的离心率的取值范围

是哼,1）

【正确答案】BCD

【分析】A选项，设出产（加,〃），加目一凡同，则<+/=1’表达出

|尸刀2=捺上一条）分（）<*<。与两种情况，得到不同情况下

的线段尸7长度的最小值，A错误;

B选项，先得到上下顶点能够使得△尸耳名为等腰三角形，再数形结合得到耳为圆心，丹心为

\a-c<2c

半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的々,2两点，列出不等式组、，求出答案;

Qw2c

C选项，分处6与会。两种情况，第一种情况成立，第二种情况下得到P点与上顶点

或下顶点重合时，NOPB最大,数形结合列出不等式a>向）,最终求出离心率的取值范围;

22

D选项，设P（w,〃），m&[-a,a],ne[-b,b],则竺^+*=1,表达出

|P7f=-,"2-2加+廿+/,问题转化为捺/+2加+£/-片=0在[一友句上有解问题,

一---2-«乜6)①

2次

数形结合得到,求出离心率的取值范围.

△=4从_>(@

I3

*W=1，

【详解】设me[-a,a],则

a2b2

221212bCJ12i2

+〃=mam+-a+b"----r—=—^tn-am+也”+。

1尸"24a2ct4

若,此时a2<2c2，0<<a,止匕时当用二时，|P7f取得最小值，最小值为

-a2+b2--^,线段尸7长度的最小值为Ji/+/一工；

44c2V44c2

若62c,此时a222c"~~r>a,此时当机=〃时，俨7「取得最小值，最小值为>°,

线段尸7长度的最小值为（a,

综上：A错误；

如图，椭圆左右顶点为48,上下顶点为C,D,

显然上下顶点能够使得aw工为等腰三角形,

要想椭圆上恰有6个不同的点P,使得△PRE为等腰三角形,

以环为圆心，月写为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的7鸟两点,

则要满足闺4|〈阳。且阳C卜卜制,

a-c<2cc1c1

即i,解得屋且77’

故椭圆E的离心率的取值范围是（；,；）口（；,1）,B正确；

若;此时/+丁=；“2与椭圆有公共点，故存在点p,过/＞作圆T的两条切线，切点

分别为4"使得4y，此时小4（“—），即合

若即省］时、如图所示：

2«I2J

连接OP,OB,显然|。同=；。，OBLPB,则NOP8=幽=记，

2\OP\\OP\

因为y=sinx在（og）上单调递增，要想/O尸8最大，只需sin/0P8最大，

故当|。尸|最小时，满足要求，故尸点与上顶点或下顶点重合时，NOPB最大,

故当“c小时满足要求，所以—嚼端考

即a2出。，所以"23（/-2）,解得：£邛,所以1忤用

a

D

2元

为4,B,使得乙4尸8=T，则椭圆E的离心率的取值范围是,1,C正确;

22

设尸（根,〃），〃7e|-a,a],〃e|-b,6],则々+,=1,

22

\PT[=m2+（n-b）2=m2+n2-3ib+b2=a2-n2-Tnb+b'

--n2-2hn+h2^-a2

椭圆上存在点尸使得阳=孚b,即-》2一2加+〃+.2=?2在［Fb］上有解,

211

^i^n2+2bn+yb2-a2=0在1瓦切上有解，

令"（"）=a〃2+2bn+^-b2-a,注意到〃（-，）=/-2〃+^h2-a~=gb2>0,

〃优）=/+2〃+?J/=9>o,

---2~£（乜6）①

2

故只需满足F

A=4Z>2吟「2>0@

I3

由①得：洛,由②得：齐|或》:，

综上：一£

a

则椭圆E的离心率的取值范围是户2,1),D正确.

故选：BCD

离心率时椭圆的重要几何性质，是高考重点考察的知识点，这类问题一般有两类，一是根据

一定的条件求椭圆的离心率，另一类是根据题目条件求解离心率的取值范围，无论是哪类问

题，其难点都是建立关于。,瓦，的等式或不等式，并且根据一/化为a,c的等式或不等

式，求出离心率或离心率的范围，再求解椭圆离心率取值范围时常用的方法有：

一、借助平面几何图形中的不等关系；

二、利用函数的值域求解范围；

三、根据椭圆自身性质或基本不等式求解范围等.

三、填空题

13.在等比数列｛叫中，*>0且/2=5,则

>Og5%+lOgs+lOgs02022+10g5々023=.

【正确答案】2023

【分析】利用等比数列的下标性质，结合对数的运算性质进行求解即可.

【详解】

aaaflfl

10g5+logs2++bg52022+bg52O23="gs…。2022a2023)=10g5(<7|012|012IO12)

=噫(52--52・5)=1嗨52=2023,

故2023

14.若曲线/(x)=2sinx[cosx+l在点处的切线与直线》+少+1=°垂直，则

实数4=.

3

【正确答案】-##1.5

2

【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率，根据垂直关系可构造方程求得结果.

【详解】•.•/，(x)=2cosx+且sinx，,/"但]=2cosE+*sin二=1-H-

••・/(x)在]处的切线与x+ay+l=0垂直，.•.—[“I,解得.。=|

3

故答案为

2

15.如图，已知双曲线!-，=1(“>0/>0)的左、右焦点分别为斗，鸟，内周=6,尸是双

曲线右支上的一点，入尸与y轴交于点儿△/尸耳的内切圆在边尸耳上的切点为。，若|P0|=1,

【分析】先利用切线长定理求得双曲线的半实轴长，再由阳名|=6求得双曲线的半焦距长,

进而求得双曲线的离心率

【详解】设片的内切圆在边/外/P上的切点分别为M,N,

则阳阴=阳。1，忸。1=1尸时，

又由△。4冗三△(?/玛,可得»用=|/用，则忻0|=|耳M=EM=I工P|+BM=|VP|+|PO|,

则|P周一|%|=闺0|+|尸0卜仔用=旧?+2|尸0|-|尸周=2|尸0=2,

又归四一|尸周=2%则2。=2,即”1,

由闺闾=6,可得2c=6,即c=3,

C3

则双曲线的离心率e=—=7=3,

a1

故3

16.正方体容器4G中盛满水，AiE=2EB[,£G分别是8片的中点，若3个小孔分别

位于瓦£G三点处，则正方体中的水最多会剩下原体积的.（用分数表示）

【正确答案】917

1O

【分析】根据正方体中剩下的水最多时，水平面必经过三个小孔中的两个，分别讨论水平面

经过瓦G、E,尸和EG,另一个小孔在水平面上方的情况，作出截面，结合函数最值和基

本不等式可求得流出水的最小体积，对比三种情况可得最终结果.

【详解】当正方体中剩下的水最多时，水平面必经过三个小孔中的两个；设正方体/£的棱

3

长为3,则8遂=1,B\F.；

①当水平面经过小孔瓦G,另一个小孔尸在水平面上方；

设过EG的平面与棱8片,CG，CQ的交点分别为〃,尸,。，则流出的水的最小体积是台体

AE/7-GQP的体积，如下图所示,

由B、EHsGQP得：CQ=­,

Xx

.V卜（3-乙（3-叽上310-X匚。匚3_叵_二=）

B'EH-C'QP32V22x2x22x2x22^2\2x22~2

（当且仅当99=；x,即x=3时取等号），

2x2

3

又〃3/向的=3x3x3=27,.•.此时正方体中的水最多会剩下原体积的1_2=?；

27~18

②当水平面经过小孔及尸，另一个小孔G在水平面的上方；

设过E/的平面与棱CG，G2的交点分别为，则流出的水的最小体积是台体

用即-GMN的体积，如下图所示,

2

・・・B、EFsC、MN,:.C,M=-t9

3/、9

，当与时，（，B、EF~C、MN）mjn=，

9

又GCMMR=3x3x3=27,.•.此时正方体中的水最多会剩下原体积的1—工_=口；

27-12

③当水平面经过小孔RG,另一个小孔E在水平面上方，

设过FG的平面与棱CC“CQ，44的交点分别为凡T,S,则流出的水的最小体积是三棱柱

8尸S—CRT的体积,

1399

设4s="(14〃43),则降5_叫=5，/'3=}.

9

又Goi的=3x3x3=27,.•.此时正方体中的水最多会剩下原体积的1_a=U；

27-12

综上所述：正方体中的水最多会剩下原体积的圣.

1O

故答案为

IO

四、解答题

17.已知正项等比数列｛4｝前〃项和为S,,,q=2,且成等差数歹人

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)记6“=*",其前”项和为9,求数列名的前〃项和用.

【正确答案】(1)。“=2"；

2n

⑵;TT

【分析】(1)设｛/｝的公比为4,列方程求得夕后可得通项公式;

(2)由题可得2，T„,然后利用裂项相消法即得.

【详解】(1)设｛《,｝的公比为文4>0),

因为《=2,且％，2凡，包成等差数列,

所以为+%=4邑=4(q+%)，

所以2如+2口3=4(2+24),即/(1+4)=4(1+夕)，又q>0,

所以4=2,

所以a,,=2"；

(2)由题可知bn=log2an=n,

b,、，一+

所以］=1+2+…+n=------,

2

l=_2_=2fl—Ll

Tn+n+i)

2n

所以乩=21-

〃+1

22

18.若椭圆E：3v+奈=1(〃>6>0)过抛物线/=8x的焦点，且与双曲线有相

同的焦点.

(1)求椭圆E的方程;

(2)直线/过点(1,0),且被椭圆£截得的线段长为3正，求直线/的方程.

【正确答案】(1)总+:=1;

(2»=1.

【分析】(1)根据给定条件，求出双曲线、抛物线的焦点坐标，计算出0,6作答.

(2)设出直线/的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式计算作答.

【详解】(1)抛物线/=8x的焦点(2,0),双曲线/一夕2=_1,即》2=1的焦点(0,±0),

依题意，6=2,屋=〃+(*7^)2=6,

所以椭圆E的方程为乙+上=1.

64

(2)因为点(1,0)在x轴上，又椭圆E的短轴长4<3正，则直线/不垂直于y轴，设直线/的

方程为：x^ty+l,

由1(I=12消去，并整理得：+2)/+6"-9=。’

设直线/被椭圆E截得的线段端点为A(xt,必),B&,%)，则有乂+%=，%%=-4^-,

3/I23/I2

于是

I明=.历行W=EJ券)2居二6"峪产+D=30

即有"77=J3/+1,解得f=o,

所以直线/的方程为x=l.

19.如图，在四棱锥S-48CD中，侧面SCO_L底面/BCD,SC=SD,底面/SCO是平行

TT

四边形，NBAD检,AB=2,AD=\,M,N分别为线段CD,"的中点.

(1)证明：8。2平面刈1介；

7T

(2)若直线S4与平面/5CO所成角的大小为微，求二面角C-S3-。的余弦值.

6

【正确答案】(1)证明见解析

/“闹

⑵一FT

【分析】(1)利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得8。_LMN,SM1BD,由

线面垂直的判定可证得结论；

(2)根据线面角的定义可知NSZM=2,设旭义|"|8。=0,取即中点F,根据垂直关系可

6

以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.

【详解】(1),.•48=2,/。=1,ZBAD=­,:.BD2AB2+AD2-2AB-ADcosABAD=3,

即8。=百，AD2+BD2=AB2>：.AD1.BD,

分别为8,48中点，四边形/88为平行四边形，，皿///。，；.5。，阿；

•;SC=SD,M为CD中点,SMLCD,

•平面SC。_L平面Z8C。，平面SC£>n平面/BCD=CD,SMu平面SC。，

:.SML^ABCD,又BDu平面488,.”屈_1.8。；

■：SM[\MN=M,5朋',河\七平面以四，二8。1,平面5朋M.

(2)连接ZAf,

7T

由(1)知：SNJ_平面48CQ,则S4与平面/8CQ所成角为NS//，即NS4W=2,

6

2兀

在中，AD=DM=\,NADC=n-NBAD=一，

3

:.AM1=AD-+DM2-2ADDMCOSZADC=3,解得：AM=仆,

4M\

••=2ci,4I,兀.

兀，SM-AMtan—=1；

cos—6

6

设MNn8O=O,取SN中点尸，连接。尸，

•.,。,尸分别为〃乂5%中点，.・.0尸//$”，又SMJ■平面/8CD,

.•.。尸JL平面48C。，又MN1BD,

则以O为坐标原点，两，砺，砺正方向为x,%z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

则C,B0,-^-,0,D0,--^-,0

：.SB=g,冬—i,ce=(i,o,o),而=(o,6,o),

\/

设平面SBC的法向量〃=(x,y,z),

SBn=-x+—y-z=0.,„

则22y,令AV=2,解得y：x=0,Z=y/iffl—^0,2,-x/3j；

CBn=x=0

设平面S3。的法向量，〃=(a,b,c),

,SBm=—a+-Z7-c=0

则22令Q=2,解得：b=0,c=\/.w=(2,0,1)；

DB•m=y/3b=0

二依〃|二G一阿

cos<ni'n

|m|-p|V7x^535

•・・二面角C-S8-。为钝二面角，，二面角C-S8-。的余弦值为-的生.

35

20.已知函数/(x)=Qln(x+l)+lnx.

(1)若函数/(X)在区间［1,4］上单调递增，求实数。的取值范围;

⑵讨论函数g(X)=〃X)-4X的单调性.

【正确答案】(1)-彳，+8)

(2)答案见解析

【分析】(1)将问题转化为/'(x)20在［1,4］上恒成立，采用分离变量的方式，通过求解

1+-J在［1,4］的最大值得到a的范围；

(2)求导后，分别在a=0、aW-；、和a>0的情况下，根据g'(x)的正负确定

g(x)的单调性.

【详解】(1)•••/(X)在［1,4］上单调递增，.・J'(x)=/+/20在［1,4］上恒成立,

即a>--~-=-fl+工)在［1,4］上恒成立，

当xe[l,4]时，—e—,2

x4

即实数。的取值范围为-j，+8

(2)由题意得：g(x)=aln(x+l)+lnx-ax(x>0),则8'")=-^+)_°=，'/：<

X+1XJCIX+11

令人(X)=取2-X-1,

①当a=0时，g'(x)=；>0,；.g(x)在(0,+8)上单调递增；

②当aw0时，/=l+4a；

若A40,即aW-；时，力(力40恒成立，：也'""。恒成立,

，g(x)在(0,+ao)上单调递增；

若A>0,即a>一且"0时，令/?(x)=0,解得：x产上业位1+J1+4a

42a2a

⑴若-；<4<o,则乙<演<0,则〃(x)<0在(0,+")上恒成立，

•1.g'(x)>o恒成立，ug(x)在(0,+8)上单调递增;

(ii)若“>0,则再<0<々，

.•.当xegw)时，〃(x)<0；当xe(X2，+:»)时，A(x)>0；

.•.当》e(。，三)时，g'(x)>0；当xe(x2，+co)时，g'(x)<0；

.•.g(x)在上单调递增，在+[+”,+小上单调递减；

12alI2a)

/]A~~7~\

综上所述：当aWO时，g(x)在(0,+s)上单调递增；当〃>0时，g(x)在0.0上

单调递增，在上单调递减.

I2a

21.已知数列｛““｝的前”项和为S“满足：5,=4,5„tl=2a„+l+2.

(1)求数列｛〃“｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足anbn=log2a„.

①求数列帆｝的前〃项和小

②若“44+2切-|对于一切正整数〃恒成立，求实数加的取值范围.

【正确答案】(l)a“=12，i,〃w2_a〃eN*

(2)①1=|■-登■；②(v,-3Ml,+8)

【分析】(1)利用。.与S”关系可证得数列｛《,｝自第二项起为等比数列，由等比数列通项公

式可求得此时a,,=2"T,验证可知数列｛为｝为分段数列，由此可得通项公式；

(2)①由(1)可得“，当〃22时，采用错位相减法可求得4,验证可知工满足。的表达

式，由此可得结论：

②采用作差法可确定数列也｝的单调性，得到色)归=；，由此可构造不等式求得〃?范围.

(详解】(1)当〃=1时，％=S[=4；

当〃22时，•/Sn+i=2an+i+2,/.Sn=2an+2fan+l=S„^-Sn=2an+i-2an,

即=为"；

又§2=£+出=4+&=2a2+2,出=2,

二数列｛。“｝自第二项起为等比数列，公比为2,此时。，=22々=2"，

4,72=1

经检验：4=4不满足%=2"，二%

2W-,,/7>2H/7GN*,

(2)①由(1)得：“=的区&=卜,则]=4=!；

%二,“22且〃eN*2

当〃22时，+捻+恭…+/+呆，；(=；+9+3+小…看与I

1G--L1

1Tli1111n-112l2'"')n-

2"4223/2124,12

1-----

2

——1+]---1----n--—-\--5---n--+-\

42〃T2"42〃

.7_5〃+1

经检验：满足北=|一等，.•.7；=g-答(〃eN.)：

②当〃=1时，4=4,

n—1nn—12—n

当〃22时，6“=尸，-b^-b,,=,则当〃23时，bnM-b,<0,

又瓦=A=g,:他也汕海〉瓦〉…,即色，上」3；

+2m--,即〃r+2加一320,解得：〃？《-3或加》/,

22

即实数机的取值范围为(F,-3]U[L+