应力状态分析

关于应力状态分析第九章应力状态分析和强度理论

§9–1应力状态的概念§9–2平面应力状态分析——解析法§9–3平面应力状态分析——图解法§9–4

梁的主应力及其主应力迹线§9–5

三向应力状态研究——应力圆法§9–6

平面内的应变分析§9–7

复杂应力状态下的应力--应变关系

——（广义虎克定律）§9–8

复杂应力状态下的变形比能第2页,共70页，2024年2月25日，星期天§9–１应力状态的概念应力状态与应变状态一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP第3页,共70页，2024年2月25日，星期天四、普遍状态下的应力表示

三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质——a、平行面上，应力均布；

b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：

过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

y应力状态与应变状态txy第4页,共70页，2024年2月25日，星期天xyzs

xsz

s

y应力状态与应变状态txy五、剪应力互等定理（TheoremofConjugateShearing

Stress):

过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。第5页,共70页，2024年2月25日，星期天tzx六、原始单元体（已知单元体）：例1

画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。

应力状态与应变状态PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx第6页,共70页，2024年2月25日，星期天七、主单元体、主面、主应力：

主单元体(Principalbidy)：各侧面上剪应力均为零的单元体。

主面(PrincipalPlane)：剪应力为零的截面。

主应力(PrincipalStress

）：主面上的正应力。

主应力排列规定：按代数值大小，应力状态与应变状态s1s2s3xyzsxsysz第7页,共70页，2024年2月25日，星期天

单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。

二向应力状态（PlaneStateofStress）：一个主应力为零的应力状态。应力状态与应变状态

三向应力状态（Three—DimensionalStateof

Stress）：三个主应力都不为零的应力状态。AsxsxtzxsxsxBtxz第8页,共70页，2024年2月25日，星期天§9–2

平面应力状态分析——解析法应力状态与应变状态sxtxysyxyzxysxtxysyO第9页,共70页，2024年2月25日，星期天规定：

截面外法线同向为正；

ta绕研究对象顺时针转为正；

a逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：一、任意斜截面上的应力应力状态与应变状态xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn图2第10页,共70页，2024年2月25日，星期天图1应力状态与应变状态xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn图2考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：第11页,共70页，2024年2月25日，星期天二、极值应力´´应力状态与应变状态xysxtxysyO第12页,共70页，2024年2月25日，星期天xysxtxysyO

在剪应力相对的项限内，且偏向于

x

及

y大的一侧。应力状态与应变状态222xyyxminmaxtsstt+-±=îí좢）（第13页,共70页，2024年2月25日，星期天例2

分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体

求极值应力应力状态与应变状态txyCtyxMCxyOtxytyx第14页,共70页，2024年2月25日，星期天

破坏分析应力状态与应变状态低碳钢铸铁第15页,共70页，2024年2月25日，星期天§9–3

平面应力状态分析——图解法对上述方程消去参数（2

），得：一、应力圆（

StressCircle）应力状态与应变状态xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）第16页,共70页，2024年2月25日，星期天

建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法

在坐标系内画出点A(

x，

xy)和B(

y，

yx)

AB与sa

轴的交点C便是圆心。

以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；应力状态与应变状态sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)第17页,共70页，2024年2月25日，星期天应力状态与应变状态sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、单元体与应力圆的对应关系

面上的应力(

，

)

应力圆上一点(

，

)

面的法线应力圆的半径

两面夹角

两半径夹角2

；且转向一致。第18页,共70页，2024年2月25日，星期天四、在应力圆上标出极值应力应力状态与应变状态OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3第19页,共70页，2024年2月25日，星期天s3例3

求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB

1

2解：

主应力坐标系如图

AB的垂直平分线与sa

轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆

0应力状态与应变状态s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa

在坐标系内画出点第20页,共70页，2024年2月25日，星期天s3应力状态与应变状态s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa

主应力及主平面如图

1

0

2AB第21页,共70页，2024年2月25日，星期天解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°应力状态与应变状态xyO第22页,共70页，2024年2月25日，星期天§9–4

梁的主应力及其主应力迹线应力状态与应变状态12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q>0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：第23页,共70页，2024年2月25日，星期天应力状态与应变状态21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O第24页,共70页，2024年2月25日，星期天拉力压力主应力迹线（StressTrajectories)：主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。应力状态与应变状态

1

3

1

3第25页,共70页，2024年2月25日，星期天qxy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd

1

3应力状态与应变状态

3

1第26页,共70页，2024年2月25日，星期天§9–5

三向应力状态研究——应力圆法应力状态与应变状态s2s1xyzs31、空间应力状态第27页,共70页，2024年2月25日，星期天2、三向应力分析

弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b

整个单元体内的最大剪应力为：tmax应力状态与应变状态s2s1xyzs3第28页,共70页，2024年2月25日，星期天例4

求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：

由单元体图知：yz面为主面

建立应力坐标系如图，画应力圆和点

1′,得:应力状态与应变状态5040xyz3010(M

Pa)sa（M

Pa）taABCABs1s2s3tmax第29页,共70页，2024年2月25日，星期天§9–6

平面内的应变分析xyO

一、叠加法求应变分析公式abcdaAOB剪应变：直角的增大量！（只有这样，前后才对应）应力状态与应变状态

DD1EE1

第30页,共70页，2024年2月25日，星期天应力状态与应变状态xyOabcdaAOBDD2EE2

第31页,共70页，2024年2月25日，星期天DD3EE3

应力状态与应变状态xyOabcdaAOB第32页,共70页，2024年2月25日，星期天应力状态与应变状态第33页,共70页，2024年2月25日，星期天2、已知一点A的应变（），画应变圆二、应变分析图解法——应变圆（StrainCircle）1、应变圆与应力圆的类比关系

建立应变坐标系如图

在坐标系内画出点

A(

x，

xy/2)

B(

y，-

yx/2)

AB与

a

轴的交点C便是圆心

以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。应力状态与应变状态eaga/2ABC第34页,共70页，2024年2月25日，星期天eaga/2三、

方向上的应变与应变圆的对应关系

max

min2

0D(

，

/2)2n应力状态与应变状态

方向上的应变(

，

/2)

应变圆上一点(

，

/2)

方向线应变圆的半径

两方向间夹角

两半径夹角2

；且转向一致。ABC第35页,共70页，2024年2月25日，星期天四、主应变数值及其方位应力状态与应变状态第36页,共70页，2024年2月25日，星期天例5

已知一点在某一平面内的

1、

2、

3、方向上的应变

1、

2、

3，三个线应变，求该面内的主应变。解：由i=1,2,3这三个方程求出

x，

y，

xy；然后在求主应变。应力状态与应变状态第37页,共70页，2024年2月25日，星期天例6用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。xyu45o

0

max应力状态与应变状态第38页,共70页，2024年2月25日，星期天§9–7

复杂应力状态下的应力--应变关系

——（广义虎克定律）一、单拉下的应力--应变关系二、纯剪的应力--应变关系应力状态与应变状态xyzsxxyz

x

y第39页,共70页，2024年2月25日，星期天三、复杂状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:应力状态与应变状态

xyzszsytxysx第40页,共70页，2024年2月25日，星期天主应力---主应变关系四、平面状态下的应力---应变关系:方向一致应力状态与应变状态s1s3s2第41页,共70页，2024年2月25日，星期天主应力与主应变方向一致?应力状态与应变状态第42页,共70页，2024年2月25日，星期天五、体积应变与应力分量间的关系体积应变：体积应变与应力分量间的关系:应力状态与应变状态s1s3s2a1a2a3第43页,共70页，2024年2月25日，星期天例7已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：

1=24010-6，

2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为

=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处的平面应力状态应力状态与应变状态第44页,共70页，2024年2月25日，星期天me3342.-=应力状态与应变状态第45页,共70页，2024年2月25日，星期天例8

图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变

t

=350×l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚

=10mm，容器材料的E=210GPa，

=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。应力状态与应变状态pppxs1smlpODxABy图a第46页,共70页，2024年2月25日，星期天1、轴向应力:(longitudinalstress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程应力状态与应变状态psmsmxD图b第47页,共70页，2024年2月25日，星期天用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoopstress)3、求内压（以应力应变关系求之）应力状态与应变状态

t

m外表面ypststDqdqz图cO第48页,共70页，2024年2月25日，星期天§9－8复杂应力状态下的变形比能

2

3

1图a图

c

3-

m

1-

m

2-

m应力状态与应变状态

m图b

m

m第49页,共70页，2024年2月25日，星期天称为形状改变比能或歪形能。应力状态与应变状态图

c

3-

m

1-

m

2-

m第50页,共70页，2024年2月25日，星期天例9

用能量法证明三个弹性常数间的关系。

纯剪单元体的比能为：

纯剪单元体比能的主应力表示为：应力状态与应变状态txyA

1

3第51页,共70页，2024年2月25日，星期天§9–9强度理论的概念§9–10四个强度理论及其相当应力§9–11莫尔强度理论及其相当应力§9-12强度理论的应用第52页,共70页，2024年2月25日，星期天一、引子：§9–9

强度理论的概念强度理论1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP第53页,共70页，2024年2月25日，星期天二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failurebylost

strength）起因”的假说。1、伽利略播下了第一强度理论的种子；三、材料的破坏形式：⑴屈服；⑵断裂。2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论；4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximumdistortionenergytheory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。强度理论第54页,共70页，2024年2月25日，星期天§9–10

四个强度理论及其相当应力一、最大拉应力（第一强度）理论：认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。强度理论第55页,共70页，2024年2月25日，星期天二、最大伸长线应变（第二强度）理论：

认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。强度理论第56页,共70页，2024年2月25日，星期天三、最大剪应力（第三强度）理论：认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。1、破坏判据：3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。2、强度准则：强度理论第57页,共70页，2024年2月25日，星期天四、形状改变比能（第四强度）理论：认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。1、破坏判据：2、强度准则3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。强度理论第58页,共70页，2024年2月25日，星期天§9–11

莫尔强度理论及其相当应力

莫尔认为：最大剪应力是使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）。综合最大剪应力及最大正应力的因素，莫尔得出了他自己的强度理论。强度理论第59页,共70页，2024年2月25日，星期天近似包络线极限应力圆的包络线O

ts

极限应力圆一、两个概念：1、极限应力圆：2、极限曲线：极限应力圆的包络线（envelope）。强度理论第60页,共70页，2024年2月25日，星期天[

y]saaot[

L]O1O2莫尔理论危险条件的推导2、强度准则：1、破坏判据：O3

1

3MKLPN二、莫尔强度理论：任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将屈服或剪断。强度理论第61页,共70页，2024年2月25日，星期天三、相当应力：（强度准则的统一形式）。其中，

*—相当应力。强度理论3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。第62页,共70页，2024年2月25日，星期天§9–12

强度理论的应用一、强度计算的步骤：1、外力分析：确定所需的外力值。2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力。4、强度