高等数学（第三版）教案 第4章 微分方程

4.1.1微分方程及其通解与特解

教学目标：

(1)感知并了解微分方程的概念。

(2)理解微分方程的阶、通解、特解、初始条件等概念;

教学重点：

微分方程的基本概念

教学难点：

微分方程的通解、特解等概念的理解。

授课时数：1课时

教学过程

____________________SS____________________备注

引言教师

介绍本章学习的主要内容。讲授

5,_

知识回顾

已知曲线/经过点(1,3),曲线/上任意点M(x,>-)处切线的斜率为2x,求引导

曲线/的方程.学生

设曲线/方程为y=∕(x)∙根据导数的几何意义，有回答

yf=2x,

积分得y=x2+C.10,

其中C是任意常数.由于曲线经过点(1,3),故

3=I2+C,

解得C=2∙所以曲线/的方程的方程为J=X2+2.

新知识

上面的问题中所建立方程y'=2x的特点是，方程中含有未知函数的导数(或微教师

分)，其解是函数.讲授

像这样，含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数(或微分)的方与学

程叫做微分方程.未知函数为一元函数的方程叫做常微分方程.本章内只讨论常微分生回

方程.如答相

j.21结合

s"(f)=-g,——lx,y'+2xy=sinx,—⅛-+3x-=x+l»xdy+}dr=O.

dxdx^dx

出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶∙上述五

个方程中，25,

s"(f)=-g—7+3x—=%+1

V7dx2dx

是二阶微分方程，其余三个是一阶微分方程.

如果将一个函数代入微分方程，使其成为恒等式，那么，这个函数叫做这个微

分方程的解.

由于(f+C)'=2x,故y=∕+c是微分方程y=2χ的解.但是C是任意常数，

y=f+c表示的不只是一个函数，从几何意义上看，y=x2+C表示一族抛物线(图

4-1）.因为已知曲线过点（1,3）,即曲线满足条件H（T=3.将条件代入y=f+c

中，得到C=2.故微分方程满足条件yig=3的解为y=χ2+2.

实际上，曲线y=f+2是抛物线族y=f+c中通过点（1,3）的一条（图4—1）.

若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶

数（如y=f+c）,这样的解叫做微分方程的通解.在通解中，利用给定的条件，

确定出任意常数的值的解（如y=』+2）叫做微分方程的特解，所给定的条件（如

HE=3）叫做初始条件.

一阶微分方程的初始条件一般记成y|v=%=%的形式，如y\x=i=3.二阶微分方

程的初始条件一般记成=a,K『=b的形式.

知识巩固

例1求微分方程∕=x-l满足初始条件y∣z=-ɪ,y'仁=ɪ的特解.教师

讲授

解将微分方程y"=x-l,两边积分，得

y'=-x^—X÷C,,（1）

3230,

两边再一次积分，得y=→-→+C,x+C2.（2）

将初始条件yli=-g,y'∣ι=g代入方程（1）和方程（2）,得

34+C'+C2=4

1-1+G=L

212

解得G=LC2=T∙因此，微分方程满足初始条件的特解为

II

y=-X3—X2+%—1.

*62

说明＞（"）=/（X）型的微分方程，都可以采用方程两边同时积分的手段求解.

练习4.1.1学生

L试写出下列各微分方程的阶数.课上

(1)x2dx+ydy=0；(2)x(∕)2-2yy'+x=0;完成

,

(3)x2∕--^/+y=0:(4)乙挈+R些+&=042

dt2dtt

2.求微分方程y*=x+1,y∣χ=o=l,y'∣X=O=O的特解.

_________新知识：常微分方程的基本概念。_____________________4_5_'_______________

作业

1.复习微分方程的基本概念；

2.完成习题册作业41.1。___________________________________________________

4.1.2可分离变量的微分方程

教学目标：

(1)掌握可分离变量微分方程的特点；

(2)会求可分离变量微分方程的通解和特解。

教学重点：

可分离变量微分方程的解法。

教学难点：

可分离变量微分方程的特点。

授课时数：1课时.

教学过程

___________________M___________备_注_______

探究教师

微分方程V=X可以用方程两边同时积分的手段求解.那么微分方程)，'="，如讲授

何求解呢？5,

由于方程右边同时含有X和y,故无法积分，为了达到两边可以两边同时积分

的目的，可以把y'写成爱的形式，将方程恒等变形为

1

—ajy=xdjx.

y

这种变形的作用是分离变量.

新知识教师

形如讲授

半∙=∕(χ)g(y)(4.1)

dr10,

的一阶微分方程叫做可分离变量的微分方程.其中/(X),g(y)都是连续函数.

这类微分方程可以通过下面的步骤求解(分离变量法)：

(1)将方程分离变量

JTdy=f(x)dr；

g(y)

(2)两边积分

J7⅛dy=J∕(x)dx;

(3)分别计算两边的积分，整理化简可以得到微分方程的通解.________________

知识巩固

例2解微分方程电=U教师

drX讲授

dydr

解分离变量得—=---，

yX

两边积分得ln∣y∣=-ln∣Λ∣+C1

记G=InC2，贝IJ

InIyl=InmInC2=1阍

崎即

所以W;±Q,

X

记C=±C,则原方程的通解为y=-.

X

说明

(1)微分方程的通解也可以表示)为隐函数的形式.如上面的通解可以写作

χy=C.

(2)为了简单起见，在本章中可以下:接将InIXl写成InX,将InIyl写成Iny,从

而省略记C=±C2的过程；将Cl直接写成InC,从而省略记G=InC2的过程.

例3解微分方程y'--ysinx=0,yπ=1•在教

X=—

2师引

1

解分离变量得—ɑjv=sInxdx,领下

y共同

两边积分得Iny=­cosx+C，完成

代入初始条件X=2时y=1,得C=0.

故微分方程的特解为y=e-8sx.

30'

例4解微分方程xydy+d%=y2dx+ydy.

解分离变量得-√—αy=--------dχ,

/-1-X-I

11

两边积分得-In(y9-1)=ln(x-l)+-InC.

故微分方程的通解为/-I=C(X-I)2.

λr

例5求微分方程(1+e)γy=e满足初始条件y|,句=1的特解.

.e`

解分离变量得)"'=T77dr,

1ɔ

两边积分得-y2=ln(l+e∙v)+C.

得

代入初始条件X=O时y=1,C=I-In2.

2____________________________________________

故满足初始条件的微分方程的特解为V=21n(l+/)+1-21n2

练习4.1.2学生

1.求解微分方程RX=(X-I)dy.课上

2.求解微分方程Jy-9+3、=O完成

42'

^7h⅞

新知识：可分离变量微分方程的特点和解法。______________________________45，

1.梳理可分离变量微分方程的特点和求解过程；

2.完成习题册作业4.1.24_________________________________________________

4.2.1一阶线性齐次微分方程

教学目标：

(1)理解一阶线性微分方程的概念。

(2)学会一阶线性齐次微分方程的解法。

教学重点：

一阶线性齐次微分方程的解法。

教学难点：

一阶线性微分方程的概念的理解。

授课时数：1课时.

教学过程

_________________M_________________备注

新知识

形如教师

2+p(χ)y=Q(χ)(4.2)讲授

OX

的方程叫做一阶线性微分方程.其中Mx),Q(X)是X的已知函数，Qa)叫做方程

5,

的自由项.

当Q(X)=0,方程(4.2)为一阶线性齐次微分方程；

当Q(X)W0,方程(4.2)为一阶线性非齐次微分方程.

教师

一阶线性齐次微分方程为曳+p(χ)y=o讲授

与学

变形为—=-∕j(x)y生回

答相

这是可分离变量的微分方程，分离变量得包=-p(x)dr,结合

y

两边积分得Iny=-JP(X)dx+InC.IO,

所以一阶线性齐次微分方程的通解为y=Ce-JMx曲(4.3)

新知识教师

解一阶线性齐次微分方程可以采用分离变量法，也可以采用公式法，直接应用总结

通解公式(4.3).

13，

知识巩固

例1解微分方程电-二-y=0.在教

drx+1师引

解1(分离变量法)领下

17

分离变量，得—dy=------dx完成

yx+19

28,

两边积分，得Iny=21n(x+l)+lnC.

故微分方程的通解为y=C(X+1)2.

解2(公式法)

利用公式(4.3),这里P(X)=-二一.所以

x÷l

>■==Ce2ln(J+1)=C(x+ι)2∙

故微分方程的通解为y=C(x+l)2.

例2解微分方程盯y=0.

解微分方程变形为V-Ly=O,

X

所以，P(X)=-L利用公式(4.3),得，

X

y=Ce-I=CF"=Cx

故微分方程的通解为y=Cr.

练习4.2.1学生

解下列微分方程课上

1.y'-3x2y=0；2.exy'+ʃ=0.完成

40'

小结

__________新知识：一阶线性微分方程的概念，一阶线性齐次微分方程的解法。45，

完成习题册作业421。_________________________________________________

4.2.2一阶线性非齐次微分方程

教学目标：

(1)记住一阶线性非齐次微分方程的特点；

(2)学会一阶线性非齐次微分方程的解法。

教学重点：

一阶线性非齐次微分方程的解法。

教学难点：

正确区别可分离变量微分方程和一阶线性非齐次微分方程。

授课时数：1课时.

教学过程

___________________M___________备_注_______

探究教师

下面研究一阶非齐次线性微分方程讲授

崇+p(χ)y=Q(χ)⑵

的通解.

10，

首先求出方程(2)所对应的一阶线性齐次微分方程

手+p(x)y=O

QX

的通解y=Ce-M'2.

设方程(2)的通解为y=C(x)e」而曲，其中C(X)是X的待定函数，则

/=C(X)e-S-C(X)P(X)”"叫

于是有C(X)—P(X)C(X)屋配加+P(X)C(XRi"**=。⑺,

即CM)=Q(X)e"∖

两边积分得C(X)=J0(小9加公+c.

故所求通解为y=O(X)e"dr+C].

因此，一阶线性非齐次微分方程案+MX)y=Q(x)的通解为

>=e-∫p(∙v)Λ^jQ(X)eJ*M办+Q.(4.4)

新知识教师

探究过程中的解微分方程的方法叫做常数变易法.总结

利用常数变易法解一阶线性非齐次微分方程的步骤是：

(1)将方程化成电+p(x)y=Q(x)的形式；15,

dx

(2)求出对应齐次方程曳+p(χ)y=0的通解y=;

(3)设方程的通解为y=C(X)-J刎叱代入方程%+p(χ)y=Q(χ),确定

C(X).

也可以直接应用公式(4.4)求解，这种方法称为应用公式法.___________________

知识巩固在教

例2解微分方程包一一—γ=(x+l)l.师引

dxx+Γv7领下

解1(常数变易法)完成

方程对应的齐次方程是苴一二-y=0,

drx+1

其通解为y=C(x+lf.

30,

设函数y=C(x)(x+l)2是已知非齐次微分方程的通解，则___________________

电=C(X)(X+1)2+2C(X)(X+1),

代入原方程有

/、cZ2/、C5

C'(x)(x÷l)+2C(X)(X+1)-------C(x)(x÷l)=(x+l)2,

即Cr(x)=(x÷l)I.

23

积分得C(x)=∣(x+l)i+C,

23

所以微分方程的通解为y=(x+l)27申x+l)2+C].

解2(应用公式法)

25

这里P(X)=———,Q(X)=(X+1”,因此

ʃ∕7(x)dx=-J^-ydx=-21n(x+l),

∫β(%)eʃ^ʌkt'dx=∫(x+1)2∙(Λ+1)^2dx=∫(x+l)2dγ=^(x÷l)2+C,

所以原方程的通解是

y=eJ/"'κh[JQ(X)JMA)，x+c]=(χ+if停(%+])]+3

例3解微分方程.y+Ly=皿.

XX

∖ςinγ

解应用公式求解，这里P(X)=±,Q(X)=吧」.故

XX

y=eʃ*[―eʃʌ^'dɪ+C]=e-叫|"包"/山+C]

JXJX

=’[jsinxdx+C]='[-cosx+C].

XjX

所以方程的通解为y=L(—cosx+C).

X

例4求微分方程Vdy+(2孙-x+l)dΛ=0满足初始条件y∣4]=O的解.

解方程可以化为^+-y=⅛.

dxXχ2

应用公式求解.这里P(X)=2,0(》)=与，故

•AT

y=e'ʃ^'[ʃ⅛e∫^dxΛv+C]+

=-y[∫(-v-l)dɪ+Clɪ-ʒ-[ɪɪ2-x+C]

XXN

」」C

2χ+χ2'

代入初始条件yIx=I=O得C=；.

故满足初始条件y∖x-l=0的特解是y=l-i+-L.

2X2x/

练习4.2.2学生

求解下列微分方程课上

1.y'+3y=8;2.y'+y^e~x3.W+y-e*=0,y⑴=0.完成

42'

__________新知识：一阶线性非齐次微分方程的特点和解法。_____________________45'

作业

I.分析一阶线性微分方程与可分离变量微分方程的区别；

2.完成习题册作业422。________________________________________________

4.3.1二阶常系数线性齐次微分方程

教学目标：

(1)了解二阶常系数线性微分方程及解的结构；

(2)理解二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式，会求二阶常系数线性齐次微分方程的

通解和特解。

教学重点：

二阶常系数线性齐次微分方程及其通解。

教学难点：

二阶常系数线性齐次微分方程通解结构的理解。

授课时数：1课时.

教学过程

过程备注

新知识

二阶微分方程比较复杂，我们只研究二阶线性常系数微分方程，即形如教师

n

y+py'+qy=Q(4.5)讲授

和

y"+py'+qy=f(χ).(4.6)

的方程，其中p,4均为常数.方程(4.5)叫做二阶常系数线性齐次微分方程；方程(4.6)

叫做二阶常系数线性非齐次微分方程.

10,

在实际应用中，特别是在电学、力学及工程学中，很多实际应用问题的数学模型

都是二阶常系数线性微分方程.

关于二阶常系数线性微分方程解的结构有如下的三个结论：

结论I若如%是方程y'+0z+qy=o的两个解，则对任意两个常数G、G，

y=clyl+C2y2仍是该方程的解.

结论2若%,乃是二阶线性齐次方程y"+py'+4=o的两个特解，且也不等于常

为

数，则y=Gv+C2%是该方程的通解，其中，G，C2是任意常数.

结论3若F是方程y"+py'+⅛y=O的通解，y*是)产+py'+qy=f(x)的一个特解.

则y=Y+y*是二阶线性非齐次微分方程/+py'+力=/(x)的通解.

.教师

由前面的结论1和结论2知道，解微分方程产+期'+力=0的关键是找到其两个讲授

特解M和力，且2L不等于常数.与学

为生回

考虑到指数函数y=*的各阶导数之间只相差一个常数，方程的解有可能具有指答相

数函数的形式.不妨沿着这个发现做探究.结合

设y=e”(r是常数)是方程y"+W+力=O的解，则

rx2rx15,

y'=l-e,y"=re,

代入方程中，得en(r2+pr+q)=0,

于是有r2+pr+q=O.(4.7)

如果r是方程(4.7)的根，那么函数y=e"就是方程y"+py'+qy=O的解.

这样就建立了微分方程y/+py'+/=O与代数方程/+4+g=0之间的关联.

新知识教师

方程产+pr+q=0叫做微分方程y"+py'+qy=0的特征方程.特征方程的根叫做讲授

特征根.

特征方程是关于，的一元二次方程.根据特征根的不同情况，可以得到微分方程20,

y"+py'+qy=0的相应通解(表4—1).

表4T方程y"+py'+⅞y=0的特征根与通解

,

特征方程/+pr+q=O特征根4,r2方程y"+py÷^y=0的通解

2

p-4q>0弓≠e___________________y=Ge*+C2e瞑____________

p2r=r-rΓΛ

-4q=0x1y=(C∣+C2X)C

p2-4q<O1t=a+βyr=a-βαv

∖∖1∖y=e(C1cosβx+C2sinβx)

由此得到，解二阶常系数线性齐次微分方程y"+py'+qy=O(其中p,g均为常数)

的步骤为：

(1)写出特征方程，+pr+q=O；

(2)求出特征方程的两个根4,今；

(3)根据表(4T)写出方程的通露___________________________________________

知识巩固

例1解微分方程y"-2y'_3y=0.在教

解特征方程为r2-2r-3=0,师引

特征根为∕]=-l.∣2=3.领下

完成

故方程的通解为y=Ger+c∙2e3Λλ

例2解微分方程y"-4y+5y=0.

解特征方程为r2-4r+5=0,

,

此时判别式∆=(-4)2-20=^<0,30

故方程没有实数根，利用求根公式有

4+√≡42

r=-------=2±1,

2

即特征根为rλ=2-i,e=2+i.

2x

故方程通解是y=e(C1cosx+C2sinx).

t

例3求微分方程y"+2y'+y=0满足初始条件yI*=。=。，y∣λ≡0=1的特解.

解特征方程为尸+2r+l=0,________________________________________

特征根为4=4=一1,

X

故方程通解为y=(G+C1X)Q.(1)

xv

又V=C2e~+(C1+C2x)∙(-e^∙).(2)

将初始条件y∣4θ=O,y'U0=l代入⑴、⑵得G=0,C2=1.

所以，方程满足初始条件的特解为y=xe-1

练习4.3.1学生

L求下列微分方程的通解课上

(1)y"+4y'+3j=0；(2)yn-2y'+3γ=0.完成

2.求微分方程yn+2y'+y^0,满足初始条件j(0)=4,y'(0)=-2的特解.40'

新知识：二阶常系数线性微分方程及解的结构，二阶常系数线性齐次微分方程的45'

通解。__________________________________________________________________________

袍

1.梳理4.3.1节知识内容；

2.完成习题册作业4.3.L

4.3.2二阶常系数线性非齐次微分方程

教学目标：

(1)了解二阶常系数线性非齐次微分方程及解的构成；

λx

(2)学会求/a)=/；,*)/，、f[x}=ePn∖x)cosβx./(x)=/S.(x)sin£x的二阶常系数

线性非齐次微分方程的特解和通解。

教学重点：

二阶常系数线性非齐次微分方程通解。

教学难点：

根据f(x)的不同形式设出二阶常系数线性非齐次微分方程一个特解的过程。

授课时数：2课时.

教学过程

__________________M__________________备注

1."X)=月"(x)e"的情形

教师

新知识讲授

下面研究微分方程

y"+py'+qy=Pm(x)e".(4.8)

其中乙。)是*的加次多项式，/1是常数._______________________________________10，

可以证明，方程(4.8)具有形如y*=∕Q,(X)/*的特解，其中2“(X)是与Pm(X)

同次多项式，而上的值与/1有关，如表4-2所示.

____________________________表4-2_____________________

/(X)的形式九的值特解y*的形式

/1不是特征根y*=Q,G)eL

λx

f(x)=Pm(x)e4是特征单根y*=χQm(X)*

4是特征双根>*=、2”(机丁

这样，解微分方程(4.8)的步骤为

(1)求出方程<+外'+社=0的通解；

(2)根据表4-2设方程(4.8)特解y*=∕Q,,,(x)/，代入(4.8)确定Qm(X),

从而得到特解；

(3)根据定理3写出方程的通解.

知识巩固

例4解微分方程y"-2y'-3y=3x+l.在教

解对应的齐次方程为y"-2y-3y=0,其特征方程为尸一2r-3=0,解得特征师引

根为弓=T,∕¾=3.领下

共同

所以y"—2y'—3y=0的通解为Y=GeT+c/，.

完成

由于f(x)=3x+l,4=0不是特征根，故设y*=∕¾x+6∣.于是y*'=∕¾,y*"=0.

代入原方程，整理得

30,

-3⅛0x-2⅛0-3b1=3x+1.

比较两边同次幕的系数得

-3⅛=3,-2⅛0-3⅛1=1,即∕¾=-l,hlɪɪ,

因此j*=-x+l.

所以原方程的通解为y=y+y*=GeT+c∙2e3∙v.x+l.

例5解微分方程y"+6y'+9y=5xe-3x.

解对应的齐次方程为y"+6y'+9y=0,其特征方程为尸+6r+9=0.解得特征

根为4=e=一3.

所以，齐次方程的通解为y=(G+C2χ)e-3χ.

由"x)=5xe-3*知，&(χ)=5x,4=-3.由于2=-3是特征重根.故设

23x

y*=x(b0x+bl)e-.于是

32-3jc

y*'=[-3∕¾X+3(瓦-ZJ1)x+2⅛∣xJe,

32-3x

y*〃=[9⅛X-9(2⅛-⅛1)x+6(⅛-2⅛l)x+2⅛1]e.

将y*,y*',y*"代入原方程，整理得

6⅛0x+2/4=5x,

比较两边的同次事系数得6∕¾=5,24=O,即4=0.

6

于是y*=≥√e-3∖

___________________.6_____________________________________________________

所以原方程的通解为y=y+y*=(G+CzX+"卜3χ.

例6求微分方程y"+y=2/-3满足初始条件y1=0=1,y1=O=2的特解.

解对应的齐次方程为y"+y=0,其特征方程为r+1=0.解得特征根为

r=±i,

故齐次方程的通解为V=C1cosx+C2sin.r.

这里月,,(x)=2χ2-3,2=0.由于2=0不是特征根，故设y*=%χ2+仿X+%,

于是

y*'=2bax+bl,y*"=2∕¾.

将y*,y*，，y*〃代入原方程得

22

h0x+⅛∣jc+(2feo+⅛2)=2X—3.

比较两边的同次幕系数得

⅛0=2,4=0,2ba+b2=—3,即％=2,伪=0,b2=-l.

于是>∙*=2X2-7.

2

所以原方程的通解为y=F+y*=Gcosx+C2sinx+2Λ^-7.

由初始条件yIX=O=1,∕∣x=o=2,得G=8，C2=2.

所以原方程满足初始条件的特解是y=Y+)，*=8cosx+2sinx+2x2-7.

λx

2.∕(Λ)=ePm{x)c03βx或"X)=e"V"(x)sin夕X的情形

新知识

λx

可以证明，微分方程y"+py'+qy=ePm(X)cosβx或