控制系统的稳定性

关于控制系统的稳定性2一、介绍系统稳定性的基本概念，判断系统稳定性的基本出发点二、系统稳定的充分必要条件本章内容三、代数判据（Routh、Hurwitz判据）四、Nyquist判据的基本原理和方法，Bode判据五、相对稳定性的概念六、掌握相位裕量和幅值裕量的概念及计算方法明确重点掌握第2页,共55页，2024年2月25日，星期天3

稳定的定义：

若一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，经过充分长的时间，这个系统又能够以一定的精度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，否则不稳定。5-1.系统稳定性的基础概念第3页,共55页，2024年2月25日，星期天4控制系统在实际运行过程中，总会受到外部和内部的扰动，如火炮射击时，施加给随动系统的冲击负载；雷达天线跟踪时，突然遇到阵风。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的措施，是自动控制的基本任务。第4页,共55页，2024年2月25日，星期天5注意事项：1.线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。2.稳定性也与外加扰动无关。第5页,共55页，2024年2月25日，星期天6一般反馈系统的传函为：二、稳定条件设分母=0，可得出系统的特征方程：第6页,共55页，2024年2月25日，星期天7(一)稳定条件：系统的稳定性决定于特征方程。只要指出特征方程的根落在[s]复平面的左半部分，系统即是稳定的。(二)分析线性稳定的条件：

设线性系统在初始条件为0时，输入一个理想单位脉冲函数

，这时系统的输出是单位脉冲响应，这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡点的情形。

若线性系统的单位脉冲响应函数随时间的推移趋于0，即：，则系统稳定；若，则系统不稳定。第7页,共55页，2024年2月25日，星期天8若或等幅振荡临界稳定状态。但由于参数变化等原因，等幅振荡不能维持不稳定。L可知，要满足，只有当特征根全部为负实部第8页,共55页，2024年2月25日，星期天9

系统稳定的充要条件：稳定系统的特征方程根必须全部具有负实部，反之，若特征根中有一个以上具有正实部时，则系统必不稳定。或系统传函的极点全部位于[s]复平面的左半部。若有部分闭环极点位于虚轴上，而其余极点全在[s]平面左半部时，便会出现前边所述的临界稳定性状态，系统处于等幅振荡状态，从设计角度不可取（很容易转化为不稳定系统）。第9页,共55页，2024年2月25日，星期天101.直接计算或间接得知系统特征方程式的根（直接求解）直观，对高阶系统是困难的2.通过系数和特征根的关系（劳斯判据）为此，不必解出根来，而能决定系统稳定性的准则就具有工程实际意义。三、判别稳定性的方法第10页,共55页，2024年2月25日，星期天11线性定常系统稳定全部特征根均具有负实部。只有求出全部极点判稳但阶次往往较高（实际工程中），不使用计算机直接求根较困难（n>4），这样就提出了各种不解特征方程的根，只讨论特征根的分布，从而判断系统稳定性的方法。[1884，Routh提出的Routh判据；1895，Hurwitz提出Hurwitz判据]5-2.Routh（劳斯）稳定判据

【Hurwitz（赫尔维兹）】第11页,共55页，2024年2月25日，星期天121、必要条件：设系统的特征方程为：一、劳斯判据第12页,共55页，2024年2月25日，星期天13第13页,共55页，2024年2月25日，星期天14由上式可知，要使全部特征根均具有负实部，必须满足如下2个条件：(1)特征方程的各项系数ai(i=0,…,n)不等于0.(2)特征方程的各项系数ai(i=0,…,n)符号都相同，一般ai>02.充要条件：Routh阵列中第一列所有项均为正，且值不为0第14页,共55页，2024年2月25日，星期天15Routh阵列表第15页,共55页，2024年2月25日，星期天16系数Ai、Bi的计算，一进行直到其余Ai、Bi…等于0为止。第16页,共55页，2024年2月25日，星期天17这种计算一直进行到最后一行被算完为止，S0行仅有一项且F1=a0。为简化数值运算，可用一个正整数去乘或除某一整行的所有元素。Routh判据还说明：实部为正的特征根数等于Routh阵列中第一列的系数符号改变的次数。第17页,共55页，2024年2月25日，星期天18解：ai>0满足必要条件例1.设控制系统的特征方程式为：

试判断系统的稳定性。Routh阵列：由第一列看出：全为正值，故稳定。第18页,共55页，2024年2月25日，星期天19……………….符号改变一次例2.

由第一列看出，改变符号2次，说明闭环系统又2个正实部的根，故不稳定。解：……………….符号改变一次第19页,共55页，2024年2月25日，星期天20对于特征方程阶次低(n≤3)的系统，Routh判据可化为不等式组的简单形式。二阶系统：所以，二阶系统稳定的充要条件：

ai>0第20页,共55页，2024年2月25日，星期天21三阶系统：所以，三阶系统稳定的充要条件：ai>0且第21页,共55页，2024年2月25日，星期天22例3.设某反馈控制系统如图所示，试计算使系统稳定的K值范围。解：系统闭环传函：特征方程为：第22页,共55页，2024年2月25日，星期天233.Routh判据的特殊情况(1)若在Routh阵列表中任意一行的第1个元素为0，而后各元素不为0，则在计算下一个元素时趋于无穷，将无法进行下去。此时可用ε趋于0代替，再计算。例4：因为第1例各元素符号不完全一致，系统不稳定，第一列各元素改变次数为2，所以有2个具有正实部的根。第23页,共55页，2024年2月25日，星期天24例5：第一列中除ε外均为正，所以没有正实部的根，

行为零，说明有虚根存在。实际上：，临界稳定。第24页,共55页，2024年2月25日，星期天25若在Routh阵列表中，某行的各元素全部为0，可利用改行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并利用这个多项式方程的导数的系数组成表中的下一行，然后继续往下做。第25页,共55页，2024年2月25日，星期天26例6：

辅助多项式：对A(s)进行求导：第26页,共55页，2024年2月25日，星期天27从表中可知：第1例系数无变号，说明系统无右根。但因为S3辅行的各项系数全为0，说明虚轴上有共轭虚根。辅助方程：系统处于临界稳定。第27页,共55页，2024年2月25日，星期天28设系统特征方程为：二、Hurwitz判据各系数排成如下的nxn阶行列式：第28页,共55页，2024年2月25日，星期天29系统稳定的充要条件：主行列式△n条及其对角线上各子行列式△1△2

…△（n-1）均具有正值。二、Hurwitz判据即：由于这个行列式直接由系数排列而成，规律简单而明确，使用也较方便。但对六阶以上的系统，由于行列式计算麻烦，较少用。第29页,共55页，2024年2月25日，星期天30例7：

所以该系统稳定。第30页,共55页，2024年2月25日，星期天31Routh判据和Hurwitz判据都是用特征根与系数的关系来判断稳定性的，他们之间有一致性。又称Routh—Hurwitz判据（代表判据）。但：其对于带延迟环节等系统形成的超越方程无能为力局限性而Nyquist判据能判别带延迟环节系统的稳定性应用广泛第31页,共55页，2024年2月25日，星期天§5.3Nyqwist稳定性判据1932年H.Nyqwist提出稳定判据，1940年后得到广泛应用。利用开环系统的Nyqwist图判断闭环系统的稳定性几何判据无需求闭环系统的特征根，而通过分析法或频率特性实验法得开环频率特性曲线分析闭环系统的稳定性。进而第32页,共55页，2024年2月25日，星期天33这种方法在工程上获得了广泛的应用，因为：（一）当系统某些环节的传递函数无法用分析法描述时，可通过实验来获得这些环节的频率特性曲线；整个系统的开环频率特性曲线也可利用实验获得，这样，就可分析系统闭环后的稳定性。第33页,共55页，2024年2月25日，星期天（二）Nyqwist判据可解决代数判据不能解决的诸如包含延时环节的系统稳定性问题。（三）Nyqwist判据还能定量指出系统的稳定储备，即：系统相对稳定性定量指标，以及进一步提高和改善系统动态性能（包括稳定性）的途径。第34页,共55页，2024年2月25日，星期天35闭环控制系统的一般形式：其开环传函为：第35页,共55页，2024年2月25日，星期天36开环传递函数为闭环传递函数为

把闭环特征多项式和开环特征多项式之比称之为辅助函数，记作F(s)，F(s)仍是复变量s的函数。=1+Gk(s)第36页,共55页，2024年2月25日，星期天37

显然，辅助函数和开环传函之间只相差1。F(s)可改写为：F(s)具有如下特征：

1）其零点和极点分别是闭环和开环特征根；2）F(s)和G(s)H(s)只相差常数1。式中，zi和pi分别为F(s)的零点和极点。第37页,共55页，2024年2月25日，星期天

当一动点S在[S]上沿一封闭曲线按顺时针转一周，只需曲线不经过的极点和零点，则在像平面上的像绕原点按顺时针转N周。若Z和P分别为包含在内的的零点和极点的个数。则：N=Z-P—幅角原理简要说明：根据复数性质：两个复数积的幅角=它们幅角的和5.3.1.幅角原理（cauchy定理）第38页,共55页，2024年2月25日，星期天假设封闭曲线内只含一个零点动点S按顺时针方向沿封闭曲线转一周，S点在其像平面上的像轨迹的情况可通过幅角变化来判断。第39页,共55页，2024年2月25日，星期天复数和在[S]平面上的向量分别由和指向S若动点S按顺时针沿转一周，只有向量的幅角变化是，即其余均是0.说明向量端点的轨迹按顺时针方向绕[F]平面原点转一周。第40页,共55页，2024年2月25日，星期天41同理：若在[S]平面上的封闭曲线内含有的一个极点，当动点S按顺时针沿转一周，则向量端点的轨迹按逆时针方向绕[F]平面原点转一周。所以若在[S]平面上的封闭曲线内含有的P个极点和Z个零点，当动点S按顺时针沿转一周，向量端点的轨迹按顺时针方向[F]平面原点转的周数为N=Z-P.第41页,共55页，2024年2月25日，星期天5.3.1Nyqwist稳定判据1.在平面上的Nyqwist稳定判据现在把动点S在[S]平面上的轨迹扩大到整个[S]平面的右半边：让动点S沿[S]虚轴由，再以为半径顺时针转半个圈回到，这样画出的包含了整个[S]的右半平面，称此封闭路径为Nyqwist路径。第42页,共55页，2024年2月25日，星期天若一个系统是稳定的，则其在整个[S]平面的右半边极点，即F(S)在[S]右边无零点Z=0.此时，若F(S)在[S]的右边P个极点（即：在[S]右边有P个极点）则：若动点S沿路径一圈，则其像轨迹必将在平面内逆时针绕原点P圈。第43页,共55页，2024年2月25日，星期天Nyqwist稳定判据：若系统在[S]平面的右半边有P个极点，当动点S沿Nyqwist路径顺时针转一圈时，其像轨迹在平面内逆时针绕原点转P圈，则系统稳定。2.在平面上的Nyqwist稳定性判据。将,

,平面是将平面的虚轴向右移1个单位.第44页,共55页，2024年2月25日，星期天45[GH]平面上的点就是平面上的原点.所以在平面上绕转N圈=在平面上包围原点转N圈。分母的阶数n不小于分子的阶数第45页,共55页，2024年2月25日，星期天以为半径在[S]平面右半边画半圆弧时，在[GH]平面上的像只是一个点，一个点对包围点来说不产生影响，所以动点S沿Nyqwist路径顺时针转一圈，只考虑的映射即可。第46页,共55页，2024年2月25日，星期天Nyqwist稳定判据：若系统在[S]平面的右半边有个P个极点，当由时，在平面[GH]上的像轨迹绕点逆时针转P圈，则闭环系统是稳定的。因为像是对称的，故可只画出所对应的像轨迹若此像轨迹绕点逆时针转的圈数则系统稳定。第47页,共55页，2024年2月25日，星期天三.Nyqwist应用举例1.开环传函中无S=0的极点。Eg1.一闭环系统的开环传递函数为：其中：在[GH]面上的像包围点逆时针转一圈，如图示，试问此闭环系统是否稳定。第48页,共55页，2024年2月25日，星期天49在GH平面上开环极坐标图在

=0时，小半圆映射到GH平面上是一个半径为无穷大，从

=0

到

=0+顺时针旋转N•180°的大圆弧。如此处理之后，就可以根据奈氏判据来判断系统的稳定性了。0+2.开环有积分环节的系统

由于开环极点因子1/s

，既不在的s左半平面，也不在的s右半平面，开环系统临界稳定。在这种情况下，不能直接应用奈氏判据。

j

0

如果要应用奈氏判据，可把零根视为稳定根。因此，在数学上作如下处理：在平面上的s=0邻域作一半径无穷小的半圆，绕过原点。0

第49页,共55页，2024年2月25日，星期天50用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数，知p=0

（2）作开环极坐标图起点：Gk(j0)=

90

终点：Gk(j

)=0

270

与坐标轴交点：例

已知系统的开环传函为令虚部=0，得，第50页,共55页，2024年2月25日，星期天51系统的开环极坐标图如图示：N=

2

z=p

N=2

∴闭环系统是不稳定的。当ImRe0

=0+

增补线

1

=0-R=0

z=p

N=0

∴闭环系统是稳定的。当所作的增补线如虚线所示。>

1第51页,共55页，2024年2月2