《自动控制原理》课件第8章

第一节采样系统的基本概念第二节采样过程及采样定理第三节信号保持器第四节Z变换第五节采样系统的数学模型第六节采样控制系统的分析第八章采样控制系统

第一节采样系统的基本概念

一、离散时间信号

在采样系统中,信号是用离散时间的数字序列表示的。序列中的第N个数字记做x(NT),全部信号序列可写为

(8-1)

其中,N取整数。图8-1为离散时间数字序列常用图形描述。虽然图中横坐标画成一条连续的直线,但x(NT)仅仅对于整数N值才有定义,而对于非整数N值,x(NT)是没有定义的。图8-1常用离散序列二、采样控制系统

实际上,当控制系统间断地获得控制或测量信号时,就变成了离散系统。由图8-2(a)可知,连续系统是利用连续的反馈信号b(t)与连续的输入信号r(t)进行比较后的连续误差信号e(t)来控制的。而对于离散系统,如图8-2(b)所示,反馈信号和输入信号进行比较的是断续信号(断续信号均用带“*”表示),误差信号

e*(t)=r*(t)－b*(t)

也是断续信号,系统是利用断续的误差信号控制的。图8-2典型反馈系统方块图在图8-2(b)中,断续信号由采样开关S重复地开关获得。把连续信号变成脉冲(或数字)序列的过程就叫采样。因此,图8-2(b)实际就是采样控制系统。其中,Gh(s)为采样保持器。

如果图8-2(b)采样系统两个采样开关同步,则可等效为图8-3,它为采样系统的典型结构。图8-38-2(b)图的等效结构图图8-3中的误差连续信号e(t)的波形图、e(t)经采样开关采样后e*(t)的波形图和采样信号e*(t)经保持器保持后的信号eh(t)波形图，如图8-4所示。图8-4波形图采样系统用数字式控制器或数字计算机作为校正装置构成了数字式控制系统,其原理方块图如图8-5所示。图8-5数字控制系统由此可见,A/D和D/A转换器都起着模拟量和数字量之间转换的作用。当假设转换有足够精度时,则可以近似认为转换有唯一的对应关系。对系统特性来说,转换器相当于前述系统中的一个比例系数,不对系统特性分析起实质影响,可以略去或归并到其他元件中去。此时,A/D转换器就仅相当于一个采样开关,D/A相当于保持器,这时图8-5可以简化成图8-6。图8-6采样、数字控制系统三、采样控制系统的优点

采样和数字控制技术在自动控制领域中得到了广泛的应用,主要原因是由于采样控制系统特别是数字控制系统与一般连续控制系统比较具有下列优点。

1.精度高

2.灵敏度好

3.抑制噪声能力强

4.控制灵活

5.设备利用率高第二节采样过程及采样定理

一、采样过程及数学描述

如前所述,在采样系统中,把连续信号转换成脉冲或数字序列的过程,称做采样过程。实现采样的装置叫做采样开关或采样器,用S表示。如果采样开关S以周期T时间闭合,并且闭合的时间为τ,这样就把一个连续的函数e(t)变成了一个断续的脉冲序列e*(t)(t=0,T,2T,…),如图8-7所示。图8-7采样过程由于采样开关S闭合持续时间很短,即τ<<T,因此在分析时可以近似地认为τ≈0。这样可看出,当采样器输入为连续信号e(t)时,输出采样信号就是一串理想脉冲,采样瞬时e*(t)的脉冲等于相应瞬时e(t)的幅值,即e(0T),e(T),e(2T),e(3T),…,e(NT),…,如图8-8所示。图8-8τ≈0的采样过程根据图8-8可以写出采样过程的数学描述为

(8-2)

或

(8-3)式(8-3)也可写成

(8-4)图8-9采样脉冲调制过程二、采样定理

一般采样控制系统加到控制对象上的信号都是连续的信号,那么如何将离散的采样信号不失真地恢复到原来的形状,也就是采样频率如何选取的问题。采样定理便说明了这一问题。首先,求取单位脉冲序列δT(t)的富氏级数。因为δT(t)为周期函数,可以展开为复数形式的富氏级数,即

(8-5)式中,ωs为采样角频率,T为采样周期,CN为富氏级数系数,它由下式确定

(8-6)

因为δT(t)仅在t=0处有值,而在积分区间其余时间为零,故

(8-7)将式(8-7)代入式(8-5),得

(8-8)

将式(8-8)代入式(8-4),得

(8-9)对式(8-9)进行拉氏变换,用E*(s)表示,可得

根据拉氏变换的位移定理,如果输入连续信号e(t)的拉氏变换为E(s),则

(8-10)相应可以得到采样信号的频率特性为

(8-11)

E(jω)为连续信号e(t)的频率特性,｜E(jω)｜为e(t)的频谱。一般说来,连续信号的频带宽度是有限的,其频谱如图8-10(a)所示,包含的最高频率为ωmax。采样信号E*(t)具有以采样频率ωs为周期的无限多个频谱,如图8-10(b)所示。图8-10e(t)和e*(t)的频谱如果连续信号e(t)所含的最高频率为ωmax,则相邻两频谱互不重叠的条件为

ωs≥2ωmax

(8-12)

即如果被采样的连续信号e(t)的频谱为有限宽度，且频谱的最大宽度为ωmax,又如果采样角频率ωs≥2ωmax,并且采样后再加上如图8-11所示理想滤波器,则连续信号e(t)可以不失真地恢复出来。这就是著名的采样定理，也称为香农定理(ShannonTheorem)。图8-11理想滤波器的频率特性第三节信号保持器

一、保持器

为了实现系统的控制,采样信号就需要恢复成连续的信号。根据采样定理,当ωs≥2ωmax时,离散信号的频谱彼此互不重叠。这时用一个具有图8-11特性的理想滤波器滤掉高频频谱分量,保留主频谱,从而可无失真地复现原有的连续信号。二、零阶保持器

零阶保持器的作用:使采样信号e*(t)每一采样时刻NT的采样值e(NT)(N=0,1,2,…)不增不减地一直保持到下一个采样时刻(N+1)T,从而使采样信号e*(t)变成阶梯信号eh(t),其关系如图8-12所示。因为eh(t)在每个采样区间内的值均为常数,其导数为零,故称之为零阶保持器。图8-12零阶保持器的输入-输出特性三、零阶保持器的数学描述

为了方便地分析系统,有必要求出零阶保持器的传递函数和频率特性。由零阶保持器的作用可知,在某一瞬时,如果零阶保持器输入为单位理想脉冲函数δ(t),那么零阶保持器的输出是幅值为1、持续时间为T的脉冲响应函数gh(t),如图8-13(a)所示。图8-13零阶保持器的脉冲响应函数根据叠加原理,零阶保持器的脉冲响应函数可分解为两个阶跃函数之和,即可表示为

如图8-13(b)所示。对上式进行拉氏变换,可得

(8-13)

即单位脉冲响应函数的拉氏变换,就是零阶保持器的传递函数。用jω代替式(8-13)中的s,可得零阶保持器的频率特性若以采样频率ωs=2π/T来表示,则

(8-14)

图8-14表示了零阶保持器的幅频特性｜Gh(jω)｜和相频特性∠Gh(jω)。图8-14零阶保持器的幅频和相频特性曲线四、零阶保持器的特点

从图8-14可看出,零阶保持器的幅值随频率ω的增大而衰减,具有明显的低通滤波特性。因此,可将零阶保持器看成低通滤波器,但不是理想的低通滤波器。五、零阶保持器的实现

零阶保持器可采用无源网络来近似实现。如果将零阶保持器传递函数中的展开成幂级数,即假若取级数的前两项,可得

(8-15)

这可用图8-15所示的RC无源网络来实现。假若取幂级数的前三项,则

(8-16)

式(8-16)可用图8-16所示的RLC无源网络来实现。图8-15用RC无源网络近似实现零阶保持器图8-16用RLC无源网络近似实现零阶保持器第四节Z变换

在连续量的系统中,采用了拉氏变换求解微分方程,并直接定义了传递函数,成为研究控制系统的基本工具。在采样系统中,连续量离散成了离散量,将拉氏变换用于离散量中,就得到了所谓的Z变换。一、Z变换定义

对式(8-3)进行拉氏变换,有

(8-17)

式中,e－Ts是s的超越函数,直接运算不方便,为此,引入变量

(8-18)式中,z和s一样是复变量,或者说是z平面定义的复变量,T为采样周期。把式(8-18)代入式(8-17),就得到了以z为自变量的函数E(z),即有

(8-19)

定义式(8-19)为采样信号e*(t)的Z变换,用下列符号表示

(8-20)因为Z变换只对采样点上信号起作用,所以也可写成

(8-21)

式(8-17)~(8-21)表明，Z变换就是对采样信号e*(t)进行拉普拉斯变换并通过变量替换而推演得出。二、典型函数的Z变换

1.单位脉冲函数

设e(t)=δ(t),因e*(t)=δ(t)，所以e*(t)的拉氏变换为

由式(8-18)可得,代入上式可得

(8-22)

2.单位阶跃函数

设e(t)=1(t),因

所以故

(8-23)

3.单位速度函数

设e(t)=t,由式(8-19)可得对式(8-23)中的等式两边求导数,并将和式与导数交换,得

两边同乘(－Tz),得

(8-24)

4.指数函数

设e(t)=e－at,a为实常数。根据Z变换定义可得e－at的Z

变换为

因上式为等比级数,所以当｜e－aTz－1｜＜1时,该级数可表示为

(8-25)

5.正弦函数

设e(t)=sinωt,根据欧拉公式可知

因此,再根据式(8-25)就可以得到sinωt的Z变换表达式为

(8-26)

6.控制系统中G(s)的Z变换

设

(8-27)

首先将G(s)进行部分分式展开为

其次求G(s)的拉氏反变换最后利用式(8-23)和式(8-25)求出式(8-27)函数的Z变换

为

(8-28)

要注意G(s)与G*(s)的本质区别,不能直接将代入G(s)中求得G(z)。因为G(s)≠G*(s)。

表8-1列出了常用函数的拉氏变换式和对应的Z变换式。表中,e(N)就是e(t)在采样时刻的值E(NT)的简写。三、Z变换基本定理

Z变换的基本定理反映了Z变换的重要性质和运算关系,利用这些性质和关系,可以方便地求出某些函数的Z变换,或者根据Z变换求出原函数。

1.线性定理

设e1(t)和e2(t)的Z变换分别为E1(z)和E2(z),并且A和B为常数,则有

(8-29)

证明根据Z变换定义

2.滞后定理

设e(t)的Z变换为E(z),则有

(8-30)

证明根据Z变换定义由图8-17可知,当N＜k时,e(NT－kT)=0,因此上式中第一项等于零,第二项中令m=N－k,则图8-17e(t－kT)和e(t+kT)的波形图

例8-1

已知e(t)=1(t－mT),求它的Z变换。

解由式(8-23)可知,根据滞后定理可求得

3.超前定理

设e(t)的Z变换为E(z),则有

(8-31)

证明根据Z变换定义

4.复数位移定理

设e(t)的Z变换为E(z),则

(8-32)

证明根据Z变换定义令z1=ze±aT,则上式为

例8-2

已知E(t)=e－atsinωt,求它的Z变换。

解根据复数位移定理,用z1=eaTz代替式(8-26)中的z,得

5.初值定理

设e(t)的Z变换为E(z),并存在极限则

(8-33)

证明根据Z变换定义因为

所以

6.终值定理

设e(t)的Z变换为E(z),并且存在,则

(8-34)

证明根据Z变换定义又根据超前定理

将上两式相减，得对上式两边分别取极限后得到

比较左右两边式子,从中得到

7.复微分定理

设e(t)的Z变换为E(z),则有

(8-35)

证明根据Z变换定义对上式两边对z求导数后得到

所以

8.相似定理

设e(t)的Z变换为E(z),则有

(8-36)

(8-37)证明式(8-36),根据Z变换定义

所以

同理可证明式(8-37)。四、Z反变换

对Z域函数求时间域函数的过程称为Z反变换。用符号

表示,即

求反变换的方法有级数展开法、部分分式法和反演积分法等三种。

1.级数展开法

级数展开法又称长除法,即把E(z)展开成为z－1升幂排列的幂级数。

一般E(z)是z的有理函数,可表示为两个z的多项式之比,即

(8-38)

对上式用分子除以分母,并将商按z－1升幂的规律排列后为

(8-39)根据Z变换定义,可得

由此可见,z－k次项的系数ck就是在采样时刻t=kT的函数值e(kT),即ck=e(kT)。因此,只要求出系数c1,c2,c3,…,ck,便可得到时间函数e(t)在采样点的函数值序列。

例8-3

设求Z反变换。

解

可列如下长除式:从而得到

2.部分分式法

例8-4

设用部分分式法求e*(t)。

解首先将E(z)/z用部分分式法分解

所以从表8-1中查得

因此有即

所以

这个结果与例8-3完全一致。

3.反演积分法

应用复变函数中的柯西定理,可将Z域函数通过反演积分求出相应时间函数,即Z变换。反演积分公式为

(8-40)

该积分可用留数法求得,即

(8-41)

Res指求留数,zi是E(z)的极点,n为E(z)极点个数。

例8-5

求例8-3中的E(z)反变换(用反演积分法)。

解

第五节采样系统的数学模型

一、差分方程

1.差分的概念

设连续函数为e(t),其采样函数为e(NT),为书写方便,令

则一阶前向差分定义为

(8-42)二阶前向差分定义为

(8-43)

n阶前向差分定义为

(8-44)

同理,一阶后向差分定义为

(8-45)二阶后向差分定义为

(8-46)

n阶后向差分定义为

(8-47)

2.采样系统的差分方程

对连续系统而言,系统的数学模型可用微分方程来表示,即

(8-48)设连续输入信号r(t)如图8-18所示,采样周期为T,当T足够小时,t=NT处的函数的一阶导数近似为

上式可简写为

(8-49)图8-18连续函数r(t)的采样同理,可导出二阶差分为

(8-50)

如此可以一直写出n阶导数。

同样方法,输出信号c(t)的各阶导数也能写出。所以,采样系统的一般差分方程的表达式为

(8-51)

3.差分方程的求解

例8-6

用Z变换法求下式二阶差分方程。

(8-52)

其中,初始条件为c(0)=0,c(T)=1。

解设c(N)的Z变换为C(z),即根据超前和滞后定理,可得

(8-53)

(8-54)

对式(8-52)进行Z变换,并将式(8-53)和式(8-54)及初始条件

代入,经整理得查表8-1,可求出上式Z反变换为

所以二、脉冲传递函数(Z传递函数)

1.脉冲传递函数定义

在线性连续系统中,当系统的初始条件为零时,把系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比,定义为系统的传递函数,并用它来分析和研究系统的性能。在图8-19(a)所示的采样系统中,脉冲传递函数为

(8-55)

若已知R(z)和G(z),则在零初始条件下,可求出系统的输出采样信号为图8-19采样系统结构图

2.脉冲传递函数求法

(1)若已知系统的传递函数G(s)或脉冲响应函数g(t),则可以通过对G(s)进行Z变换或根据式(8-19)求出g(NT)的Z变换G(z)。

(2)若已知系统的差分方程,则对差分方程进行Z变换,从而求出脉冲传递函数。

例8-7

求图8-20所示系统的脉冲传递函数。

解将系统的G(s)用部分分式法展开图8-20例8-7采样系统由表8-1可查到

所以

3.串联环节的脉冲传递函数

在采样系统中,环节相串有两种不同的情况,如图8-21和图8-22所示。图8-21中间有采样器的开环串联系统图8-22中间无采样器的开环串联系统

1)串联之间有采样器

如图8-21所示,采样器K1和K2是同步的,显然

所以,开环系统的脉冲传递函数为

(8-56)上式表明,被采样器分隔的两个线性环节串联时,其脉冲传递函数等于这两个环节的脉冲传递函数的乘积。这个结论可以推广到n个环节串联而各相邻环节之间都有采样器分隔的情况。此时,整个开环系统总脉冲传递函数等于各个环节的脉冲传递函数的乘积。即

(8-57)

2)串联之间无采样器

如图8-22所示,G1(s)和G2(s)之间无采样器。此时应把G1(s)和G2(s)合并看成一个环节，即

G(s)=G1(s)G2(s)

这样就可对G(s)求Z变换,从而求出开环系统的脉冲传递函数为

(8-58)注意:式(8-56)与式(8-58)是有区别的,即

G1(z)G2(z)≠G1G2(z)

式(8-58)表明,无采样器分隔的两个线性环节串联时,其脉冲传递函数等于这两个环节脉冲传递函数之积的Z变换。显然,这个结论也可以推广到n个环节直接串联的情况。即

(8-59)

例8-8

求图8-23所示两种串联连接系统的脉冲传递函数。

解对图8-23(a)所示系统,根据式(8-56)可求得系统的

脉冲传递函数为图8-23例8-8两种串联连接采样系统对图8-23(b)所示系统,由式(8-58)求得系统的脉冲传递函数为

显然

G1(z)G2(z)≠G1G2(z)

4.带有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数

带有零阶保持器的开环系统如图8-24(a)所示。图中,零阶保持器的传递函数为图8-24带有零阶保持器的开环系统在图8-24(b)中,把输出采样信号C*(t)看成是由两部分组成,一部分是r*(t)经过G2(s)所产生的响应c1*(t),所对应的Z变换为

C1(z)=G2(z)R(z)

其中,另一部分是r*(t)经e－TsG2(s)所产生的响应c*2(t),由于

e－Ts是延迟了一个采样周期T的延迟环节,因此,c*2(t)比

c*1(t)延迟了一个采样周期。根据Z变换的滞后定理可知

c*2(t)的Z变换为

所以故开环系统的脉冲传递函数为

(8-60)

例8-9

求图8-25所示系统的脉冲传递函数。

解由图可知,图8-25例8-9系统结构图对上式进行Z变换,即

根据式(8-60)可求得系统的开环脉冲传递函数为

5.闭环系统的脉冲传递函数

1)常见的闭环采样系统

图8-26为比较常见的采样系统结构图。图中输入端和输出端的采样开关是为了便于分析而虚设的(图中虚线所示),并且都以周期T同步工作。图8-26闭环采样系统结构图由图8-26可知,

对上两式进行采样后得

(8-61)

(8-62)其中

将式(8-62)代入(8-61),可得

对上式进行Z变换后为所以系统的闭环脉冲传递函数为

(8-63)

对式(8-62)进行Z变换,得

上式经整理后为E(z)称为系统误差信号的Z变换,所以系统的误差脉冲传递函数为

(8-64)

与连续系统相似,把Φ(z)或Φe(z)看做为零的等式,即闭环系统特征方程式为

1+GH(z)=0

(8-65)

式中,GH(z)为闭环系统的开环脉冲传递函数。对于单位反馈系统,H(s)=1,闭环脉冲传递函数分别为

(8-66)

(8-67)从上两式可看出,采样系统的脉冲传递函数在形式上与连续系统的闭环传递函数相似,但要注意:

2)有数字校正装置的闭环采样系统

图8-27所示的系统中,在前向通道上设置一个数字校正装置D(s),并在D(s)与G(s)之间引入一个采样开关。图8-27具有数字校正装置的闭环采样系统由图可知,

对以上各式分别采样,得从以上式子中可求得

相应的Z变换为所以,系统的脉冲传递函数为

(8-68)

3)r*(t)不存在的闭环采样系统

在图8-28中,连续信号r(t)直接进入连续环节。

由图可知,图8-28r*(t)不存在的闭环采样系统从以上各式可求得

对上式采样,有

对上式进行Z变换得所以

(8-69)

因为

采样后对上式Z变换后为

将式(8-69)代入上式得

(8-70)第六节采样控制系统的分析

一、稳定性

1.S域到Z域的映射

设在s平面上有s=σ+jω(ω=－∞～+∞),经Z变换后,

s平面的s点在z平面上的映象为

(8-71)当σ=0时,｜z｜=1,表示s平面的虚轴映射到z平面上是一个单位圆周。

当σ>1时,｜z｜＞1,表示s平面的右半平面映射到z平面上是单位圆以外的区域。

当σ＜1时,｜z｜＜1,表示s平面的左半平面映射到z平面上是单位圆的内部区域。如图8-29所示。图8-29s平面的左半平面在z平面上的映像

2.稳定条件

上述采样控制系统的稳定条件可用一个采样控制系统(如图8-30所示)来说明。图8-30采样控制系统根据式(8-64),可得

(8-72)

令r(t)=δ(t)、R(z)=1,则根据式(8-63)可知系统的闭环脉冲传递函数为

(8-73)

闭环系统的特征方程为

(8-74)为了便于讨论,设特征方程的根均为单根z1,z2,…,zn,且R(z)=1。这样C(z)可分解为

(8-75)

对上式两边取Z反变换可得

(8-76)由式(8-76)可知,当

｜zi｜＜1

时,即系统特征方程的根全部在单位圆内时,e*(t)收敛,系统稳定。如果有一个根在单位圆外,e*(t)发散,系统不稳定。如果有一个根在单位圆上,系统临界稳定。

3.稳定判据

通过直接求解采样系统特征方程根来判别系统稳定性的方法,一般用于二阶以下的系统。对于高阶采样控制系统,这种方法用起来很困难。所以希望找到一种类似于连续系统的代数判据方法,即利用系统特征方程的系数来判别系统的稳定性。为此,需要对特征方程进行下列变换,称为W变换。令

(8-77)

(8-78)

式(8-77)与式(8-78)表明，复变量z与w互为线性变换，故W变换又称为双线性变换。

1)Z域到W域的映射

设z=x+jy,w=u+jv,将z=x+jy代入式(8-78),得

(8-79)图8-31z平面与w平面的对应关系

2)W域中的劳斯判据

设采样控制系统的特征方程式为

D(z)=0

例8-10

设采样控制系统的闭环特征方程为

试判别系统的稳定性。

解用代入上述方程式,得

用(w－1)3同乘上式两边,整理得由上式可知系统为不稳定系统,因为D(w)方程的系数符号不相同。为判定不稳定系统在Z域单位圆外的极点个数,需列出劳斯行列式表,具体如下：

例8-11

设采样控制系统如图8-32所示,试用劳斯判据方法确定系统开环增益K的稳定范围。

解系统的开环脉冲传递函数为图8-32例8-11的采样控制系统系统的闭环脉冲传递函数为

系统的特征方程式为令代入上式,得

将上式两边同乘以(w－1)2,经整理后为由上式可列出劳斯表,具体如下：为使该系统稳定,则必须劳斯表中第一列元素均大于零,即

所以,当0＜K＜17.3时,系统稳定。

例8-12

设具有零阶保持器的采样系统如图8-33所示,采样周期T=0.2s,试判别系统的稳定性。

解由图8-33可知系统的开环脉冲传递函数为图8-33例8-12的采样控制系统系统的特征方程式为

将代入上式,经整理后得根据上式列出劳斯表如下:

例8-13

已知采样系统如图8-34所示。要求：

(1)计算系统的开、闭环脉冲传递函数G(z)、Φ(z);

(2)确定使该系统稳定的K值的取值范围，并讨论K、Ts对稳定性的影响。图8-34采样系统结构图

解

(1)系统的开环脉冲传递函数为

闭环脉冲传递函数为

(2)闭环特征方程为

则闭环极点z1为若系统稳定，则

即二、稳态误差

在连续控制系统中,系统的稳态误差不仅与系统的结构、参数有关,还与输入信号的性质有关。采样控制系统的稳态误差与连续系统类似,也与这些因素有关。

设采样控制系统如图8-35所示。由图8-35可知,系统为单位反馈采样系统，由式(8-72)可得

(8-80)图8-35采样控制系统根据终值定理,可知系统的稳态误差为

(8-81)

在z平面上极点z=1与s平面上s=0相对应,因此,采样控制系统也可以按其开环脉冲传递函数G(z)有0,1,2,…个z=1的极点而分为0型、Ⅰ型、Ⅱ型、…系统。

1.单位阶跃输入

当r(t)=1(t)时,则

将上式代入式(8-81),得系统的稳态误差为

(8-82)定义

(8-83)

为系统的静态位置误差系数。

对于0型系统,由于G(z)中没有z=1的极点,由式(8-83)可知,Kp为有限值。

由式(8-82)可知对于Ⅰ型或Ⅰ型以上的采样控制系统,由于G(z)中含有一个或一个以上z=1的极点,由式(8-83)可知

所以

2.单位速度输入

当r(t)=t时,则将上式代入式(8-81),可得

(8-84)

定义

(8-85)

为系统静态速度误差系数。

0型系统

Kv=0e(∞)=∞

Ⅰ型系统

令式中,G1(z)中没有z=1的极点。由式(8-85),得

Ⅱ型系统

因G(z)中含有两个z=1的极点,所以

Kv=∞,e(∞)=0

Ⅱ型以上系统

kv=∞,e(∞)=0

3.单位加速度输入

当时,则将上式代入式(8-81),得

(8-86)

定义

(8-87)

为系统静态加速度误差系数。

0型和Ⅰ型系统

由式(8-87)和式(8-86)可知

Ⅱ型系统

因G(z)中含有两个z1=1的极点,所以可将G(z)表示为

其中,G1(z)中不含有z=1的极点。根据式(8-87),可得

Ⅲ型以上系统

由于系统中含有3个以上z=1极点,因此

例8-14已知采样控制系统如图8-36所示。

(1)计算开、闭环脉冲传递函数G(z)、Φ(z)；

(2)确定使系统稳定的K值范围；

(3)计算输入r(t)=atU(