2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题68 圆的方程-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题68圆的方程题型一求圆的标准方程和一般式方程1．已知A(3，－2)，B(－5,4)，则以AB为直径的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100【答案】B【解析】由题意可得圆心为（-1，1），半径为，由圆心和半径可得圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25，选B.2．过三点的圆交轴于两点，则A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆的方程为，将代入，得：，,圆的方程为，令，可得，，则.故选：B.3．求以，，为顶点的三角形的外接圆的标准方程．【答案】【解析】设所求圆的圆心为，标准方程为，则有，解得，所以的外接圆的标准方程为．4．已知点为的直角顶点，，且点的纵坐标大于0．求：（1）向量的坐标．（2）圆关于直线对称的圆的方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，则，解得或．，，.（2）点，的方程为．圆的圆心为，半径为．设所求圆的圆心坐标为，则解得，故所求的圆的方程为：.题型二由标准方程、一般式方程确定圆心和半径5．圆关于点对称的圆的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】圆的圆心为，因为点关于点对称的点为，所以对称圆的圆心为，又因为半径不变，所以所求圆的标准方程为.故选：A6．古希腊数学家同波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，动点满足（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.若，，动点满足，则该圆的圆心坐标为_______.【答案】【解析】设点为,因为,所以,整理可得,即,则圆心为,故答案为:7．方程表示圆C中，则圆C面积的最小值等于________.【答案】【解析】当时，半径最小为，故面积为故答案为8．已知圆：和圆：，点，分别在圆和圆上.（1）求圆的圆心坐标和半径；（2）求的最大值.【答案】（1），半径为；（2）．【解析】（1）圆标准方程是，圆心为，半径为，（2）圆的标准方程是，圆心为，半径为．由（1），所以．题型三圆的标准方程与一般式方程互化9．由曲线围成的图形的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】曲线可化为，当时，解析式为，易知曲线关于x轴，y轴，原点均对称，由题意，作出图形如图中实线所示，则此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成，故所围成图形的面积是.故选：D.10．在圆：中，过点N(1，1)的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（）A． B． C．24 D．6【答案】A【解析】由可得：，故圆心为，半径为，由N为圆内点可知，过N(1，1)最长弦为直径，即AC=6而最短弦为过与AC垂直的弦，圆心到的距离：所以BD=所以四边形ABCD的面积：故选：A11．方程表示一个圆，则m的取值范围是_______【答案】【解析】方程，即表示圆，，求得，则实数m的取值范围为，故答案为：12．已知关于直线对称，且圆心在轴上.（1）求的标准方程；（2）已知动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为，.记四边形的面积为，求的最小值；【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意知，圆心在直线上，即，又因为圆心在轴上，所以，由以上两式得：，，所以.故的标准方程为.（2）如图，的圆心为，半径，因为、是的两条切线，所以，，故又因为，根据平面几何知识，要使最小，只要最小即可.易知，当点坐标为时，.此时.13．已知方程表示的图形是一个圆.（1）求的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程.【答案】（1）；（2）【解析】圆的方程可化为.（1）由题意知，，解得.（2）设圆的半径为，则.因为，所以当时，半径取得最大值.当圆的半径最大时，圆的面积最大，此时所求圆的方程为.题型四二元一次方程表示的曲线与圆的关系14．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是()A．a<－2或a> B．－<a<2C．－2<a<0 D．－2<a<【答案】D【解析】由题意可得圆的标准方程，由解得，选D.15．方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（）A．k∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞) B．k∈(2，+∞)C．k∈(﹣2，2) D．k∈(0，1]【答案】D【解析】由x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0，得，若方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆，则0，即﹣2＜k＜2.∴A，B为方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的既不充分也不必要条件，C为充要条件，而（0，1]⊂（﹣2，2），则D为充分不必要条件.故选：D.16．如图，是边长为1的正三角形，点P在所在的平面内，且（a为常数），下列结论中正确的是A．当时，满足条件的点P有且只有一个B．当时，满足条件的点P有三个C．当时，满足条件的点P有无数个D．当a为任意正实数时，满足条件的点总是有限个【答案】C【解析】以所在直线为轴，中点为原点，建立直角坐标系，如图所示则，，，设，可得，，，∵，∴，化简得：，即，配方，得…（1）当时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；当时，方程（1）的右边为0，表示点，恰好是正三角形的重心；当时，方程（1）的右边大于0，表示以为圆心，半径为的圆，由此对照各个选项，可得只有C项符合题意.故选：C．17．曲线与的四个交点所在圆的方程是________．【答案】【解析】，，故，化简整理得到：，即.故答案为：.题型五圆过定点问题18．已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】方程可化为.曲线恒过定点，，解得或.点在第三象限，，代入直线的方程，可得.故选：.19．已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点为.(1)当切线的长度为时，求线段PM长度.(2)若的外接圆为圆，试问：当在直线上运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；(3)求线段长度的最小值．【答案】（1）8（2）（3）【解析】试题分析：（1）根据圆中切线长的性质得到；（2）设，经过A,P,M三点的圆N以MP为直径，圆N的方程为化简求值即可；（3）（Ⅲ）求出点M到直线AB的距离，利用勾股定理，即可求线段AB长度的最小值.解析：（1）由题意知，圆M的半径r=4，圆心M(0，6)，设PA是圆的一条切线，(2)设，经过A,P,M三点的圆N以MP为直径，圆心，半径为得圆N的方程为即，有由，解得或圆过定点(3)圆N的方程，即①圆即②②-①得：圆M与圆N相交弦AB所在直线方程为：圆心M(0,6)到直线AB的距离弦长当时，线段AB长度有最小值.20．设的顶点坐标是A（0，a），B（，0），C（，0），其中a>0，圆M为的外接圆．（1）求圆M的方程；（2）当a变化时，圆M是否过某一定点?请说明理由．【答案】(1)x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)(0,-3).【解析】(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),∴解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由解得x=0,y=-3