2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题49 分层随机抽样和获取数据的途经-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题49分层抽样和获取数据的途经题型一分层抽样的概念【例1】为了保证分层随机抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求()A．每层不等可能抽样B．每层抽取的个体数相等C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n×eq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)个个体．(其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体的容量)D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制【答案】C【解析】A不正确．B中由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B也不正确．C中对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数无关，即对于每个个体来说，被抽取的可能性是相同的，故C正确．D不正确．【变式1-1】某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽样方法是()A．抽签法随机抽样B．随机数法随机抽样C．直接运用分层随机抽样D．先从老年人中剔除1人，再用分层随机抽样【答案】C【解析】因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层随机抽样．故选C.【变式1-2】在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00,01,02，…，99，用抽签法抽取20个．方法2：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．对于上述问题，下列说法正确的是()①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是eq\f(1,5)；②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征．A．①②B．①③C．①④D．②③【答案】B【解析】根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是eq\f(1,5)，故①正确，②错误．由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法2抽到的样本更有代表性，③正确，④错误．故①③正确．【变式1-3】某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，为了解该地区中小学生的视力情况，最合理的抽样方法是（）A.简单随机抽样B.按性别分层随机抽样C.按学段分层随机抽样D.其它抽样方法【答案】C【解析】因为某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，男、女生视力情况差异不大，则应该按学段分层抽样。【变式1-4】某市为了了解职工家庭生活状况，先把职工按所从事的行业分为8类（每类家庭数不完全相同），再对每个行业抽取的职工家庭进行调查，这种抽样方法是（）A.简单随机抽样B.随机数表法C.分层抽样D.不属于以上几类抽样【答案】C【解析】因为职工所从事的行业有明显差异，所以是分层抽样。题型二分层抽样的计算【例2】某学院三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的专业有380名学生,专业有420名学生，则在该学院的专业应抽取的学生人数为（）A．30B．40C．50D．60【答案】B【解析】C专业的学生有由分层抽样原理，应抽取名.【变式2-1】某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示，电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为()最喜爱喜爱一般不喜欢4800720064001600A．25，25，25，25B．48，72，64，16C．20，40，30，10D．24，36，32，8【答案】D【解析】法一：因为抽样比为＝，所以每类人中应抽取的人数分别为：4800×＝24，7200×＝36，6400×＝32，1600×＝8.法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4800∶7200∶6400∶1600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽取的人数分别为×100＝24，×100＝36，×100＝32，×100＝8.故选：D【变式2-2】某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是（）A．35B．40C．45D．60【答案】C【详解】由题意可得男生抽取的人数是．故选：C【变式2-3】某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100B．150C．200D．250【答案】A【解析】根据已知可得：，故选择A【变式2-4】某市两所高级中学联合在暑假组织全体教师外出旅游，活动分为两条线路：华东五市游和长白山之旅，且每位教师至多参加了其中的一条线路.在参加活动的教师中，高一教师占42.5%，高二教师占47.5%，高三教师占10%.参加华东五市游的教师占参加活动总人数的，且该组中，高一教师占50%，高二教师占40%，高三教师占10%.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为200的样本.试确定：（1）参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师在该组分别所占的比例；（2）参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数.【答案】（1）40%，50%，10%.（2）60人，75人，15人【解析】（1）设参加华东五市游的人数为x，参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为a，b，c则有，，解得，.故参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师在该组所占的比例分别为40%，50%，10%.（2）参加长白山之旅的高一教师应抽取人数为；抽取的高二教师人数为；抽取的高三教师人数为.题型三分层抽样中的总体平均数和样本平均数【例3】分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为．【答案】6【解析】eq\x\to(ω)＝eq\f(20,20＋30)×3＋eq\f(30,20＋30)×8＝6【变式3-1】某分层随机抽样中，有关数据如下：样本量平均数第1层453第2层354此样本的平均数为________．【答案】3.4375【解析】＝eq\f(45,45＋35)×3＋eq\f(35,45＋35)×4＝3.4375.]【变式3-2】将一个总体为A、B、C三层，其个体数之比为5:3:2，A、B、C三层的样本的平均数分贝为15,30,20，则样本的平均数为.【答案】20.5【解析】由题意可知样本的平均数为x【变式3-3】已知样本数据x1，x2，…，xn的均值eq\x\to(x)＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．【答案】11【解析】由条件知eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝5，则所求均值x【变式3-4】若样本x1+1，x2+1，……，xn+1的平均数为10，则样本2x1+2【答案】20【解析】由已知得x1所以2x题型四数据获取的途经【例4】为了了解某市2019年高考各高中学校本科上线学生，收集数据进行统计，期中获取数据的途经采用什么样的方法比较合适（）A.通过调查获取数据B.通过试验获取数据C.通过观察获取数据D.通过查询获取数据【答案】D【解析】因为市2019年高考各高中学校本科上线人数的相关数据有存储，所以，获取数据的途经通过查询的方式比较合适。【变式4-1】影响获取数据可靠程度的因素不包括()A．获取方法设计B．所用专业测量设备的精度C．调查人员的认真程度D．数据的大小【答案】D【解析】数据的大小不影响获取数据可靠程度．【变式4-2】下列调查工作适合采用普查的是()A．环保部门对淮河水域的水污染情况的调查B．电视台对某电视节目收视率的调查C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查D．企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查【答案】D【解析】A、B中的调查，在理论上来说采用普查是可行的，但是普查会费时费力；C中，质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查不能采用普查，因为调查时的检验对电池具有破坏性；D中，企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查必须采用普查，否则工人的工作服会不合体．故选D．【变式4-3】下列调查所抽取的样本具有代表性的是()A．利用某地七月份的日平均最高气温值估计该地全年的日平均最高气温B．在农村调查市民的平均寿命C．利用一块实验水稻田的产量估计水稻的实际产量D．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中任意抽取100袋进行检验【答案】D【解析】A项中某地七月份的日平均最高气温值不能代表全年的日平均最高气温；B项中在农村调查得到的平均寿命不能代表市民的平均