2019-2023全国各高考数学真题按分项汇编 导数及其应用选填题（含详解）

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

号殿03导熬4点用（送碓鉴J

高存•存瓶分析

函数导数应用是高考必考知识点

o利用导数求函数单调性，极值最值问题

©导数的综合应用问题导数性质及应用

❷构造函数利用导数求单调性比较大小

高寺真购精折

考点01利用导数求函数单调性，极值最值

一、单选题

1.（2023年全国新高考回卷）已知函数〃x）=ae=lnx在区间（1,2）上单调递增，则a的最小值为（）.

2-12

A.eB.eC.eD.e'

2.（2021年全国新高考回卷）若过点（a,6）可以作曲线y=e，的两条切线，则（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<Z?<e"

3.（2020年全国高考回卷）函数=的图像在点（1,/⑴）处的切线方程为（）

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

4.（2020年全国高考回卷）若直线/与曲线片6和x2+尸=^都相切，贝卜的方程为（）

A.y=2x+lB.y=2x+yC.y=^-x+lD.片gx+J

5.（2019年全国高考回卷）已知曲线y=aex+xlnx在点处的切线方程为y=2x+6,则（）

A.a=e,b——lB.a—e,b—lC.a=el,b=lD.a=el,b=-1

二、填空题

6.（2023•全国乙卷）设。«0,1）,若函数/（同=屋+（1+。）*在（0,+s）上单调递增，则a的取值范围是.

7.（2022全国乙卷）已知x=X］和尤=%分另Ll是函数/（x）=2a*-e尤2（a>0且）的极小值点和极大值点.若占，

则a的取值范围是.

8.（2022年全国新高考回卷）若曲线y=（x+a）e，有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

9.（2021•全国甲卷）曲线y=在点（T-3）处的切线方程为.

10.（2021年全国新高考回卷）函数〃x）=|2x-l|-21nx的最小值为.

三、双空题

11.（2022年全国高考回卷）曲线，=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为

考点02构造函数利用导数求单调性比较大小

一、单选题

311-in：,则（）

1.(2022•全国甲卷)已知Q=—,Z?=COS—

324

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

2.（2022年全国新高考回卷）设a=0.1e°」,6=，c=-ln0.9,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

3.(2021•全国乙卷)设a=21nL01,b=lnl.O2,C=A/L04-1.贝l]()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

4.（2020年全国新高考回卷）若2"+1082。=取+210g",则（）

A.a>2bB.a<2bC.a>b1D.a<b23

5.（2020年全国高考0卷）若2"-2，<3一=3=,则（）

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|%—y|〉0D.In|x-y|<0

45

6.(2020年全国高考回卷)已知55<8313<8.设。=1噂3,b=log85,c=logi38,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

考点03导数综合应用

1.（2020•天津•统考高考真题）已知函数=若函数8①）=/（*）_辰2_2乂/cR）恰有4个零点，则

[-X,%<0.11

上的取值范围是（）

。

A.[0,-J](2A/2,+OO)B.一g；(0,20)

C.(-OO,0)U(0,2A/2)D.(—oo,0)।(2A/2,+co)

2.（2022・天津•统考高考真题）设aeR,对任意实数x,记〃尤）=向11{国-2,*2一6+30-5}.若〃x）至少有3个

零点，则实数。的取值范围为.

3.（2021・北京・统考高考真题）已知函数〃x）=|lgx|-6-2,给出下列四个结论：

①若左=0,恰有2个零点；

②存在负数3使得Ax）恰有1个零点；

③存在负数上，使得Ax）恰有3个零点；

④存在正数k,使得/(%)恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

4.(2019•江苏•高考真题)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，/(X)的周期为4,g(x)的周期为2,且了⑴是

k(x+2),0<x<l

2

奇函数.当尤w(0,2］时，/(%)=Jl-(x-l),g(x)=L/c，其中左>0.若在区间(。⑼上，关于x的方程

I2

f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则Z的取值范围是.

五年(2019-2023)年高考真题分项汇编

号殿03导熬4点用(送碓鉴J

高存•存瓶分析

函数导数应用是高考必考知识点

o利用导数求函数单调性，极值最值问题

©导数的综合应用问题导数性质及应用

❷构造函数利用导数求单调性比较大小

高存真魅横折

考点01利用导数求函数单调性，极值最值

一、单选题

1.(2023年全国新高考回卷)已知函数/■(x)=ae「lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为().

A./B.eC.e-D.e~2

【答案】C

【分析】根据:(尤)=枇'--2。在(1,2)上恒成立，再根据分参求最值即可求出.

【详解】依题可知，1(x)=ae，-Jz0在(1,2)上恒成立，显然。>0,所以xe'2),

设g(x)=xe*,x«l,2),所以夕(x)=(x+l)e'>0,所以g(元)在(1,2)上单调递增，

g(x)>g(l)=e,故e2,，即。Z」=eT,即。的最小值为el

ae

故选：C.

2.(2021年全国新高考回卷)若过点6)可以作曲线y=e，的两条切线，则()

A.eb<aB.e0<b

C.0<a<ehD.0<b<ea

【答案】D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果;

解法二：画出曲线>="的图象，根据直观即可判定点(“,6)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】在曲线>="上任取一点P。,/)，对函数y=e'求导得"e"

所以，曲线y=/在点P处的切线方程为y-e'=e'(xT),即y=e%+(l-r)e',

由题意可知，点(。,6)在直线丁=0%+(1-。/上，可得b=ae'+(lT)e'=(。+1-)一，

令/(f)=(a+lT)d,则广⑺=(aT)d.

当/<4时，r(r)>0,此时函数/'⑺单调递增，

当，>“时，此时函数，⑴单调递减，

所以，〃入、=%)=心

由题意可知，直线y=b与曲线y=/。)的图象有两个交点，贝岫</")四=，，

当，<.+1时，/(0>o,当，>。+1时，〃。<0,作出函数的图象如下图所示:

由图可知，当0<6<e"时，直线y=6与曲线y=〃r)的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线y=e'的图象如图所示，根据直观即可判定点6)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条

3.(2020年全国高考回卷)函数/(幻=--2丁的图像在点(1,/⑴)处的切线方程为()

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

【答案】B

【分析】求得函数y=/(x)的导数1(x),计算出了⑴和广⑴的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】〃力=公—2尤3,.■.f(x^4x3-6x2,=/(1)=-2,

因此，所求切线的方程为y+l=-2(x-1),即y=-2x+l.

故选：B.

【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

4.(2020年全国高考回卷)若直线/与曲线丫=五和乂2+必=!都相切，贝”的方程为()

A.y=2x+lB.片2x+gC.y=^-x+lD.片枭+g

【答案】D

【详解】设直线/在曲线y=«上的切点为卜°,石)，则毛>0,

函数>=«的导数为y'=5，则直线/的斜率A

设直线/的方程为标=G=(x-x。)，即尤一2Ay+%=0,

Ajx。

CC1X1

由于直线/与圆f+V=z相切，则hn彳=飞，

5V1+4xo{5

两边平方并整理得5尤：-4无。-1=0,解得X°=l,x0=-1(舍)，

则直线/的方程为x-2y+l=0,即>=：彳+：.故选：D.

5.(2019年全国高考回卷)已知曲线〉=温+》111.%在点。，㈤处的切线方程为y=2x+6,则()

A.a=e,b=-lB.a=e,b=lC.a=e~',b=1D.a=e~r,b=-1

【答案】D

【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得。，将点的坐标代入直线方程，求得b.

【详解】详解：y'=aex+\nx+\,

=-1

k=y\x=iae+l=2,a—g

将(1,1)代入y=2元+b得2+人=1力=一1,故选D.

【点睛】本题关键得到含有a,b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.

二、填空题

6.(2023•全国乙卷)设ae(O,l),若函数=优+(l+af在(0,+s)上单调递增，则a的取值范围是.

【分析】原问题等价于/'(尤)=a1na+(l+a)%(l+a)2O恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得

由右侧函数的单调性可得实数。的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数。的取值范围.

Va)ln(l+a)

【详解】由函数的解析式可得「(x)="Ina+(1+4in(1+a)20在区间(0,+动上恒成立，

则(l+a)*ln(l+a)"a1na,即［宁［［-1口,二)在区间(°，+8)上恒成立，

故=1"J；：.)，而"+le(l,2),故ln(l+")>0,

ln(〃+l)2-lna[a(a+l)>l故理

故即〈)<a<l

0<^<1\0<a<lf

7.(2022全国乙卷)已矢口1=再和工二%2分另！1是函数/(x)=2优一ef(a>0且。wl)的极小值点和极大值点.若玉<%,

则a的取值范围是

【答案】

【分析】法一：依题可知，方程21na•，-2e尤=0的两个根为玉，9，即函数y=比分优与函数y=ex的图象有两个

不同的交点，构造函数g(x)=lnad,利用指数函数的图象和图象变换得到g(x)的图象，利用导数的几何意义求

得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.

【详解】［方法一］:【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为r(x)=21na•优-2ex,所以方程21na•炉-2ex=0的两个根为无”三,

即方程=ex的两个根为占，%，

即函数y=lna-a*与函数y=ex的图象有两个不同的交点，

因为占,三分别是函数2优-ef的极小值点和极大值点，

所以函数〃x)在(—，玉)和(彳2，y)上递减，在(王，/)上递增，

所以当时(-00,为)(孙+oo),//(x)<0,即y=ex图象在y=ina-a”上方

当时，7^)>0,即丫=。图象在y=lnad下方

a>l,图象显然不符合题意，所以

令g(x)=lna-a",则g,(x)=ln2a-ar,0<a<l,

设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(尤

210

则切线的斜率为g'a))=ln%*,故切线方程为y-lna•*=lno-a(x-x0),

则有-lna,a'。=-%ln2a，优。，解得％=+，则切线的斜率为1112a.疝^=eh?a，

因为函数y=Inas"与函数y=ex的图象有两个不同的交点，

所以elYave,解得又。vavl,所以

ee

综上所述，〃的取值范围为g』［

［方法二］:【通性通法】构造新函数，二次求导

/'(X)=21na-aA-2ex=0的两个根为占,三

因为占,三分别是函数〃x)=2/-ex?的极小值点和极大值点，

所以函数在(YO，X)和(孙―)上递减，在(王，彳2)上递增，

设函数g(尤)=/'(x)=2(，lna-ex),则g,x)=2ax(ina)2-2e,

若则g'(x)在R上单调递增,此时若g'(x0)=O,则尸(x)在

(-8,%)上单调递减，在(%,+<»)上单调递增，此时若有％=%和％=尤2分别是函数

f(%)=2优-e？3>0且awl)的极小值点和极大值点，则玉>尤2，不符合题意；

若则g'(x)在R上单调递减，此时若g'(x0)=O,则/'(外在(—,不)上单调递增，在(x。,")上单调递减，

令g'(x0)=O,贝1"°=山"，止匕时若有x=%和x=%分别是函数/(力=2优-eY(a>0且"1)的极小值点和极大

值点，且再</，则需满足/(%)>0,尸(%)=2(0'。1110-倏)=2(2-*))>(),即/<，，>1故

e1

In^=^oln«=ln；—7>1,所以_<a<l.

(Ina)e

8.(2022年全国新高考回卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是.

【答案】(f,T).(0,y)

【分析】设出切点横坐标％,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于为的方程，根据此方

程应有两个不同的实数根，求得。的取值范围.

【详解】=(x+a)e*,ffly=(x+l+a)ex,

x

设切点为(演,%)，则％=(X。+a)e&，切线斜率k=(x0+l+a)e0,

切线方程为：y-(%0+<2)6^=(^)+l+a)e^(x-x0),

回切线过原点，0-(Xo+a)e"°=(x0+l+o)e^(-x0),

整理得：X；+ax0—a=0,

回切线有两条，回A=a2+4q>0,解得。<-4或a>0,

回。的取值范围是(0,+CO),

故答案为：(YO,-4)_(0,"o)

9.(2。21・全国甲卷)曲线y=二在点处的切线方程为----------

【答案】5尤-y+2=0

【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可.

【详解】由题，当X=-1时，产-3,故点在曲线上.

求导得：y=一k，所以*,3=5.

、(/x+2，)(x+2)

故切线方程为5尤7+2=0.

故答案为：5x-y+2=0.

10.(2021年全国新高考回卷)函数/(x)=|2x-lk21nx的最小值为.

【答案】1

【分析】由解析式知f(x)定义域为(。，+刈，讨论0<x(g、1<x<l,x>l,并结合导数研究的单调性，即可求,⑺

最小值.

【详解】由题设知：/。)=|2尤-1|-2出》定义域为(0,e)，

团当0〈尤4I•时，/(x)=l-2%-21nx,此时f(x)单调递减；

12

当一时，f(x)=2x-l-2lnx有尸(x)=2――<0,止匕时〃幻单调递减；

2fx

2

当x>l时，f(x)=2x-l-2inx有/(%)=2-->0,此时/(%)单调递增；

fx

又fM在各分段的界点处连续，

团综上有：0<%(1时，/(九)单调递减，时，/(%)单调递增；

0/(x)>/(l)=l

故答案为：1.

三、双空题

11.(2022年全国高考团卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【详解】［方法一］:化为分段函数，分段求

分x>0和尤<0两种情况，当尤>0时设切点为(xo.lnx。)，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切

线方程，再根据切线过坐标原点求出％,即可求出切线方程，当x<0时同理可得；

解：因为y=ln|x|,

当x>0时_v=lnx,设切点为由，=工，所以所以切线方程为'Tn%=’(尤-%),

X玉)玉)

［11

又切线过坐标原点，所以Tnx0=一(-X。)，解得x0=e,所以切线方程为y-1=-(x-e),即尸—x；

xoee

当x<0时y=ln(r),设切点为(人,皿―玉))，由y'=L所以川『=二所以切线方程为>-叭-再)=

X王玉

又切线过坐标原点，所以Tn(一玉)=［(一玉)，解得％=-e,所以切线方程为y_l=J_(x+e),即妹-L；故答案

七一ee

位11

为：y=—x；y=——%

ee

［方法二］:根据函数的对称性，数形结合

当尤>0时y=ln无，设切点为(％,In%),由y'=L所以=所以切线方程为y-lnx。=’(x-Xo),

xxoxo

又切线过坐标原点，所以一比七二一(一七),解得%=e,所以切线方程为y-1=」(尤-e),即y=L；因为y=ln|x|

X。ee

是偶函数，图象为:

所以当x<0时的切线，只需找到y=L关于y轴的对称直线y即可.

ee

［方法三］：因为y=ln|x|,

当尤>0时y=lnx,设切点为(/In%),由，=工，所以所以切线方程为〉一山毛=!(彳一天),

xx0xo

又切线过坐标原点，所以7叫/(-3解得x0=e,所以切线方程为下。…)，即尸卜

当尤<0时y=ln(-x),设切点为(玉,111(-%))，由y=L所以y'l『=’，所以切线方程为yTn(-Xi)=’(x-xJ,

X玉国

又切线过坐标原点，所以Tn(f)='(f),解得±=-e,所以切线方程为■1=-1(》+6),即y=」x；

王一ee

故答案为：y=~x；y=--x.

ee

考点02构造函数利用导数求单调性比较大小

一、单选题

3111

1.(2022•全国甲卷)已知1=一,/?=cos-,c=4sin-,则()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

cii

【分析】由％=4tan］结合三角函数的性质可得c>比构造函数”引=88%+弓尤2-1,天40,+8),利用导数可得“。,即

可得解.

【详解】［方法一］：构造函数

因为当xeW，x<tanx

故：=4tanJ>l,故(>1,所以c>b；

b4b

设“x)=cosx+32TxeQ+oo)

/z(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+oo)单调递增,

故/［：］>/(0)=0,所以cos；-||>0,

所以b>a,所以故选A

［方法二］:不等式放缩

因为当了£］。个卜inx<%,

］11门、2a1

取元=7■得：cos-=l-2sin2->l-2-=—,故

848⑶32

14

4sin—+cos—=J17sin|—+69，其中且sin0=

44U>'cos^=>

当4sin^+cosL=47时,171P兀\

“。=万，及夕—一a

44

„,.141.1

止匕时sin：=cos。=「=,cos—=sin(D=—j=

4VI74717

故c°SW=^<而=sina<4sinw，故〃<c

所以b>4,所以c>6>。，故选A

［方法三］:泰勒展开

.n_八.<31,0.252,10.2520.254

x-0.25,贝mi!IJa=—=1------,b=cos-q11-------1------,

322424!

.1

sin24

1l,0.250.25、，生/日,工小咫

c=4sin-=^L»l———+^—,计算得c>b>。，故选A.

4

［方法四］:构造函数

因为£=4tan，，因为当xe(0,g),sinx<x<tanx,所以tan!>j，即!>1,所以c>b；设

b4I2J44b

/(x)=cosx+|-x2-l,xe(0,+oo),/'(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+8)单调递增，贝I」>/(。)=。,所以

131

COS——>0,所以b>a,所以c>b>〃，

故选：A.

［方法五］:【最优解】不等式放缩

因为9=4tan!，因为当了£伍,二］,sinx<x<tanx,所以即£>1,所以c>b；因为当工£(0,二］,sinxvx,

b4<2)44b<2)

取x得cos』=l—2sin2』>l—2［，］=—,故"%所以C>Z?>Q.

848⑻32

故选：A.

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法;

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe[o,j,sinx<x<tanx放缩，即可得出大小关系，属于最优解.

2.(2022年全国新高考回卷)设。=0.1e°」,6=；,c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【分析】构造函数/。)=皿1+尤)-巧导数判断其单调性，由此确定。，仇C的大小.

【详解】方法一：构造法

设/(x)=ln(l+%)-x(x>-l),因为/(尤)=--1=一A，

当尤e(-l,O)时，f\x)>0,当尤€(0,+co)时/'(x)<0,

所以函数/(x)=ln(l+x)-x在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以/(}<〃0)=0,所以In9-gvO,故：>ln£=Tn0.9,即6>c,

所以/(-记)</(0)=0,所以In仿+历<0,故言”，所以三。玲，

故〃<6,

x

设g(x)=xe*+ln(l-x)(0<x<l),则g'^x)=e+~^=—~~+J

令/?(%)=e'(%2—1)+1,〃'(x)=e*(x?+2尤—1),

当时，〃'(x)<0,函数〃(x)=1(炉一1)+1单调递减，

当应-1<X<1时，函数〃(x)=e*，_l)+l单调递增，

又〃(0)=0,

所以当0<尤〈忘-1时，心)<0,

所以当0<尤<也一1时，g'O)>。，函数g(x)=W+ln(l-尤)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e〃>—ln0.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：a=0.1e°l,b=-^~,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①lntz-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令/(-^)=x+ln(l-x),xG(0,0.1],

1—v

贝1J/，«=1---=--<0,

1-x1-x

故f(x)在(0,0.1]上单调递减，

可得/(0.1)</(0)=0,即]na-]nb<0,所以a<b；

②a-c=O.leol+ln(l-O.l),

令g(x)=xex+ln(l—x),xe(0,0.1],

则g\x)=xex+ex--L=(l+x)。-n"T,

')1-x1-x

令A:(x)=(l+x)(l-xX-l,所以kr(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上单调递增，可得k(x)>k(0)>0,即<(%)>。，

所以g(x)在(0,0.1］上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

3.(2021•全国乙卷)设a=21nl.01,b=lnl.O2,C=VLO4-1.贝l］()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a力的大小作出判定，对于。与c,6与c的大小关系，将0Q1

换成为分别构造函数〃x)=21n(l+尤)-717彳+l,g(无)=ln(l+2x)-7IT石+1,利用导数分析其在。的右侧包括

0.01的较小范围内的单调性，结合/(0)=0,g(0)=0即可得出a与c,。与c的大小关系.

【详解】［方法一］：

a=21nl.01=lnl,012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=fe,

所以bVQ;

下面比较。与。1的大小关系.

记〃x)=21n(l+x)-Vn^+l,则/(0)=0,/(%)=———2==2(2^+4^-1-%)^

''1+x71+4^(1+X)V1T47

由于l+4x—(l+x)~=2无一元2=尤(2—x)

所以当0<x<2时，1+4X-(1+X)2>0,即Jl+4x>(l+x),/^x)>0,

所以在［0,2］上单调递增，

所以“0.01)>"0)=0,即21nl.即a>c；

//、972+4x-1-2x)

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,贝！］g(0)=0,g'(x)=------------..=-----------,—,

-1+2%后石(1+x)后五

由于l+4x-(l+2x)2=7彳2,在x>0时，l+4x-(l+2x)~<0,

所以g'(x)<0,即函数g(x)在［0,+8)上单调递减,所以g(0.01)<g(0)=0,BPlnl.02<^/L04-l,即从c；

综上，b<c<a,

故选：B.

［方法二］:

令〃x)=lnF^］_x_l(x>l)

=<0,即函数f(x)在(1,+8)上单调递减

V'尤?+1

/pl+0.04)</(1)=0,.-.Z?<c

令g(%)=21n[---J-x+l(l<x<3)

g，⑺x)>0,即函数g(x)在(1,3)上单调递增

g(Vl+0.04)^(l)=0,.-.^c

综上，b<c<a,

故选：B.

【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数

研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

4.(2020年全国新高考回卷)若2"+log2a=4"+21og",则()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【答案】B

【分析】设/(x)=2*+log2X,利用作差法结合/(x)的单调性即可得到答案.

【详解】设八劝=21+104》,则Ax)为增函数，因为2"+log2a=4"+21og4b=22“+log"

2i2426

所以/(«)-”26)=2"+log2a-(2+log22b)=2+log2^-(2+log22b)=log21=-l<0,

所以/(a)</(26),所以。<26.

22Z>22i

f(a)-f(b)=T+log2a-(2"+log2段)=2+log2b一(2"+log2b)=2-2户-log2b,

当b=1时，f(a)-f(b2)=2>0,此时/(0)>/(/),有a〉/

当6=2时，/(«)-/(/72)=-1<0,止匕时/⑷</(〃)，有。<凡所以&D错误.

故选：B.

【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.

5.(2020年全国高考回卷)若2"-2><3一,-3一，，则()

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|x-y|〉0D.ln[%-y|<0

【答案】A

【分析】将不等式变为2-3T<2「37,根据〃。=2'-3T的单调性知以此去判断各个选项中真数与1的

大小关系，进而得到结果.

【详解】由2*-2了<3-*-3-，得：2'-3f<2>'-3-'

令/⑺=2T,

;y=2,为R上的增函数，>=3-，为R上的减函数，.•"3)为R上的增函数，

Qy-x>0,;.y-x+l>l,;.ln(y-x+l)>0,则A正确，B错误；

Q|x-y|与1的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的

大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

45

6.(2020年全国高考回卷)已知55<8313<8.设。=logs3,fa=log85,c=logi38,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】由题意可得。、6、ce（O,l）,利用作商法以及基本不等式可得出〃、b的大小关系，由6=logs5,得8〃=5,

44

结合55<8,可得出6<丁由c=log[38,得13。=8,结合13“<85,可得出c>《，综合可得出。、6、c的大小关系.

隆3+坨8丫（Ig3+lg8丫优24丫

【详解】由题意可知

4

由人=log85,得8"=5,由55<83得85'<84,「.5人<4,可得〃<不；

4

由c=logi38,得13c=8,由13:85,得134<135。，/.5c>4,可得

综上所述，a<b<c.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查

推理能力，属于中等题.

考点03导数综合应用

1.（2020•天津•统考高考真题）已知函数/。）=卜3'尤若函数g（x）=/（x）-辰2_2耳/eR）恰有4个零点，则

-x,x<0.11

%的取值范围是（）

A.gj（2后,+co）B.卜co,-；；一（0,2后）

C.（-oo,0）l'（0,272）D.（-8,0）」（2夜,+oo）

【答案】D

【分析】由g（0）=0,结合已知，将问题转化为y=l"-2|与/7（》）=会有3个不同交点，分无=0/<0#>0三种

|x|

情况，数形结合讨论即可得到答案.

【详解】注意到8（。）=。，所以要使g⑴恰有4个零点，只需方程出臼=*恰有3个实根

即可,

令贻户胃’即产&-与〃（x）=借的图象有3个不同交点.

/(x)fx2,x>0

因为/尤）==

WILx<0

当人。时,此时『，如图],X与g）=署有1个不同交点，不满足题意;

当上＜0时，如图2,此时＞=|依-2|与/1。)=曾恒有3个不同交点，满足题意;

|x|

当人＞0时，如图3,当＞=丘-2与＞=/相切时，联立方程得二-履+2=0,

令A=0得左2一8=0,解得左=2/(负值舍去)，所以左＞28.

综上，上的取值范围为(-8,0)(2A/2,+OO).

2.(2022・天津•统考高考真题)设“eR,对任意实数x,记〃尤)=min{k|-2,f-6+3。-5}.若至少有3个

零点，则实数。的取值范围为.

【答案】a＞10

【分析】设g(x)=d—依+3。-5,网司=国—2,分析可知函数g(x)至少有一个零点，可得出-0,求出。的取值

范围，然后对实数。的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数。的不等式，综合可求得实数。的取值范

围.

［详解］设g(x)=Y-ar+3q_5,/z(x)=|%|-2,由可-2=0可得x=±2.

要使得函数至少有3个零点，则函数g(x)至少有一个零点，则△=(/-124+2020,

解得aW2或。310.

①当"2时，g(x)=/-2x+l,作出函数g(x)、〃(x)的图象如下图所示：

此时函数只有两个零点，不合乎题意；

②当a＜2时，设函数g(x)的两个零点分别为4、x2(x1＜x2),

要使得函数外可至少有3个零点，则无2w-2,

-<-2

所以，2,解得4G0;

g（-2）=4+5a-5>0

③当a=10时，g（x）=d-10x+25,作出函数g（x）、4无）的图象如下图所示:

由图可知，函数/（x）的零点个数为3,合乎题意；

④当。>10时，设函数义（无）的两个零点分别为马、%4（%3<X4）,

要使得函数“X）至少有3个零点，则三22,

a八

—>2

可得r2,解得々>4,此时々>10.

g（2）=4+a-5N0

综上所述，实数〃的取值范围是［10,y）.

故答案为：［10,收）.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数