重庆市渝中区重点中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

2022-2023学年重庆市渝中区重点中学九年级上学期期末

数学试卷

选择题（共12小题，满分44分）

1.下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

B.©绿色食品

C.有机食品D.速冻食品

2.(4分)二次函数y=-2(x+3)2-4的图象顶点坐标是()

A.(3,4)B.(3,-4)C.(-3,4)D.(-3,-4)

3.(4分)计算(π2)3的结果是()

A.a5B.aC.a8D.以上都不对

4.（4分）如图，AABC与AQEF是位似图形，位似中心为O,OA：OQ=3：7,SΔABC=9,则△£)Er的面

积为（）

A.12B.16C.21D.49

5.（4分）如图所示的曲线表示的是重庆某日空气质量指数/随时间f（单位：⅛）的变化情况，则当/取得最

1

A.8B.12C.16D.20

6∙（4分）估计√彳X√W-3的值在（）

A.4至I」5之间B.5至I」6之间C.6至∣J7之间D.7到8之间

7.（4分）小明同学为庆祝建国71周年,用五角星按一定规律摆出如图案，第9个图案需要（）颗五角

星.

*

☆☆★☆

*在☆★*⅛*

☆☆☆☆☆★☆☆

☆⅛★★

☆☆☆☆

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

A.24B.27C.28D.30

8.（4分）小希同学有一块长12c∙m,宽IOCW的矩形卡纸，准备制作一个无盖的小礼盒.如图，她将矩形卡纸

的四个角各剪掉一个边长为XCm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为48c层的无盖长方体小

礼盒.根据题意可列方程为（）

A.(12-χ)(Io-X)=48

B.12×10-4X2=48

C.(12-2x)(10-2x)=48

D.12×10-4?-(12+10)x=48

9.（4分）如图，AB是半圆。的直径，点尸在AB的延长线上，PC切半圆。于点C,连接AC.若NCBA=

20°,则/A的度数为（）

A.20oB.70°C.45oD.35°

10.（4分）如图，在正方形ABCZ）,BE平分NCBD,EFLBD于点F,若DE=亚，则BC的长为（）

2

A

Y//

DlZ----------------1C

A.2B.√2C.√2÷1D.1

11.（4分）若关于X的不等式组无解，且关于y的分式方程上=3二g-I有正整数解，则

Iχ-a≥Oy-33-y

所有满足条件的”的值之和为（）

A.16B.15C.13D.12

12.（4分）烤鸭店据下表数据烤制，设鸭的质量为X千克，烤制时间为f分钟，当x=5.5时•，/为（）

鸭的质量力千克0.511.522.533.54

烤制时间〃分30507090IlO130150170

A.190B.230C.250D.280

二.填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）

1

13.（4分）f1r+l-9∣=.

14.（4分）两个人做游戏：每个人都从-1,O,1这三个数中随机选择一个写在纸上，则两人所写的两个数相

等的概率为.

15.（4分）如图，菱形ABCQ的边长为4,ZBAD=UOo,分别以8、。为圆心，A8长为半径画弧，图中阴

影部分的面积为______________________.（结果保留π）

D<^>S

C

16.（4分）某公司今年缴税4万元，预计该公司缴税的年平均增长率为20%,则预计从今年直到后年该公司

共应缴税_____________万元.

≡.解答题（共9小题，满分86分）

17.（8分）计算：

（I）X（x+2y）-（x+y）（X-y）；

3

2

（2）（∕n+9~4m）÷-∏L-∑l.

m-2m-2

18.（8分）综合与实践

【问题情境】

南宁是广西种植火龙果面积最大产量最多的区域.火龙果性甘平，营养成分丰富，包括蛋白质、酶、膳食

纤维、维生素82、维生素B3、维生素C等，果核内更含有高浓度天然色素花青素（尤以红肉为最）.某学

校数学兴趣小组为了解①号、②号两个品种火龙果产量情况.

【实践发现】在某火龙果果园种植基地各随机抽取25株①号、②号两个品种火龙果调查（每株火龙果每年

所结的火龙果个数用4表示，共分为三个等级：不合格〃<45,良好45Wα<65,优秀65Wα<85）,下面

给出了部分信息：

①号品种25株果树所结火龙果个数分别为：36,47,68,82,27,27,35,46,55,48,48,57,66,57,

66,58,61,75,36,57,71,47,46,71,38

②号品种25株果树所结火龙果个数处于“良好”等级包含的所有数据为：64,54,51,62,54,63,51,

63,64,54

【实践探究】

抽取的①号、②号品种火龙果树所结火龙果个数的统计表

品种平均数众数中位数方差“优秀”等级所占百分

比

①号535755215.04y%

②号5354X236.2420%

抽取的②号品种每株果树所结火龙果个数扇形统计图

（1）填空：X=，y=，m=；

（2）请用统计数据分析哪个品种的火龙果产量比较稳定，并说明理由；

（3）根据以上数据，你认为应建议果农选择哪个品种种植？请说明理由（写出一条理由即可）.

19.（10分）如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画。ABC。和aBCE.

4

(1)请你在方格纸中找到点。，补全。ABC£＞；

(2)若每个正方形小格的边长为1,请计算线段CE的长度并判断与CE的位置关系，并说明理由.

20.(10分)如图，一次函数y=x+〃?的图象与反比例函数y=K的图象交于A,8两点，且与X轴交于点C,

X

点A的坐标为(2,1).

(1)求m及k的值；

(2)连接。4,OB,求AAOB的面积；

(3)结合图象直接写出不等式组OVx+mW区的解集.

21.(10分)南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在

A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速

沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监

视巡查的过程中大约行驶了多少海里(最后结果保留整数)？(参考数据：cos75°=0.26,sin75°=0.97,

5

22.(10分)某服装店销售一款服装，每件成本为50元.经市场调研，当该款服装每件的售价为60元时，每

个月可销售300件；若每件的售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件.

(1)若该服装店某月销售该款服装200件，求这个月每件服装的售价；

(2)若该服装店希望销售该款服装每月获利3000元，且尽量给客户实惠，则每件服装的售价应定为多少？

23.(10分)化简下列各式：

(1)-3x2y+2xzy+3xy2-xy2;

(2)4X2-(2X2+X-1)+(2-X2+3X);

(3)(2x1y+3xy2)-(x2y-3xy2);

(4)4∕M2∕J-2(2mn-nrn)+mn.

24.(10分)如图，已知直线y=-2x+4分别交X轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点尸是线段48

上一动点，过点P作PC,X轴于点C,交抛物线于点D

(1)若抛物线的顶点例的坐标为(工，9),其对称轴交AB于点N,

22

①求抛物线的解析式；

②是否存在点尸，使四边形MNP。为菱形？并说明理由；

(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以8、P、Z)为顶点的三角形与aAOB相似？

若存在，求出满足条件的抛物线的解析式：若不存在，请说明理由.

25.(10分)问题提出

(1)如图①，已知正方形ABC。的边长为4,E是BC的中点，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线

段EE,连接CF,求CF的长；

问题解决

(2)为了解乡村生活;体验乡村水土风情、享受田园风光，某校计划利用空地修建蔬菜种植基地，让学生

自己种植，自己管理，学习种植技术，体验丰收的喜悦.已知蔬菜种植基地ABC。的设计示意图如图②所

示，其中AO〃BC,BC=CD=IOOm,∕C=60°,E为CD上一点,且不与C,。重合，ZAEB=60°.按

设计要求，AABE中种植叶菜类，其余种植根茎类.设CE的长为无(机)，蔬菜种植基地的面积为y(根2).

6

①求y与X之间的函数关系式；

②当种植叶菜类的面积恰好与根茎类的面积相等时，求AB的长.

图①

答案解析

一.选择题(共12小题，满分44分)

1.下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

【答案】D

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

故选：D.

2.(4分)二次函数y=-2(X+3)2-4的图象顶点坐标是()

A.(3,4)B.(3,-4)C.(-3,4)D.(-3,-4)

【答案】D

7

【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，即可找出二次函数图象的顶点坐标，此题得解.

【解答】解：：二次函数解析式为y=-2（x+3）2-4,

二二次函数图象的顶点坐标为（-3,-4）.

故选：D.

3.（4分）计算（J）3的结果是（）

A.a5B.a6C.08D.以上都不对

【答案】B

【分析】直接利用基的乘方运算法则计算得出答案.

【解答】解：（J）3

故选：B.

4.（4分）如图，Z∖A8C与aDEF是位似图形，位似中心为O,0A：。。=3：7,S^ABC=9,则△/）EF的面

积为（）

A.12B.16C.21D.49

【答案】D

【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出面积比，即可得出答案.

【解答】解：:AABC与是位似图形，位似中心为O,0A：OD=3：7,

,

..SΔABC:SADEF=9:49,

VSΔABC-9,

.∙.ZiOEF的面积为：49.

故选：D.

5.（4分）如图所示的曲线表示的是重庆某日空气质量指数/随时间f（单位：h）的变化情况，则当/取得最

大值时，对应的，的值大约为（）

8

【答案】B

【分析】结合图象可得/最大时，对应的f的值约为12.

【解答】解：根据图象可以看出/最大时，对应的/的值约为12.

故选：B.

6.（4分）估计√尸X√W-3的值在（）

A.4到5之间B.5到6之间C.6至∣J7之间D.7至∣J8之间

【答案】A

【分析】根据算术平方根的定义估算无理数倔的大小，进而得到√R-3的大小即可.

【解答】解：原式=I56-3,

V72=49,82=64,而49V56V64,

∙,.7<√56<8,

∙^∙4<√56-3<5,

故选：A.

7.（4分）小明同学为庆祝建国71周年,用五角星按一定规律摆出如图案，第9个图案需要）颗五角

星.

★

☆

☆

☆☆⅛☆☆☆⅛☆☆☆★★

在，*☆★*☆*

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

A.24B.27C.28D.30

【答案】C

【分析】设第n个图案需要an（n为正整数）颗五角星，根据各图形中五角星颗数的变化,可找出变化规

9

律"〃”=3〃+1（〃为正整数）"，再代入”=9即可得出结论.

【解答】解：设第八个图案需要即为正整数）颗五角星.

观察图形，可知：αι=3×1+1,<72=3X2+1,43=3X3+1,…,

∙"∙Ctn=3"+1,

.∙.a9=3><9+1=28.

故选：C.

8.（4分）小希同学有一块长12cm,宽10c7”的矩形卡纸，准备制作一个无盖的小礼盒.如图，她将矩形卡纸

的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为48c∕√的无盖长方体小

礼盒.根据题意可列方程为（）

A.（12-χ）（IO-X）=48

B.12×10-4X2=48

C.（12-2x）（IO-2%）=48

D.12×10-4Λ2-（12+10）X=48

【答案】C

【分析】由矩形卡纸的长、宽及减掉小正方形的边长，可得出围成的无盖长方体小礼盒的底面长（12-2%）

cm,宽（10-2x）C7M,结合围成的无盖长方体小礼盒的底面积为48C7√,即可得出关于X的一元二次方程,

此题得解.

【解答】解：；小希将矩形卡纸的四个角各剪掉一个边长为XCW的正方形，且矩形卡纸的长12cm,宽10cm,

围成的无盖长方体小礼盒的底面长（12-2x）cm,宽（10-2Λ）cm.

依题意得：（12-2x）（10-2x）=48.

故选：C.

9.（4分）如图，AB是半圆。的直径，点尸在AB的延长线上，PC切半圆。于点C,连接AC.若NCBA=

10

A.20oB.70oC.45°D.35o

【答案】D

【分析】根据切线的性质得出∕PCO=90°,再利用三角形内角和定理得出NPoC=70。，再利用等腰三

角形的性质以及三角形外角的性质得出答案.

【解答】解：连接OC,

：PC切半圆。于点C,

：.PCA.OC,即NPCo=90°,

,.,ZCPA=20°,

.,.ZPOC=JQo,

'：OA=OC,

.∙.NA=NOC4=35°.

BE平分NCBD,EFLBQ于点R若DE=J5，则BC的长为（)

C.√2+lD.1

【答案】C

【分析】根据正方形的性质、角平分线的性质及等腰直角三角形的三边比值为1：1：√5来解答即可.

【解答】解：：四边形ABC。为正方形，

ΛZC=90o,NCi>B=45°,BC=CD.

：.EClCB.

又〈BE平分NCBD,EFA.BDf

：.EC=EF,

VZCDB=45o,EF工BD,

11

.,.XDEF为等腰直角三角形.

VDE=√2>

.∙.EF=L

J.EC=∖.

：.BC=CD=DE+EC=√2+1.

故选：C.

11.（4分）若关于X的不等式组［2（f∙l）-l<3无解，且关于y的分式方程_二=3二g-1有正整数解，则

Iχ-a≥Oy-33-y

所有满足条件的。的值之和为（）

A.16B.15C.13D.12

【答案】D

【分析】由不等式组［2（x+lAl43无解，可求出。的范围，根据分式方程工=3∑g-1有正整数解，

lχ-a>0y-33-y

可得α的值，即可得到答案.

【解答】解：解不等式组12（x+l）-l<3得XWl且

Iχ-a≥O

•;不等式组［2年+1）-143无解，

Iχ-a≥O

Λtz>l,

由分式方程二_=3二2-1得二生，

y-33-y2

Vy-3≠0,即产3,

.∙.i∑a≠3,可得4≠3,

2

∙.∙分式方程工=3二1有正整数解，即殳且是正整数，

y-33-y2

.∙.α=5或a=1,

.∙.所有满足条件的a的值之和为5+7=12,

故选：D.

12.（4分）烤鸭店据下表数据烤制，设鸭的质量为X千克，烤制时间为，分钟，当x=5.5时，r为（）

鸭的质量力千克0.5ɪ1.522.533.54

烤制时间〃分30507090IlO130150170

A.190B.230C.250D.280

【答案】B

【分析】观察表格可知，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟，设烤制时间为r分钟，烤鸭

12

的质量为X千克，列出代数式f=30+40（X-0.5）整理即可.

【解答】解：从表中可以看出，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制的时间增加20分钟，

设烤制时间为f分钟，烤鸭的质量为X千克，

由题意得f=30+40（x-0.5）,

整理，得f=40x+10.

当x=5.5千克时，f=40X5.5+10=230.

故选：B.

填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）

13.（4分）（∙∣）T+∣-2∣=q.

【答案】4.

【分析】根据负整数指数幕和绝对值即可得出答案.

【解答】解：原式=2+2

=4.

故答案为：4.

14.（4分）两个人做游戏：每个人都从-1,0,1这三个数中随机选择一个写在纸上，则两人所写的两个数相

等的概率为-1.

一3一

【答案】1.

3

【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两人所写的两个数相等的结果有3种，再由概率公式求

解即可.

【解答】解：画树状图为：

开始

-11

∕T∖ʌ/N

-101-101-101

共有9种等可能的结果，其中两人所写的两个数相等的结果有3种，

两人所写的两个数相等的概率为旦=工，

93

故答案为：ɪ.

3

15.（4分）如图，菱形ABCC的边长为4,ZBAD=120°,分别以8、。为圆心，A8长为半径画弧，图中阴

影部分的面积为._区3禽_.（结果保留π）

—3―

13

【分析】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为60°,且半径为4的扇形的面积与菱形的面积的差,

可据此求出阴影部分的面积.

【解答】解：Y四边形ABC。是菱形，

.∖AD^CD,AB//CD,

VZBAD=120°,

ΛZDΛC=ZBΛC=60o,

.,.AD=CD=AC=A,

过A作AaJ_CZ）于H,

.∙.NΛ4H=30°,DH=CH=2,

在RfNAO”中，

ΛH=VAD2-DH2=V42-22=2^3,

・'・S阴账=2S扇形-S菱形=2X6°兀",4×2√3=-π-8√3.

3603

故答案为：lθπ-8√3∙

16.（4分）某公司今年缴税0万元，预计该公司缴税的年平均增长率为20%,则预计从今年直到后年该公司

共应缴税a（1+20）'万元.

【答案】a（1+20）2.

【分析】解答此题运用的数量关系：今年缴税数X（1+年平均增长率）2=后年缴税数，由此直接列式解答

即可.

14

【解答】解：因为某公司今年缴税α万元，该公司缴税的年平均增长率为20%,

所以从今年直到后年该公司共应缴税〃(1+20)2万元.

故答案为：a(1+20)2.

≡.解答题(共9小题，满分86分)

17.(8分)计算:

(I)X(x+2y)-(K+y)(x-y)；

(2)(∕π+9~4m)÷3⅛,.

m-2m-2

【答案】⑴2xy+y2;

(2)m~3.

m+3

【分析】(1)原式利用单项式乘多项式法则，平方差公式计算，去括号合并即可得到结果;

(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果.

【解答】解：(1)原式=(Λ2+2^)-(√-√)

=x2+2xy-x2+y2

=2Xy+)2；

⑵原式=∣m(m-2)+9-4m].πr2

In-2m-2(m+3)(m-3)

9

=In-2m+9-⅜m.m-2

m-2(m+3)(m-3)

=ι∏2-6m+9.ιrr2

m-2(m+3)(m-3)

=(IR-3)2.m~^2

m-2(m+3)(m-3)

—m-3

m+3

18.(8分)综合与实践

【问题情境】

南宁是广西种植火龙果面积最大产量最多的区域.火龙果性甘平，营养成分丰富，包括蛋白质、酸、膳食

纤维、维生素32、维生素切、维生素C等，果核内更含有高浓度天然色素花青素(尤以红肉为最).某学

校数学兴趣小组为了解①号、②号两个品种火龙果产量情况.

【实践发现】在某火龙果果园种植基地各随机抽取25株①号、②号两个品种火龙果调查(每株火龙果每年

所结的火龙果个数用。表示，共分为三个等级：不合格α<45,良好45WαV65,优秀65Wα<85),下面

给出了部分信息：

①号品种25株果树所结火龙果个数分别为：36,47,68,82,27,27,35,46,55,48,48,57,66,57,

15

66,58,61,75,36,57,71,47,46,71,38

②号品种25株果树所结火龙果个数处于“良好”等级包含的所有数据为：64,54,51,62,54,63,51,

63,64,54

【实践探究】

抽取的①号、②号品种火龙果树所结火龙果个数的统计表

品种平均数众数中位数方差“优秀”等级所占百分

比

①号535755215.04y%

②号5354X236.2420%

抽取的②号品种每株果树所结火龙果个数扇形统计图

(1)填空：X=54,V=28,m=40；

(2)请用统计数据分析哪个品种的火龙果产量比较稳定，并说明理由；

(3)根据以上数据，你认为应建议果农选择哪个品种种植？请说明理由(写出一条理由即可).

【答案】(1)54,28,40；

(2)①号品种的火龙果产量比较稳定，理由见解答；

(3)建议果农选择①号品种种植，理由见解答.

【分析】(1)根据中位数、优秀率的概念可求出x、y的值，求出②号品种火龙果树所结火龙果个数处于“良

好”等级占40%,“优秀”等级所占百分比为20%,可求出,"的值；

(2)根据方差的意义即可得答案；

(3)比较①号、②号品种火龙果树所结火龙果个数的平均数、众数或中位数或方差或优秀率可得答案.

【解答】解：(1)；②号品种火龙果树所结火龙果个数处于“优秀”等级所占百分比为20%,

“优秀”等级个数为：25×20%=5(个).

将②号品种火龙果树所结火龙果个数处于“良好”等级包含的所有数据按从大到小的顺序排列为：

64,64,63,63,62,54,54,54,51,51,

16

，中位数x=54;

①号品种25株果树所结火龙果个数中，优秀的有7个，

.,.y%=JL×100%=28%,

-25

.∙.y=28.

；②号品种25株果树所结火龙果个数处于“良好”等级占改=40%,“优秀”等级所占百分比为20%,

25

“不合格”等级占1-40%-20%=40%,即机=40.

故答案为：54,28,40；

（2）①号品种的火龙果产量比较稳定，理由如下：

V215.04<236.24,

即抽取的①号品种火龙果树所结火龙果个数的方差<②号品种火龙果树所结火龙果个数的方差，

.∙.①号品种的火龙果产量比较稳定；

（3）建议果农选择①号品种种植，理由如下：

在平均数都是53的情况下，①号品种火龙果树所结火龙果个数的众数大于②号品种火龙果树所结火龙果个

数的众数（理由不唯一）.

19.（10分）如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画。ABCC和ABCE.

（1）请你在方格纸中找到点。，补全。ABCD；

（2）若每个正方形小格的边长为1,请计算线段CE的长度并判断40与CE的位置关系，并说明理由.

【答案】（1）如图所示；（2）见解析.

【分析】（1）在过C点且平行于AB的直线上截取4个单位长度，即找到点。

（2）证明三角形BeE是直角三角形，BCLEC,再由2C〃AL>,即可证明.

【解答】解：（1）所作点。如图所示：

17

(2)由图得：BC=λ^2^2=2√5,Cf=√42+g2=4√5»BE=I0,

.∙.BC2+EC2=BE2,

・・・三角形BCE是直角三角形，

：.BC.LCEt

•・・四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,

：.AD.LCE.

20.(10分)如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=K的图象交于A,8两点，且与X轴交于点C

X

点A的坐标为(2,1).

(1)求他及攵的值；

(2)连接。A,OB,求4A05的面积；

(3)结合图象直接写出不等式组0<x+∕nWK的解集.

【答案】(1)机=-1,⅛=2;

⑵S；

2

(3)l≤x≤2.

【分析】(1)把A点的坐标代入函数解析式，即可求出答案:

18

（2）解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出B点的坐标，求出C点的坐标，再根

据三角形面积公式求即可：

（3）求出C的坐标，根据图形即可求出答案.

【解答】解：（1）；点4（2,1）在函数y=x+∕n的图象上，

Λ2+∕n=l,即Wt=-1,

VA（2,1）在反比例函数y=K的图象上，

・•・攵=2；

（2）Y一次函数解析式为y=χ-1,令y=0,得X=1,

：・点。的坐标是（1,0）,

：•OC=I,

・•・点8的坐标为（-1,-2）,

11Q

..SMOB=SMOC+SABOC=ʌ×IX∣+-^-×IX2=^;

（3）由图象可知不等式组o<χ+πKK的解集为IVXW2.

X

21.（10分）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在

A处测得北偏东30。方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速

沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监

视巡查的过程中大约行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°=0.26,sin750=0.97,

【答案】我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了66海里.

19

【分析】过点C作C。，AB交线段AB延长线于点。，证aACC是等腰直角三角形，得AD=CD,由勾股

定理得AC=&C。，AD=CD=遥BD,然后由4。-BZ)=A8求出BC,进而求解.

【解答】解：如图，过点C作CO_LAB交线段AB延长线于点。，

VZBΛC=75°-30°=45°,

...△ACD是等腰直角三角形，

LAD=CD,

-,-AC=VAD2-KJD2=近CD,

∖,BC∕∕AE,

：.ZDBC=ZBAE=90a-30°=60°,

/.ZBCD=30°,

.∙.BC=2BD,38=他2也2={(2BD)2-BD2=√^犯

∖'AD-BD=AB,

.∙.√ξBD-Bo=20海里，

解得：BO=IO(√3+l)海里，

'CD=MBD=(3O+1O√3)海里心47海里，

ΛAC=√2CO≈66(海里)，

答：我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了66海里.

22.(10分)某服装店销售一款服装，每件成本为50元.经市场调研，当该款服装每件的售价为60元时，每

个月可销售300件；若每件的售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件.

(1)若该服装店某月销售该款服装200件，求这个月每件服装的售价；

(2)若该服装店希望销售该款服装每月获利3000元，且尽量给客户实惠，则每件服装的售价应定为多少？

【答案】(1)70元；

(2)60元.

20

【分析】(I)设这个月每件服装的售价为X元，由题意：当该款服装每件的售价为60元时，每个月可销售

300件；若每件的售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件.列出一元一次方程，解方程即可；

(2)设每件服装的售价应定为y元，由题意：该服装店希望销售该款服装每月获利3000元，列出一元二

次方程，解方程即可.

【解答】解：(1)设这个月每件服装的售价为X元，

由题意得：300-10(χ-60)=200,

解得：X=70,

答：这个月每件服装的售价为70元；

(2)设每件服装的售价应定为y元，

由题意得：(y-50)[300-10(y-60)1=3000,

整理得：√-140y+4800=0,

解得：y=60或)，=80(不符合题意舍去)，

Jy=60,

答：每件服装的售价应定为60元.

23.(10分)化简下列各式：

(1)-3x2y+2x2y+3xy2-Xy2；

(2)4?-(2X2+X-1)+(2-χ⅛);

(3)(2x2y+3xy2)-Cx2y-3xy2);

(4)4m2n-2(2mn-ιnin)+mn.

【答案】(1)-x2,y+2xy2;

(2)X2+2Λ+3;

(3)X2>,+6Λ>,2;

(4)6∕n2n-3mn.

【分析】(1)直接合并同类项，进而得出答案；

(2)直接去括号，进而合并同类项得出答案；

(3)直接去括号，进而合并同类项得出答案；

(4)直接去括号，进而合并同类项得出答案.

【解答】解：(1)-3jt2y+2χ2y+3χ)2-Xy2=-x2y+2xy2;

(2)4X2-(2X2+X-1)+(2-X2+3Λ)

21

=4X2-2X2-x+1+2-X2+3X

=/÷2x+3;

(3)(2x2γ+3xy2)-(x2y-3xy2)

=2x1y+3xy2-x2j+3xy2

=x2γ+6xy2;

(4)4∕H2H-2(2tnn-m2n)+/?//?

=4∕π*^2π-4ιnn+2ιn9njrmn

=onrn-3mn.

24.（10分）如图，已知直线y=-2x+4分别交X轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点，点尸是线段AB

上一动点，过点P作PCJ轴于点C,交抛物线于点£）.

（1）若抛物线的顶点用的坐标为（工，9）,其对称轴交AB于点N,

22

①求抛物线的解析式；

②是否存在点P,使四边形MNPQ为菱形？并说明理由;

（2）当点尸的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以从P、。为顶点的三角形与aAOB相似?

若存在，求出满足条件的抛物线的解析式：若不存在，请说明理由.

2

【答案】⑴①y=-2（χ-Λ）+Ξ.;②不存在，理由见解答;

（2）存在，抛物线的解析式为y=-2√+2x+4或y=-∣χ2+3χ+4.

【分析】（1）①用待定系数法即可求解；②不计算MN=∙∣∙-3^∣,根据四边形MNPQ为平行四边形，求出

PN,得到PNWMV,即可求解;

（2）分XPDBS[∖BOk∖Z∖PQBsZ^jβAo两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可.

【解答】解：（1）①对于y=-2x+4,令y=-2x+4=0,解得X=2,令X=0,则y=4,

22

故点A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4),

设抛物线的表达式为y="(x-1)2+.∣,

将点B的坐标代入上式得：4=”(-1)2+l,解得〃=-2,

22

2

故抛物线的表达式为y=-2(χ-∣)÷∣;

②不存在，理由如下：(如图)，

当X=工时，y=-2x+4=3,

Λ≡4-3⅛

设P点坐标为(〃z,-2∕w+4),贝IJD(加，-2∏72+2∕Π+4),

ΛPD=-2ιτι2+2m+4-(-2〃z+4)=-2w2+4∕??,

'：PD//MN,

当Po=MN时，四边形MNP。为平行四边形，

2,

-2m+4m="­∙解得舍去)，m2⅛

2

2

・PNn+(3-l)=√5^

：・PNWMN,

・・・平行四边形MNPD不为菱形，

，不存在点P,使四边形MNFD为菱形；

(2)存在，理由：

如图，OB=4,OA=2,则⅛β=√22+42

23

当x=l时，y=-2x+4=2,贝IJP(1,2),

∙*∙PB=√l2+(2-4)2=√5，

设抛物线的解析式＞=«?+区+4,

把A(2,0)代入得4α+2b+4=0,解得6=-2α-2,

抛物线的解析式为y=∕-2(α+l)x+4,

当X=I时，y=αf-2(α+l)x+4=α-24-2+4=2-a,则。(1,2-α),

：♦PD=2-a-2=^a.

DC//OB,

：.ZDPB=ZOBA,

.∙.当里=T⅛∙,APDBsXBOA、

BOBA

即二曳解得“=-2,

42√5

此时抛物线解析式为y=-2X2+2Λ∙+4;

当世卫•时，XPDBSXBAO,

BABO

即空变,解得a=E,

2√542

2

此时抛物线解析式为y=qx+3x+4;

综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y=-2√+2Λ+4或y=-^χ2+3χ+4.

25.（10分）问题提出

（1）如图①，已知正方形ABCr）的边长为4,E是BC的中点，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线

段尸E,连接CF,求C尸的长;

问题解决

（2）为了解乡村生活、体验乡村水土风情、享受田园风光，某校计划利用空地修建蔬菜种植基地，让学生

自己种植，自己管理，学习种植技术，体验丰收的喜悦.已知蔬菜种植基地ABC。的设计示意图如图②所

24

示，其中A£>〃BC,BC=CD=IOOZW,ZC=60°,E为CD上一点、,且不与C,。重合，NAEB=60°.按

设计要求，AABE中种植叶菜类，其余种植根茎类.设CE的长为X(%),蔬菜种植基地的面积为y。〃2).

①求y与X之间的函数关系式；

②当种植叶菜类的面积恰好与根茎类的面积相等时，求AB的长.

【答案】(1)2弧；

(2)Φ>>=25√3A-+2500√3-(0<X<100);

②50ΛJ‰

【分析】(1)取AB的中点R连接ER,由正方形的性质和E是8C的中点得出AR=BR=BE=CE=2,Z

8=90°,则4EBR是等腰直角三角形，得出RE=√]BE=2√5,再由SAS证得△(?£：/畛△/?/!，即可得

出结果；

(2)①过点E作EGLAD交AD延长线于G,延长GE交BC于F,则DE=(IOO