山东省青岛市青岛第五十八中学2023-2024学年高三年级上册10月月考数学试题 附答案

2023-2024学年第一学期阶段性调研测试

高三数学试卷

2023.10

注意事项：

1.本试卷分第I卷和第n卷两部分。第I卷为选择题，共60分；第II卷为非选择题，共90

分,满分150分，考试时间为120分钟。

2.第I卷共x页，每小题有一个正确答案，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题

卡上。第U卷共x页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题纸上。

3.试卷卷面分5分，如不规范，分等级（5、3、1分）扣除。

第I卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合4=｛耳2*-1>0｝,B=｛X|X2+2X-3<0｝,则AB=（）

A.(0,3)B.(O,l)C.(-3,+co)D.(-l,+co)

2.若z(l-3i)=2-i,则4=(

C.l+iD.1—i

3.已知等差数列｛q｝的前5项和S$=35,且满足%=13q,则等差数列｛4｝的公差为（）

4.2023年5月10|：|21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点

发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道.己知火箭的最大速度u（单位：km/s）

与燃料质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量加（单位：kg）的函数关系为v=21n（l+竺］.若

已知火箭的质量为3100kg,火箭的最大速度为llkm/s,则火箭需要加注的燃料质量为（）（参考数值:

In2«0.69,In244.69«5.50,结果精确到O.Olt,It=1000kg）

A.890.23tB.755.44tC.244.69tD.243.69t

5.已知sin—,则cos

4

6.已知x>0,y>0,且x+2y=l,下列结论中错误的是（)

A.孙的最大值是一B.2,+4，的最小值是2

]?

C.±+4的最小值是9D./+4y2的最小值是:

xy

7.设函数/(x)=sins+?在区间(0,〃)恰有三条对称轴，则0的取值范围是()

8.已知od,-=-=1.01,(1—c)e<=(1—d)e"=0.99,贝U()

a+\b+\\\)

A.a+b<0B.c+d>0C.a+d>0D.b+c>0

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.函数y=ax+2-2x(a>0,aH1)的图像恒过定点A(-2,4)

B.设xeR,则“卜一1|>1”是“x>3”的必要而不充分条件

C.命题“玉（）G[0,1],+x021”的否定为"Vx€[0,l],A：?+%v1”

D.函数y=J2'+2+71=的最小值为2

依+2

10.设等差数列｛4｝的前〃项和是S“，已知工4〉0，S15<0,正确的选项有()

A.q>0,d<0B.%+%>0

(：.56与37均为3的最大值D.4<0

11.已知函数/(x)=Asin(s+0)1A>0,①>0,-]<夕<1)的部分图象如图所示，则()

Aj(x)的最小正周期为〃

jrjrGV3

B.当xe时，的值域为一

C.将函数/(x)的图象向右平移鼻个单位长度可得函数g(x)=sin2x的图象

D.将函数/(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点(彳,0)对

称

12.已知函数<(x)=sin2”+cos2"x(〃wN*),记4(x)的最小值为a,,数列｛4｝的前”项和为S“，下列

说法正确的是()

1031

A.=—B.0.=—

~2416

〃1n1

C.ZIn(1+a,)<2D.若数列也｝满足a=———，则Z叫+也+2<7

/=11—10g2/=14

第n卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.定义域为R的函数满足：当xe[0,l)时，〃x)=3'-1,且对任意实数x,均有〃x)+/(x+l)=l,

则”]0g34)=.

14.已知数列｛q｝前〃项和为5„,若S„=3+2"(〃eN*),则数列｛«„｝的通项公式为.

15.湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形A8C。区域建一处湿地公园.

已知NZMB=90。，ZDBA=45°,ZBAC=30°,ZDBC=60°,AB=2&千米，则C£>=千

米.

16.机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式.在研究时需要估

算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式.两点

2

A(x「y),％)的闵氏距离为D,(A,3)=佃-司"+|凹-%「)°，其中P为非常常数.如果点M在曲

线丁=/上，点N在直线y=x—1上，则〃(M,N)的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题10分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,h,c,已知acos8+bcosA=2ccosC.

(1)求C；

(2)若c=l,求△ABC面积的取值范围.

18.(本题12分)已知等比数列｛q｝的各项均为正数，其前八项和为5“，且3q,%，5%成等差数列，

54+5=5a3.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵设4=%•log3an+l,求数列也｝的前〃项和7；.

k

19.(本题12分)已知函数"x)=ln(l+x)-x+§x2(kN0).

(I)当％=2时，求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(II)讨论〃力的单调性.

20.(本题12分)

如图，直角△ABC中，点M,N在斜边5c上(M,N异于B,C,且N在M,C之间).

(1)若40是角A的平分线，AM=3,且求△ABC的面积：

(2)已知AB=3,AC-3^3,Z.MAN=—,iSZ.BAM=6.

6

_21

①若sin®=—,求A1N的长；

7

②求八的河面积的最小值.

21.(本题12分)已知首项不为0的等差数列&｝,公差dwO,a,=0为给定常数)，S,为数列的｝前〃

项和，且S叫=S,“,(町＜牡)，也｝为相2-叫所有可能取值由小到大组成的数列.

(1)求女(可以直接写出结果)；

(2)设：；；；+])，刀,为数列｛c,｝的前〃项和，证明：

22.(本题12分)已知函数/(x)=xlnx+3,g(x)=2xe'-lnx-x-ln2.

⑴若直线y=x是曲线y=/(x)的一条切线，求。的值；

(2)若对于任意的玉e(O,+8),都存在%«0,+8),使/(xj2g(占)成立，求a的取值范围.

2023—2024学年第一学期阶段性调研测试

高三数学国庆月考试卷答案

2023.10

一、单选题

1.【答案】BV2'-1>0,即2'>1=2°,由指数函数的单调性可得，x>0,

A={x[x>0},由％2+2彳-3<0,解得-3<X<1,B={X]-3<X<1},

AB={%|0<%<1}=(0,1).

2-i(2-i)(l+3i)5+5i11.-11.

2.【答案】B【详解】由z(l—3i)=2—i,得z-------------------=-----=---1--1,Z=-----1.

l-3i(l-3i)(l+3i)102222

3.【答案】DS5=5a1+10J=35；%=4+41=13%,解得d=3,4=1.故选：D.

MM2

4.【答案】B【详解】依题意，加=3100,令u=21n1+=11,则In1+=lne",所以

31003100

=e“，l+-^-=e5-5,=e55-1®eln24469-1=244.69-1=243.69,所以

31003100

M=3100x243.69=755439kg«755.44t.

5.【答案】C【详解】因为sin(x+C71〕=—,，所以

124

兀c2

=coslZT---2x=-cos—+2x=-l-2sin[x+—

6J16LI12J

7

8

6.【答案】B

对于A中，由x>0,y>0,且x+2y=l,对于A中，由x+2yi2j2iy,当且仅当x=2y=g时，等

号成立，所以2"面VI,解得孙A，,即孙的最大值为工，所以A正确；

88

对于B中，由2*+4¥=2、+22>’22亚匚声=2亚匹=20,当且仅当x=2y=g时，等号成立，所以

2、+4’最小值为2及，所以B错误;

对于C中，1+-=|1+-|(x+2j)=5+^+—>5+2邑•”=9,当且仅当祖=在，即x=y=L

xyyxy)xy\xyxy3

时，等号成立，所以上+*的最小值是9,所以C正确；

尤y

对于D中，由.+4—=Y(=_L,当且仅当x=2y=」时，等号成立，x'+d/的最

22V2J42

小值是1，所以D正确.

2

7.【答案】D

8.【答案】D

eae

A.V——=——=1.01>0,・,・。>一1,b>-\,令/(%)=上小>-1)

。+1/7+1

则/(x)="…所以f(x)在(TO)单调递减，在(O,+X))上单调递增,

。+4

且/(0)=0,故。>0,-l<b<0.

令〃(x)=ln/(x)_ln/(_x)=2x_ln(x+l)+ln(_x+l),

i_io

则〃'(x)=2—-—+——=2——J<0,所以〃(x)在(—1,1)上单调递减，且〃(0)=0

')x+1-x+11-x2

•.”e(T,0),.••In/®-ln〃/)>0,.•./.)>“询

•,•/(«)>/(-^)>：-a>-b,即a+A>。,故选项A错误.

B.：(1-c)e，=(1-d)e”=0.99>0,c<l,d<\,令

g(x)=(l-x)e*(x<l),则g'(x)=-xe)所以g(x)在(-oo,0)单调递增,

在(0,1)上单调递减，且g(O)=l,故()<c<l,d<0.

令加(x)=Ing(x)-Ing(-x)=2x-In(x+1)+ln(-x+1)=

所以〃2(x)在(T,1)上单调递减，且〃，⑼=0

：ce(O,l),lng(c)-lng(-c)>0,g(c)>g(-c),g(d)>g(-c)

：.d<-c,即c+d<0,故选项B错误.

C.Vf(x]=-~g(-«)=—=^^>0.99,a€(-1,0)

八)g(T)；/(«)1011，)

g(-a)>g(d),又I，g(x)在(-oo,0)单调递增，-a>d,a+d<0

故选C错误.

D.由C可知,g(-8)>g(c)，-be(0,1)，又；g(x)在(0,1)单调递减，.•.一b>c

故选D正确.

二、多选题

9.【答案】BC

对于A,令x+2=0,则x=—2,即y=a°-2x(—2)=5,所以函数)一2x(a>0,a#0)的图像恒

过定点A(—2,5),故A错误;

对于B,卜一1|>1,解得x>2或x<0,由于｛x|x>3｝U｛x|x>2或x<0｝,则“卜一1|>1”是“x>3”的必要

不充分条件.故B正确；

对于C,命题“玉0«0，1]，琮+/N1”的否定为“VXG[0,1],炉+%<1"，满足命题的否定形式，故c

正确；

对于D,函数y=,2*+2+一，令f=2'+2>2,则y=f+1，t>2,由双勾函数的性质知y=f+,

V2¥+2f-t

在(2,+8)上单调递增，故y>2+'=3,故函数y=j2'+2+』—的最小值为2错误,故D错误.

22-\/2'+2

10.【答案】ABD根据题意，等差数列｛4｝的前n项和是S“，且耳4>0，Sl5<0,则

S|4=——(彳+"4)=7(q+0|4)=7(%+4)>0，即。7+。8>°，

九=——~^=15必<(),即％<0,则为〉0；

故等差数列｛4｝的前7项为正数，从第8项开始为负数，则q>0,d<0.

则有S7为S”的最大值.故A,B,D正确；故选：ABD.

11.【答案】ACD

【解析】由图可知，A=l,函数/(无)的最小正周期T=4x故A正确;

2乃21

69>0,知刃=2,

斤71

因为/⑥=1,所以sin(2x*+，=l,所以(+e=2Qr+],k&Z,即*=2版■+[■,人Z,

又一匹<°<生，所以°=2,所以/(x)=sin2x+工

226I6

、i,7T7TM_7C7127r71|>/3.

对于B,当XE---,一时，2xH—€---,—.所以sin2x4—G----,1

44J6L33JI6)2

所以“X)的值域为一$1,故B错误;

对于C,将函数/(x)的图象向右平移今个单位长度，得至ijg(x)=sin=sin2x的图象，故

C正确;

对于D,将函数/(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sinx+看的图

象,因为当尤=1时，y=sin(V+Wj=sin万=0,所以得到的函数图象关于点(葛,0)对称，故D正确.

故选：ACD.

12.【答案】ACD

(sin2xY*(cos。)”(sin2x+cos2xY'i

【解析】工(x)=\J+、-J”——声一心=广(当且仅当sin2X=cos2x等号成立),

4=击，“2=；，A正确；S4”.B错误;

8

lx

1.111I2/1

因为ln(l+aj<4=诃，所以，足(1+4)<1+弓+至++—q-=------j----=2-T7T<2,。正

L/=l乙乙乙1____乙

~2

确；

,11,,,-1j11_________}______

"-72'ii+lM~z(z+l)(z+2)-2[7(771)-(z+l)(/+2)J'

〃1111111£11\_

X姐+生2=5Z

---------------1---|---------------------22"(n-l)(n-2)<4D

/=1乙L2x32x33x4+(〃+l)(〃+2)

正确.故选ACD.

三、填空题

13.【解析】由/(x)+/(x+l)=l,得/(x+l)=l—/(x),

(,4\42

贝廿（1呜4）=1二"皿一1）=1二尸3叼-11——+1=-

\733

5,n=1,

14%=<

2'-',n>2.

ABAC

15.【答案】2#）【解析】在三角形BAC中由正弦定理得,所以

sinZACBsinNABC

_____迫__________=一些—，即注=_____________些_____________

sin(180°-30°-45°-60°)sin(45°+60°)sin45°sin45°cos600+cos45°sin60°

4~/。七-,所以AC=逐+后

V6+V2

4

又NZM5=90°,ZDBA=45°,所以△ABO为等腰直角三角形，所以40=43=20,

在△ZMC中由余弦定理得

CD=yjAC2+AD2-2AC-ADcosADAC

=^(76+V2)2+(2V2)2-2(76+V2)x2V2cos(90°-30°)=2百，所以C£>=26.

16.【答案】2【解析】设N(x,x-1),则。(M,N)=|x—f|+|x—1—e],

令/(x)=l+d—X,则r(x)=e*—1,；.当xe(-oo,0)时，当XG(0,+OO)时,

A/(x)在(f0)上单调递减，在(0,物)上单调递增，“x)白〃0)=2,即1+e'Nf+2>f,当xWf时,

D,[M,N^=t—x+l+e'—x=e'+t+\—2x>e'—t+\>2,

当时，D](M,N)=x—r+l+e'—x=l+d—122；

当x21+e'时，D\M,N^=x-t+x-\-e'=2x-t-\-e'>2(\+e')-t-^~e'=\+e'-t>2,

综上所述：〃(M,N)的最小值为2.故答案为：2.

四、解答题

17.【解析】(1)在ZXABC中，由已知及正弦定理得：

sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,

即有sin(A+3)=2sinCcosC,即sinC=2sinCcosC,而OVCVJT,sinC>0,则cosC=g,所以

(2)在△ABC中，由余弦定理/=/+/-2abcosC得：\=a2+b2-ab,

因此122M一次?，即当且仅当a=Z?时取等号,

又SgBc=gabsinC=；x-^a〃=Vabe]。,

,所以"BC面积的取值范围是

18.【解析】（1）设数列｛4｝的公比为q,因为3q,小，5外成等差数列，

所以3%+5aM=2%/,即3+5q=2q2,解得q=3或夕=-g

因为｛4｝各项均为正数，所以q〉0,所以4=3,

由§4+5=5%,得+5=5x324,解得弓=1,所以a”=q3"T=3"T(/eN*).

3-1

（2）由（1）知，hn=nx

则7；=lx3°+2x3i+3x32++nx3"-l

所以37；=1x31+2X32+3X33++〃x3”,

1_

两式相减可得一27；=3°+3i++3"T—〃x3"=下三—"x3”,

整理可得7；=2±1X3"+L.

19.解：(I)当％=2时，/(x)=ln(l+x)-x+f,..=l+2x

33

由于/(l)=ln2,广(1)=1,所以切线为y_ln2=](x—l)

即3x—2y+21n2-3=0.

(ID/0)=)■+%二I,xe(-l,4w).当々=0时，_f(x)=---.

1+X1IX

所以，在区间（一1,0）上，r（x）＞0；在区间（0,+o。）上，f'（x）＜Q.

故/（x）得单调递增区间是（一1,0）,单调递减区间是（0,+8）.

当Ovkvl时，由广（x）=尢（；+-_0=0,得玉=o,x2=~j~~~＞0

所以，在区间（―1,0）和（F，+8］上，r（x）＞o；在区间p），F］上，r（x）〈o

\7\k）

/、（\-k\（1一”、

故/（%）得单调递增区间是（—1,0）和」,+00,单调递减区间是0,匕上.

当左=i时，/＜》）=£,故/（尤）得单调递增区间是（一1,物）.

当左＞1时，/(x)=+：~—=0.得玉={^e(-l,O),x2=0.

所以没在区间（一1，9］和（o,+oo）上，r（x）＞o；在区间（Y，o）上，r（x）＜o

故/（X）得单调递增区间是和（0,+8）,单调递减区间是

综上所述：当左=0时，/（x）的单调递增区间是（一1,0）,单调递减区间是（0,”卜

单调递减区间是（0，Y

当0”＜1时，"X）的单调递增区间是（一1,0）,

当/=1时，/（X）的单调递增区间是（一1,+00）；

当上＞1时，“X）单调递增区间是-1,,（0,+8）,单调递减区间是-宁,0

20.(1)

法一：向量法

•・・A"是角A的平分线，CM=2MB,

21

/.AM=-AB+-ACf两边同时平方得

33

2421244O10

AM=-AB+-AC+-ABAC,即9=一/+一凡

99999

解得C=疲，b=­,

又•：b=2c,

44

119J29J281

则△ABC的面积“杵=—bc-sinN8AC=——；

22428

法二：等面积法

SHc=-bc-sinZBAC=--c-AMsinZBAM+--b-AMsinACAM，

△AABC222

即40C・1=L-3C.^^+』・3。.^',即8c=^^(b+c),解得c=9”,,b

222222V74

11Q5Q5O1

则△ABC的面积S2pc=±bc.sinN8AC=—・U--0-」=J；

22428

法三：应用两次已知角的余弦定理联立求解(略)

(2)由右图知各角关系

①方法：角的转换

由已知，AB=3,AC=3石，^BAC=-,

2

ZB=-,zc=-,e<-

362

由已知sin。=立^,则cosd=2~2

77

由正弦定理得

MNAMANAB

1o/Q/Q_,X7

MN=-AMcos0,AM=*sin——0,解得AM=近，MN=-

22I3)4

②方法：底乘高

过A作ADJ.3C于。

则AD=AB-sinB=3・@=^,

22

MN=-AMcos。，AM=

2

...到1-------L_=延/i、厂=36/1、

MN4cossin4lsin『+29)+心2sin[g+28)+6

q（），a2呵0弓八八n"，sin(

20+—&2。+1G(0,l]

37

127127154-276