2024年考研数学三真题解析详解

1994年全国硕士硕士入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题，每题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

「2X+Lxl

(1)[—4dx=

J-22+/

X

(2)已知[=贝！Jlim

x

^°f(x0-2x)-f(x0-x)

(3)设方程*+V=cosx确定y为x的函数,则电=_________________

dx

「0。10L0

00。2L0

(4)设公=MMMM，其中勾片0,，=1,2,L,n,贝uA-1=

000L4T

an00L0

(5)设随机变量X的概率密度为

2%,0<x<1,

/(%)=

0,其他，

以y体现对X的三次独立反复观测中事件(X<出现的次数，则P{Y=2}=

二、选择题(本题共5小题,每题3分，满分15分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题

目规定，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

±r24-r+l

(1)曲线y=e"arctan的渐近线有

(%+1)(%-2)

()

(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条

(2)设常数，而级数；收敛，则级数

2>0Yan/2。

n=l八=15/Tl+A

()

(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛

性与,有关

(3)设A是ax〃矩阵，。是“阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,矩阵5=AC时秩为大则

(A)

r>r}(B)r<r}

(C)r=z](D)r与4的关系由。而定

设0<P(A)<l,0<P(B)<1,P(A|B)+P(AB)=1

(A)事件A和B互不相容(B)事件A和B互相对立

£C)事件A和5互不独立(D)事件A和8互相独立

(5)设X],X2，L,X”是来自正态总体NO，。?)的简朴随机样本，X是样本均值，记

1n-1n-

S；=一^(X,-X)2,S；=—/X,-X)2,

n-1,.in,=i

则服从自由度为的r分布的随机变量是

x-〃X-pi

~s~~s7~

y/n-l

,、X-u

(0t=(D)t=

)3d4

4n4n

三、(本题满分6分)

计算二重积分jj(x+y)办如仪，其中£)={(%,y),2+,2wx+y+i}.

D

四、(本题满分5分)

。设函数y=y(x)满足条件<彳求广义积分J：y(x)dx.

五、(本题满分5分)

-,八,/、2y?%492/

。已知j(%,y)=xarctan---yarctan—,求-----.

xydxdy

六、(本题满分5分)

设函数/(%)可导,且/(O)=O,F(x)=「广"(x"T")力,求lim4^.

Jox->0

七、(本题满分8分)

己知曲线y=aG(a〉0)与曲线y=In«在点(x0,%)处有公共切线，求:

(1)常数a及切点(毛,%);

(2)两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积匕.

八、(本题满分6分)

假设/(%)在［a,+8)上持续，f\x)在(a,+oo)内存在且不不大于零,记

-)=/("⑷…,

x-a

证明/（x）在（a,”）内单调增长.

九、（本题满分11分）

。设线性方程组

23

再+axx2+%退=%，

%!+a2x2+

%]+a3x2+

%+a4x2+

（1）证明:若％,。2，。3，。4两两不相等，则此线性方程组无解;

（2）设%=%=左,“2=。4=-左（左/0）,且己知发，夕2是该方程组的两个解，其中

写出此方程组的通解.

十、（本题满分8分）

001

。设Ax1y有三个线性无关的特性向量,求x和y应满足的条件.

10o

十一、（本题满分8分）

假设随机变量x1；x2,x3,x4互相独立,且同分布

P{Xi=0}=0.6,P{Xi=1}=0.4（z=1,2,3,4）,

求行列式乂=1“2的概率分布.

X3X，

十二、（本题满分8分）

假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（〃,l）,内径不不不大于

10或不不大于12时为不合格品，其他为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品

亏损.已知销售利润T（单位:元）与销售零件日勺内径X有如下关系：

-1,X<10,

T=J20,10<X<12,

-5,X>12.

问平均内径〃取何值时，销售一种零件的平均利润最大？

1994年全国硕士硕士入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共5小题,每题3分,满分15分.)

(1)【答案】In3

【解析】运用被积函数的奇偶性,当积分区间有关原点对称，被积函数为奇函数时，积分

为

0;被积函数为偶函数时，可以化为二倍的半区间上的积分.因此知

-2|x|

原式=「一~dx+-^dx=2'2-^dx

J-22+x2-22+x2■02+x2

MU加

=In(2+x2)[=In6-In2=In3.

⑵【答案】1

/(%+Ax)一/(%)

【解析】根据导数的定义，有尸(%)=lim

Axf0Ax

因此由此题极限的形式可构造导数定义的形式，从而求得极限值.由于

lim」5—2x)--(%-x)

x-0%

/(%—2x)一/(%0)——x)+f(x)

——111110

,

=(—2)lim"%-2x)-/(%)+Um/(%-x)-/(%)=_2/(^0)+/(-^o)=1.

xf0—2X0—x

x1

因此原式=lim---------------------------=-=l.

5/(/―2x)—/(xo—x)1

ye孙+sinx

(3)【答案】y'=—

xev+2y

【解析】将方程+/=cosx当作有关x的恒等式，即y看作x的函数.

方程两边对X求导，得

+xy')+2yy'=-sinxny'=-ye

xe-+2y

【有关知识点】两函数乘积的求导公式：[/(%)-g(x)]'=/'(1)•g(x)+/(%)-g'(x).

—000

ax

(4)【答案】

00—0

051

【解析】由分块矩阵求逆时运算性质，有公式

B0A-10

000—

an

—000

因此,本题对A分块后可得A-1=

00—0

9

(5)【答案】—

64

【解析】已知随机变量X的概率密度，因此概率p{x<g}=J；2xdx=；,求得二项

分布的概率参数后,故y〜B(3,-).

4

由二项分布的概率计算公式,所求概率为P{Y=2}=心图唉

【有关知识点】二项分布的概率计算公式:

若y〜3(〃,p),则尸｛丫=左｝=。)11—,广3左=0,1,

二、选择题(本题共5小题,每题3分，满分15分.)

(1)【答案】(B)

【解析】本题是有关求渐近线的问题.

T二X2+X+171

由于hmexarctan---------------=—,

X—>00(x+l)(x—2)4

7T

故y=I为该曲线的一条水平渐近线.

立-%?+X+1

乂limexarctan---------------二oo.

a。(x+l)(x-2)

故％=0为该曲线的一条垂直渐近线，因此该曲线的渐近线有两条.

故本题应选(B).

【有关知识点】水平渐近线：若有lim/(%)=〃，则y=a为水平渐近线;

铅直渐近线:若有lim/(x)=GO,则％=。为铅直渐近线；

%—>4

斜渐近线：若有a=lim以立力=lim"(x)-取］存在且不为8,则y=以+》为斜渐

近线.

(2)【答案】(C)

【解析】考察取绝对值后的级数.因

Ic-iriajLi2,11.12.1

|7^77|"2"2n2+A2-2卮

(第一种不等式是由a>O,b>O,ab<1(a2+/)得到时)

00001001

又£片收敛，I收敛，(此为2级数：当0>1时收敛；当pwi时发散.)

n=ln=l2〃n=l〃

因此之,a：+_L收敛由比较鉴别法,得y(—D1%।收敛.

占22n267^77

故原级数绝对收敛,因此选(C).

(3)【答案】(C)

【解析】由公式r(AB)<min(r(A),r(B)),若A可逆,则

。。r(AB)<r(B)=r(EB)=r[A-1(AB)]<r(AB).

从而r(AB)=r(B),即可逆矩阵与矩阵相乘不变化矩阵的秩,因此选(C).

(4)【答案】(D)

【解析】实际上，当0<。(5)<1时，P(A|8)=P(A|R)是事件A与6独立的充足必要

条件，证明如下：

若P(A|5)=P(A|历，则

"AB)=P(AB)-P(B)P(AB)=P(B)P(疝),

P(B)l-P(B)

P(AB)=P(B)・[P(AB)+P(AB)]=P(B)P(A),

由独立的定义，即得A与B互相独立.

若A与6互相独立,直接应用乘法公式可以证明P(A|B)=P(A|'B).

P(A\B)^1-P(A\B)P(A\B).

由于事件B的发生与否不影响事件A发生的概率，直观上可以判断A和B互相独立.

因此本题选(D).

(5)【答案】(B)

【解析】由于X],X?,…，X”均服从正态分布N("Q2),根据抽样分布知识与t分布的应

用模式可知

Y_..___1n

与己N(O,1),其中x=—£Xj,

/品nT

t(n-l).

X—juX—ju

即I产=-----r(n-l).

EE区-百向

由于。分布的经典模式是：设XN(O,1),Y/(〃)，且X,y互相独立，则随机变量

V

T=7=服从自由度为"的f分布，记作T/(").

y/Y7n

因此应选(B).

三、(本题满分6分)

【解析】措施1：由/+/<%+丁+1,配完全方得[％—g[+(y—g)^|-

令1-g=rcos&y-；=rsine,引入极坐标系(几6),则区域为

D-<(r,^)|0<^<2TI,0<r<

故\\{x+y)dxdy=^dd\^(1+rcos^+rsin0)•rdr

D

3

a产d0+-(cos0+sin3)d0

4Jo2V2Jo

3「2%+；JT(sin8-cos3

=—71.

4o2

措施2:由+y2<%+y+],配完全方得(x—/IIM-

引入坐标轴平移变换："=x-L,v=y-L,则在新的直角坐标系中区域。变为圆域

22

D1=(i/,v)|u?+v2V5卜

ffijx+y=w+v+1,则有dxdy=dudv,代入即得

Jj(x+y)dxdy=1j(w+v+l)dudv=jjududv+vdudv+“dudv.

DD】DiDi5

由于区域2有关u轴对称，被积函数〃是奇函数，从而JJududv-0.

同理可得jjvdudv=0,又^dudv=\D^=—7V,

AA2

故jj(x+y)dxdy=—TT.

D2

四、(本题满分5分)

【解析】先解出y(x),此方程为常系数二阶线性齐次方程，用特性方程法求解.

方程V+4y'+4y=0的特性方程为彳2+42+4=0,解得4=%=—2.

故原方程时通解为y=(G+C,x)e-2x.

由初始条件y(0)=2,y'(0)=T得G=2,C?=0,

因此，微分方程的特解为y=2"21

•4-00/•+oo-

再求积分即得°y{x)dxJ2edx

=limfe~2xd（2x）=lim-e~2x[=1.

b—>+<x）JO''Z?—>+oolO

,

【有关知识点】用特性方程法求解常系数二阶线性齐次方程y"+py+qy=Q：

首先写出方程y"+py'+qy=0的特性方程：产+°厂+q=0,在复数域内解出两个特

性根彳，G;

分三种状况：

v

（1）两个不相等的实数根不公则通解为〉=£63+C2e\

（2）两个相等的实数根彳=2,则通解为y=（£+Gx）/；

ax

（3）一对共辗复根£=夕±率，则通解为y=e（QcosJ3x+C2sinJ3x）.

其中a，C2为常数.

五、（本题满分5分）

【解析】由复合函数求导法,首先求g,由题设可得

OX

yxyyy

=2xarctan---------——-----=2xarctan——y.

xx+y%+yx

再对y求偏导数即得

2

df=2xj__1=2，_]=-

dxdy][y]xx2+y2x2+y2

【有关知识点】多元复合函数求导法则：假如函数〃=0（x,y）,v=〃（匹y）都在点（九,y）具

有对%及对y的偏导数,函数z=/（w,v）在对应点3#）具有持续偏导数，则复合函数

z=（尤,y）,〃（无,y））在点（x,y）的两个偏导数存在，且有

dzdzdudzdvrfdudv

--=--------1-------=f]1-fz--；

dxdudxdvdxdx-----dx

dzdzdudzdvrtdurfdv

—=-------1-------=f\----1~fy—•

dydudydvdydydy

六、(本题满分5分)

【解析】运用换元法，令x"-〃=”，则

F(x)=/)由=—J；f(u)dun尸(x)=x"T/(x").

由于limf孕为“。”型的极限未定式，又分子分母在点。处导数都存在，运用洛必

…x2n0

达法则,可得

F(x)F\x)x'V(x")

hrm—=rhm-V-=rhm——/

—0铲—02"2'1KfO2wr'T

2n—。xn2n―。xn-Q

由导数的定义，有原式=2/'(0).

2n

【有关知识点】对积分上限时函数的求导公式：

/•/?(?)

若F(n=[f(x)dx,«(0,/3(t)均一阶可导,则

Ja(r)

七、(本题满分8分)

【解析】运用(毛,为)在两条曲线上及两曲线在(不，光)处切线斜率相等列出三个方程，由

此,可求出然后运用旋转体体积公式求出匕.

a,x0,y0,r(x)dx

(1)过曲线上已知点(毛,为)的切线方程为V-%=左(x—x0)，其中，当>'(不)存在时，

左=>'(不).

由y=ay[x知V=—.由y=In五知y'=」-

14x2x

由于两曲线在(%,为)处有公共切线，可见一1=」-，得

25yxo2%0a

将毛=，分别代入两曲线方程,有为=aMm

11

于是a=—，X。=~Te1

ea

从而切点为Q2,1).

(2)将曲线表成y是x的函数，丫是两个旋转体的体积之差，套用旋转体体积公式，可得

旋转体体积为

2

Vx=(―(InInxdx

一「7T2兀7C

=XM；25—e-------x=—

22।2

【有关知识点】由持续曲线y=/(x)、直线x=a,x=〃及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋

转一周所得的旋转体体积为：V=f\x)dx.

Ja

八、(本题满分6分)

【解析】措施1：

/(%)=-,⑷=^-[/Xx)(x-a)-/(%)+/(a)],

yx-a)(1一〃)

令(p{x)=f'(x)(x-«)-/(%)+/(«)(%>a),

由(p'{x}=f"(x)(x—a)+f'(x)—f'(x)=(x—a)f"(x)>0(%>a),

知9(x)在(a,-K»)上单调上升,于是(p{x}>9(a)=0.

故厂口)=OR〉。

(x—a)

因此尸(x)在(a,”)内单调增长.

措施2:E，(x)/a)(x-a).[/a)T(a)]=J_J."一于⑷-

(x-a)-x-a\_x-a_

由拉格朗日中值定理知，(x)-/(a)=于’8,(。<。<%).

x-a

于是有F'(X)=-[/(%)-ro，

x-a

由/”(尤)>0知/"(x)在(a,+00)上单调增，从而f\x)>y'C),故F\x)>0.

于是F(x)在(a,4w)内单调增长.

【有关知识点】1.分式求导数公式：[2]=八；"

2.拉格朗日中值定理：假如函数/(%)满足在闭区间[a,b]上持续;在开区间(a,内可导,

那么在(a,。)内至少有一点/a(自<b),使等式于3)—/(a)=f'C)(b—a)成立.

九、(本题满分11分)

【解析】⑴由于增广矩阵了的行列式是范德蒙行列式，Qi，%，/，氏两两不相等，则有

|A|=（%—%）（。3—％）（〃4一%）（。3—%）（〃4一％）（。4—。3）。°，

故r(A)=4.而系数矩阵A时秩r(A)=3,因此方程组无解.

（2）当q=%=左,％=。4=—%（左。0）时,方程组同解于

石+近2+左2%3=左：

<

%—kx、+k~X3=­k-

1k-

由于=—2左HO,知r（A）=r（A）=2.

1-k

由〃—r(A)=3—2=1,知导出组Ac=0的基础解系具有1个解向量,即解空间的维数

为1.

由解的构造和解的性质,

是Ax=0日勺基础解系.

于是方程组的通解为4+左〃，其中左为任意常数.

【有关知识点】1.非齐次线性方程组有解的鉴定定理:

设A是相x〃矩阵,线性方程组Ac=b有解的充足必要条件是系数矩阵的秩等于增广

矩阵,=（A与的秩，即r（A）=r（无）.（或者说，。可由A的列向量生,%，-，%线表出，亦

等同于%,%，，a“与名,%，••，%，6是等价向量组）

设A是机x〃矩阵，线性方程组Ac="则

(1)有唯一解Or(A)=r(A)=n.

（2）有无穷多解Or(A)=r(A)<n.

(3)无解or(A)+l=r(A).

o匕不能由AaI列向量生,%，…,见线表出•

2.解的构造：若火、a2是对应齐次线性方程组Ax=。的基础解系，知Ax=匕的通解

形式为匕4i+其中7，%是Ax=0的I基础解系，自是Ax=匕日勺一种特解.

3.解时性质：假如7，〃2是Ax=0的两个解，则其线性组合尢7+424仍是Ax=。的

解；假如J是=3的一种解，〃是Av=0的一种解，则J+〃仍是Ac=5的解.

十、（本题满分8分）

【解析】由A的特性方程，按照第二列展开，有

20-1

I/IE1—A|=—x2—1_y=(2—1)=(^—1)~(/i+1)=0,

—1A

-102

得到A的特性值为4=4=1,%=—i.

由题设有三个线性无关的特性向量,因此，彳