分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第2课时）高二数学教材教学课件人教A版2019选择性

人教A版2019选修第三册第六章计数原理6.1分类加法原理与分步乘法计数原理第2课时1．进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2．能应用两个计数原理解决实际问题.教学目标01情境导入PART.01情境导入

青岛是一座美丽的滨海城市，空气良好，城市生活也很悠闲，海水清澈漂亮，能看到美丽的海岸线，青岛的海鲜很便宜，海滨城市边吃海鲜边吹海风很惬意，小新决定“五一”期间从枣庄乘火车到济南办事，再于次日从济南乘汽车到青岛旅游，一天中火车有3班，汽车有2班，他将如何安排行程？2.区别

分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复

两个原理的联系与区别1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.温故知新02分类、分步原理综合应用PART.02例题剖析例1：要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？左边

右边

相应的挂法甲乙丙乙丙左甲右乙左甲右丙左乙右甲左乙右丙左丙右甲左丙右乙甲乙甲丙解：6种挂法

如图所示例题剖析例2.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z,后两个字符要求用数字1~9,最多可以给多少个程序模块命名？分析:

要完成的一件事是给一个程序模块命名,可以分三个步骤完成:第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符，而首字符又可以分为两类.由分步乘法计数原理，不同名称的个数是13×9×9=1053,解:由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7+6=13.后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.即最多可以给1053个程序模块命名.例题剖析例3.用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

解：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种

排法，共有5×5×5＝53＝125(种)，

即可以排成125个三位数字的电话号码．题型一两个计数原理在排数中的应用例题剖析(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)，即可以排成100个三位数．(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．归纳小结反思感悟对于组数问题，应掌握以下原则(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解.(2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位.例题剖析练习：用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有(

)A．144个 B．120个

C．96个 D．72个解：①首位为5，末位为0：4×3×2＝24(个)；②首位为5，末位为2：4×3×2＝24(个)；③首位为5，末位为4：4×3×2＝24(个)；④首位为4，末位为0：4×3×2＝24(个)；⑤首位为4，末位为2：4×3×2＝24(个)．由分类加法计数原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(个)．故选B．B 例题剖析例4.高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(

) A．360种

B．420种 C．369种

D．396种解析法一(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类：①四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；②有三个班级去甲工厂，剩下的班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4＝16(种)；题型二分配问题C 例题剖析③有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4＝96(种)；④有一个班级去甲工厂，其他班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4＝256(种)．综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(种)．法二(间接法)先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：5×5×5×5－4×4×4×4＝369(种)方案．答案C归纳小结选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．反思感悟例题剖析练习：有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是(

) A．11 B．10 C．9 D．8C 例题剖析解:法一设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．法二让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9(种)不同安排方法．答案C

例题剖析题型三

涂色问题例5.将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？例题剖析解第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法.②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法.由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法.归纳小结反思感悟解决涂色问题的一般思路(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析.(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析.(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.例题剖析练习：如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 (

)A．400种 B．460种

C．480种 D．496种C 例题剖析解：选C．完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．①当使用4种颜色时：从