数学-天津南开中学2023-2024学年高三上学期第一次月考带答案

南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷第I卷A充要条件B.充分不必要条件.C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件f(x)=|x|sin2x的部分图象可能是()AB.C.D.4.下列函数中，是奇函数且在(0,+构)上单调递减的是()2e-e2e-eln2-log21+lg10+lne2+log48的值()A.0B.C.2D.320.9，c7.已知cosa--cosa=，则sin2a-=()第1页/共5页A.-B.C.D.8.将函数f(x)=3sin2x+的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y=g(x)，有下列命题：①函数g(x)的图象关于直线x=π对称②函数g(x)的图象关于点,0对称③函数g(x)在-,上单调递增④函数g(x)在[0,2π]上恰有5个极值点其中正确的命题个数为()A.1B.2C.3D.410.已知i是虚数单位，化简的结果为.11.在代数式-5的展开式中，常数项为______________.第2页/共5页13.在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15。的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60。和30。，第一排A点和最后一排E点的距离为9米（如图所示则旗杆的高度为米.f(x)，当xE[0,2)时，f(x)=16(1-x-1)，且对任意的实数xE[2n-2n+1-2)（nEN*，n≥2都有f(x)=f-1，若函数g(x)=f(x)-logax有且仅有五个零点，则a的取值范围.（1）求f(x)的最小正周期及对称轴方程；（2）当xE,时，求f(x)的最大值和最小值.218.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAl底面ABCD，ADlAB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，第3页/共5页E为棱PC的中点.（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求点D到平面PBC的距离. （2）如图，经过椭圆左顶点A且斜率为k(k子0)的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且ΔAPM面积为，求k的值.(x)有两个不同的零点x1,x2，证明：2a22a<x2x1<第4页/共5页第5页/共5页1-1-cos2x南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷第I卷【答案】B【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，再根据补集、交集的定义计算可得.A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义结合同角三角函数的关系即可得出结论.所以“sinx=0”是“cosx=1”的必f(x)=|x|sin2x的部分图象可能是()第1页/共21页A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据f(x)是奇函数，排除B，再取特殊值验证.f(-x)=|-x|sin(-2x)=-|x|sin2x=-f(x)所以f(x)是奇函数，排除B，由f=0，排除A，由f=，排除D.【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4.下列函数中，是奇函数且在(0,+机)上单调递减的是()【解析】【分析】根据奇偶性定义、对数函数、指数函数单调性，结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.【详解】A选项：f(-x)=2=f(x)，不是奇函数，故A选项错误；B选项：f(-x)====f(x)，不是奇函数，故B选项错误；C选项：因为f(x)的定义域为R，=0，∴f(x)是奇函22由复合函数单调性知，f(x)在(0,+机)上单调递减，故C选项正确；第2页/共21页D选项：f(x)=ex-，因为y=ex,y=-在(0,+构)上都单调递增，所以f(x)在(0,+构)上单调递增，故D选项错误，ln2-log21+lg10+lne2+log48的值()A.0B.C.2D.32【答案】B【解析】【分析】根据指数及对数的运算法则计算可得；0.9，c【答案】A【解析】【分析】化简得c=，构造函数f(x)=sinx-x,xe0,，通过导数可证得sinx<x,xe0,，可设f(x)=sinx-x,xe0,，则有f,(x)=cosx-1<0，f(x)单调递减，从而f(x)<f(0)=0，所以sinx<x,xe0,，故sin<，即a<c，1>31>3第3页/共21页7.已知cosa--cosa=，则sin2a-=()A.-B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.(π)(π) cosa+sina-cosa=，，sin2a-(2π)「(π)1(2π)「(π)12-18.将函数f(x)=3sin2x+的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y=g(x)，有下列命题：①函数g(x)的图象关于直线x=π对称②函数g(x)的图象关于点,0对称③函数g(x)在-,上单调递增第4页/共21页④函数g(x)在[0,2π]上恰有5个极值点其中正确的命题个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据函数图象平移变换的特点，利用正弦弦函数的对称性、单调性、最值，结合函数的极值点定义逐项判断即可求解.【详解】函数f(x)=3sin2x+的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为对于③,当x=-,时，2x-=-,,故函数在该区间上单调递增，故③正确；在[0,2π]上有4个极值点，故④错误.【答案】C【解析】【分析】分段函数分段处理，在x>1，0<x<1各有1个零点，所以-π≤x≤0有5个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证-π≤x≤0之间有5个零点即可.【详解】由题，当x>1时，f(x)=x+lnx-2，显然f(x)在(1,+构)上单调递增，且f(1)=-1<0，第5页/共21页当0<x<1时，f(x)=x-lnx-2，f,(x)=1-<0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，f()=+2-2>0，此时f(x)在(0,1)上只有一个零点；4解得x=π6π6山x=x=山2=-2π,x4=-2π;当k=2时，x5=-4π,x6=-4π;|-7π-4π【点睛】分段函数的零点问题点睛：根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性，结合零点存在性定理，得到每一段区间上的零点的个数，从而得出函数在定义域内的零点个数.10.已知i是虚数单位，化简的结果为.【答案】--i【解析】【分析】运用复数运算法则计算即可.第6页/共21页22=34=--i.故答案为：--i.11.在代数式-5的展开式中，常数项为______________.【答案】-5【解析】【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得x的指数幂为0，即可求得k的值.【详解】-5的展开式的通项为：+1=Cx5-r-r=Cx-1)r=-5，-5的展开式中的常数项为-5.故答案为：-5【答案】【解析】【分析】根据函数f(x)的图象结合正弦函数的图象及性质，求得函数的解析式，再代入求值即可.所以f(x)=2sin2x-，第7页/共21页所以f=2sin2根-=2sin=.故答案为：.13.在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15。的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60。和30。，第一排A点和最后一排E点的距离为9米（如图所示则旗杆的高度为米.【答案】27【解析】【分析】根据已知可得人ECA=30。，在ΔEAC中由正弦定理可得AC，再利用RtΔABC中计算可得答案. 故答案为：27.f(x)，当x=[0,2)时，f(x)=16(1-x-1)，且对任意的实数x=[2n-2，n≥2都有f(x)=f-1，若函数g(x)=f(x)-logax有且仅有五个零点，则a的取值范围.(1)【答案】|104(1)（)【解析】第8页/共21页【分析】写出f(x)的解析式并画出f(x)的图象，结合已知条件将问题转化为y=f(x)图象与y=logax图象在(0,+构)上有且仅有5个交点，结合图象分析即可求得结果.【详解】当xe[0,2)，f(x)=16(1-|x-1|)，当n=2时，xe[2,6)，此时-1e[0,2)，则f(x)=f(-1)=x16(1-|-2|)=8(1-|-2|)，当n=3时，xe[6,14)，此时-1e[2,6)，则f(x)=f(-1)=x8(1-|-|)=4(1-|-|)，f(x)=f(-1)=x4(1-|-|)=2(1-|-|)，……因为g(x)=f(x)-logax有且仅有5个零点，所以y=f(x)图象与y=logax图象在(0,+构)上有且仅有5个交点，如图所示，由图可知，当y=logax经过点A(10,4)时，两函数图象有4个交点，经过点B(22,2)时，两函数图象有6个交点，所以当y=f(x)图象与y=logax图象在(0,+构)上有且仅有5个交点时，则第9页/共21页【答案】##0.25【解析】【分析】由函数单调性性质及图象变换可画出f(x)的图象，进而可得Mt(a,b)>f(t)，结合已知条件可知只需联立两者进而可求得结果.由单调性性质可知，g(x)在(0,+构)上单调递增，设g(x0)=0，则g(x)的图象如图所示，所以f(x)的图象如图所示，则由图象可知，f(x)max=Mt(a,b)=max{f(t),f(t+2)}=〈ft)2)，所以Mt(a,b)>f(t)，如图所示，第10页/共21页-2所以所以b<-lnt-at-ln3-a，②由①②得<-lnt-at-ln3-a，故t的最大值为.故答案为：【点睛】恒成立问题解题方法指导：方法1：分离参数法求最值.(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.(2)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min；a>f(x)能成立⇔a>f(x)min；a<f(x)能成立⇔a<f(x)max.方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解.第11页/共21页（1）求f(x)的最小正周期及对称轴方程；（2）当xE,时，求f(x)的最大值和最小值.5πx=+(kEZ)【解析】【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，再根据周期公式、对称轴公式进行求解；（2）由x的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦型函数图像及性质得出结果.【小问1详解】2x=sin2x-cos2x=2sin2x-，故周期为T=令2x-=+kπ,kEZ，解得x=+(kEZ)，对称轴方程x=+(kEZ)，【小问2详解】f(x)=2sin2x-第12页/共21页2【解析】化简即可得出cosB=，即可得出答案；出a22公式得出答案；或将a2+4ac+4c2=12化简为(a+2c)2=12，由三角形面积公式结合基本不等式得出【小问1详解】(A+C)sinCcosA=2sinAcosBcosC，π3第13页/共21页22【小问2详解】因为b22所以‘ABC面积的最大值为.因为b22第14页/共21页所以ΔABC面积的最大值为，18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD，ADLAB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，E为棱PC的中点.（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求点D到平面PBC的距离.【解析】【分析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；（2）求出平面PBD的一个法向量，再由向量法求解；（3）求出平面PBC的法向量=(x1,y1,z1)，再由向量法求解.【小问1详解】解：以点A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.第15页/共21页322322故.=0，又为平面PAD的一个法向量，所以BE//平面PAD.【小问2详解】n.BE2n.BE2 6x2所以n.BE所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为333【小问3详解】(x(x)为平面PBC的一个法向量，1lx12426BD426BD.nn则. 2,短轴长为219.已知椭圆2,短轴长为219.已知椭圆（2）如图，经过椭圆左顶点A且斜率为k(k子0)的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线第16页/共21页段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且ΔAPM面积为，求k的值.【解析】（2）设直线l的方程为y=k(x+2)，将其与椭圆方程联立，得出EM斜率，联立方程组得出M点的坐标，利用点到直线距离公式式，结合韦达定理以及三角形面积公式将面积表示为关于k的方程，解出即可得结果.【小问1详解】2:椭圆C的方程为+=1.【小问2详解】易知椭圆左顶点A(-2,0)，8k28k2-4第17页/共21页..:kOP==，:直