北师大版2023-2024学年七年级数学上册压轴题攻略(成都专用)专题06整式中的规律探索问题(原卷版+解析)

专题06整式中的规律探索问题类型一、图形类探究例1．如图1是二环三角形，，图2是二环四边形，，图3是二环五边形，…，则在二环八边形中，（

）A． B． C． D．例2．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下法，则第2022个图中共有正方形的个数为（

）A．2022 B．6062 C．6063 D．6064例3.如图，将一个平行四边形（如图①）作如下操作：第一次，连接对边的中点（如图②），此时共有9个平行四边形；第二次，将图②中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图③），此时共有17个平行四边形；第三次，将图③中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图④），此时共有25个平行四边形……此后每一次都将左上角的平行四边形进行如上操作，第（

）次操作后，共有4041个平行四边形.A．505 B．506 C．507 D．508【变式训练1】中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．1至9这9个数字的纵式和横式的表示数码如下图所示，算筹记数的方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式…，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了．根据上述材料，的运算结果可用算筹表示为（

）A． B． C． D．【变式训练2】观察下列树枝分权的规律图，若第n个图树枝数用Yn表示，则Y8﹣Y4的值为（）A．8×24 B．15×24 C．31×24 D．33×24【变式训练3】有边长为1的等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长分别是2，3，4…的等边三角形（如图），根据图形推断每个等边三角形卡片总数S与边长n的关系式_________．【变式训练4】用●表示实心圆，用〇表示空心圆，现有若干个实心圆与空心圆，按一定的规律排列如下：请问前2024个圆中，有______个空心圆．【变式训练5】观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，若将地面上露出的表面都涂上颜色（只有下底面不涂色），则第n个图中只有一个面涂色的小立方体共有__________．类型二、程序框图类例．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2021次输出的结果为（）A．5 B．1 C．25 D．625【变式训练1】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为16，我们发现第1次得到的结果是8，第2次得到的结果为4…请探索第2020次得到的结果为（

）A．8 B．4 C．2 D．1【变式训练2】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为48，我们发现第一次得到的结果为24

，第二次得到的结果为12

…，请你探索第2021次得到的结果为_____．类型三、数字类探究例1．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2例2．已知一列数：1，，3，，5，，7，…将这列数排成下列形式：第1行

1第2行

3第3行

5

第4行

7

9

第5行

11

13

15…

…按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于（

）A． B． C．45 D．例3．计算=____.【变式训练1】观察：第1个等式，第2个等式，第3个等式，第4个等式…猜想：第n个等式是________.【变式训练2】一组数按照这样的规律排列：第十个数是______．【变式训练3】已知，在计算：的过程中，如果存在正整数N，使得各个数位均不产生进位，那么称这样的正整数N为“本位数”．例如：2和30都是“本位数”，因为没有进位，没有进位：15和91都不是“本位数”，因为，个位产生进位，，十位产生进位．根据上面给出的材料：在所有三位数中，“本位数”一共有_______个．【变式训练4】如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九童算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角”．该三角形中的数据排列有着一定的规律，第21行从左边数第19个数是（

）A．19 B．380 C．210 D．190专题06整式中的规律探索问题类型一、图形类探究例1．如图1是二环三角形，，图2是二环四边形，，图3是二环五边形，…，则在二环八边形中，（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：依题意可知，二环三角形，S=360°，二环四边形，S=720°=360°×2=360°×（4-2），二环五边形，S=1080°=360°×3=360°×（5-2），…二环n边形（n≥3的整数）中，S=360°×（n-2），二环八边形中，S=360°×（8-2）=2160°，故选：C．例2．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下法，则第2022个图中共有正方形的个数为（

）A．2022 B．6062 C．6063 D．6064【答案】D【详解】解：图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有3×1+1=4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有3×2+1=7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有3×3+1=10个正方形；……；发现规律：第n个图中共有正方形的个数为：3（n-1）+1=3n-2；则第2022个图中共有正方形的个数为3×2022-2=6064．故选：D．例3.如图，将一个平行四边形（如图①）作如下操作：第一次，连接对边的中点（如图②），此时共有9个平行四边形；第二次，将图②中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图③），此时共有17个平行四边形；第三次，将图③中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图④），此时共有25个平行四边形……此后每一次都将左上角的平行四边形进行如上操作，第（

）次操作后，共有4041个平行四边形.A．505 B．506 C．507 D．508【答案】A【详解】解：第一次操作后，共有9=1+8个平行四边形，第二次操作后，共有17=1+8×2个平行四边形，第三次操作后，共有25=1+8×3个平行四边形，……则第n次操作后，共有（1+8n）个平行四边形，由1+8n=4041得n=505，即第505次操作后，共有4041个平行四边形.故选：A.【变式训练1】中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．1至9这9个数字的纵式和横式的表示数码如下图所示，算筹记数的方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式…，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了．根据上述材料，的运算结果可用算筹表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，根据题意，6、2、5，表示如下：故选：D【变式训练2】观察下列树枝分权的规律图，若第n个图树枝数用Yn表示，则Y8﹣Y4的值为（）A．8×24 B．15×24 C．31×24 D．33×24【答案】B【详解】解：由图可得到：……则：，∴，故B正确．故选：B．【变式训练3】有边长为1的等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长分别是2，3，4…的等边三角形（如图），根据图形推断每个等边三角形卡片总数S与边长n的关系式_________．【答案】S=n2（n≥1）【详解】解：图1中，当n=2时，S=4．图2中，当n=3时，S=9．图3中，当n=4时，S=16．…．依此类推，总数S与边长n的关系式S=n2（n≥1）．故答案为：S=n2（n≥1）【变式训练4】用●表示实心圆，用〇表示空心圆，现有若干个实心圆与空心圆，按一定的规律排列如下：请问前2024个圆中，有______个空心圆．【答案】809【详解】解：观察图形，每10个图形循环一次，每一个循环中有6个实心圆，4个空心圆，2024÷10=202......4，空心圆个数=4×202+1=808+1=809，故答案为：809．【变式训练5】观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，若将地面上露出的表面都涂上颜色（只有下底面不涂色），则第n个图中只有一个面涂色的小立方体共有__________．【答案】##【详解】解：观察图形可知图①中，只有一个面涂色的小立方体共有0个，图②中，只有一个面涂色的小立方体共有个，图③中，只有一个面涂色的小立方体共有个，……则第n个图中只有一个面涂色的小立方体共有故答案为：类型二、程序框图类例．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2021次输出的结果为（）A．5 B．1 C．25 D．625【答案】A【详解】解：根据题意得：第一次输出的结果：，第二次输出的结果：，第三次输出的结果：，第四次输出的结果：，第五次输出的结果：，第六次输出的结果：，第七次输出的结果：，第八次输出的结果：，由此得到规律，从第四次开始奇数次输出为5，偶数次输出为1，∴第2021次输出结果为5．故选：A【变式训练1】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为16，我们发现第1次得到的结果是8，第2次得到的结果为4…请探索第2020次得到的结果为（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】D【详解】解：第1次得到的结果为16×＝8，第2次得到的结果为8×＝4，第3次得到的结果为4×＝2，第4次得到的结果为2×＝1，第5次得到的结果为1+5＝6，第6次得到的结果为6×＝3，第7次得到的结果为3＋5＝8，第8次得到的结果为8×=4，第9次得到的结果为4×＝2，第10次得到的结果为2×＝1，第11次的到的结果为1＋5＝6，第12次得到的结果为6×＝3，……∴结果是8，4，2，1，6，3六个数为周期的循环，∵2020÷6＝336…4，∴第2020次得到的结果为1，故选D．【变式训练2】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为48，我们发现第一次得到的结果为24

，第二次得到的结果为12

…，请你探索第2021次得到的结果为_____．【答案】8【详解】按照程序，每次得到结果如下：第1次：24第2次：12第3次：6第4次：3第5次：8第6次：4第7次：2第8次：1第9次：6第10次：3第11次：8……根据以上结果以可发现，从第3次开始，结果按6、3、8、4、2、1每6个结果为一个周期进行循环，∵……3，∴到2021次时，结果为循环中第3个数，结果为8，故答案为：8类型三、数字类探究例1．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【详解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾数每4个一循环，∵2022÷4＝505……2，∴22022的个位数字应该是：4．故选：C．例2．已知一列数：1，，3，，5，，7，…将这列数排成下列形式：第1行

1第2行

3第3行

5

第4行

7

9

第5行

11

13

15…

…按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于（

）A． B． C．45 D．【答案】A【详解】解：第1行有1个数，绝对值为1＝，且是正数；第2行有2个数，第一个数的绝对值为2＝，且为负数，且奇数为正，偶数为负；第3行有3个数，第一个数的绝对值为4＝，且为负数，且奇数为正，偶数为负；第4行有4个数，第一个数的绝对值为7＝，且为正数，且奇数为正，偶数为负；……由上可知，第n行有n个数，此行第一个数的绝对值为；且奇数为正，偶数为负，∴第10行从左边数第1个数绝对值为46，从左边数第5个数等于﹣50．故选：A例3．计算=____.【答案】【详解】解：设a=，b=，则原式=a(1+b)-b(1+a)=a+ab-b-ab=a-b=-=，故答案为：．【变式训练1】观察：第1个等式，第2个等式，第3个等式，第4个等式…猜想：第n个等式是________.【答案】（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1【详解】解：第1个等式，第2个等式，第3个等式，第4个等式，第n个等式（2n-1）（2n+1）