《统计学原理》第8章-相关与回归分析

第八章相关与回归分析本章你将学会……1、现象之间的相关性以及相关的形式？2、如何测定并描述相关关系的特征与程度？3、回归分析的概念和意义4、回归方程的建立和其有效与否的判定方法5、相关与回归的相互关系及其应用对第四节与第五节的内容略作调整。1第1节相关分析

1、相关关系2、函数关系3、相关的种类4、相关分析的主要内容2一、相关关系1、现象之间在数量上的相互依存关系2、这种依存关系不能用精确的关系式表示出来3、是变量之间随机性的依存关系；可以是因果关系、互为因果关系、也可能是共变关系。如：吸烟和得肺病之间有相关关系不良生活习惯和身体健康之间有相关关系努力学习和考试成绩之间有相关关系等绝大多数现象之间存在相关关系3二、函数关系1、变量之间存在严格的数量依存关系2、这种关系可通过精确的数学方程式表达出来3、变量之间确定性的依存关系如：园的面积S和半径R之间的关系长方形的周长和两条边的关系4三、相关关系的种类根据涉及的因素多少：单相关和复相关根据相关的表现形态：线性相关和曲线相关根据相关的变化方向：正相关和复相关根据相关的程度：完全相关、不完全相关和不相关5四、相关分析的主要内容1、分析现象之间有无相关关系以及关系形态2、确定相关关系的密切程度3、用适当的数学模型描述相关关系4、对建立的数学模型进行检验5、将模型用于预测和控制回归分析6第2节简单相关分析方法1、简单相关分析的内容2、线性相关系数的含义与计算公式3、相关系数说明的相关关系程度7交通事故率的相关分析交通事故的死亡率与什么有关系？研究人员发现：该国的人均GDP越高，那么该国的交通死亡率越低。瑞典、新加坡、日本、美国是世界上交通事故发生率和死亡率最低的国家。但是，人均GDP相同的国家，交通事故的死亡率会存在明显的差异！比利时与荷兰为邻国，人均GDP相同，还使用同一种语言，但是，比利时的交通事故死亡率远高于荷兰。为啥？比利时更腐败腐败：人们没有自觉遵守法律的意识，即使有法而执法者也不严格执法。但是不能倒过来说：---8一、简单线性相关分析〔一元相关〕1、只考虑一个因素的影响2、两个因素之间具有线性的相互依存关系3、通过散点图可以判断相关的形态4、线性相关程度的测定：线性相关系数r如果两个变量x,y的历史观察数据；〔x1,y1〕、〔x2,y2〕、…、〔xn，yn〕可以利用积差法计算线性相关系数r9二、相关系数的简便算法相关系数r,10

三、相关系数说明的相关关系的密切程度1、-1≤r≤12、如果r>0，线性正相关；r<0，线性负相关3、如果r=0，那么不存在线性关系4、如果r<0.3，不相关5、如果0.3<r<0.5，低度相关6、0.5<r<0.8，显著相关7、r>0.8，高度相关11我国1991年—2003年13年的人均国民收入和人均消费金额，试判断二者之间的关系。

表8--1年份收入消费额年份收入消费额1991393.824919981068.86431992419.1426719991169.26991993460.8628920001250.77131994544.1132920011429.58031995668.2940620021725.99471996737.7345120032099.511481997859.97513单位:元四、单相关系数的计算过程12

根据上述资料计算人均国民收入和人均消费金额之间的相关系数:注意:相关系数的大小与数据组数有密切的关系,当n较小时，相关系数的波动比较大，当n较大时，相关系数的绝对值容易偏小。13第3节回归分析1、回归分析的含义2、一元线性回归分析与回归系数3、多元线性回归与曲线回归分析4、估计标准误的含义与计算5、相关系数与回归系数的数量关系14一、回归分析简述概念：根据相关分析结果，将变量之间的相关关系用近似精确的数学模型表示出来，并用模型进行预测和控制线性回归分析：变量之间是线性相关的，并用最小平方法求出线性相关方程式。曲线回归：变量之间是曲线相关的，并用最小平方法求出曲线相关的方程式。注意：在相关分析中，两个变量是对等的，且只能求出一个相关系数；而回归分析中，必须确定一个为自变量，另一个为因变量，且能求出两个回归方程15

二、一元线性回归〔一〕直线回归的特点：1、在一元线性相关分析的根底上，将两个变量之间的线性关系用线性方程式表示出来2、必须确定一个变量为自变量，另一个为因变量3、两个变量之间的相关系数只有一个，而回归方程式却有两个；y倚x的回归方程，yc=a+bx,x倚y的回归方程,xc=c+dy.4、用最小平方法确定回归方程16〔二〕一元线性回归分析1、一元线性回归方程式为：yc=a+bx，a、b为回归系数2、利用最小平方法求解回归系数的方程式为；17例题：根据前面人均国民收入和人均消费金额之间的相关性建立人均消费金额y对人均国民收入x的回归方程；a=54.219,b=0.5623在回归方程中，a为直线的截距，b为斜率，b表示的含义为，当自变量x变动一个单位时，因变量y的平均变动量18第4节多元相关与曲线相关分析1、多元相关关系的含义2、曲线相关关系的类型3、可线性化的曲线相关分析19一、多元线性回归分析有两个以上的自变量变量之间有线性变化关系利用最小平方法求解回归方程中的未知系数是一元线性回归分析的推广思路与原理和一元线性回归完全相同20二、曲线回归变量之间具有非线性的相关关系比线性相关更具有普遍性也是利用最小平方法计算回归系数必须先找出回归曲线的方程式必须将曲线关系进行数学变换，化解成线性关系，才能利用最小平方法进行求解21三、可线性化的曲线回归1、指数曲线;yc=abx，通过对数变换，化解为线性方程；㏒yc=㏒a+x㏒b，利用最小平方法求解出㏒a和㏒b后，在利用反对数求解出a,b.2、幂函数曲线：yc=axb,3、双曲线：22第5节估计标准误及两种分析的关系1、估计标准误的意义2、估计标准误的计算方法3、相关分析与回归分析的联系23一、估计标准误差可以说明回归方程的精确程度，反映回归方程的代表性值越小，回归方程的代表性越好；值越大，回归方程的代表性越不好一元线性回归方程的估计标准误差syx24

二、估计标准误差的简便算法估计标准误差：25三、相关系数和回归系数之间的关系相关系数和回归系数b具有相同的符号，r=0,b=0;r＞0,b＞0;r＜0,b＜0.相关系数和估计标准误差之间的关系；反向的变化关系26你学会了吗？相关关系的含义相关关系的种类相关程度的度量回归分析的含义回归分析的种类回归分析的判定和计算回归分析质量的判定27课后习题1、某种产品的产量和单位本钱的资料如下：要求1〕计算想关系数，判断其相关方向和程度，2〕建立直线回归方程产量（千件）单位成本（元/件）273372471373469568282.某商业银行2003—2007年的投资额资料如下：年份20032004200520062007投资额（万元）320332340356380用最小二乘法配合投资额的直线趋势方程，根据投资额的趋势线方程，预测2010年的投资额。293、有几个地区的统计资料如下表，要求；1〕计算国内生产总值与财政收入相关系数，2〕计算财政收入与银行年末存款余额的相关系数，3〕建立国内生产总值与财政收入的直线回归方程国内生产总值财政收入银行年末存款余额2.20.80.22.40.90.42.51.00.52.71.20.72.91.40.63.01.50.8合计15.7合计6.8合计3.2304、某地高校教育经费与高校学生数连续6年的统计资料如下：要求；1〕建立回归直线方程，估计教育经费为500万元的在校学生数2〕计算估计标准误差教育经费（万元）在校学生数（万人)316113431637318393204182245525315某公司对自己生产的A产品的产量与单位本钱抽取了八天的相关统计数据如下表所示序号12345678产量（吨）1.22.02.83.54.05.06.26.5单位成本（万元）6058585550403537试计算：〔1〕建立相对与单位本钱的直线回归模型〔50%〕〔2〕预测产量到达6.8吨时的单位本钱是多少〔50%〕326某标准设备生产公司，准备生产一种新的机械设备，公司管理者需要考虑生产能力和本钱等要素，以便取得经济效益