第11招巧用圆的基本性质解圆的五种关系课件人教版九年级上册极速提分法

第11招巧用圆的基本性质解圆的五种关系九年级数学（上）极速提分法

如图，在⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝60°.(1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC；(2)若D是AB的中点，求证：四边形OADB是菱形．

例︵︵︵解题秘方：利用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系证明即可．证明：(1)∵AB＝AC，∴AB＝AC.又∵∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.︵︵︵︵︵关系1弦、弧之间的关系1.如图，在⊙O中，弦AD＝BC，求证：AB＝CD.

︵︵证明：因为AD＝BC，所以AD＝BC，所以AD＋AC＝BC＋AC，即AB＝CD.︵︵︵︵︵︵︵︵【点方法】在同圆或等圆中，等弦对等弧，等弧对等弦(劣弧等劣弧，优弧等优弧)．2.如图，AB，AC，BC都是⊙O的弦，且∠CAB＝∠CBA.求证：∠COB＝∠COA.关系2圆周角、圆心角之间的关系证明：在⊙O中，∠CAB，∠COB分别是CB所对的圆周角和圆心角，∴∠COB＝2∠CAB.同理可得∠COA＝2∠CBA.又∵∠CAB＝∠CBA，∴∠COB＝∠COA.︵3.【2023·聊城】如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P.已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则BD的度数是(

)A．30°B．25°C．20°D．10°C关系3弧、圆周角之间的关系︵【点拨】如图，连接BC.∵∠AOC＝80°，∴∠ABC＝40°.∵∠P＝30°，∴∠BCD＝10°.∴BD的度数为20°.︵4.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，

∠BAC＝50°，求∠ADC的度数．

解：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－50°＝40°.又∵∠ADC，∠ABC都是AC所对的圆周角，∴∠ADC＝∠ABC＝40°.︵【点拨】在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等．5.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD.(1)求证：AD＝AN；证明：∵∠ADC与∠ABC都是AC所对的圆周角，∴∠ADC＝∠ABC.∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠CEB＝∠AMC＝90°.∴∠ABC＋∠C＝∠CNM＋∠C.∴∠ABC＝∠CNM.又∠CNM＝∠AND.∴∠ABC＝∠AND.∴∠ADC＝∠AND.∴AD＝AN.︵6.如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E，连接DE.试判断BD，DE，EC之间的数量关系，并说明理由．关系4弦、圆心角之间的关系解：BD＝DE＝EC.理由如下：如图，连接OD，OE.∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∵OB＝OD＝OE＝OC，∴△BOD与△COE都是等边三角形．∴∠BOD＝∠COE＝60°.∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°.∴∠BOD＝∠DOE＝∠COE.

∴BD＝DE＝EC.【点方法】本题利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等”去证明三条线段相等，因此，连接OD，OE，构造弦所对的圆心角是解此题的关键．7.如图，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE＝BF＝CD.关系5弦、弧、圆心角之间的关系︵证明：如图，连接AC，BD.∵C，D是AB的三等分点，∴AC＝CD＝BD，∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD＝∠BOD.又∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°.∵OA＝OB，∠AOB＝90