上海市某中学2023-2024学年高三年级上册开学考试数学试卷

进才中学2023学年第一学期高三年级数学开学考

2023.9

一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5

分)

1.已知集合4=[x∖-^≥l],B={-l,O,I12},则4nB=.

2.已知嘉函数过点(4,2),则函数的解析式是.

3.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛,他们取得

的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的平均分是86,乙班学

生成绩的中位数是83,贝!k+y的值为.

甲I乙

89764

65X2811y

649116

4.复数Z满足IZ-I+i∣=1,其中i为虚数单位,则IZl的最大值为.

5.若随机变量X〜B(n,0.8),且E(X)=4,则P(X=1)的值是.

6.(x+i)"⑴为正整数)的二项展开式中,若第三项与第五项的系数相等,则展

开式中的常数项为.

7.已知为>l,y>0,x+J=4,则2+y的最小值为.

8.长时间玩手机可能影响视力,据调查,某校学生大约30%的人近视,而该校大

约有40%的学生每天玩手机超过2h,这些人的近视率约为60%,现从该校近视的学

生中任意调查一名学生,则他每天玩手机超过2h的概率为.

9.已知产是抛物线C:y2=4x的焦点,P是抛物线C上一动点,Q是曲线炉+产一

8x-2y÷16=0上一动点,则IPFl+∣PQl的最小值为10.己知M∈N,n≥1,将数

列｛2n-1｝与数团2一1｝的公共项从小到大排列得到新数列

5｝,则Σ瞿2.

un

11.已知函数/O）=∣lnx∣,直线匕，2是/（尤）的两条切线,Iv%相交于点Q,若

I1112,则Q点横坐标的取值范围是.

12.已知单位向量瓦,逐,瓦,或满足宣•它=-弟0＜瓦•五≤f,则对任意t∈

R,同+瓦+瓦+t或I的最小值为.

二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每

题5分）

13.um=—1"是"直线X+my—2=0与直线Jt—y-Vn=0平行”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

14.从2,3,4,5,6,7,8,9中随机取一个数,这个数比m大的概率为;,若m为上述

4

数据中的第X百分位数,则X的取值可能为O

A.50B.60C.70D.80

15.己知圆锥S。(。是底面圆的圆心,S是圆锥的顶点)的母线长为遮,高为

1,P,Q为底面圆周上任意两点.有以下三个结论：

(1)三角形SPQ面积的最大值为2;

(2)三棱锥。-SPQ体积的最大值为M

(3)四面体SoPQ外接球表面积的最小值为9m

以上所有正确结论的个数为()

A.0B.1C.2D.3

16.如图直线似及三个不同的点44,0,其中。∈I,设谓=α,O47=b,直线I

的一个方向向量的单位向量是自下列关于向量运算的方程甲：

I∣≡-(≡∙e)e∣=/一(石京)矶乙:有+1=20∙E)面

^ae=be

其中是否可以作为44关于直线I对称的充要条件的方程(组)，下列说法正确的

是()

A.甲乙都可以

B.甲可以，乙不可以

C.甲不可以，乙可以

D.甲乙都不可以

三、解答题(本大题共5题,满分78分)

17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

o

如图,三棱锥P-ABC的底面为等腰直角三角形,乙4BC=90,AB=2lPD=

√2,点M在线段PE上,PE=3ME.D,E分别为AC,BC的中点,PD，平面ABC.

(1)求证:面MBDJ_面PBC.

⑵求直线BP与平面MBD所成角的正弦值.

18.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)

全国中学生生物学竞赛隆重举行.为做好考试的评价工作,将本次成绩转化为

百分制,现从中随机抽取了50名学生的成绩,经统计,这批学生的成绩全部介于40

至100之间,将数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分

成6组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中m的值,并估计这50多学生成绩的中位数；(2)在这50

名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[[90,100]的三组中抽取了

11人,再从这11人中随机抽取3人,记下为3人中成绩在[80,90)的人数,求S的分布

列和数学期望；

19.(本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分6

分)若数列｛即｝满足W+ι-W=P(n为正整数,P为常数)，则称数列｛all｝为等方差数

列,P为公方差.

(1)已知数列｛/l｝,｛yl｝的通项公式分别为M=√iΓ+l,yn=3"τ,判断上述两

个数列是否为等方差数列,并说明理由；

(2)若数列｛厮｝是首项为1,公方差为2的等方差数列,数列｛瓦｝满足瓦=

(⅛⅛÷pn≥2,且仇也∙％-bm=8,求正整数Tn的值；

(3)在(1)、(2)的条件下,若在也与九+i之间依次插入数列｛磋｝中的九项构成新

数列｛cj%,递丁2,瓯通丁3，端礴成，，4,.....，求数列｛C∏｝中前50项的和750・

20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8

分)

如图所示,在平面直角坐标系中,精圆r：J+y2=1的左,右焦点外别为尸1，尸2,

设是第一象限内上的一点,尸的延长线分别交于点

PrPF1,P2rQ1,Q2∙

(1)求4P尸迫2的周长；

(2)求^PF1Q2面积的取值范围；

(3)设「1、「2分别为△P尸IQ2、APFzQl的内切圆半径,求-「2的最大值.

21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8

分)已知函数/O)=aex-be~x-(α+l)x(a,b∈R).

(1)当a=2,b=O时,求函数图象过点(OJ(O))的切线方程；

(2)当b=