2023-2024学年河南省名校联盟高三（上）段考数学试卷一（含解析）

2023-2024学年河南省名校联盟高三(上)段考数学试卷(一)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

k扁=()

1,1.11.C11.11.

Aa.--F-InB.———iC.——+1-iTDA.————ι

44444444

2.已知集合Z={x∣Q≥1},B={x∣χ2≤9},则[-3,+8)=()

A.CR(AnB)B.CRGlUB)C.AnBD.力UB

3.己知圆经过点4(4,4),B(-2,4),C(4,-4),则该圆的半径为()

A.4B.5C.8D.10

4.对于任意实数》,用枕]表示不大于X的最大整数,例如：[兀]=3,[0.1]=0,[-2.1]=-3,

则“印>[y]"是''x>y''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.己知函数/^(x)=cos(3x一令，若将y=/(乃的图象向左平移m(m>0)个单位长度后所得

的图象关于坐标原点对称，则Tn的最小值为()

A-—10B-5CJlo—D

6.位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生

夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合运动场、一座多功能体

育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆.现安排包含甲、乙在

内的6名同学到这4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆

至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种数为()

A.96B.144C.240D.360

7.把过棱锥的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面

.现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也

相等，则此正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的体积之比为()

AI.・孕B.l..£3.9ALm-D.1—

34382822

8.若α,£为锐角，且a+)?=*,则tαnα+tan£的最小值为()

A.2y∏.-2B.√‰1C.2<3-2D.<3-1

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知一组样本数据%i，x2,X3>....XlO(XI<M<与<…<Xio)中，&与样本平均数相

等,无6=0.则去掉以下哪个数据以后,新的样本数据的方差一定比的来的样本数据的方差小？

()

A.X

1B.X5C.X6D.X10

10.己知函数/(X)=鼻，则()

A.f(x)在定义域上单调递增

B./(无)没有零点

C.不存在平行于X轴且与曲线y=∕(x)相切的直线

D.f(x)的图象是中心对称图形

11.如图所示，在棱长为2的正方体ZBCD-力IBlGZ)I中，P是线段

ClDl上的动点，则下列说法正确的是()

A.平面BBlP平面ABCO

B.存在点P,使BP=2

C.存在点P,使直线BlP与8%所成角的余弦值为I

D.存在点P,使点4C到平面BBlP的距离之和为3

12.已知双曲线E：^-，=l(α>0">0)的右焦点为F(6,0),以坐标原点O为圆心，线段OF

为半径作圆与双曲线E在第一、二、三、四象限依次交于4B,C,。四点，若CoS乙40F=亨，

则()

A.∖AC∖=∖BD∖=12B.cos//IoB=-殍

C.四边形ABCO的面积为32∕^∑D.双曲线E的离心率为苧

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知抛物线y2=2p%(p>0)的焦点为F,直线y=4与抛物线交于点M,且IMFl=4,则

P=•

14.在AABC中，^BD=^BC,E是线段4。上的动点，设方=χg?+y而(x,y∈R),则2x+

3y=----------

15.已知数列｛αn｝满足an+ι=3αn+2,⅝+α2=22,则满足αn>160的最小正整数几=

16.已知定义在R上的函数f(x)及其导函数/'(X)满足f'(x)>-f(x),若/(bι3)=g,则满足

不等式门为>号的X的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

如图，在平面四边形ZBC。中，NBAD=90。，D=60o,AC=4,CD=3.

(I)求COSZ∙C4D;

(∏)若AB=*，求BC.

18.(本小题12.0分)

记递增的等差数列｛αn｝的前Ti项和为Sn,已知S5=85,且。6=7%.

(I)求Qn和Sn;

(∏)⅛⅛π=7^-，求数列也｝的前n项和

αnαn+l

19.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱ABC中，AC=2BC=CC1=2,D,E,尸分别是棱①的，BC,AC

的中点，∆ACB=60°.

(I)证明：平面48。〃平面FECQ

(∏)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆C：冬+\=1(01>匕>0)过点(2,3),且C的右焦点为F(2,0).

(I)求C的离心率；

(∏)过点尸且斜率为1的直线与C交于M,N两点，P直线％=8上的动点，记直线PM,PN,PF

的斜率分别为kpM，kPN,kPF,证明：kPM+kPN=2kpp.

21.(本小题12.0分)

小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都

不合格，则考试不过关；若有1个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，

补考都合格的考试过关，否则不过关.已知小李每个科目每次考试合格的概率均为P(O<p<

1),且每个科目每次考试的结果互不影响.

(I)记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为f(p),求f(p)的最大值点Po.

(11)以(1)中确定的PO作为P的值.

(i)求小李这项资格考试过关的概率；

(ii)若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求E(X).

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=黑pm∈R且Tn≠0.

(I)若当Xe(O,兀)时，f(x)≥1恒成立，求Tn的取值范围;

(∏)若土1，%2C(0,兀)且Xi≠%2，使得f(%l)=求证：X-L+×2>

答案和解析

1.【答案】B

,i_i_i12-2i_2-2i_11.

【解机】4解：-(i+i)2(i+i)-~2^2i~(2+20(2-2i)~~~4~4l-

故选:B.

利用复数的运算化简求解即可.

本题考查复数的基本运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：因为4={x∣√^T≥1}={x∣x≥1},B=(x∖x2≤9}={x∣—3≤%≤3},

所以AUB=[-3,+∞).

故选：D.

先求出集合4B,再利用集合的基本运算判断即可.

本题主要考查了集合的运算与不等式的解法，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由于圆经过点A(4,4),B(-2,4),C(4,-4),

^AB2+AC2=BC2,故该圆的直径为BC,

易知NBAC=90°,所以该圆的直径为IBCl=J(4+2)2+(—4-4)2=10，

所以半径为5.

故选：B.

直接利用两点间的距离公式整理得AB?+AC2=BC2,进一步求出圆的半径.

本题考查的知识要点：圆的定义，两点间的距离，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中

档题.

4.【答案】A

【解析】解：若[χ]>[y],则必有IXI>y≥[y]>结合X≥区可得X>y,

所以a[χ]>[y]"是“x>y”的充分条件；

反之，若x>y,取X=I.2,y=1.1,可知肉=[y],即[x]>[y]不成立.

因此t,[x]>[yY>是“x>y”的充分不必要条件，4项符合题意.

故选：A.

根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可得到本题的答案.

本题主要考查了取整函数的应用、充分必要条件的定义与判断等知识，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：/(x)=cos(3x-6的图象向左平移m个单位长度后，

得到的图象对应函数g(γ)=COS[3(x+m)-市=cos(3x+

因为y=g(χ)的图象关于坐标原点对称，

所以3m-看=kτr+S(keZ),即m=竽+g(kCZ),

因为m>0,故当k=0时，m取得最小值

故选：B.

由三角函数图象变换求出g(x),再结合余弦函数的性质即可求解.

本题考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另外4人任选2人组成一组，

其余的一人一组，

另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组.再把4组人分到4个场馆，

所以安排方法种数为(废+At=240.

故选：C.

利用排列组合的简单计数即可求解.

本题考查了排列组合的简单应用，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：现有一个正三棱锥、一个正四棱链、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的

最大值也相等，

设3个正棱锥的高均为九，轴截面面积的最大值均为S.

设正三棱锥的底面边长为α,当轴截面与底面的一条棱垂直时，轴截面面积最大，所以s=6α∕ι,

4

可得正三棱锥的体积为匕=Isa=里空.设正四棱锥的底面对角线长为2b,

i39h

当轴截面经过底面的一条对角线，轴截面面积最大，所以S=bh,

可得正四棱锥的体积为/=-Sb=这，

z33九

设正六棱锥的底面边长为c,当轴截面经过底面的两个相对的顶点时，轴截面面积最大，所以S=ch,

可得正六棱锥的体积为匕=-×^-c2h=空

0322h

所以正三棱锥、正六棱锥的体积之比为手：t∙?，即1：?：S.

93228

故选：C.

设3个正棱锥的高均为八，轴截面面积的最大值均为S.设正三棱锥的底面边长为α,当轴截面与底面

的一条棱垂直时，轴截面面积最大；设正四棱锥的底面对角线长为2b,当轴截面经过底面的一条

对角线，轴截面面积最大；设正六棱锥的底面边长为c,当轴截面经过底面的两个相对的顶点时，

轴截面面积最大.由此能求出正三棱锥、正六棱锥的体积之比.

本题考查简单几何体的结构特征及相关计算等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

8.【答案】4

【解析】解：已知α,0为锐角，且a+/?=：,

tana+tanβ

则

tan(a+β~)=1-tanatan∕?

即1—tanatanβ=tana+tanβ,

所以(1+tana)(I+tanβy)=1+tana+tanβ+tanatanβ=1÷(1—tanatanβ)y+tanatanβ=

2,

y+tαnα1αn

又(1+tαnα)(l+tanβ)≤^÷÷f^2y

2

HiJ9(tαnα+tanp+2)

Z-4'

得(tcmα+tanβ+2)2≥8,

显然tατια+tanβ+2>0,

所以tanα+tanβ+2≥2√-2,当且仅当tαnα=tanβ=√-2—1时等号成立，

所以tαnα+的最小值为2l∑-2.

故选:A.

由两角和的正切公式，结合基本不等式求解即可.

本题考查了两角和的正切公式，重点考查了基本不等式的应用，属中档题.

9【答案】AD

【解析】解：根据方差的意义，可知去掉最大值和最小值都可以使样本数据的方差变小，故无1和XIo

符合条件；

去掉相，样本平均数不变，则根据方差的计算公式可知方差变大，

故&不符合条件；去掉%6,样本方差的变化情况无法确定，也不符合条件.

故选：AD.

利用样本的平均数与方差直接求解.

本题考查样本的平均数与方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解:对于4f(x)的定义域为(—8,0)U(O,+8),

当X<0时，0<e*<l,则/(x)>0,

当X>0时，ex>1,则/(x)<0,

显然/(x)在定义域上不是单调递增，故A错误；

对于B,令/(χ)=0,得峭=0,无解，所以/(x)没有零点，故8正确；

对于C,求导得r(x)=ττJ,令广(X)=0,得靖=0,无解，

所以不存在平行于X轴与曲线y=/(X)相切的直线，故C正确；

对于。，f(-x)=τ⅛=ΣΓT,注意到/O)+/"(-X)=-1，

ι~β^e——1

所以/(x)的图象关于点(0,-》中心对称，故。正确.

故选：BCD.

讨论X>0以及X<0时的函数值，判断4令/(x)=0,方程无解，判断B；求出函数的导数，得

到导函数不为0,判断C;求出函数的对称中心，判断D.

本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及函数的对称性，是中档题.

11.【答案】AC

【解析】解：对于4因为8当_L平面4BC0,所以平面BBlPJ_平面48。。，故A正确；

对于B,当点P与Cl重合时，BP取最小值2，工，故不存在点P，使BP=2,故B错误；

对于C,当点P与Dl重合时，直线BlP与BCl所成角等于乙BCIB1，COS乙BDB=明=字,

当点P与Cl重合时，直线BIP与BDl所成角等于ZBDlA1，cos∆BD1A1=⅛

所以直线BIP与BDI所成角的余弦值的取值范围是[?,?],而I∈[?,?],故C正确；

对于D,当点P与Dl重合时，点A,C到平面BBIP的距离之和最大，最大值为4C=2l∑<3,故

不存在满足条件的点P，故。错误.

故选：AC.

由线面垂直的性质定理即可判断4当点P与Cl重合时，BP取最小值2，无，从而判断B；分别求出

当点P与Cl重合时，当点P与Dl重合时直线&P与BCl所成角，从而可判断C；当点P与。1重合时，

点4C到平面BBlP的距离之和最大，从而看判断Z).

本题主要考查空间位置关系的判断，异面直线所成角的求法，点到平面距离的求法，属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：对于4由双曲线E：卷一，=l(α>0,6>0)的右焦点为F(6,0),

所以圆的半径为6,由对称性可知AC和8。是圆。的两条直径，所以MCl=IBDl=12,故A正确；

对于B,若CoS乙40?=4，则可得CoS乙400=