高中数学选择性必修一：1-3-2 空间向量运算的坐标表示（教案）

空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示

【要点梳理】

要点一、空间向量的基本定理

1.空间向量的基本定理：

如果三个向量a、b、C不共面，那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组x、y、z,使p=xa+yb+zc

2.基底、基向量概念：

由空间向量的基本定理知，若三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是

｛p∣p=xa+yb+zc,x、y、z∈R｝,这个集合可看做是由向量a、b、C生成的，所以我们把｛a、b、c｝称为空

间的一个基底.a、b、C叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.

要点二、空间向量的坐标表示

(1)单位正交基底

若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底，常用｛i,∕,Z｝表示

(2)空间直角坐标系

在空间选定一点。和一个单位正交基底｛i,j,k｝,以点。为原点，分别以i,∕,Z的方向为正方向建

立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系。-孙z,点。叫

原点，向量i,/#都叫坐标向量。

通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为XOy平面，yθz平面，ZQr平面；

(3)空间直角坐标系中的坐标

给定一个空间直角坐标系和向量a,其坐标向量为i,j,k,若a=a1i+a"+a3k,则有序数组(a∣,a2,

a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a=(a),a2,a3).

在空间直角坐标系OXyZ中，对于空间任一点A,对应一个向量若OA=Xi+力+z女，则有

序数组(x,y,z)叫点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z),其中X叫做点A的横坐

标，y叫点A的纵坐标，Z叫点A的竖坐标.

要点三、空间向量的坐标运算

(1)空间两点的距离公式

若A(Xl,χ,Z]),B(x2,y2,z2),则

(i)AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(xl,yt,zl)=(x2-xt,y2-yl,z2-z,)

即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

222

②IABl=∖∣AB'=λ∕(%2-xl)+(y2-yl)+(z2-zl),

或IAI=5(巧一%)2+(%一Mf+(Z2—z∣)2.

(2)向量加减法、数乘的坐标运算

若α=(x∣,y,z∣),b^(x2,y2,z2),则：①α+Z?=(Xl+x2,χ+%,z∣+z2)；

②α-B=α-x2,y—斗，马—Z2);③ZIa=(Zbcl,∕ly,∕lZ])(X∈R)；

(3)向量数量积的坐标运算

若α=(不，y,zj，h=(x2,y2,z2),则：a∙b=xlx2+yiy2+zlz2；

即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。

(4)空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式

若α=(q,02,%),b=(bi,b2,b3),则

22222

φ∣a∣=∖∣aa=+α2+«3,网=∖∣h∙h=y∣bi+⅛2+A>3.

„,abaλb,+a0b2+a-,h-,z_,x.

②cos<ab>----------=,--L33=(a≠0,b≠0).

∖a∖∙∖b∖Jq2+a??+4∙《b：+b；+b；

要点诠释:

(1)夹角公式可以根据数量积的定义推出:

a∙b=∖a∖∖b∖cos<a∙b>=>cos<a∙b>-—■,其中θ的范围是[0,π]

∖cι∖-∖b∖

(2)<AC,BD>—θ=><AC,DB>=π-θ=<CA,BD>—π-θ=≠><CA,DB>=θ.

(3)用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与0的关系(相等，互余，互补)。

(5)空间向量平行和垂直的条件

若α=(x1,y,z∣),b^(x2,y2,z2),贝!]

®alIh<^>a=λh<^>xλ=λx.,,yl=λy2,zl-λz2==(X2^Z2≠0)

¾%⅞

②α-LA><≠>α∙8=()<≠>XX2+X%+z∣z,=O

规定：O与任意空间向量平行或垂直

作用：证明线线平行、线线垂直.

【典型例题】

类型一、空间向量的坐标表示

例1.如下图，已知在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2,E、F分别是侧棱

PA、PB的中点，分别按照下列要求建立空间直角坐标系，写出点A、B、C、D、P、E、F的坐标.

(I)如下图甲，以O为坐标原点，分别以射线DA、DC、OP的指向为X轴、y轴、Z轴的正方向，

建立空间直角坐标系；

(2)如下图乙，以O为坐标原点，分别以射线OA、OB、OP的指向为X轴、y轴、Z轴的正方向，

【解析】(I)所以。B=i+/,所以向量。8的坐标为(1,1,0),即点B的坐标为B(1,1,0)

同理可得A(1,—1,O),C(—1,1,O),D(—1,—1,0).

又点P在Z轴上，所以。P=2Z,向量OP的坐标为(0,0,2),即点P的坐标为P(0,0,2)

1.111

因为F为侧棱PB的中点，所以OF=](O3+OP)=5(i+j+2k)=-i+-j+k,

所以点F的坐标为,同理点E的坐标为•

故所求各点的坐标分别为：A(1,-1,O),B(1,1,O),C(-bbO),D(-1,-1,0),

P(O,0,2),E∖—,—,1I,

122J

(2)OA=M,即点A的坐标为4&,0,()),同理可得以(),√Σ,()),C(-√2,0,0),

r)(0,-√2,0),P(0,0,2),因为E为侧棱PA的中点,

11B(方、

故OE=3(OA+OP)=3(8i+2k)=gi+k,所以点同理点/0,-,1

0,1I2J

/

故所求各点的坐标分别为：A(√2,0,0),B(0,√2,0),C(-√2,0,0),D(0,-√2,0),

(Γχ)d0,q,ι

P(0,0,2),—,0,1

EI2)I2J

举一反三:

【变式1】已知ABCD—AIBICIDI是棱长为2的正方体，E、F分别为BBl和DC的中点，建立如图所

示的空间直角坐标系，试写出图中E、F点的坐标。

【答案】VC(0,2,0),D(0,0,0)且F为DC的中点,

；.F(0,1,0).,

又：B(2,2,O),B1(2,2,2),且E为BBl的中点,

ΛE(2,2,Do

【变式2】如图所示，已知PAL平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD=1,四边形

ABCD为正方形.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求MN、OC的坐标表示.

【答案】M7V=β,0,∣j,DC=(0,1,0).

类型二：空间向量的直角坐标运算

例2、已知d—(2,—1,—2),b=(0,—1,4),求a+b,(1—b,3u+2b,a∙b

【解析】Va=(2,—1,—2),b=(0,—1,4),

∙*∙a+b=(2,—1,—2)+(0,—1j4)=(2+0,—1÷(—1),—2÷4)=(2,—2,2)

U—b—(2,—1,—2)—(0,—1,4)=(2—0,—1—(—1)>—2—4)=(2,0,—6)

3a+2b=3(2,—1,—2)+2(0,—1,4)

二(3×2,3×(―1),3×(-2))+(2×0,2×(―1),2×4)

=(6,—3,—6)+(0,—2,8)=(6,—5,2)

a∙b=(2,—19—2),(0,—1,4)=2x0+(—1)X(—1)+(—2)χ4=0+l—8=—7

举一反三：

【变式】已知向量a=(3,5,-1),b=(2,2,3),C=(4,-1,-3),则下列向量的坐标是：

φ2a=；②a+b-c=：③2a—3b+4c=；@ma+nb=

【答案】①(6,10,-2)；(2)(1,8,5);③(16,0,-23)；④(3m+2n,5m+2n,-m+3n)

例3.已知向量。=(4,-2,—4),b=(6,—3,2),求：

(1)ab∙,(2)∣α∣,|&|；(3)(20+3Z>)∙(.a-2b)

【答案】(1)a-b=4×6+(-2)×(-3)+(—4)×2=22;

(2)IaI=√^=J42+(—2了+(Y)2=6；

7222

∣ft∣=√⅛=λ∕6+(-3)+2=7；

(3)(2α+3b)-(a-2b)-2a^+3a∙b-4ab-6b2=2×62-22-6×72--244

举一反三：

【变式1］已知α=(1,2,2),6=(1,0,1)

(1)求Ial,|/?|；(2)求。功；(3)求〈。,0〉.

【答案】(1)∣α∣=√l2+22+22=3,∣∕7∣=√l2+02+12=√2

(2)a∙b=xγx2+y↑y2+z1⅞=IXI+2χ0+2x1=3

(3)CoS〈〃,〃〉=*b_=_,

∖a∖∖b∖3∙√22

∙/0≤(α,6)≤π,Λ(a,b)=—

【变式2】已知Q=(3,—2,-3),t=(T,>-l,l),且方与〃的夹角为钝角,则X的取值范围是()

A.(—2,+∞)B.(-2,-)11(∙∣,+∞)C.(一∞,—2)D.(―,+ɑo)

【答案】B【解析】COS<〃,♦>=a'h=:一?X—1)—3<0,解得》>—2

∖a∖-∖b∖√22∙√2+(x-l)2

例4.已知”=(一2,2,0),Z?=(-2,0,2),求一个向量”使〃J.α,且"_L〃.

nLana=Q

【答案】设〃=(X,y,z)，=

由，nA.bHnb=O

-2x+2y=0

<，令X=I得"=(1,1,1).

—2X+2z=0

举一反三：

【变式1】已知空间三点A(—2,0,2),B(―1,1,2),C(—3,0,4)；设α=AB,b=AC

(I)求CoS〈a,b〉；(H)若向量hi+。与Za-2b互相垂直，求k的值.

【解析】(I)α=A8=。B-OA=(1,1,0),b=AC=OC-OA=C-↑,0,2)

,一、a∙b(l,l,0)∙(-l,0,2)

..cos<a,b>=-------=.=~,...............

∣a∣∣b∣JI2+]2+O2.J(T)2+02+22

」.(-1)+1.0+0.2_屈

√2∙√5—10

(II)kcι+b=(k—1,k、2),ka—2b=(k+2,2,—4),

(&-+〃)_!_(ka-2b)=Qkel+b)∙(ka-2b)=0

n(Z—l)(Z+2)+Z∙Z+2(-4)=0

n%=-3或女=2

2

【变式2]已知α=(l,5,T),∕?=(-2,3,5)⑴若(kα+郎/(α-3h),求实数k的值;

(2)若(kα+θ)”α-3垛求实数k的值；(3)若忖+0取得最小值,求实数k的值.

【答案】ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),a-3⅛=(7,-4,-16)

(I)(ka+/?)〃(a—3b),.∙.ka+b=λ(a-3b),即(左一2,5k+3,-k+5)=(74-4∕l,-16∕l)

'k-2^1λ

由＜5攵+3=—4/1,解得％=—!；

-Z+5=-16几'

(2)(ka+Z?)Ma-3Z?),(k4+6)∙(α-3b)=O

.∙.(k-2,5k+3,-k+5).(7,-4,-16)=0,即3%—106=(),解得I=些;

(3)Wa+目=y](k-2)2+(5k+3)2+(-k+5)2=√27A:2+16JI+38

当攵=—∙1时，∕α+M取得最小值。

2711

【变式3】在棱长为1的正方体ABCD-ABCR中，瓦尸分别是。R,DB中点，G在棱CO上,

CG=-CD,〃是GG的中点，

4

(1)求证：EFlBiCi

(2)求EE与GG所成的角的余弦;

(3)求EH的长.

【答案】如图以。为原点建立直角坐标系。-Wz,

111371

则4(1,1,1),C(O,1,O),E(0,0,-),F(-,-,0),G(0,-,0),C,(0,1,1),H(Q,-,~),

222482

111

(I)£F=B1C=(-1,(),-1),

1ii

ΛEFB1C=(ɪ,(-1,0,-1)=0,ΛEFlB1C

(2)VC1G=(0,-^-,-l),

∙*∙EF-CG=,—)∙(0,—,-1)=—,

1,22248

㈤=Jw)2+5+(-9=］，IGGI=J(O)2+(-,+(-1)2=孚,

3

.∙.CoS(EEGG)=a=叵,

'√3√1717

.∙.EF与GG所成的角的余弦—

17

⑶M"=(⅛T∙∙∙Hl=J(T+/+(#=筌

类型三、空间向量的共线与共面

例5.若空间三点A(1,5,—2),B(2,4,1),C(p,3,q+2)共线，则P=,q=

【解析】A、B、C三点共线，则有A6与AC共线，即48=XAC,

λ=-

rl=Λ(p-l)2

XVAB=(1,—1,3),AC=(P—1,—2,4+4),,—1二-2入,.,.`P=3

3=λ{q+4)q=2

举一反三:

【变式1】已知OA=(2,4,1),03=(3,7,5),OC=(4,10,9),求证：A、B、C三点共线.

【答案】法一：∙.∙AB=(1,3,4),AC=(2,6,8),

.1

则A6=—AC,.∙∙AB11AC,又45、AC有公共点A

2

,A、B、C三点共线.

法二：OA=xOB+yOC(x,y∈R),贝∣J:

(2,4,1)=(3x,7x,5x)+(4y,10y,9y)=(3x+4y,7x+1Oy,5x+9y)

3x+4y=2

J2x+5y=-14y=-4IrX=2

«7%+lθʃ=4=>

[2x+y^32x-l-3ʃ=-1

5x+9y=l

OA=2OB—OC且x+y=1,

：.A、B、C三点共线.

【变式2】已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且31ACl=IA,

则点C的坐标是()

715、/3cc、z10,7、/573、

A∙石，一5,5)B∙(/⑵C.(寸―1亏)D.

【答案】C【解析】∙∙∙C为线段AB上一点,且3|AeI=IA8],

111107

：.AC-AB,：.OC=QA+-AB=(4,1,3)+—(—2,-6,-2)=(一,一1,一)

例6.求证A(3,0,5),B(2,3,0),C(0,5,0),D(1,2,5)四点共面.

【解析】法一：证AB〃C。，VAB=(-1,3,-5),CD=(1,-3,5),

ΛAB//CD,：.A、B、C、D四点共面.

法二：证AC=[A3+,AO

VAC=(-3,5,-5),AB=(T,3,-5),AD=(-2,2,0)

显然4C=A8+AQ,

由共面向量定理，A,B,C,D四点共面.

；.A、B、C、D四点共面.

举一反三

【变式1］已知α=(2,-l,3),b=(-l,4,-2),c=(7,5,2),若4、b、C三向量共面，则实数λ等于()

62c63c64r65

Aa.—B.-C.—D.—

7777

【答案】D；由a、b、d三向量共面,设α=mb+nc,贝!!(2,-l,3)=m(-l,4,-2)+n(7,5,X)

2=-m+7n

即J∕=4m+5n,解得2="

,7

3=-2m+nΛ

【变式2】证明:四点A(l,0,l),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)在同一平面内.

【答案】VAB=(3A,5),AC=(l,2,2),AD=(9,14,16),

设Ao=XAB+yAC,则：(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y)

3x+y=9

rX=2

<4x+2y=14n<,

",y=3

5x+2y=16U

ΛAD=2AB+3>AC,：,A、B、C、D四点共面.

【变式3】如下图，在正方体A8CE>T∣8CIA中，E、F分别是8所、Cn的中点.

(1)证明ADj_£>iF；

(2)求AE与。尸所成的角;

(3)证明面AEzXL面AAR

【解析】取。