2023-2024学年浙江省高二年级下册3月联考数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年浙江省高二下册3月联考数学模拟试题

一、单选题

1.已知a=(2,0,2),B=(3,0,0)分别是平面a,尸的法向量，则平面a,尸交线的方向向

量可以是()

A.(1,0,0)B.(0,1,0)C.(0,0,1)D.(1,1,1)

【正确答案】B

【分析】根据平面的交线都与两个平面的法向量垂直求解.

【详解】因为四个选项中，只有偏(0,1,0)=(2,0,2)(0,1,0)=0,

1(0,1,0)=(3,0,0).(0/,0)=0,

所以平面尸交线的方向向量可以是(OJO)

故选：B

2.已知双曲线£-片=1的两条渐近线的夹角为:，则双曲线的焦点到渐近线的距离是()

a233

A.1B.y/3C.2D.1或Q

【正确答案】B

【分析】根据双曲线的方程写出焦点、渐近线方程，利用点到直线的距离即可得解.

【详解】不妨取双曲线的右焦点(。,0),由题可知6=百，设双曲线的渐近线方程为

bx+ay=0,

山c土a-0|her

所以右焦点到渐近线的距离d=I,「=-=6=否,

ylb2+a2

故选：B

3.如图，在空间直角坐标系z中，正方体O8CD-Q4GA的棱长为1,且£史，。£于

点E则初=()

A.B.正C.5西D.+

\222）33333

【正确答案】D

【分析】，根据空间向量的坐标运算可得无=；函，从而可得结果.

【详解】根据题意,可得0（0,0,0）,。（0,1,0）,G（U,1）,则加=（0,1,0）,西=（1,1,1）,

设砺=义/=（；1,/1"）,DE=DO+OE^,X-\,X）,

因为LCOC；,则诙.西=0=2+2-1+2=0,解得2=；,

所以叫西中一+—+可”+海•丽

故选:D

4.若点Z（a,a）,B（b,eh）（a,beR）,则A、8两点间距离|阴的最小值为（）

5

A.1B.—C.y/2D.2

2

【正确答案】B

【分析】根据切线方程的求解，转化成两条直线间的距离即可求解.

【详解】点力（。,4）在直线＞=x，点8（瓦在"e'上，尸e'，V=e、，设尸e'的切线的切

点为（x。,%）,令y'=lne'，=lnxo=O,所以ke*在点（0,1）处的切线为广x+1,此时切线

、=工+1与直线^=丫平行，

直线y=x与y=x+l之间的距离"==变为|明的最小值，

故选：B

5.如图，4个圆相交共有8个交点，现在4种不同的颜色供选用，给8个交点染色，要求

在同一圆上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（）种

【正确答案】D

【分析】分析出各部分可以涂色的情况即可得出不同的染色方案的种数.

【详解】由题意，其中一部分有四种方法，与其紧邻的有3种方法，再相邻的有2种，两圆

的公共部分有2种，剩余两部分有2种，

涂色示意图如下：

二共有4x3x2x1x2x1x2=96.

故选：D.

6.已知直线，：x-y-2=0与抛物线E:/=2x交于A、8两点，抛物线E分别在点A、B处

的两条切线交于点P,则点P在直线/上的投影的坐标为（）

A-B.C.（2,0）D.（3,1）

【正确答案】B

【分析】先分别求过48的切线方程，依此求出直线再求得P（-2,l）,设点求出投影

即可.

【详解】设点P（a,b）,力（士,必），8（%,必），

根据题意可知，抛物线在点A处的切线斜率存在，

设点火丹,必）处的切线方程为夕-必=曲》一再），与j?=2x联立，得如2-2y+2（%-何）=0,

由△=（）,得2X£-2"+1=0,贝lJy*2-2y/+1=0,解得a=（,

故切线方程为V-乂=；（》一玉），即y/=x+%

抛物线E在点力(七,切)处的切线为叫一+占过点尸(q,6)n加=”+演

同理可得,抛物线E在点8(乙,为)处的切线为抄2=》+々过点P(a,6)n奶=。+'2

所以直线45:"=a+x与y=-2+x是同一直线，得点尸(-2,1)

/、X—2—1।3

点P在直线/上的投影的坐标为(x,x—2),7qZ]Xl=-l得x=g,y=-|

故选:B.

7.已知递增数列｛q｝的前"项和E,满足2S“=〃(a“+l),“eN*,设4=—」——r,若

a„a；+｝-an+ia„

对任意“eN*,不等式4+4+63+…+24；恒成立，则出陵的最小值为()

A.2023B.2024C.4045D.8089

【正确答案】C

【分析】根据2S“=〃(%+1)得到2凤=。m+%_],故｛6｝是等差数列，

aa

dVnn+\)

利用裂项相消法得到4+4+h｝+-+b„=±(1—L]<-1<1,解得22,代入计算得到

小(%)才4

答案.

【详解】2S„=n(a„+l),当〃=1时，2S1=lx(%+l),q=l；

当“22时，2s,=〃(％+1),2S„_,=(n-l)(a,,_,+1),

相减得(w-2)a„-(«-l)a„_,+1=0,又(〃-1).-叫+1=0,

相减得2%=%+4,故｛《,｝是等差数列，a„=l+(n-l)J,d>0,

^=1+(2023-1)</>!+2022x2=4045.

故选：C

关键点睛：本题参考了等差数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生的计算能力，转化能

力和综合应用能力，其中利用两次相减的思想得到2%确定等差数列是解题的关

8.已知。，x均为正实数，不等式ei-Hn(ax)+a20恒成立，则。的最大值为()

A.1B.五C.eD.e2

【正确答案】C

【分析】根据恒成立转化成求解函数的最小值，只需要满足最小值大于等于0即可，结合基

本不等式即可求解.

1

［详解］y=e1-aln(")+a=y，=e^--

又a,x均为正实数，所以y=e，T-@在(O,+s)单增

X

当X->0,Vf-8,当Xf+8,Vf+00

x-1

3x0eR,y=e°--=0,

当工€(0,/)时，/<0,当xe(x(,,+oo)时，/>0

故当x=x0时，y=e'T-”ln(ax)+a取最小值，

v-1

ymin=e"-aln(ax。)+a=e°-aIna-alnx0+a>0

又e"r=巴，^x0-l=lna-lnr0,所以呜=lrk2-Xo+l

XQ

:.八m二e"-a\na-alnx。+a=———a\na-《Ina-x0+1+a>(

xo

即.—+x0-21ntz>0=>—+x0>2\na=>2>2\na=>tz<e,

.%与

故选：C

二、多选题

9.关于直线与圆，下列说法正确是（）

A.对任意实数“，直线，：以'+2、-。=0恒过定点（1,0）

B.直线机：x+y-1=0与直线"：x-y-1=0垂直

C.直线/：xcos0+ysin"1=0与圆O：/+/=］相切

D.圆A/:x?+y2=4与圆N:（x-cos0）'+（y-sin0）2=9相交

【正确答案】ABC

【分析】根据直线方程求出定点判断A,根据斜率之积判断B,根据圆心到直线距离判断C,

根据两圆圆心距判断D.

【详解】对A,直线/：依+2k〃=0=尸-式1）恒过定点（1,0）,正确；

对B,⑥=-1,kn=\^km-kn=-\,直线垂直，正确；

|Oxcos0+Oxsin^-lI

对C,圆心到直线距离~/,,!=1=r,相切，正确；

■s/cosP+sirrd

对D,圆心间距离d=J（0—cosH）~+（0—sin6）~=1=|3—2|=色一耳，两圆内切，错误.

故选：ABC

10.已知数列｛““｝的前〃项和为S“，则下列说法正确是（）

A.若5,=2'-2,则。“=2”|

B.若。,,=21-2〃，则5”的最大值为100

c.若。用=。"+",则为=¥+另一8

,,,123〃

D.若a“=IxC：+2xC；+3xC；+…+"xC""，贝!j—।-----1------1142

a\a2aian

【正确答案】BCD

【分析】根据所给S,与分别求4判断A,根据通项公式分析项的符号的变化可求最值判

断B,由S“与a”关系可得2S“=S“u+S,i-〃即可判断C,由组合数的性质及等比数列的求

和公式可化简判断D.

【详解】对A,因为5=2「2=0,而q=2"=1,所以4力岳，故错误；

对B,若a“=21-2”，则〃410时。“>0,而当〃>11时，/<0,

所以S”的最大值=%=罗xl0=100,故正确：

对C,若an+l=《,+〃，则Sn+l—Sn—S“-Si+〃n2Sn-Sn+]〃n2^=S9+S1—S,故

正确;

对D,因为比：="中,所以

a“=lxC,+2xC+3xC+…++C[+C；+.••+%）=nxZ,

]23n111万2

贝!]一+—+—+…+—卞4+…七产=~—^2,故正确.

q。2%42221」2

2

故选：BCD

11.已知椭圆E:三+匕=1的右焦点为名，直线x-y+3=0与椭圆交于A、8两点，则（）

2516

A.△488的周长为20B.△NBF,的面积为史史

41

C.线段中点的横坐标为D.线段的长度为挈

4141

【正确答案】ACD

【分析】利用椭圆的定义判断A；联立直线与椭圆方程，求出弦48中点横坐标及弦长判断

CD；求出面积判断B作答.

【详解】依题意，直线X-y+3=0过椭圆/：三+匕=1的左焦点6（-3,0）,椭圆长轴长

2516

2«=10,

所以△物玛的周长|4玛|+|48|+|5月|=|28|+|4耳|+|5用+|四|=痴=20,A正确;

x-y+3=0

e150

由，x2v2消去y得:41x2+150x-175=0）设/（%,乂）,8（%,力）则&+x=-1-

—+—=12

12516

175

西方=-----

41

因此线段48中点的横坐标为弋&=-*xg=《，C正确;

线段48的长度为扇.（占+Z）2-4%看=加.（-当）+4x175=320,0正确;

6

点心（3,0）到直线x-y+3=0的距离"==30,

7>2+（-i）2

所以A4BFz的面积为s=J_M8|.d=_Lx当x3板=竺逑，B错误.

21124141

故选：ACD

12.已知函数/(x)=ax+cosx的定义域为[0,句，则下列说法正确是()

A.若函数/(x)无极值，则

B.若看，々为函数/(x)的两个不同极值点，则/(再)+/优)=M

C.存在aeR,使得函数/(x)有两个零点

D.当。=1时，对任意xw[0,可，不等式/(x)4；x2+e、恒成立

【正确答案】BCD

【分析】函数〃x)无极值，贝lJ/'(x)20或/■'(x)WO,求解即可判断A；若公,々为函数“X)

的两个不同极值点可得/'(占)=/'(七)=0,即玉+工2=兀，代入可求出/(占)+/(七)的值，

可判断B；要使得函数/(x)有两个零点，即夕=。3》与了=一以有两个交点，画出图象即可

判断C；当。=1时，对任意xe[0,7i],不等式/卜)4；/+/恒成立即证明

g(x)=x+cosx-^x2-QX40在xe[o,7t]上恒成立即可判断D.

【详解】对于A,若函数I(x)无极值,_f(x)=a-sinx,xe[0,司，

则/”(x)20或:(x)<0恒成立，则a>(sinxL或aV(sinxL，

当xe[0,可,则sinxw[0,l],解得:a>l^a<0,故A不正确；

对于B,若王，4为函数“X)的两个不同极值点，/'(xJ=7'(X2)=a-siiW|="sin%2=0,

所以sinX]=sinx2,

因为x«0,兀],贝!)%+%2=兀，/(%)+/(工2)=〃玉+COSX]+公2+cos%2=4兀，故B正确；

对于C,存在oeR,使得函数/(x)有两个零点，85'=-双=»=85'与>=一"有两个交

点»

y=cosx在(兀-1)处的切线平行于x轴，过原点的切线在(兀,-1)的左侧稍微旋转后可得两个

交点,故C正确；

对于D,当。=1时，对任意xe[0,7t],不等式/(xTgM+e，恒成立

x+cosx<—x2+ex=>=x+cosx——x2-ev<0,

2~2

g(0)=0+cos0--^x02-e°=0,

g/(x)=l-sinx-x-ex,g/(0)=1-sinO-0-e0=0,

令力(x)=l-sinx-x-e',

h'(x)=-cosx-l-er<0对任意xe[0,7t]恒成立，

h(x)=1-sinx-x-ex[0,7i],A(0)=1-sinO-0-e°=0,

=l-sinx-x-e”40对任意工£[0,可恒成立，所以g〈x)M0,

g(x)=x+cosx-^x2-e'在[0,可上单减，g(0)=0+cos0-^x02-e°=0

2

g(x)=x+cosx-^x-e"0对任意XE[0,可恒成立，故D正确.

故选：BCD.

方法点睛：函数零点和方程根的问题往往利用数形结合转化成函数图象交点的问题，导数恒

成立、极值问题通常构造函数并利用导数研究其单调性即可得出结论.

三、填空题

13.+展开式中的常数项为.

【正确答案】当#0.9375

16

【分析】根据二项式展开公式得到7；”=xl2-3r,令x上的指数为0,得到，值，再代

入回去得到常数值.

【详解】二项式的展开式的通项公式为

信）曲12-ir

令12-3尸=0,解得r=4,

则展开式的常数项为q，

故答案为黑

14.他在党史学习教育动员大会上讲话强调，“要抓好青少年学习教育，着力讲好党的故事、

革命的故事、英雄的故事，厚植爱党、爱国、爱社会主义的情感，让红色基因、革命薪火代

代传承.”为了深入贯彻他的讲话精神，我校积极开展党史学习教育，举行“学党史，颂党恩，

跟党走”的主题宣讲.现安排7名教师到高中3个年级进行宣讲，每个年级至少2名教师，教

师甲和乙去同一个年级，教师丙不去高一年级，则不同的选派方案有种（用数字作答）

【正确答案】100

【分析】根据分类加法计数原理，结合分组分配利用排列组合即可求解.

【详解】

高一高二高三种数

AA丙甲乙AA

甲乙A丙AAAC；xC；xC；

甲乙丙AAAA

甲乙丙AAAAC；XC；

AA丙A甲乙AC；xC；xC；

AA丙AA甲乙C%C；

AAA丙A甲乙

种类=2x（C%C；+C：xC；xC；+C：xC；+C；xC；+C；xCxC；+C：xC：+C：xC；）

=2x(6+12+6+4+12+6+4)=100,

故100

15.直线/：ax-y+a-l=0与曲线£/一幺一x-y=0相切，则。=.

【正确答案】0或4##4或0

【分析】利用导数求出曲线在处的切线方程，再由切线过定点(-1,7),可

求出％,据此即可求出斜率。的值，

【详解】直线/：公—+”1=0过点

设切点(xo，x；-x；-xo),/=-2x0-l

所以切线方程为：夕-卜：-X：-%)=(3x；-2x0-l)(x-x0),

由切线过点(-1,-1)可得,-l-(x^-x^-x0)=(3xj-2x0-l)(-l-x0)

解得得/=±1,所以。=了|*=1=0或。=_/|*=_1=4

故0或4

16.已知V+V+z?=1,a+3b+y［6c=l6>则(x-ap+(y-6)2+(z-c)’的最小值为.

【正确答案】9

【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.

［详解］a+3b+%/6c=16<^12+32+(^6)\la2+b2+c2=4y1a2+b2+c2

正+力+124,当且仅当(=(=a时等号成立,即a=l,b=3,c=W，

(x-a)-+(y-6)-+(z—c)-=1-2(xa+6y+cz)+a2+b2+c2

>1-2yjx2+y2+z2-Ja2+b2+c2+a2+b2+c2=1-2yla2+h2+c2+a2+h2+c2

=(yja2+b2+c2>9,当且仅当3=2=£时等号成立，可取》="［夕=2.*=必

\>xyz444

故9

四、解答题

17.已知圆E经过4(2,3),8(3,2),C(4,3)三点，且交直线/：3x+4y-18=0于M,N两

点.

(1)求圆E的标准方程;

(2)求CMN的面积.

【正确答案】⑴(X-3)2+(7-3)2=1

喧

【分析】(1)设圆E:(x-af+(y-b)2=r2,根据待定系数法求出圆的方程；

(2)根据圆的几何性质，利用半弦长、半径、弦心距关系得出弦长，再由点到直线距离求

出高，即可得三角形面积.

【详解】(1)设圆E:(x-a)2+(y-b>=E

(2-a)2+(3-Z>)2=/-23=3

贝曲3_q)2+(2_bj=r2=.h=3

(4-a)2+(3-/?)2=r2lr=l

.•.圆E:(x-3『+(y-3)2=1

.、|3x4+4x3-18i6

(2)因为C(4,3)到直线/:3x+4y-18=0的距离为1,32+.1=y,

|3x3+4x3-18|3

圆心E(3,3)到直线/:3x+4”18=0的距离为

存+4F5

8

故弦长|MV|=2x

5

„16824

所以SMMN=~X-X-=—

18.在长方体力8C0-4AGA中，E为棱BC上的点，4B=2,AA、=2&,BC=3BE=3.

(1)求点用到平面CQE的距离;

(2)求二面角E-AG一。的余弦值.

【正确答案】(1)亚

5

(2)0

【分析】(1)以A为原点，AB,AD,44为x,夕，z轴建立空间直角坐标系，利用空间

向量法求解.

(2)根据空间直角坐标系，求出面E4G的法向量和面4G。的法向量，得出两向量垂直，即

可得出结果.

【详解】(1)分别以,AD,N4为》，y,z轴如图建系,

则4（0,0,0）,S,（2,0,2>/2）,G（2,3,20）,Z）（0,3,0）,

£（2,1,0）,5f=（2,-2,0）,DC；=（2,0,272）,

设面GDE的法向量为；=（x,y,z）

DE-n=2x-2y=x=y

解得

DC】-n=2x+2也z=0X=~y/2z

取z=-l,贝ij斤=(&,&—),又场=(0,-3,0),

G8_372_3屈

则点用到平面CQE的距离d=,,__

向755

(2)由(1)知，方=(2,1,0),您=(2,3,2应)，亚=(0,3,0),

设面EZC1的法向量=（占,%,zj,面/CQ的法向量〃2=（々,为,z?）,

/j,=2x,+y,=0fAC,-n2=2x2+3y2+2g=0

-n-2X1+3^+2^z,=0[AD-n-3y-0

Sl22

赋值解得*=。，-2,JI）,^=（-72,0,1）,

因为=（1,-2,JT,0,l）=0,

则二面角E-4cl一。是直二面角,

即二面角E-AQ一。的余弦值为0.

19.已知等差数列｛为｝的前〃项为$“，满足勺=3，怎=25.

（1）求数列｛〃“｝的通项公式；

（2）若对任意〃eN*,不等式+a2-+a3d+…""｛J4"?恒成立，求"，的

最小值.

【正确答案】（1）%=2〃-1

曜

【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可;

（2）根据错位相减法求出和，即可得解.

出=3a'+d=3/«,=!

【详解】（1）由题意,S$=25[54+^4=25=14=2

二%=2〃一1.

⑵令小吟+3*!)J+5X©+...+

修=/1+3x（扪…+（2〃一研/+（2—需广

相减得,

,3331Mn19158〃+515

所以〃?的最小值为s.

32

20.若一个学期有3次数学测试，已知甲同学每次数学测试的分数超过90分的概率为;,

乙同学每次数学测试的分数超过90分的概率为g.

⑴求事件:“甲同学在3次测试中恰有1次超过90分且第2次测试的分数末超过90分”的概

率；

(2)若这个学期中同学数学测试的分数超过90分的次数为X,乙同学数学测试的分数超过

90分的次数为y,求随机变量X-Y的方差.

2

【正确答案】(1)二

【分析】(1)由相互独立事件的乘法公式代入即可得出答案；

(2)法一：记&=x-y,求出4的可能取值及对应的概率，再由均值和方差公式即可求出

随机变量x-y的方差；

法二：因为随机变量x与y相互独立，则o(x-y)=DY+Dy,且xd3,1,丫《3,；),

由二项分布的方差公式即可求出答案.

【详解】(1)记所求事件为事件A,甲同学第i次测试的分数超过90分记事件4,则

444+444,因为4，4，4相互独立，

P(4)=尸(4)=尸(4)=葭尸(4)=尸(凡)=尸(4)=葭

所以？(4)=尸(444+4用4)=尸(4)尸(4)尸(4)+P(4)P(Z)P(4)=《.

(2)记J=X-y,由题意可得4的可能取值有-3,-2,-1,0,1,2,3,x《3,；),

y

尸(J=_3)=尸(x=o)尸(y=3)=c［|jc；］；［=J,

p居=-2)=p(x=o)p(y=2)+p(x=i)p(r=3)

=咐咐+噬阳咐4

尸(I=-i)=尸(x=o)/(i=i)+尸(x=i)p(y=2)+/(x=2)/(y=3)

p(4=o)=p(x=o)p(y=o)+p(x=i)p(y=i)+p(x=2)p(y=2)+p(x=3)p(y=3)

尸(q=i)=尸(x=i)/(y=o)+p(x=2)尸(y=i)+/(x=3)/(y=2)

二哨行咐啕©鸣%削眄;猾

尸(4=2)=p(x=3)p(y=i)+尸(x=2)p(r=o)

d冏鸣W鸣★

P（=）=P（『）叩=。）=喏j©呢j啧,

E^=E(X-Y)=EX-EY

-3+-x—+-2+—-1+-

2+j

法二：因为随机变量x与y相互独立，则。(x-y)=£x+oy,

■:x啥)，丫《叫,

122113

ADX=3X-X-=-DY=3X-X-=-

33329249

i7

...D(X-Y}=DX+DY=—

22

21.已知曲线°：]一方=1,焦点片，F”J.（-V3,0）,4（6,0）,P是左支上任意一点

（异于点4）,且直线尸4与尸4的斜率之积为

（1）求曲线c的方程；

（2）直线4为过p点的切线，直线《与直线产片关于直线《对称，直线4与X轴的交点。，过点

。作直线4的平行线与曲线C交于A,B两点,求尸48面积的取值范围.

【正确答案】（1）三-产=]

【分析】⑴先设点尸卜。,人）根据原代入求轨迹即可;

（2）先求人的定点（2,0），再设直线18求出PAB面积关于X。的函数，再求导数求面积范围.

【详解】（1）设一卜。,儿）

%―0乂）—0乂）2=I二,七?

k.k-%2=1（犷0）

汽PAi2

x0+A/3x0-5/3x0-333

又因为%I-绰=1,所以〃=1

3b2

所以曲线C的方程为9-/=1

直线/2：了一%=用（》一/），即夕=也8+4%

%与

―4XQ-+6XQ+18

国=—4年一9一

解得《

必=-^5斗+2）

工0

设直线叱即尸+竽?

［二3一%TxQoT2x。”—9”

玉一x°/（4%一9）（与一%）

、=3%-8m°+24/%+18%

士-%Xo（4xo-9乂玉-%）

即6=—2k,y=kx+b=k（x-2）,所以直线4过定点（2,0）,即点。是定点，且是点名

设直线的》="歹+2,/(另,%)，8(%,%)

%

x=y+2-9212_p

联立方程X",化简得一fK+--0-y+1=0

X2-3/=3X°%

由韦达定理可得为+刈=警，/乂=二五

3,〃49

|歹3一歹41=5/(、3+，4)2-4歹3歹4=4

3

—ABd化简得S=gJ与16x4—16XQ+36x—27

S=Q0

3

令/(x)=$：-16x；+36x0-27,(x<-4),

r(x)=?x；-48x；+36

尸/'(x)单调递增

A/'(X)<r(-73)<0,/")单调递减,

/./(^)>/(-A/3)=21+12^3,S>?21+12后=1+当

、

.•.4+述*

37

22.已知函数/(x)=x(l-Inx).

⑴求/(x)的单调区间;

(2)设“，6为两个不相等的正数，且61na-alnb=a-b