2023-2024学年浙江省名校协作体高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省名校协作体高三(上)开学数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={-1,0,1,2,3},fi={x|x2+2x-3>0},则ACIB=()

A.[0,1}B.{2,3}C.{-1,0,1}D.{-1,04,2)

2.已知复数2=法，则Z+2』在复平面内所对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在A48c中，BD=^BC,若屈=五，AC=b>则而=()

A.\a-\bB.|a+|KC.+D.

4.己知函数丫=1。929合一为在区间(1,2)上单调递增，则a的取值范围为()

A.(0,1i)1B.(1,1)1C.©,+8)D.(l,+8)

5.抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(d)的直线与抛物线相交于48两点，与抛物线的

准线相交于点C.若|BF|=3,则留=()

3456

--C--

A.4567

6.某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少

安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的

种数是()

A.124B.246C.114D.108

7.已知函数/'(X)=+0)的图象如图所示，M,N是

直线y=—l与曲线y=f(x)的两个交点，且附7|=拳则

/(兀)的值为()

A.。

B.-1

C.—V~~2

D.-<3

8.已知四面体4BCD中，4。=2,BD=<3>乙BCD=120°,直线40与BC所成的角为60。,

且二面角A-CD-B为锐二面角.当四面体力BCD的体积最大时，其外接球的表面积为()

A32TTD16TT

A•亍B—C.167rD.8TT

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列命题成立的是()

A.已知f〜N(0,l)，若P(f>l)=p,则P(-lWfW0)=：—p

B.若--组样本数据(々,yj)(i=1,2,3,...,n)的对应样本点都在直线旷=-2x+3上，则这组样本

数据的相关系数r为-1

C.样本数据64,72,75,76,78,79,85,86,91,92的第45百分位数为78

D.对分类变量X与丫的独立性检验的统计量/来说，/2值越小，判断“x与y有关系”的把握

性越大

10.已知正方体48(7。-必816。1的棱长为2,点P为平面4BC0内一动点，则下列说法正确

的是()

A.若点P在棱AD上运动，则&P+PC的最小值为2+2C

B.若点P是棱AD的中点，则平面PBC1截正方体所得截面的周长为2仁+3c

C.若点P满足PDi则动点P的轨迹是一条直线

D.若点P在直线4c上运动，贝UP到棱BG的最小距离为亨

11.设定义在R上的函数/(乃与g(x)的导函数分别为/'(X)和g'(x),若f(x+2)-g(l-乃=

2,f'(x)=g'(x+l),且g(x+l)为奇函数，则下列说法中一定正确的是()

A.5(1)=0B.函数g'(x)的图象关于(1,0)对称

C./(x)的周期为4D.万肾g(幻=o

12.已知数列｛斯｝是公比为q的等比数列，且的>0,则下列叙述中正确的是()

A.若生+。4=+03，则q=1

B.若a2=+lna3,则q<0

C.若2a3=e%+0。2,则q>1

D.若0V的<1,且％+与+的=ln(Qi+&+。3+。4)，则9>1

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知函数/(%)=[0尸'XC(—8,1),则/Q)>1的解集为___.

[log4xfxG(1,4-00)

14.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为.

15.已知尸是椭圆C：]+*=1的左焦点，过F作直线I交椭圆于4,B两点，则|4F|+4|BF|

的最小值为.

16.己知不等式他ix-m/nx2x+n对Vx>0恒成立，则当蓝取最大值时，m=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知/(x)=sinx^sinx—3cosx).

(1)求/(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c.若f(4)=|,a=2,求b+2c的取值范围.

18.(本小题12.0分)

已知四棱锥E-4BCD中，四边形4BCD为等腰梯形,4B〃OC,4B=4,AD=DC=2,BE=4,

△40E为等边三角形.

(1)求证：平面4OE_L平面4BCD；

(2)是否存在一点尸，满足前=4铉(OCA<1)，使直线4尸与平面BDE所成的角为60。？若

存在，求出;I的值；若不存在，请说明理由.

19.(本小题12.0分)

设数列的前n项和为右，已知又=：(3a“-l)(nGN*).

(1)求｛aQ的通项公式；

(2)设%=[n+Q吗E数，求数列也｝的前2n的项和72n.

E・an,n为偶数

20.(本小题12.0分)

某科研所研究表明，绝大部分抗抑郁抗焦虑的药物都有一个奇特的功效，就是刺激人体大脑

多巴胺(Dopamine)的分泌，所以又叫“快乐药”.其实科学、合理、适量的有氧运动就会增

加人体大脑多巴胺(Dopamine)的分泌，从而缓解抑郁、焦虑的情绪.人体多巴胺(Dopamine)分

泌的正常值是107.2-246.6〃g/24/i,定义运动后多巴胺含量超过400〃g/24h称明显有效运动,

否则是不明显有效运动.树人中学为了了解学生明显有效运动是否与性别有关，对运动后的60

名学生进行检测，其中女生与男生的人数之比为1：2,女生中明显有效运动的人数占g,男生

中明显有效运动的人数碍

女生男生合计

明显有效运动

不明显有效运动

合计

(1)根据所给的数据完成上表，并依据a=0.100的独立性检验，能否判断明显有效运动与性

别有关？并说明理由;

(2)若从树人中学所有学生中抽取11人，用样本的频率估计概率，预测11人中不明显有效运动

的人数最有可能是多少？

n(ad-bc)2

附:其中九=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

参考数据:

P(x2>a)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

a2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.(本小题12.0分)

已知双曲线C：盘一，=l(a>0,b>0)的左、右顶点分别为4、B,P为双曲线上异于4、B的

任意一点，直线24、PB的斜率乘积为3.双曲线C的焦点到渐近线的距离为1.

(1)求双曲线C的方程；

(2)设不同于顶点的两点M、N在双曲线C的右支上，直线AM、BN在y轴上的截距之比为1：3.

试问直线MN是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=ae"-e(x-l)2有两个极值点%1，%2(%iV%2),其中QCR,e为自然对数的底

数.

(1)求实数a的取值范围；

(2)若ex】+(e-2次2+2(1-e)>4(与-l)(x2-1)恒成立，求4的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为8=卜|/+2%—3>0}=(—8,—3)U(l,+8),A={-1,0,1,2,3},

所以4CIB={2,3}.

故选:B.

化简集合B,根据集合的交集运算求解即可.

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

2.【答案】D

2+i_(2+i)(l+i)_l+3i

【解析】解:

口一(l-i)(l+i)-2

l+3i.o.33.

•••z+2z—^―+1-3ll

22

故Z+2』在复平面内所对应的点(|,-|)在第四象限.

故选：D.

根据复数除法运算及共视复数化简，即可得解.

本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是基础题.

3.【答案】C

【解析】解：在UBC中，BD=^BC,AB=a>AC=b，如图，则。为

BC的一个3等分点，作平行四边形，

则标=短+刀=|苍+软.

故选：C.

画出图形，利用向量的基本定理，写出结果即可.

本题考查平面向量的基本定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题.

4.【答案】D

【解析】解：因为函数y=1og2(a/-x)在区间(1,2)上有意义，

所以解得a>l,

此时二次函数y=ax2-%图象开口向上，对称轴》=^<1<1,

y=ax2-%在(1,2)上单调递增，又y=log2%为增函数,

所以由复合函数单调性法则知I,y=/og2(ax2-x)在区间(1,2)上单调递增，符合题意,

所以a的取值范围为(1,+8).

故选：D.

根据复合函数单调性及二次函数、对数函数单调性判断即可.

本题考查了对数函数的性质、二次函数的性质及复合函数的单调性，属于中档题.

5.【答案】A

【解析】解：由抛物线f=4x的焦点为F(1,O)，

准线方程为工=-1,设4(X〕内),B(x2,y2),

①如图(1)所示，

过4B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为E,N,

则|B用=\BN\=X2+1=3,所以刀2=2,

把亚=2代入抛物线y2=4x,

可得=±2y/~2,即点8(2,-2/7)或B(2,2，7)，

当点B(2,-2C)时，此时点4在x轴上方，即以＞0,

由资=可得yi=2y/~x^,即4al

因为M(、厂石,0)且A/IM=fc/ifc,即:解得=3，

所以|4E|=3+1=4,所以耨=黑=*

②如图图(2)所示，过4,B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D,G,

则|BF|=\BG\=X2+1=3,所以=2,

把©=2代入抛物线y2=4x,可得丫2=±2，^，即点B(2,-2C)或B(2,2/7),

当点B(2,2，N)时，此时点4在x轴下方，即为＜0,

由火=4x「可得yi=-2/^7，即4(X1，-

因为M(，石,0)且=^MC＞即:解得%=3,

所以|皿=3+1=4,所以朗=鼠/

综上可得，器H

故选:A.

设4(与,外声。2沙2)，过48分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为E,N,根据抛物线的定义

求得8(2,—2S)，根据/CAM=/CMC，列出方程求得与=3,结合制=需，即可求解.

本题考查抛物线的定义和标准方程，体现了数形结合的数学思想方法，以及学生应用知识分析解

决问题的能力及运算能力.属中档题.

6.【答案】C

【解析】设学校为4B,C,先把甲乙两人安排到不同学校，有用=6种，

不妨设甲在4乙在B,只需剩余3人至少有1人去C即可，

利用间接法计算，有33-23=19种不同安排方法，

根据分步乘法计数原理可知，共有6X19=114种不同安排方法.

故选：C.

利用分步乘法计数原理，根据排列及间接法计算.

本题考查计数原理的应用，是基础题.

7.【答案】D

【解析】解：由函数f(%)=Asin(a)x+@)的图象知4=2,

设MQi/i),N(x2,y2),(x2>%i),

由可得%2-％1=手

令2s讥(3%+9)=—1,即sin(3%+9)=-2,

结合图象可得+0=—,a)x2+"=-*,

则3(%2-/)=等即o>x^=:，所以3=3,

把％=-[,y=。代入/(%)—Asin(a)x+cp),即2sin(一与+@)=0,

所以W=(2k-1)TT+写,/c€Zf

则/'(兀)=2sin(3n+(2k-1)兀+y)=2sin与=一，3.

故选：D.

根据函数图象确定4的值，设/V(x2,y2),(x2>%!),结合|MN|=等确定3,利用点的

坐标确定3的表达式，代入求值即得答案.

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题.

8.【答案】B

【解析】解：如图，

因为=BC2+DC2-2BC-DC-cosl20°=BC2+DC2+BC-DC=3,

所以3BC•DCWBe?+DC2+BC•DC=3,即BC-0CW1,当且仅当BC=DC=1时等号成立,

此时底面4BCD面积最大,S=^BC-DC-s讥120。=华,

将AD沿方平移至AC,则点4与A到底面BCD的距离相同，且乙4'CB=60。，

为使四面体ABCO高最大，则直线4C在底面BCD的射影为直线BC,此时4B，面BCD,

设点4在底面BCD的投影为B',可知四边形BCDB'为菱形，且ABCD的外心为B',

此时满足二面角4-CD-B为锐二面角，

故四面体4BCD的外接球的球心。在直线力夕上，

因为AB'=A'B=BCtan60°=C，DB'=1,OA=OD=R,

所以在RtZkOB'C中，(C-R)2+12=R2,

解得R=浮，

此时外接球的表面积为S=4兀xg=亭.

故选:B.

由余弦定理及均值不等式判定当底面为等腰三角形时面积最大,再确定当4夕垂直底面时，高最大,

利用外接球的性质确定球心，在Rt△OB'D中求出半径.

本题主要考查了三棱锥的外接球问题，考查了二面角的定义，属于中档题.

9.【答案】ABC

【解析】解：4选项：由正态分布可知，图象关于f=0对称，因为P(f>l)=p,所以P(O<f<

11

1)=2-P,所以P(—1SfS0)=2—p,故A正确；

B选项：由题意知丫=-2%+3就是回归方程，即为负相关，所以r<0,因为样本数据都在回归方

程上，即相关性系数为-1,故B正确；

C选项：共有10个数，故10x0.45=4.5,所以第45百分位数是由小到大排列的第5位，即78,故

C正确；

。选项：对分类变量x与丫的独立性检验的统计量f来说，产值越小，判断“x与y有关系”的把握

性越小，故。错误.

故选：ABC.

根据正态分布的对称性判断4由回归方程的系数的意义判断B,根据百分位数的定义判断C,根

据独立性检验f的意义判断D.

本题考查回归直线方程，百分位数，独立性检验，正态曲线的性质，属于中档题.

10.【答案】BCD

【解析】解：对于4：如图将平面4BCD展开与平面4DD1占处于一个平面，连接&C与4。交于点P,

22

此时41P+PC取得最小值，即(aP+PQmin=V2+4=2，石，故A错误；

对于8：如图取的中点E,连接BP、PE、GE、ADr,

因为点P是棱的中点，所以PE〃也且PE=

又AB〃GDi且4B=Ci£»i，所以四边形ABGDi为平行四边形，所以ACJ/BG，

所以PE〃BG，所以四边形EPBG即为平面PBCi截正方体所得截面，

22

又BG=2-7，PE=\ADV=yT2,BP=Eg=Vl+2=V-5.

所以截面周长为3c+2，石，故B正确；

对于C：如图，0G1。1。，BC_L平面。。6。1，0C[u平面。CCi。],

所以DG_LBC,XDjCDBC=C,DXC,8。匚平面8。。送1，

所以DG1平面BCD14,因为平面力BCDn平面BCD14=BC,

劣6平面BCD/i，Pe^ABCD,

又PD11CC1，所以P在直线BC上，即动点P的轨迹是一条直线，故C正确;

对于。：如图建立空间直角坐标系，则8(2,2,0),”0,2,2),设P(a,2-a,0)(ae[0,2]),

所以何=(-2,0,2)，BP=(a-2,-a,0).

所以P到棱BC1的距离d=|前|2_(廛祟)2=I32_2a+2=I3(a_2)2+4

|DL|I7，N，33

所以当a=|时dmin=J[=亨，故O正确.

故选：BCD.

化折线为直线，即可判断4取。的中点E,连接BP、PE、C]E、ADr,即可证明四边形EPBQ即

为平面PBQ截正方体所得截面，从而求出截面周长，即可判断B；根据线面垂直判断C；利用空间

向量法判断D.

本题考查线线垂直和动点的轨迹，以及两点的距离和点到直线的距离，考查转化思想和数形结合

思想、运算能力和推理能力，属于中档题.

11.【答案】AC

【解析】解：4选项，g(x+l)为奇函数，故g(x)关于点(1,0)中心对称，故g(l)=0,故A正确;

B选项，g(x)关于点(1,0)中心对称，

故g(l+x)+g(l-%)=0,取导数则g'(l+%)-g'(l-x)=0,

即g'(l+%)=g'(l—x),

所以g'(x)关于x=l轴对称，故B错误；

C选项，因为/(%)=g'(x+l),故/(x)+a=g(x+l)+b,a,bER,

f(x+2)-g(l-x)=2,

•1•f(x)-g(3-x)=2,

故g(3-x)+2+a=g[x+1)+b,

令x=1,得g(2)+2+a=g(2)+6,

故2+a=b,故g(3-x)=g(x+1),

•••g(x)关于x=2轴对称，

又g(x)关于点(i,o)中心对称，

故g(x)周期为4,则/'(%)=g(x+1)+2,

故f(x)的周期为4,故C正确；

。选项，因为g(l)=0,g(x)关于x=2轴对称，

所以g(3)=0,

因为9(x)关于点(1,0)中心对称且周期为4,

所以9(2)+9(4)=g(2)+g(0)=0,

故g⑴+g(2)+g⑶+g(4)=0,

所以注彗3g(k)=g(l)+g(2)+g(3)=g(2),而g(2)的值不确定,故。错误.

故选:AC.

根据奇函数性质及图象平移判断4

利用轴对称及中心对称的性质判断B；

根据函数既是轴对称又是中心对称得出函数周期判断C；

利用周期及对称的性质判断D.

本题考查了抽象函数的对称性、奇偶性及周期性，也考查了导数的基本运算，属于中档题.

12.【答案】BD

【解析】解：对于4选项，的+即1+q3=q+q2=q3—q2—q+i=o=(q—

l)(q2-1)=0,

解得q=l或q=-l,故A错误；

2

对于B选项，a2=+lna3=ln(cii•a3)=ln(«i-q)=2比|%-q\=2ln\a2\>

若q>0时，则a2>0,令/'(x)=2)x-x,则/''(x)=|-1,

当x>2时，f(x)<0,当0<x<2时，f(x)>0,

所以函数/'(x)=2，nx-4在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

所以=f(2)=2ln2-2<0,

故/(x)=0无解，a2=2配。2不成立，

若q<0时，a2<0>

令g(x)=2/n(-x)-x,

则g'(x)=：-1，当x<0时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减，

因为g(-eT)=e-1-2<0,g(-e)=e+2>0,

由零点存在性定理知g(X)=0有解，故。2<0,q<0,故8正确；

对于C选项，构造无(%)=e"—x,

则九'(x)=e*—1,x>0时，h'(x)>0.

当％<0时，h\x)<0,所

以函数在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以九(%)>九(0)=1,即e*>x,

所以2a3=+。例>%+a2,即2qZ-q-1>0,解得q>1或qV故C错误；

对于D选项，构造函数k(x)=Inx—(%—1)(%>0),则k'(x)=g—1,当0VxV1时，k'(x)>0,

当%>1时，kf(x)<0,所以函数在(0,1)单调递增，在(L+8)上单调递减，

故々(%)<k(l)=0,即Inx<x—1,所以%+a?+03=ln(%+g+Q3+Q4)4％+g+。3+

a4-l=>a4>l,因为0<%<1,所以言■=q3>1=q>1,故。正确.

故选：BD.

根据等比数列通项列方程求解判断4,化简所给条件构造函数，利用函数的性质确定B,构造函数

利用函数最值得到不等式，再由不等式求解判断C,构造函数，利用函数最值转化为不等式求解

判断O.

本题主要考查了根据不等式的特征，构造合适的函数，利用导数确定函数最值，转化为不等式，

利用不等式证明或求解是解决此题的关键所在.

13.【答案】(一8,0)u(4,+8)

【解析】【分析】

本题为分段函数为载体的不等式解法问题，在作答过程中要分两段分别求解，并注意分段条件在

解题过程中的作用.

在解以分段函数为载体的不等式时候，要注意分段点的限制.此题培养学生分类整合的数学思想.

【解答】

解：(1)当X<1时，/(X)=0)x

V/(%)>1

.•.(犷>1=©)。，

・•・%<0；

vx<1,/.x<0；

(2)当％>1时,函数f(%)=log4x,

v/(%)>1,

/.log4x>1=log44,

A%>4

又•・,%>1

AX>4

综上不等式的解集为(-8,0)u(4,+8).

14.【答案】拶

【解析】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(a,a),则半径为a,a>0.

故圆的方程为。一。)2+(3/-。)2=。2,再把点(2,1)代入，求得a=5或1,

故要求的圆的方程为(x-5尸+(y—5/=25或1产+⑶-1产=1.

故所求圆的圆心为(5,5)或(1,1)；

,12x5-5-312/3,12x1-1-312<3

故圆心到直线2%—y—3=0的距离4।22=蓝—或d"V~TT=蓝一；

J22+12J22+12

故答案是：驾.

由已知设圆方程为0-。)2+3-。)2=。2,(2,1)代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距

离公式即可.

本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，

属于基础题.

15.【答案】?

4

【解析】解：己知椭圆C：。+4=1，

43

则a=2,c=1,F(—1,0),

当直线斜率不为0时，设直线I：x=my-l,

联立M

(3xz+4y“-12=0

得(3m2+4)y2—6my—9=0,

设做孙力),B(x2,y2),

.6m9

y】+丫2=薪4=痂彳'

2

••,弦长|AB|=Vl+k\x1-x2\=

1_J__|4F|+|BF|_|AB|_J捞2+1|为一乃|_Jm2+1|九一y2|

丽十丽=\AF\\BF\=\AF\\BF\=1源+不百一。卜4m2+£M-0|=(*+1)以及1

._--I---------------2------------J36m2+36(3m2+4)

J源+1](丫1+丫2)-4%及=3m2+4—=4

2

(w+i)-yry2--.1+1—-手

3nl2+4

则叫+4|BF|=[(|川|+4麻|)(虚+矗)=乔+调+提)

苧”符确宁

9

当且仅当霭=儡即[叫飞时，等号成立，

明旧用画|=2

J8

所以|4F|+4|8F|的最小值为条

当直线斜率为。时，\AF\+4|BF|=(a-c)+4(a+c)=1+12=13>%

综上，|AF|+4|BF|的最小值为今

故答案为:

4

先设直线方程，联立直线与楠圆的方程，然后根据根与系数的关系及弦长公式化简，利用均值不

等式求解.

本题考查了直线与椭圆的位置关系，重点考查了均值不等式的应用，属中档题.

16.【答案】e

【解析】解：因为(％—m)仇xNx+ri,且沅。0,

若zn<0,

此时y=(X—在%趋向于。时，函数值趋向-8,而y=%+71趋向于九，

所以(%—徵)伍％Nx+九在％G(0,+8)上不能恒成立，

则m>0,

不妨设/(x)=(x-m)/nx-x,函数定义域为(0,+8),

可得/(%)=咛1,

不妨设g(%)=以九%-ni,函数定义域为(0,+8),

可得g'(%)=仇%+1，

当Ovxv：时，g'(%)<0,g(%)单调递减；

当》>：时，gr(x)>0,g(%)单调递增，

所以g(x)>g(；)=-;-m<0，

当不€(0,：)时，g(x)vO,%趋向正无穷时，g(x)趋向正无穷，

所以G(-,+00),使得g(%o)=XolnxQ-m=0,

此时m=x0/nx0,

当％E(O,%o)时，g(x)V0,/'(%)<0：

当％W(Xo，+8)时，g(%)>0,/'(%)>0,

所以当％6(0,&)时，函数/(%)单调递减；

当%€(&,+8)时,函数/(%)单调递增,

2

所以/(无)>/(%)=xlnx.mlnx-x=m--m----

0oQQQxo

要使工仇x—minx>%4-九对Vx>0恒成立，

需满足/(&)>九恒成立，

此时m————xQ>n,

即巴式1一%一包41一2I㈣•桎=-1,

mXQmq沏m

当且仅当藁=篙即巾=与时等号成立，

又/Qo)==-m=n,

则&bi》。=m=x0,

整理得七%o=1,

解得/=e,

则m=x0=e.

故答案为：e.

由题意，设TH。。，结合y=(%-TH)伍%、y=%+九的性质及不等式恒成立得?n>0,构造函数

/(%)=(%-m)lnx-x,对函数f(%)进行求导，利用导数研究其最小值得到f(%)>/(x0)=m-

黑-均且&€&,+8),结合不等式恒成立得到血-臂-利用基本不等式求出2最大值

并确定取值条件m=x0,此时有(%o-m)Znx0=%o+九恒成立，进而求得参数值.

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力.

17.【答案】解：(1)/(%)=sinx^sinx—V-3cosx)=sin2%—\[~3sinxcosx=1一早sin2x=

~~sin(2x+,

LO

令2kzr+^<2%4-72kli+-^,k6Z,得krc4-7<%</CTT+GZ,

Z6L6D

所以f(X)的增区间为阿+，时+等,kez；

⑵由f(4)=|,得sin(24+9=-1,

由46(0,TT),得24+16

ooo

所以24+好空所以4=亭，

OZ□

因为，_=±=上=金，

^sinAsinBsinC\T3

所以b=-^=sinB,c=*sinC=言sin(4+B)=2cosB--^=sinBf

47

则b+2c=^==sinB+2(2cosB一1?stnB)=4cosB,

因为Be(05),所以cosB6《，l),

所以b+2c€(2,4).

【解析】(1)先根据降幕公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的单调性即可得解;

(2)先求出角4再根据正弦定理结合三角函数的性质即可得解.

本题考查了三角恒等变换、正弦定理及三角函数的性质，属于中档题.

18.【答案】解：(1)等腰梯形4BC。中，AB=4,AD=DC=2,则4n4B=60。，

则BD=2C，所以4。2+口。2=AB2,BD1AD.y.BE=4,DE=2,

由+DE2=16=BE2,得到8。1DE,

又ADClDE=D,因此BO_L平面40E,又因为B。u平面ABC。，

故平面40E，平面4BC0；

(2)方法一：由(1)知B。J_平面力DE,BDu面BDE,则面BCE_L面力DE.

作力H1DE于H点，则有

则UFH即为直线4F与面BDE所成角,

在直角三角形4,尸中，由4"=R,^AFH=60°,得到FH=1,

由EH=FH=1,Z.HEF=60°,可得fE=1,又EB=4,所以存在4="

方法二：过点。作MD1平面力BCD于。，

以点。为坐标原点，DA,DB,DM所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系.

其中D(0,0,0),4(2,0,0),8(0,2q,0),E(l,0,C),

得到丽=(0,20,0),DE=(1,0,C)，

设平面BDE的一个法向量为元=(x,y,z),

由匕电=。，得。，

(n•DE=0(x+z=0

不妨设z=-1,则x=/?,y=0,

所以平面BDE的一个法向量为元=(q,0,-l),

又铝=(-1,20,EF=A^B=(-2,2H入.SQ，

AF=AE+EF=(-1,0,<3)+(-A,2V^A,-V-32)=(-A-1,2<3A,V-3-

则|cos(方，元)|=||=i2T=sin60°=?，

11112J16A-4A+4

解之得；l=0(舍去)或;l=%所以4=；,

存在一点凡满足前=；(说(0</1<1),使直线4尸与平面8DE所成的角为60。，此时4=也

【解析】(1)利用面面垂直判定定理即可证得平面4DE1平面4BCD；

(2)法一，先确定出直线4F与平面BDE所成的角，再求得EB的值即可求得;I的值；法二，建立空间

直角坐标系，依据题给条件列出关于4的方程即可求得；I的值.

本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查运算求解能力，属中档题.

19.【答案】解：⑴由2Sn=3aH-1,得2Sn_i=3an_i-l(n>2),两式相减得册=3an_x(n>2).

令n=L得%=1,.•.数列｛a3是以1为首项，3为公比的等比数列，

n-1

•1•an=3；

(2)由题意可得“=2十数,

为偶数

所有奇数项的和Si=(1+3+5+…+2n-1)+(30+32+344-...+32n-2)

nn

_n(l+2n-l)lx(l-9)_29-l.

-2+1-9~n+-8-'

所有偶数项的和S2=2•3】+4•33+6•3s+...+2n-32n-1，①

则9s2=2-33+4・35+6•37+…+2n-32n+1,②

①一②得：一852=2C31+33+...+32"-1)-2n-32n+1=2--2n-32n+1.

._(24n-3)32n+3

"另=32，

.-2,9"-l,(24n-3)32n+3_(24n+l)-32n-l

"T-n+—+------------------n2+--------至-----

【解析】(1)由2Sn=3(1n-1,得2Sn-i=3即_1-l(n>2),两式相减可得数列｛七｝是以1为首项,

3为公比的等比数列，从而可求出其通项公式;

(2)由(1)得％=/1+即川为奇色，然后分别利用分组求和，错位相减法求出奇数项的和与偶数项

(n-a”。为偶数

的和，相加即可.

本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的前n项和，训练了错位相减法求数列的前n项和I,

是中档题.

20.【答案】解：(1)因为对60名学生明显有效运动是否与性别有关的调查，其中女生与男生的人

数之比为1：2,女生中明显有效运动的人数占去男生中明显有效运动的人数占弓，得到下面的列

联表:

女生男生合计

明显有效运动103040

不明显有效运动101020

合计204060

给定假设%:明显有效运动与性别没有关系.

n(ad-bc)260x(10x10-30x10)2

由于#2==3.75>2.706=P(/2>0.100),

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20x40x40x20

则根据小概率值a=0.100的f独立性检验，有充分的证据推断假设/不成立，因此认为明显有效

运动与性别存在差异;

(2)由样本数据可知，不明显有效运动的频率为：，用样本的频率估计概率，所以不明显有效运动

的概率为5

设11人不明显有效运动的人数为X,则X〜

所以P（x=k）=c衲kq-Ji.k*=0,1,2,-11）,

假设11人中不明显有效运动的人数最有可能是k,

则产（1犷（1一*.＞的］即+1（1_犷。《

”（1—＞曲】C）kT（］_扔2-/

解得3WkW4,k€N,

故k=3或k=4.

所以11人中不明显有效运动的人数最有可能是3或4.

【解析】（1）根据题意完善列联表，计算与临界值对比即可得出结论；

（2）由题意，问题可转化为二项分布，利用二项分布概率公式列出不等式组求解.

本题主要考查独立性检验，二项分布，属于中档题.

21.【答案】解：⑴设P（xo，y。），

由弯一畛=1可得畛=自咨又A（一a,o）,B（a,0）,

a2b262a2

所以'.人=旦=4=:，

22

寸和+axQ-ax§-aa3

又焦点到其一条渐近线bx+ax=。的距离为=b=1,解得a=C,b=l.

Ja2+b£

2

所以双曲线C的方程为宗—y2=1.

（2）设直线MN的方程为x=my+t,M®,%）,W（x2,y2）＞如图，

因为4（一，30）,8（，耳,0），直线4M：丫=x；力（x+C「

则直线4M在y轴上的截距为点冷,

直线BN：—O,则直线8N在y轴上的截距为黑当，

由题意得^^=一，^^，又k/IM.kBM=x；%.x［%=一

%1+V3X2-V3%1+VJX17JJ

所以4^=巴萨.

%1+V33yl

所以q(丁口)=丁翼，则(%1-O)(%2-C)+7172=0，

J1人2v」

即(m月+£—V~^)(my2+t—V-3)+丫1为=0，

-2

即有(m?+Y)y1y2+(C-V-3)m(y1+y2)+«-V~~3)=0，

即有(机2+i).+(t-V-3)m-1当+(t-<3)2=0，化简得t=门或£=2c.

若£=，闩