实变函数论西南辅导课程一至九省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

实变函数主讲教师：吴行平辅导课程一第1页第一章集合本章主要介绍集合基本概念，运算及其运算性质。经过本章学习，要掌握集合基本概念及运算规律，掌握可数集基本概念及其性质，了解集合对等概念，了解基数概念，同时我们要知道一些惯用可数集与不可数集。第2页第一节集合一、概念二、表示法三、简单术语第3页一、概念集合：在一定范围内个体事物全体，当把它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个事物叫做该集合元素。注意：1集合对象是确定。2集合元素是互异.3任一对象或事物x被看成某一给定集合A元素时,x或者是A元,或者不是A元,二者必居其一,而且只居其一. 例1：1，2，3，5，8五个自然数组成一个集合。例2：全体自然数组成一个集合。例3：全体大个子不组成一个集合。第4页二、表示法1、列举法：2、描述法：第5页三、一些简单术语假如A元均为B元假如A与B有完全相同元第6页结论:对任何集合

有(1)(2)则(3)注意定理中结论（2）是证实两个集合相等主要方法，以后我们经惯用到。则第7页第二节集合运算一、概念1并集2交集3差集4上限集与下限集二、运算规律第8页1并集（1）设A,B是两个集。由A中元以及B中元全体所成集称为A,B二者并，记成例1第9页（2）设=例2设是一组集，这里I是指标集，在I中取值，那么它们并定义为第10页2交集例1A（1）设A,B是两个集，由同时属于A与B二者那些元所成集称为A与B交，记成

第11页（2）设

，例2在I中取值，那么它们交定义为是一组集，这里I是指标集第12页3差集设A,B是两个集，由属于A而不属于B那些元所成集称为A与B差，记成A-B.当B例1AA时，差集A-B又称为B关于A补集，记成第13页4上限集与下限集（1）上限集设=易知：＝＝，可它表示为是任意一列集.由属于上述集列中无限多个集那种元素全体所组成集称为这一集列上限集或上极限记为第14页实变函数主讲教师：吴行平辅导课程二第15页4上限集与下限集（1）上限集设是任意一列集.由属于上述集列中无限多个集那种元素全体所组成集称为这一集列上限集或上极限记为，可它表示为

=易知：＝＝第16页（2）下限集设是任意一列集，对于集列那种除有限个下标外，属于集列中每个集元素全体所组成集称为这一集列下限集或下极限，记为，可它表示为

=＝＝第17页（３）极限集

假如＝，则称集列收敛，并将这一集称为极限，记为易知：假如为单调增加（降低）集列，即（），则收敛，且有

=（=）。第18页二运算规律定理１（参见书上第５页定理１）（交换律）（结合律）（分配律）第19页定理2对于基本集X中并集与交集余集运算，有（1）=（2）=证设，则不属于任何，故属于每个C,所以，可见，同理可证，右边是左边子集．故得（1）由（1）取余集得C()=C()

即=C(）再将换成C,即得（2）。所证定理常称为笛摩根法则。它提供一个对偶方法，能将已证实关于集性质转移到它们余集上去。第20页定理３对于集E与任意一组集，，恒有分配律

E（）＝证任取E（），则且，于是知且属于某个，对于这个，有，从而更有，这就证实了E（）反之，设，则属于某个，从而且（对于这个），故更有且，这就证实了

E（）由所得两步结果便证实了定理中等式。第21页第三节对等与基数一对等

定义1设A,B是两个非空集，若依一定法则f,对每个xA,在B中有唯一确定元y与之对应，则称f是定义在A上而在B中取值映射，记成，并将x与y关系写成。我们称A为f定义域，为f值域。设给定映射，而，称f为到上映射；假如对每个，仅有唯一使，称f为1-1设给定两映射，，称映射由关系式()定义。定义2设A,B为两个非空集，如有1-1，到上存在，使，则称A与B对等，记成B～第22页例1自然数全体与正偶数全体对等。证实令即可例2全体正奇数与全体正偶数对等证实令即可例3（0，1）与全体实数对等证实令即可注意例1表明一个无限集能够和它一个真子集对等，这正是无限集本质特征。第23页定理1对任何集合A、B、C，都有（1）（反射性）

A～A（2）（对称性）

若A～B，则B～A（3）（传递性）

若A～B,B～C,则A～C

由此可知，当两个有限集相互对等时，它们元素个素必相同。所以，我们能够用对等概念对两个无限集元个数进行比较第24页二基数

依据定理1，我们可把彼此对等集合归做一类。这么任何集合属于一类。我们把两个彼此对等集合称为含有相同基数（亦称势、浓度），用表示集合A基数定义3设A、B是两个集合，假如A不和B对等，但存在B真子集，有A,则称A比B有较小基数（B比A有较大基数）并记为～第25页定理2（Bernstein定理）设A、B是两个非空集合，假如存在使AT,BS,则AB.注利用基数说法是:

设，，则～～～注意：这一定理提供了一个判定两个集合对等一个工具，以后我们经惯用到。第26页第四节可数集

本节我们主要介绍一类非常主要无限集——可数集。经过本节学习，我们要掌握可数集概念及其运算性质，同时我们还要知道一些惯用可数集。

第27页一、可数集合概念

定义1

假如集A与自然数集对等，就称它为可数集（可列集）。显然，可数集一切元可用自然数编号使之成为无穷序列形式:结论：集合A是可数集合充要条件是：A能够排成一个无穷序列例1全体正偶数可数。例2全体整数可数。第28页二、可数集性质定理1任何无限集必含有可数子集。证-可取出可数子集第29页定理2可数集子集至多是可数。即或为有限集或为可数集。定理3设A为可数集，B为有限集合或可数集，则

可数证实（1）先设

因为可数集总可排成无穷序列，不妨设或则或第30页（2）普通情形可由已知结论得出定理4可数个可数集并集是可数集。证实参见书第17页定理4。

=（按下标递增）第31页例3

全体有理数为可数集。实际上，把非零有理数a写成既约分数形式，>0,把和n=|p|+q称为a模。现要求0模为1，很显著，模为n有理数个数是有限，于是把一切有理数按模递增编组，其模相同编在同一组，最终再依次把这些有理数逐一编号，但重复者除去不计。这么，每一个有理数得到了一个确定号码。因而建立了有理数与自然数之间一一对应，这就证实了有理数集可数性第32页定理5若A中每个元素由n个相互独立记号所决定,各记号跑遍一个可数集

A=，则A为可数集。证实用数学归纳法给予证实。

若n=1,则定理显然成立。今假设当n=m时定理成立，由此证实当n=m+1时也成立。设A=，A中满足元素，记其全体为,则由假定为一可数集而

故A可数第33页例4

平面上坐标为有理点全体所成集为一可数集。例5

整系数多项式全体所成集为一可数集。A={(x,y)|x,y为有理数}→所以全体n次多项式可数，故整系数多项式可数第34页第五节不可数集一、概念不是可数集无限集合称为不可数集合二、不可数集合定理1全体实数不可数。（见第20页）用c表示连续基数，a表示可数集基数定理2任意区间均含有连续基数。第35页实变函数主讲教师：吴行平辅导课程三第36页第三节对等与基数一对等

定义1设A,B是两个非空集，若依一定法则f,对每个xA,在B中有唯一确定元y与之对应，则称f是定义在A上而在B中取值映射，记成，并将x与y关系写成。我们称A为f定义域，为f值域。设给定映射，而，称f为到上映射；假如对每个，仅有唯一使，称f为1-1设给定两映射，，称映射由关系式()定义。定义2设A,B为两个非空集，如有1-1，到上存在，使，则称A与B对等，记成B～第37页例1自然数全体与正偶数全体对等。证实令即可例2全体正奇数与全体正偶数对等证实令即可例3（0，1）与全体实数对等证实令即可注意例1表明一个无限集能够和它一个真子集对等，这正是无限集本质特征。第38页定理1对任何集合A、B、C，都有（1）（反射性）

A～A（2）（对称性）

若A～B，则B～A（3）（传递性）

若A～B,B～C,则A～C

由此可知，当两个有限集相互对等时，它们元素个素必相同。所以，我们能够用对等概念对两个无限集元个数进行比较第39页二基数

依据定理1，我们可把彼此对等集合归做一类。这么任何集合属于一类。我们把两个彼此对等集合称为含有相同基数（亦称势、浓度），用表示集合A基数定义3设A、B是两个集合，假如A不和B对等，但存在B真子集，有A,则称A比B有较小基数（B比A有较大基数）并记为～第40页定理2（Bernstein定理）设A、B是两个非空集合，假如存在使AT,BS,则AB.注利用基数说法是:

设，，则～～～注意：这一定理提供了一个判定两个集合对等一个工具，以后我们经惯用到。第41页第四节可数集

本节我们主要介绍一类非常主要无限集——可数集。经过本节学习，我们要掌握可数集概念及其运算性质，同时我们还要知道一些惯用可数集。

第42页一、可数集合概念

定义1

假如集A与自然数集对等，就称它为可数集（可列集）。显然，可数集一切元可用自然数编号使之成为无穷序列形式:结论：集合A是可数集合充要条件是：A能够排成一个无穷序列例1全体正偶数可数。例2全体整数可数。第43页二、可数集性质定理1任何无限集必含有可数子集。证-可取出可数子集第44页定理2可数集子集至多是可数。即或为有限集或为可数集。定理3设A为可数集，B为有限集合或可数集，则

可数证实（1）先设

因为可数集总可排成无穷序列，不妨设或则或第45页（2）普通情形可由已知结论得出定理4可数个可数集并集是可数集。证实参见书第17页定理4。

=（按下标递增）第46页例3

全体有理数为可数集。实际上，把非零有理数a写成既约分数形式，>0,把和n=|p|+q称为a模。现要求0模为1，很显著，模为n有理数个数是有限，于是把一切有理数按模递增编组，其模相同编在同一组，最终再依次把这些有理数逐一编号，但重复者除去不计。这么，每一个有理数得到了一个确定号码。因而建立了有理数与自然数之间一一对应，这就证实了有理数集可数性第47页定理5若A中每个元素由n个相互独立记号所决定,各记号跑遍一个可数集

A=，则A为可数集。证实用数学归纳法给予证实。

若n=1,则定理显然成立。今假设当n=m时定理成立，由此证实当n=m+1时也成立。设A=，A中满足元素，记其全体为,则由假定为一可数集而

故A可数第48页例4

平面上坐标为有理点全体所成集为一可数集。例5

整系数多项式全体所成集为一可数集。A={(x,y)|x,y为有理数}→所以全体n次多项式可数，故整系数多项式可数第49页第五节不可数集一、概念不是可数集无限集合称为不可数集合二、不可数集合定理1全体实数不可数。（见第20页）用c表示连续基数，a表示可数集基数定理2任意区间均含有连续基数。第50页实变函数主讲教师：吴行平辅导课程四第51页例3

全体有理数为可数集。实际上，把非零有理数a写成既约分数形式，>0,把和n=|p|+q称为a模。现要求0模为1，很显著，模为n有理数个数是有限，于是把一切有理数按模递增编组，其模相同编在同一组，最终再依次把这些有理数逐一编号，但重复者除去不计。这么，每一个有理数得到了一个确定号码。因而建立了有理数与自然数之间一一对应，这就证实了有理数集可数性第52页定理5若A中每个元素由n个相互独立记号所决定,各记号跑遍一个可数集

A=，则A为可数集。证实用数学归纳法给予证实。

若n=1,则定理显然成立。今假设当n=m时定理成立，由此证实当n=m+1时也成立。设A=，A中满足元素，记其全体为,则由假定为一可数集而

故A可数第53页例4

平面上坐标为有理点全体所成集为一可数集。例5

整系数多项式全体所成集为一可数集。A={(x,y)|x,y为有理数}→所以全体n次多项式可数，故整系数多项式可数第54页第五节不可数集一、概念不是可数集无限集合称为不可数集合二、不可数集合定理1全体实数不可数。（见第20页）用c表示连续基数，a表示可数集基数定理2任意区间均含有连续基数。第55页实变函数主讲教师：吴行平辅导课程六第56页定义4设E为n维空间中一点集，有（1）E全体内点所成集合，称为E开核 或内部，记为（2）E全体界点所成集合，称为E边界， 记为（3）

E全体聚点所成集合，称为E导集， 记为（4）

称为E闭包，记为第57页例1设是普通平面，

求解第58页

例2设，则充要条件是对任意邻域有证实因为必要性显然下证充分性有假设对任意邻域有若，则由聚点定义第59页定理2设则定理3定理4 设E是一个有界无限集合，则E 最少有一个聚点。

定理5任何非空真子集最少有一个界点（参见书上第37页）第60页第三节开集闭集完备集定义1设E为中一点集，若E每个点都是内点，则称E为开集。例1开区间，空集及R均为开集。定义2设E为中一点集，若E每个聚点都属于E,则称E为闭集。例2闭区间[a,b]，空集及R均为闭集。

第61页定理1E为开集充要条件是。

定理2非空集E为闭集充要条件是定理3对任何是开集，和是闭集例

点集为闭集充要条件是证实显然又从而充分性显然第62页定理4设E为开集，则CE是闭集；设E为闭集，则CE是开集。证实第一部分：设E为开集，而是CE任一聚点，那么，任一邻域都有不属于E点。这么，就不可能是E内点，从而不属于E,也就是。第二部分：设E为闭集，对任一，假如不是CE内点，则任一邻域内最少有一个属于E点，而且这点又必定异于 （因），这么就是E聚点，从而必属于E,这和假设矛盾。第63页定理5开集有以下性质（1）任意个开集并是开集；（2）有限个开集交是开集。证（1）设是一组开集，令。任取，则有某个故 内点，从而更是G内点。故G是开集。（2）设为开集。令，任取 则对每个k=1,2,…,n有，于是有邻域，k=1,2,…,n使，令，则，可见是内点，这就证实了G为开集。第64页实变函数主讲教师：吴行平辅导课程七第65页

注意无限个开集交不一定是开集。比如令则，不是开集。

第66页定理6闭集有以下性质：（1）任意个闭集交是闭集；（2）有限个闭集并是闭集。证

设为闭集类，则为开集类。据定理3据定理5（1），任意指标集I，为开集，从而是开集，是闭集一样，对于有限指标集I，据定理3（2）即得结论（2）。定理得证。第67页注意无限个闭集并集可能不是闭集比如取每个都是闭集，但它们并不是闭集。定义3若,则称E为完备集或完全集。能够证实，在数直线一切集中，只有空集与整个直线才是既开又闭集合。第68页第四节

直线上开集、闭集及完备集结构本节主要讨论直线上开集、闭集结构。经过学习我们要掌握直线上开集、闭集结构，同时要了解康托尔集主要性质。在本节中，我们将详细讨论直线上有界开集结构，以下考虑点集都是有界集。第69页

设G是任一非空有界开集。任取，由开集定义，存在开区间使。显然，这种开区间有没有穷多个，把它们并记为U，那么能够证实，U是含有这种开区间最大者。也就是说，令，则有，（1），（2），。我们把G中含有性质（1），（2）区间称为G组成区间。由上所述，G中任一点必属于G某一组成区间。

第70页 定理1有界非空开集G可表示成有限个或可数个互不相交组成区间并。当非空开集G表示成互不相交开区间并时，这些区间必是组成区间。证（1）G每一点都对应有一个G组成区间，因而G可表示成一些组成区间并：。

（2）

G任意两个组成区间若有公共点，则必重合，不然就不相交。因而G可表示成一些互不相交组成区间并。第71页（3）由第二节结论知道，这些区间是至多可列（G组成区间集与有理数集子集一一对应）。（4）当非空开集G表示成互不相交开区间并时，这些区间必是组成区间。该定理提出表示，以后将称为G结构表示。注对于无界开集情形，定理1结论本质上也是正确，只是要把与 都算成组成区间表现形式第72页定义1设A是直线上闭集，称A余集组成区间为A余区间或邻接区间。我们又可得到闭集结构以下：定理2直线上闭集或者是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交开区间所得到集。最终，我们举出一个闭集例子，它是不可数，但不含有任何区间。这个集将称为康脱三分集，今后将不止一次用到。第73页例1康脱三分集第一步将区间三等分，并除去中间开区间，剩下2个长为闭区间第二步将剩下2个闭区间三等分，并除去中间开区间，剩下个长为闭区间第74页第三步将剩下个闭区间各自三等分，并除去中间开区间，剩下个长为闭区间第n步将剩下个闭区间各自三等分，并除去中间开区间，剩下个长为闭区间第75页这么便得到所谓康脱三分集P与开集：第76页P含有以下性质：

（1）P是完备集；

显然是闭集，只须证实无孤立点。假定相反，有一孤立点。因为0与1显然是 聚点，故能够设。那么，在中存在开区间与，其中均无点，即，，且从而可知，，将分别含在某两个组成区间中，于是将成为某两个组成区间公共端点。但据作法，这是不可能。第77页（2）

不含任何区间，即P没有内点；

实际上，由P作法中知道，“去掉”手续进行到第n次为止时，剩下个长度是相互隔离闭区间，所以任何一点必含在这个闭区间某一个里面，从而在任一邻域内最少有一点不属于P,但，故不可能是P内点。第78页（3）

是不可数。用反证法设是可数，将中点编号成点列故中任意一点必在上述点列中出现。与 中应有一个闭区间不含点，用表示这个闭区间。将三等分所得左与右两个闭区间中，应有一个不含，用表示这个闭区间。然后把三等分，记不含左或右那个闭区间为，如此等等，这么，据归纳法我们得到一个闭区间列第79页=易见长度据区间套定理，必有点可是，是等端点集聚点，因而也是闭集

聚点，故。

因为上面已指出

这将是矛盾。这么，我们证实了：是不可数完备集（4）P有连续基数第80页实变函数主讲教师：吴行平辅导课程八第81页第三章

勒贝格测度

从本章开始，我们将讨论欧几里德空间点集测度理论。测度概念在中是长度概念推广，在中是面积概念推广，在中是体积概念推广。我们首先介绍外测度、内测度等概念，然后采取卡拉皆屋铎利方法在点集论基础上直接定义中L测度，最终讨论可测集性质和可测集类。第82页

第一节外测度

本节主要讨论有界点集外测度及其性质。经过本节学习，我们要掌握外测度概念及其性质，知道区间外测度就是区间体积，可数点集外测度为零。第83页定义1设为任一点集，对于每一列覆盖开区间，，作出它体积和（能够等于，不一样区间列普通有不一样），全部这一切组成一个下方有界数集，它下确界（由完全决定）称为勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为，即

=第84页定理1外测度含有以下性质：（1），当为空集时，则=0（2）设，则；(单调性）（3）（次可数可加性）证实（1）显然成立。（2）证实：设，则任一列覆盖开区间一定也是覆盖，因而，

第85页（3）证实：任给，由外测度定义对每个都有一列开区间使，=第86页证实设对任意，令由任意性例1单点集外测度为0第87页例2

可数集外测度为0。 由次可数可加性即得结论例3

对于区间I有第88页实变函数主讲教师：吴行平辅导课程九第89页第二节可测集有界可测集

普通可测集

可测集性质

第90页定义1设E为中有界集，为任一包含E开区间，则

称为E内测度，记为定义2设E为中有界集，假如 =，则称E是L可测，又设E为 中无界集，假如对任何开区间I,有界集都是可测，则称E是L可测，对于L可测集E，我们称为它L测度，简记为，L可测集也简称为可测集。第91页

我们也有统一定义，能够证实它们是等价。定义3设