数值分析函数逼近与曲线拟合(2)省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

数值分析NumericalAnalysis机械与汽车工程学院主讲人：孔胜利kongsl@-09-01数值分析第1页第3章函数迫近与曲线拟合3.1

函数迫近概念

3.2正交多项式3.3最正确一次迫近多项式3.4最正确平方迫近3.5

曲线拟合最小二乘法3.6最正确平方三角迫近与快速傅里叶变换数值分析第2页3.1函数迫近概念

函数迫近：

对函数类A中给定函数，记作，要求在另一类简单便于计算函数类B中求函数，使与误差在某种度量意义下最小。 迫近误差：度量迫近好坏两个标准： 一致迫近 均方迫近数值分析第3页定理1 设 ，则对任何，总存在一个代数多项式 ，使在 上一致成立。数值分析第4页范数与赋范线性空间定义 设S为线性空间，，若存在唯一实数，满足条件： （1），当且仅当x=0时，；（正定性） （2）；（齐次性） （3） （三角不等式）则称为线性空间S上范数，S与一起称为赋范线性空间。数值分析第5页比如，在上向量 ，三种常见范数为 称为无穷范数或最大范数， 称为1—范数

称为2—范数类似地，对连续函数空间 ，则 可定义三种常见范数 称为无穷范数

称为1—范数 称为2—范数数值分析第6页内积与内积空间线性代数中，中两个向量 及 内积定义为将其推广到普通线性空间，则有以下定义。定义 设X是数域K上线性空间，对 ，有K中一个数与之对应，记为，它满足以下条件：（1）（2）（3）（4）则称为X上u与v内积。数值分析第7页定义设是有限或无线区间，在上非负函数满足条件：（1）（2）对上非负连续函数g(x),假如 则则称为上一个权函数。数值分析第8页3.2正交多项式正交多项式定义 若 ，为上权函数且满足则称f(x)与g(x)在上带权正交。 若函数组 满足关系

则称是上带权正交函数族。数值分析第9页勒让德（Legendre）多项式当区间为[-1，1]，权函数时，由序列 正交化得到多项式就称为勒让德多项式，并用 表示。切比雪夫（Chebyshev）多项式当区间为[-1，1]，权函数时，由序列 正交化得到多项式就称为切比雪夫多项式，它可表示为数值分析第10页3.3最正确一次迫近多项式基本概念在 中求多项式，使其误差这就是通常所谓最正确一致迫近或切比雪夫迫近问题。数值分析第11页3.4最正确平方迫近基本概念对及中一个子集 若存在 ，使则称是在子集 中最正确平方迫近函数。数值分析第12页在实际问题中，经常碰到这么情况：即使函数解析式不知道，但经过试验可得出一组数据对，怎样利用已知数据来求出近似函数解析式？插值法即使能够做到这点，但它要求所结构插值曲线严格经过全部数据点。当观察数据有一定随机误差时，插值曲线也将保留这些误差；若个别点误差太大，则在该点附近插值效果便不理想。另一方面，以插值多项式为例，试验数据多了，插值多项式次数便伴随提高，给运算带来不便。在许多实际应用问题中，最小二乘法正是结构各种经验公式有效数值方法。3.5数据拟合最小二乘法数值分析第13页拟合曲线最小二乘法 经过对数据组 描点作图分析，假如确定应该用函数类A中某个函数P*(x)去拟合它，则依据均方迫近在离散情况下表示式，P*(x)应满足

经过此式去求P*(x)称为拟合曲线最小二乘法。惯用拟合方法是直线拟合和抛物线拟合。数据拟合最小二乘法数值分析第14页直线拟合 若按数据组描点连起来后几乎成直线形，则可用一次多项式函数，即用直线 去拟合数据组，其中a,b为待定系数，称为直线拟合或一次拟合。 记 则应求二元函数Q(a,b)最小值点。通常这种点应为驻点，即 Q(a,b)梯度等于零点。 数值分析第15页从而(a,b)应满足以下方程组式中要求 ，从而数值分析第16页例题1 测得函数 一组试验数据

试求拟合这组数据多项式。解 数据对描成点用线连接，靠近一条直线，故可采取直线拟合数据。由数据知：

xi020406080yi35.235.936.737.438.4数值分析第17页故得方程组从而，拟合直线为

数值分析第18页 实际应用问题中，除直线拟合外，还惯用到分式函数、幂函数、指数函数、对数函数为拟合函数。它们即使不是直线拟合，不是线性最小二乘法问题，但可化为直线问题即线性拟合问题来求解。

分式函数：

幂函数：

指数函数：

对数函数：数值分析第19页抛物线拟合若数据组 描点作图与抛物线相同，则可选二次多项式为拟合函数，称为抛物线拟合或二次拟合。为确定系数，记差平方和数值分析第20页令Q梯度 ，则可建立 方程组，即式中，数值分析第21页超定方程组广义解 方程个数多于未知元个数线性方程组称为“超定”方程组。它通常是无解，无解时人们也称它为矛盾方程组。矛盾方程组无解，但可用最小二乘法求得广义解，这种解在应用问题中含有实际意义。比如： 求解解 本题方程数大于未知数，是“超定”方程组，故无解。为求广义解，作差平方和数值分析第22页令即为原矛盾方程组广义解。数值分析第23页3.6最正确平方三角迫近与快速傅里叶变换当f(x)是周期函数时，用三角函数多项式来迫近f(x)比用普通代数多项式愈加适当。设f(x)是以为周期平方可积函数，用三角多项式做最正确平方迫近函数。因为三角函数族 在[0，]上是正交函数族，于是f(x)在[0，]上最小平方三角逼近多项式Sn(x)系数是数值分析第24页其中， 称为傅里叶系数。函数f(x)按傅里叶系数展开所得到级数就称为傅里叶级数。只要 在[0，]上分段连续，则级数（*）一致收敛到f(x)。数值分析第25页习题数值分析第26页习题数值分析第27页习题数值分析第28页习题数值分析第29页