5.2平行线及其判定（十大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年七年级数学下册同步精讲精练（人教版）（原卷版 ）

（人教版）七级下册数学《第五章相交线与平行线》5.2平行线及其判定知识点一知识点一平行线及其表示方法★1、平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．记作：AB∥CD；记作：a∥b；读作：直线AB平行于直线CD．读作：直线a平行于直线b．【注意】1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线)2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行．知识点二知识点二平行线的画法◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法：一“落”把三角尺一边落在已知直线上；二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边；三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”沿三角尺过已知点的边画直线．【注意】1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线．2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线．3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行.知识点三知识点三平行公理及其推论★1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.★2、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c.几何语言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c.【注意】1、平行公理的推论中，三条直线可以不在同一个平面内．2、平行公理中强调“直线外一点”，因为若点在直线上，不可能有平行线；“有且只有”强调这样的直线是存在的，也是唯一的．知识点四知识点四平行线的判定方法★1、平行线的判定：判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．几何语言表示：∵∠2＝∠3(已知)，∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．几何语言表示：∵∠2＝∠4(已知)，∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)．判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表示：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．★2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直．几何语言表示：直线a，b，c在同一平面内，∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立.★3、判定两直线平行的方法（1）平行线的定义；（2）平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）；（3利用同位角相等说明两直线平行；（4）利用内错角相等说明两直线平行；（5）利用同旁内角互补说明两直线平行；（6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.题型一平行线的定义与识别题型一平行线的定义与识别【例题1】（2023秋•埇桥区期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或垂直或平行解题技巧提炼解题的关键是准确把握平行线的概念，牢记平行线的三个条件：①在同一平面内；②不相交；③都是直线，通过与定义进行对比来进行判断.【变式1-1】如图所示，能相交的是，平行的是．（填序号）【变式1-2】下列说法正确的是（）A．同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们互相垂直 B．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相垂直 C．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相平行 D．同一平面内，如果两条直线不垂直，那么它们互相平行【变式1-3】（2022春•莱芜区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两条不相交的直线叫做平行线 B．一条直线的平行线有且只有一条 C．在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥c D．若两条线段不相交，则它们互相平行【变式1-4】（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱EF异面且与平面EFGH平行的棱是．【变式1-5】（2022春•沙河市期末）观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4 B．3 C．2 D．1【变式1-6】在同一平面内，直线l1与l2满足下列关系，写出其对应的位置关系：（1）若l1与l2没有公共点，则l1和l2；（2）若l1与l2只有一个公共点，则l1和l2；（3）若l1与l2有两个公共点，则l1和l2．【变式1-7】（2022春•赵县月考）在同一平面内，直线a，b相交于P，若a∥c，则b与c的位置关系是．题型二平面内多条直线的位置关系题型二平面内多条直线的位置关系【例题2】A．1个或2个或3个 B．0个或1个或2个或3个 C．1个或2个 D．以上都不对解题技巧提炼用分类讨论的思想根据平面内两条直线的位置关系去讨论求解.【变式2-1】在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（）A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．平行、垂直或相交【变式2-2】在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有个交点．【变式2-3】平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有条平行线．【变式2-4】平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为个．题型三作已知直线的平行线题型三作已知直线的平行线【例题3】如图，直线a，点B，点C．（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？解题技巧提炼利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，是几何画图的基本技能之一.注意“移”时经过的边是三角尺落在已知直线上的那一边，而不是任意一边.【变式3-1】如图中完成下列各题．（1）用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过C点画直线垂直于CD．（2）用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系．【变式3-2】如图，已知直线a和直线a外一点A．（1）完成下列画图：过点A画AB⊥a，垂足为点B，画AC∥a；（2）过点A你能画几条直线和a垂直？为什么？过点A你能画几条直线和a平行？为什么？（3）说出直线AC与直线AB的位置关系．【变式3-3】作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作：（1）过点A作BC的平行线；（2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；（3）过点B作AB的垂线．【变式3-4】（2022秋•内乡县期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？题型四对平行公理及其推论的理解和应用题型四对平行公理及其推论的理解和应用【例题4】（2022•寻乌县模拟）下面推理正确的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c解题技巧提炼在判定两条直线平行时，一定要理解它们成立的条件，特别是关键字词及其重要特征.【变式4-1】（2022春•丛台区校级期中）如图，过点A画直线l的平行线，能画（）A．两条以上 B．2条 C．1条 D．0条【变式4-2】（2023春•萨尔图区期中）下面说法正确的个数为（）

（1）在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行；

（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

（3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角；

（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式4-3】（2023春•泸县校级期中）下列说法正确的是（）A．经过一点有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有无数条直线与已知直线平行 C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【变式4-4】（2023春•新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，则直线a和c应满足的位置关系是（）A．在同一个平面内 B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一个平面内【变式4-5】（2022春•和平区校级月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4 B．3 C．2 D．1【变式4-6】（2022春•大荔县期末）如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由是．【变式4-7】（2022春•海阳市期末）若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（）A．直线PQ可能与直线AB垂直 B．直线PQ可能与直线AB平行 C．过点P的直线一定与直线AB相交 D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行【变式4-8】如图所示，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定题型五同位角相等，两直线平行题型五同位角相等，两直线平行【例题5】（2022春•昭阳区校级月考）如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝时，a∥b．解题技巧提炼两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.【变式5-1】（2022春•洞头区期中）如图，在下列给出的条件中，能判定DF∥BC的是（）A．∠B＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180°【变式5-2】（2023秋•淮阳区校级期末）如图，木条a，b，c在同一平面内，经测量∠1＝115°，要使木条a∥b，则∠2的度数应为（）A．65° B．75° C．115° D．165°【变式5-3】（2023秋•泾阳县期末）如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD．【变式5-4】（2023秋•泰和县期末）如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD．【变式5-5】（2023春•樟树市期中）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．求证：CF∥AB．【变式5-6】（2023秋•靖边县期末）如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE．题型六内错角角相等，两直线平行题型六内错角角相等，两直线平行【例题6】（2023秋•哈尔滨期末）如图，能判定AB∥CD的条件是（）A．∠A+∠ABC＝180° B．∠A＝∠C C．∠CBD＝∠ADB D．∠ABD＝∠CDB解题技巧提炼两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.【变式6-1】A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等【变式6-2】（2023秋•兰州期末）如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB．【变式6-3】（2023秋•黄埔区期中）如图，∠B＝42°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝64°，证明：AB∥CD．【变式6-4】（2023秋•高州市期末）已知：如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，∠EBC＝∠A，求证：BE∥CD．【变式6-5】（2023春•鄱阳县期末）如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1＝∠2．试判断BE与CF的关系，并说明你的理由．【变式6-6】（2023秋•福州期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连结OF．（1）求证：OC⊥OD；（2）若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB．题型七同旁内角互补，两直线平行题型七同旁内角互补，两直线平行【例题7】（2022春•滦南县期末）如图，由∠A+∠B=180°，可得：．理由是

．解题技巧提炼两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.【变式7-1】（2022秋•阳山县期末）如图，∠2=∠3=65°，要使直线a∥b,则∠1=度．【变式7-2】如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°，求证：BC∥GD．【变式7-3】（2022春•江阴市校级月考）如图，∠1=75°，∠2=105°，AB与ED平行吗？为什么？【变式7-4】（2023春•白银期末）如图，这是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝62°，∠2＝62°，∠3＝118°，找出图中的平行线，并说明理由．【变式7-5】（2022秋•新兴县校级期中）已知：如图，E为AC上一点，BE⊥DE，∠1＝∠B，∠2＝∠D，求证：AB∥CD．【变式7-6】（2022春•郾城区校级月考）如图，∠B+∠E+∠C=360°，试判断AB与CD是否平行？请说明理由．题型八利用两直线平行的条件解决实际问题题型八利用两直线平行的条件解决实际问题【例题8】（2022春•新吴区月考）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．解题技巧提炼题中会给出一个生活中的实际问题，要读懂题意，结合图形构造平行线模型，选择相应的判定定理求解.【变式8-1】（2022春•太原期中）木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等【变式8-2】如图，是一个防盗窗棂的示意图，如果测得∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°，能否断定AB∥CD，已知条件够不够？如不够，需要再补充一个什么条件？【变式8-3】如图所示，一束光线在两面垂直的玻璃墙内进行传播，路径为A→B→C→D．若∠1=30°，∠3=60°，探究直线AB与CD是否平行？为什么？【变式8-4】你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？

【变式8-5】（2023春•沂水县期中）【问题情境】学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①—④，虚线部分表示折痕）．【操作发现】发现一：如图④，由图②中的折叠可知，PE⊥AB，由图③中的折叠可知，PE⊥CD，则AB∥CD．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据．发现二：如图④，由图②中的折叠可知，∠1＝90°，由图③中的折叠可知∠2＝90°，则∠1＝∠2，所以AB∥CD．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据．【解决问题】如图⑤，AD⊥BC于点D，AD平分∠BAC，EG⊥BC于点G．求证：∠E＝∠1．【变式8-6】取一副三角尺按如图所示的方式拼接，固定三角尺ADC，将三角尺ABC按顺时针方向旋转一个大小为α的角得到三角形AB′C′，示意图如图所示．（1）当为多少度时，能使图2中的AB′∥CD？请说明理由；（2）当α分别为多少度时，B′C′∥AD、AC′∥CD？（不必说明理由）题型九通过阅读推理过程填空题型九通过阅读推理过程填空【例题9】（20221秋•洛宁县期末）如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由．解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知）∴∠1＝∠2（）；∴AC∥BD（）；又∵AC⊥AE，BD⊥BF，（已知），∴（垂直的定义）；∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（）；即∠＝∠；∴∥（同位角相等，两直线平行）．解题技巧提炼题中会给出一个平行线判定问题的求解过程，要求填写理由，此时要认真分析题意，然后联系上下文求.【变式9-1】（2022春•龙华区期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明．已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：c∥d．证明：如图，∵∠1+∠2＝180°（），∠2+∠3＝180°（平角的定义），∴＝∠3（），又∵∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠4（），∴c∥d（）．【变式9-2】（2023春•禅城区校级期中）如图，已知E，B，C三点共线，BE平分∠DBF，∠1＝∠ACB，试说明：BF∥AC．因为BE平分∠DBF（），所以＝（），又因为∠1＝∠ACB（），所以∠2＝∠ACB（）．所以BF∥AC（）．【变式9-3】请你将下面的证明补充完整，并在括号内填写推理依据．如图，点M在直线AB上，MP⊥直线CD，垂足为P，MP平分∠NMQ，∠AMN＝∠BMQ．求证：AB∥CD．证明：∵MP平分∠NMQ，∴∠NMP＝∠PMQ（）∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ，∴∠AMN+＝+∠PMQ．∵∠AMB＝180°，∴∠AMP＝90°，∵MP⊥直线CD，∴∠MPD＝90°（）．∴AB∥CD（）【变式9-4】（2022春•灌南县校级期末）完成下面的证明：已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．证明：∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠1（）．∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝（角的平分线的定义）．∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（）．∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（）．∴AB∥CD（）．【变式9-5】（2023春•青浦区期中）如图，直线AB、CD被直线EF所截，GH是∠EGC的平分线，∠EGH＝56°，∠EIB＝68°，说明AB∥CD的理由．解：因为GH是∠EGC的角平分线（），所以∠EGH＝∠HGC＝56°（）．因为CD是条直线（已知），所以∠HGC+∠EGH+∠IGD＝180°（）．所以∠IGD＝68°．因为∠EIB＝68°（已知），所以＝（）．所以AB∥CD（）．【变式9-6】（2022春•皇姑区期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整．如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠ABF＝∠1（对顶角相等）∠BFG＝∠2（）∴∠ABF＝（等量代换），∵BE平分∠ABF（已知），∴∠EBF=12（∵FC平分∠BFG（已知），∴∠CFB=12（∴∠EBF＝，∴BE∥CF（）．题型十平行线判定方法的综合运用题型十平行线判定方法的综合运用【例题10】（2023秋•紫金县期末）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（）A．∠1+∠3＝180° B．∠