《第五章 相交线与平行线》 章末测试（培优卷）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年七年级数学下册同步精讲精练（人教版）

（人教版）七年级下册数学《第五章相交线与平行线》章末测试(培优卷)时间：120分钟满分：120分一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）1．1．（2022秋•沂源县期末）下面所示的图案中，可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的是（）A． B． C． D．【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、是一个对称图形，不能由平移得到，故此选项不合题意；B、是一个对称图形，不能由平移得到，故此选项不合题意；C、是一个对称图形，不能由平移得到，故此选项不合题意；D、图案自身的一部分沿着直线运动而得到，是平移，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．2．下列命题中，假命题是（）A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；D．两直线平行，内错角相等.【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．本题主要考查真假命题，理解真假命题的概念是解题的关键之所在.【解答】解：∵如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，∴选项A是真命题；∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴选项B是真命题；∵两条直线被第三条直线所截，同旁内角不一定互补，∴选项C是假命题；∵两直线平行，内错角相等，∴选项D是真命题.故选：C.【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂直的判定、平行线的判定方法，难度不大．3．（2023春•长安区校级月考）如图，△DEF经过怎样的平移得到△ABC（）A．把△DEF向左平移4个单位，再向上平移2个单位 B．把△DEF向右平移4个单位，再向下平移2个单位 C．把△DEF向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D．把△DEF向左平移4个单位，再向下平移2个单位【分析】观察图象，找到对应的点，连接对应点即可．【解答】解：观察图象可得，E、B，D、A，F、C分别对应，且E、B、D、A在同一条直线上，根据平移的性质，易得沿射线BD的方向移动DA长，可由△DEF得到△ABC；故选：D．【点评】本题考查平移的定义，掌握平移的性质是解题的关键．4．（2023秋•武功县期末）如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，还需要添加条件（）A．∠B＝∠1 B．∠1＝∠3 C．∠B＝∠3 D．∠B＝∠2【分析】根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，得出∠1＝∠B，再根据平行线的判定定理，找出符合要求的答案．【解答】解：A、∵∠B＝∠1，可由EF∥AB得出，不用添加，不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意；B、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠1＝∠3，则∠B＝∠3，还是不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意；C、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠3，则∠1＝∠3，还是不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意；D、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠2，则∠1＝∠2，∴DF∥BC，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．5．（2023秋•离石区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OF垂直于OD且平分∠AOE．若∠BOD＝25°，则∠DOE＝（）A．20° B．40° C．30° D．25°【分析】由垂直的定义，平角的定义得到∠DOE+∠EOF＝90°，∠DOB+∠AOF＝90°，由角平分线定义得到∠EOF＝∠AOF，由余角的性质即可得到∠DOE＝∠DOB＝25°．【解答】解：∵OF垂直于OD，∴∠FOD＝90°，∴∠DOE+∠EOF＝90°∴∠DOB+∠AOF＝180°﹣∠FOD＝90°，∵OF平分∠AOE，∴∠EOF＝∠AOF，∴∠DOE＝∠DOB＝25°．故选：D．【点评】本题考查角平分线定义，垂直的定义，平角的定义，余角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．6．如图，一副三角板按如图方式摆放，已知∠BAC＝∠DBE＝90°，∠D＝60°，∠C＝45°且AC∥DE，则∠1的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】根据AC∥DE可得∠DFB＝∠C，再根据直角三角形两个锐角互余求出∠E＝30°，最后根据三角形的外角定理，即可求解．【解答】解：∵AC∥DE，∠C＝45°，∴∠BFD＝45°，∵∠DBE＝90°，∠D＝60°，∴∠E＝30°，∵∠DFB＝∠E+∠1＝45°，∴∠1＝45°﹣30°＝15°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两个锐角互余，三角形的外角定理，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等；直角三角形两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．7．（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．8．（2023秋•玄武区期末）如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝6，BC＝8，AB＝10．P是线段AB上一点，连接PC，PC的长不可能是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】作CH⊥AB于H，由三角形面积公式得到△ABC的面积=12AC•BC=12AB•CH，而AC＝6，BC＝8，AB＝10，即可求出CH＝4.8，又【解答】解：作CH⊥AB于H，∵AC⊥BC，∴△ABC的面积=12AC•BC=12∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴CH＝4.8，∵PC≥CH＝4.8，∴PC的长不可能4．故选：A．【点评】本题考查垂线段最短，关键是由垂线段最短得到PC≥CH．9．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（）A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α+∠γ﹣∠β＝180° C．∠γ+∠β﹣∠α＝180° D．∠α+∠β+∠γ＝180°【分析】根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，进而利用角的关系解答即可．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故选：B．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补解答．10．将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：①如果∠2＝30°，则AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．【解答】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，∴∠1＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正确；∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；∵BC∥AD，∠B＝45°，∴∠3＝∠B＝45°，∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，∴∠2＝45°，故③错误；∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAE＝30°，∵∠E＝60°，∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，∴∠4+∠B＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∵∠C＝45°，∴∠4＝∠C，故④正确；所以其中正确的结论有①②④，3个．故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．二、填空题（每小题3分，共8个小题，共24分）11．（2022秋•蕉城区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD＝2：3，则∠AOE＝．【分析】由∠BOE：∠EOD＝2：3，得到∠BOE=25∠BOD，由对顶角的性质得到∠BOD＝∠AOC＝70°，即可求出∠BOE的度数，由邻补角的性质即可求出∠【解答】解：∵∠BOE：∠EOD＝2：3，∴∠BOE=22+3∠∵∠BOD＝∠AOC＝70°，∴∠BOE=2∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝152°．故答案为：152°．【点评】本题考查角的计算，对顶角、邻补角，关键是由对顶角的性质得到∠BOD＝∠AOC＝70°，由邻补角的性质得到∠AOE＝180°﹣∠BOE．12．（2022秋•绿园区期末）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是．【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．【解答】解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．故答案为：35°．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．13．（2023秋•二道区期末）如图，光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水中时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线，在水中也是平行的．若∠1＝56°，∠2＝112°，则∠3的大小为度．【分析】光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，依据平行线的性质进行判断，即可得出图中∠3的度数．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠3＝180°，∵AC∥BD，∴∠BAC＝∠2＝112°，∴∠3＝180°﹣112°＝68°，故答案为：68．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．14．（2023秋•黔江区期末）如图，AB∥CD，∠ABE＝150°，∠BEF＝70°，则∠DFE的度数为．【分析】分别过点E作EG∥AB，再根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：过E作EG∥AB，如图所示：∵AB∥CD，∴EG∥CD，∴∠ABE+∠BEG＝180°，∴∠BEG＝30°，∵∠BEF＝70°，∴∠GEF＝70°﹣30°＝40°，∵AB∥CD∥EG，∴∠DFE＝∠GEF＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．15．（2023秋•荣成市期中）如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台阶上铺上一块红地毯，问这块红地毯至少需要．【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积即可．【解答】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为10米，8米，故地毯的长度为8+10＝18（米），则这块红地毯面积为：18×5＝90（m2）．故答案为：90平方米．【点评】此题考查利用平移解答实际问题，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．16．（2023秋•市北区期末）如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝°．【分析】先根据∠DEF＝72°求出∠EFC的度数，进可得出∠EFB和∠BFH的度数，根据∠H＝90°和三角形的内角和可得∠HMF的度数，再由折叠的性质可得∠GMN．【解答】解：∵AD∥CB，∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．∵∠H＝∠D＝90°，∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，∴∠GMN＝72°．故答案为：72．【点评】本题考查的是平行线的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．17．（2022春•金湖县期末）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线．若∠G＝110°，则∠H＝°．【分析】过点G作GM∥AB，根据平行线的性质可得∠AEG+∠EGM＝180°，再结合已知可得CD∥GM，然后利用平行线的性质可得∠CFG+∠MGF＝180°，从而可得∠AEG+∠CFG＝250°，再利用角平分线的定义可得∠HEG+∠GFH＝125°，最后利用四边形的内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：过点G作GM∥AB，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥GM，∴∠CFG+∠MGF＝180°，∴∠AEG+∠EGM+∠CFG+∠MGF＝360°，∵∠EGF＝∠EGM+∠MGF＝110°，∴∠AEG+∠CFG＝360°﹣∠EGF＝250°，∵EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线，∴∠HEG=12∠AEG，∠GFH=1∴∠HEG+∠GFH=12∠AEG+1∴∠H＝360°﹣∠HEG﹣∠HFG﹣∠EGF＝125°，故答案为：125．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18．（2023秋•淮阳区校级期末）一副直角三角尺按如图1所示的方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2的位置．在此转动过程中，若BC与三角尺ADE的一直角边平行，则∠CAE的度数为．【分析】如图，当BC∥DE时，当AD∥BC时，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：如图，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；如图，当AD∥BC时，∠CAE＝45°+60°＝105°；综上所述，若BC与三角尺ADE的一直角边平行，则∠CAE的度数为15°或105°，故答案为：15°或105°．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．三、解答题（共8个小题，共66分）19．(6分)（2023春•武功县期中）如图，直线AB，CD交于点O，已知OF⊥CD，∠COE＝2∠AOC．（1）若∠BOD＝28°，求∠COE的度数；（2）若∠BOF＝60°，判断OE与AB的位置关系，并说明理由．【分析】（1）由对顶角相等得到∠AOC＝28°，则∠COE＝2∠AOC＝56°；（2）先根据垂线的定义结合∠BOF＝60°得到∠BOD＝30°，则∠AOE＝∠AOC+∠COE＝90°，由此即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝28°，∴∠AOC＝28°，∵∠COE＝2∠AOC，∴∠COE＝2×28°＝56°．（2）OE⊥AB，理由如下：∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°．∵∠BOF＝60°，∴∠BOD＝30°，∴∠COE＝2∠AOC＝2∠BOD＝60°，∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝30°+60°＝90°，即OE⊥AB．【点评】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键．20．(7分)（2022秋•尧都区期末）阅读并完成下面的证明过程：已知：如图，AB∥EF，∠1＝∠2，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，求证：BE⊥CE．证明：∵BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD．∴∠ABE=∠EBC=12∠ABC，∠2＝又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ECD．∴EF∥CD．又∵AB∥EF（已知），∴．∴∠ABC+∠BCD＝180°．∴∠ABE+∠2=1又∵AB∥EF，∴∠ABE＝∠BEF．∴∠BEF+∠1＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE．【分析】根据平行线的性质、平行线的判定以及垂直的定义进行分析即可解答．【解答】证明：∵BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD．∴∠ABE=∠EBC=12∠ABC，∠2＝∠又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ECD（等量代换），∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行），又∵AB∥EF（已知），∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠ABE+∠2=12（∠ABC+∠又∵AB∥EF，∴∠ABE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等），∴∠BEF+∠1＝90°，∴BE⊥CE（垂直定义）．故答案为：∠ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行；AB∥CD；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；垂直定义．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解答本题的关键．21．（8分）（2023春•寻乌县期末）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．（1）AD与EF平行吗？请说明理由；（2）若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F与∠H相等吗，请说明理由．【分析】（1）求出∠ADE+∠FEB＝180°，根据平行线的判定推出即可；（2）根据角平分线定义得出∠BAD＝∠CAD，推出HD∥AC，根据平行线的性质得出∠H＝∠CGH，∠CAD＝∠CGH，推出∠BAD＝∠F即可．【解答】解：（1）AD∥EF．理由如下：∵∠BDA+∠CEG＝180°，∠ADB+∠ADE＝180°，∠FEB+∠CEF＝180°∴∠ADE+∠FEB＝180°，∴AD∥EF；（2）∠F＝∠H，理由是：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠EDH＝∠C，∴HD∥AC，∴∠H＝∠CGH，∵AD∥EF，∴∠CAD＝∠CGH，∴∠BAD＝∠F，∴∠H＝∠F．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．22．(8分)（2022春•潜山市月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，（1）如图1，若∠COE＝110°，求∠BOD的度数（2）如图2，若∠BOE：∠COE＝1：3，求∠AOC的度数；（3）在（2）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义以及平角的意义进行计算即可；（2）根据角平分线以及∠BOE：∠COE＝1：3，利用按比例分配进行计算即可；（3）分两种情况进行解答即可．【解答】解：（1）∵∠COE+∠DOE＝180°，∠COE＝110°，∴∠DOE＝180°﹣110°＝70°，又∵OB平分∠DOE，∴∠BOD＝∠BOE=12∠（2）∵OB平分∠DOE，∴∠BOD＝∠BOE=12∠∵∠BOE：∠COE＝1：3，∴∠BOD＝180°×1∴∠AOC＝∠BOD＝36°；（3）由（2）得∠DOE＝72°，当OF在直线CD的上方时，有∠EOF＝∠FOD+∠DOE＝90°+72°＝162°，当OF在直线CD的下方时，有∠EOF＝∠FOD﹣∠DOE＝90°﹣72°＝18°，因此∠EOF的度数为18°或162°．【点评】本题考查角平分线，邻补角、对顶角，理解角平分线的定义，邻补角以及对顶角的意义是正确解答的前提．23．(8分)（2022秋•东港市期末）如图，AF⊥BC于点E，BD⊥BC于点B，∠1＝∠2．（1）求证：∠BAF与∠AFD互补；（2）若AD平分∠BAF，∠C＝40°，求∠COD的度数．【分析】（1）由两个垂直条件可得AF∥BD，由平行线的性质及∠1＝∠2，可推出AB∥CD，再由平行线的性质即可得出结论；（2）在Rt△CEF中，由∠C＝40°，可求得∠1的度数，由AB∥CD及AD平分∠BAF，可求得∠DAF的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠COD的度数．【解答】（1）证明：∵AF⊥BC于点E，BD⊥BC于点B，∴∠CEF＝90°，∠CBD＝90°，∴∠CEF＝∠CBD，∴AF∥BD，∴∠1＝∠BDC，∵∠1＝∠2，∴∠BDC＝∠2，∴AB∥CD，∴∠BAF+∠AFD＝180°，即∠BAF与∠AFD互补；（2）解：在Rt△CEF中，∠C＝40°，∴∠1＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠BAF＝50°，∵AD平分∠BAF，∴∠DAF=1∵∠AEO＝∠CEF＝90°，∴∠COD＝∠AEO+∠DAF＝90°+25°＝115°．【点评】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，三角形内角和定理，能够熟练掌握平行线的性质与判定是解决本题的关键．24．(9分)（2022春•海珠区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数；（2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数；（3）请探究∠AOC与∠BOF的数量关系．【分析】（1）根据对顶角相等求得∠BOD的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠EOD的度数，则∠COE即可求得，再根据角平分线的定义求得∠EOF，最后根据∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE求解．（2）利用角平分线定义得出∠BOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOE，进而表示出各角求出答案．（3）由（1）知∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE=12∠COE−12∠BOD＝＝90°【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOC＝76°，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=12∠BOD∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣38°＝142°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=12∠COE∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝71°﹣38°＝33°．（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴∠BOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOE，∴设∠BOE＝x，则∠DOE＝x，故∠COA＝2x，∠EOF＝∠COF＝x+36°，则∠AOC+∠COF+∠BOF＝2x+x+36°+36°＝180°，解得：x＝36°，故∠AOC＝72°．（3）由（1）知∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE=12∠COE−=12（180°﹣∠DOE）−＝90°−14∠BOD−＝90°−14∠AOC−＝90°−34∠∠BOF＝90°−34∠【点评】本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键．25．(9分)已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系．（1）如图1，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1与∠2的数量关系是：．（2）如图2，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1与∠2的数量关系是：．说明理由．（3）由（1）（2）你得出的结论是：如果，那么．（4）若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，则求这两个角度数．【分析】（1）由余角的性质，等角的余角相等，可得；（2）根据四边形内角和为360°，可求得；（3）由（1）（2）的分析可得结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；（4）设出一个角的度数，表达另一个角的度数，根据（3）的结论建立等式，解方程即可．【解答】解：（1）如图1，∵AB⊥DE，BC⊥EF，∴∠EGB＝90°，∠EHB＝90°，∴∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2．故答案为：相等．（2）如图2，∵AB⊥DE，BC⊥EF，∴∠EGB＝90°，∠EHB＝90°，∴∠1+∠2+∠EGB+∠EHB＝360°，∴∠1+∠2＝180°．故答案为：互补．（3）由（1）（2）的分析可得结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补；（4）设另一个角的度数为α，则一个角的度数为3α﹣40°，根据题意可得，α＝3α﹣40°或α+3α﹣40°＝180°，解得α＝20°或55°，当α＝20°时，3α﹣40°＝20°，当α＝55°时，3α﹣40°＝125°，∴这两个角的度数为20°，20°或55