条件概率课件高二下学期数学人教A版选择性(1)2

第七章随机变量及其分布

概率是随机事件发生可能性大小的度量.在必修课程的概率学习中，我们结合古典概型，研究了简单随机事件及其概率的计算方法，并讨论了概率的一些性质.本章将在此基础上，结合古典概型，研究随机事件的条件概率，建立概率的乘法公式和全概率公式，并用它们计算较复杂事件的概率.

为了利用数学工具，并以简洁、统一的形式研究随机试验的规律，本章我们还将把随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念.对离散型随机变量

，我们主要研究其分布列及数字特征，并对二项分布、超几何分布进行重点研究.对于连续型随机变量，我们只研究服从正态分布的情况.通过用随机变量描述和分析随机试验，解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点.

7.1条件概率与全概率公式

在必修第二册第十章《概率》一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件A与B同时发生(积事件AB)的概率的问题.当事件A与B相互独立时,有

P(AB)=P(A)P(B).

如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢?下面我们从具体问题入手.

7.1.1条件概率问题1

某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人

数(单位：人)如下表所示.一、探究新知团员非团员合计男生16925女生14620合计301545

在班级里随机选择一人做代表.

(1)选到男生的概率是多少?

(2)若已知选到的是团员,则选到的是男生的概率是多少?

随机选择一人做代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样

本点.用A表示事件“选到团员”，B表示事件“选到男生”，根

据表中的数据可以得出，n(Ω)=45，n(A)=30，n(B)=25.

(1)根据古典概型知识可知，选到男生的概率问题1

某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人

数(单位：人)如下表所示.一、探究新知团员非团员合计男生16925女生14620合计301545

在班级里随机选择一人做代表.

(1)选到男生的概率是多少?

(2)若已知选到的是团员,则选到的是男生的概率是多少?

(2)“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16．根据古典概型知识可知：问题2

假定生男孩和生女孩是等可能的,现考虑有两个小孩的家庭.

随机选择一个家庭,那么

(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大?

(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩

的概率又是多大?一、探究新知

观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩，则

样本空间Ω={bb，bg，gb，gg},且所有样本点是等可能的.

用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择

的家庭中两个小孩都是女孩”,则A={bg，gb，gg},B={gg}.

(1)据古典概型知,该家庭中两个小孩都是女孩的概率

(2)“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”

的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概

率，记为P(B|A).此时A成为样本空间，事件B就是积事件

AB.根据古典概型知识可知：问题2

假定生男孩和生女孩是等可能的,现考虑有两个小孩的家庭.

随机选择一个家庭,那么

(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大?

(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩

的概率又是多大?一、探究新知

观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩，则

样本空间Ω={bb，bg，gb，gg},且所有样本点是等可能的.

用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择

的家庭中两个小孩都是女孩”,则A={bg，gb，gg},B={gg}.

在上面两个问题中，在事件A发生的条件下,事件B发生的概率都是

这个结论对于一般的古典概型仍然成立.事实上，如下图所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间.

此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即二、条件概率AB

ΩBA

因为

所以，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过

来计算.

一般地,设A、B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.二、条件概率

在问题1和问题2中，都有P(B|A)≠P(B)．一般地，P(B|A)与P(B)不一定相等．如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件?

直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P(B|A)=P(B)成立.

事实上，若事件A与B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)，且P(A)>0，则反之,若P(B|A)=P(B)，且P(A)>0，则即事件A与B相互独立.

因此，当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有

P(B|A)=P(B).二、条件概率P(AB)=P(A)P(B|A)

对于任意两个事件A与B，如果已知P(A)与P(B|A)，如何计算P(AB)呢?

由条件概率的定义，对任意两个事件A与B,若P(A)>0，则概率的乘法公式：二、条件概率例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1

道题，抽出的题不再放回.求:

(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

(2)在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.解法1：三、精典例题例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1

道题，抽出的题不再放回.求:

(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

(2)在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.解法2：三、精典例题

从例1可知，求条件概率有两种方法:

一种是基于样本空间Q，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P(B|A)；

另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后,样本空间缩小为A,求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率.

条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质设P(A)>0，则

(1)P(Ω|A)=1；

(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A);

(3)设

和B互为对立事件,则P(

|A)=1-P(B|A).三、精典例题例2已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回

地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗?

事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关.三、精典例题例3银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上

取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求:

(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率;

(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.三、精典例题四、课堂小结1.计算条件概率的两个公式：

2.概率的乘法公式：

P(AB)=P(A)P(B|A)3.求条件概率有两种方法：

一种是基于样本空间Q，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件

概率公式求P(B|A)；

另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的

件后,样本空间缩小为A,求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的

概率.四、课堂小结4.条件概率的性质：

条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概

率的性质设P(A)>