协方差完整版本

概率论与数理统计一、协方差的概念与性质

二、相关系数的意义与性质

三、协方差矩阵§3.3协方差及相关系数协方差一、协方差的概念与性质1.

问题的提出若随机变量X和Y相互独立,那么若随机变量X和Y不相互独立,2.协方差与相关系数的定义定义3.7(X,Y)是二维随机变量,量称为随机变量X与Y的协方差,记为cov(X,Y),即而称为随机变量X与Y的相关系数．注1

X和Y的相关系数是标准化的随机变量又称为标准协方差,是个无量纲的量.2

若随机变量X与Y相互独立

E[X

E(X)]E[Y

E(Y)]3

cov(X,X)

D(X).

0.的协方差.3、协方差的计算公式证(1)cov(X,Y)

E(XY)

E(X)E(Y);(2)D(X

Y)

D(X)

D(Y)

2cov(X,Y).(1)cov(X,Y)

E{

X

E(X)][Y

E(Y)}

E[XY

XE(Y)

YE(X)

E(X)E(Y)]

E(XY)

2E(X)E(Y)

E(X)E(Y)

E(XY)

E(X)E(Y).(2)D(X

Y)4、协方差的性质性质3.11性质3.12性质3.13性质3.14性质3.15cov(X,Y)

cov(Y,X).cov(X,Y)

E(XY)

E(X)E(Y).cov(aX,bY)

abcov(X,Y),a,b为常数．cov(X1+X2,Y)

cov(X1,Y)

cov(X2,Y).若X与Y独立,则cov(X,Y)

0.性质3.16D(X

Y)

D(X)

D(Y)

2cov(X,Y).推广解设随机变量X与Y的相关系数为0.5,例1例2解相关系数.由

X与Y的相关系数;(证明见P46例2.12)注1

二维正态分布密度函数中,参数代表了2

对于二维随机变量

X,Y,二、相关系数的意义与性质1.

问题的提出

问a,b应如何选择,可使得随机变量a

bX最接近随机变量Y?接近的程度又如何来衡量?分析解之得2.相关系数的意义定义3.8

联系较紧密．设随机变量X与Y的相关系数例3解X与Y不相关;因此,X与Y不独立.存在线性关系.由可知:

3.独立与不相关的关系(1)不相关与相互独立的关系(性质3.19)相互独立不相关(2)不相关的充要条件例4A

不相关的充分条件,但不是必要条件B

独立的充分条件,但不是必要条件C

不相关的充分必要条件D

独立的充分必要条件显然应该选择C.

随机变量X与Y的方差存在且不等于0,则D(X

Y)

D(X)

D(Y)是X和Y

.(考研试题)解例5A

不独立B独立C不相关D

相关所以X与Y不相关.解设随机变量X与Y独立同分布,记U

X

Y,V

X

Y,则随机变量U与V必然().X与Y同分布4、相关系数的性质性质3.17证则即设随机变量性质3.18证

(

)因而因而其中

(

)(数学期望定义)性质3.19若X与Y相互独立,则X与Y不相关,反之不真.三、协方差矩阵1.

n维随机变量协方差矩阵设n维随机变量的二阶混合中心矩,都存在,则称矩阵为n维随机变量的协方差阵.2.二维随机变量的协方差矩阵其中注10

由于cij=

cji协方差矩阵为对称的非负定矩阵.注20

协方差矩阵的应用.由于引入矩阵由此可得由于内容小结1.

协方差与相关系数的定义相关系数.X与Y的协方差,2.相关系数的意义联系较紧密.再见例1-1设X与Y是两个随机变量,且D

X

1,D

Y

3,cov

X,Y

0.3,求方差D

X

Y

与D2X3Y.备用题解例1-2设随机变量X和Y均服从参数

1/2U2X,V

X

Y,求U与V的协方差cov

U,V.的指数分布,令函数解由随机变量X和Y均服从参数

1/2的指数分布,则而D

X

4,D

Y

4.

设二维连续型随机变量

X,Y

的联合密度函数为试计算D

2X

3Y

8

.解由性质3.16得D

2X

3Y

8

D

2X

D

3Y2cov2X,3Y

4D

X9D

Y12covX,Y

例2-1为了计算上述方差和协方差,需要先计算E

X,E

X2,E

Y,E

Y2

和E

XY.为此,先计算X和Y的边缘分布.由此计算得于是可得协方差代回原式,可得D

2X

3Y

8

设二维连续型随机变量

X,Y

的联合密度函数为解例2-2

由协方差公式得求Z的数学期望和方差;(2)求X与Z的相关系数;解例2-3例2-4解例4-1设随机变量X,Y有方差,求证:随机变量U

X

Y与V

X

Y不相关的充分必要条件为D

X

D

Y.解因为因此,cov

U,V0的充要条件是D

X

D

Y.例4-1例4-2设掷三次均匀硬币,随机变量X表示出现的正面次数,Y表示正面次数与反面次数的差的绝对值,(1)X与Y是否不相关?(2)X与Y是否相互独立?解计算概率,得联合分布律YX0123