山东省曲阜市2023-2024学年九年级上册数学期末调研试题含解析

山东省曲阜市2023-2024学年九上数学期末调研试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.下列计算正确的是（）

A.ʌ/ɜ+Λ∕2=5/5B.2+V2=2>∕ΣC・2Λ∕6——1D・ʌ/ɛ—∙∖∕2=y∣2

2.如图，。。是正AAbC的外接圆，点。是弧AC上一点，则NBDC的度数（）.

B.60°D.120°

3.如图，矩形的中心为直角坐标系的原点O,各边分别与坐标轴平行，其中一边AB交X轴于点C,交反比例函数

图像于点尸，且点P是AC的中点，已知图中阴影部分的面积为8,则该反比例函数的表达式是（）

C."8

D.y=-

XX

4.在平面直角坐标系中，抛物线丁=0+5）（%-3）经过变换后得到抛物线.丫=。+3）（1-5）,则这个变换可以是（）

A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位

C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位

5.已知抛物线y=aχ2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线X=L以下结论：①2a>-b；②4a+2b+c>0;③m（am

+b）>a+b（m是大于1的实数）；④3a+cVO其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.图中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是（）

A.点AB.点BC.点CD.点D

7.如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，ANl轴于点M,交直线y=-苴X于点N,若点P是

3

线段ON上的一个动点，ΛAPB=30,BA±PA,点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，当点P从

点。运动到点N时，则点8运动的路径长是（）

8.小明在太阳光下观察矩形木板的影子，不可能是（）

A.平行四边形B.矩形C.线段D.梯形

9.下列说法正确的是（）

A.某一事件发生的可能性非常大就是必然事件

B.2020年1月27日杭州会下雪是随机事件

C.概率很小的事情不可能发生

D.投掷一枚质地均匀的硬币IOOO次，正面朝上的次数一定是500次

10.如图，在AeC中，AB=AC=IOcm,尸为AB上一点，AF=2,点E从点A出发，沿AC方向以2Qw∕s

的速度匀速运动，同时点。由点8出发,沿84方向以lcm∕s的速度匀速运动，设运动时间为（s）（（）<f<5）,连接。E

交CF于点G,若CG=2FG,贝P的值为（）

11.用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即

可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）

12.已知一组数据：-1,0,1,2,3是它的一个样本，则这组数据的平均值大约是（

二、填空题（每题4分，共24分）

13.在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和4个红球，若每次将球充分搅

匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值

约为.

14.如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在5处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子

重合，并测得A8=2米，BC=18米，则旗杆B的高度是米.

D

d

ΛBC

15.如图，将RtZkABC绕点A逆时针旋转40。，得到RtAABC',使AB，恰好经过点C,连接BB，，则NBAc的度数

为°.

B

A

16.如果AABCS∕∖OEF,且AABC的三边长分别为4、5、6,AOE尸的最短边长为12,那么AOE尸的周长等于.

17.如果3是数X和6的比例中项，那么X=

18.抛物线,y=2(X-3)2-1关于X轴对称的抛物线解析式为.

三、解答题(共78分)

19.(8分)一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1,2,3,4的小球，它们的形状、大小完全相同，小红先从口

袋里随机摸出一个小球记下数为X,小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y,这样确定了点P的坐标(X,

y)∙

(1)小红摸出标有数3的小球的概率是.

(2)请你用列表法或画树状图法表示出由X,y确定的点P(x,y)所有可能的结果.

(3)求点P(x,y)在函数y=-x+5图象上的概率.

20.(8分)如图，抛物线y=aχ2-2ax+c(a≠0)交X轴于A、B两点，A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,

4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴1在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交X轴于点E,交CD于点F,交AC于点M,

交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长；

(3)在(2)的条件下，连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角

形和AAEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断APCM的形状；若不存在，请说明理由.

21.(8分)如图，4ABC内接于。O,AB=AC,ZBAC=36o,过点A作AD〃BC,与NABC的平分线交于点D,

BD与AC交于点E,与。O交于点F.

(1)求NDAF的度数；

⑵求证：AE2=EF∙ED;

(3)求证：AD是。。的切线.

22.(10分)如图，一次函数y="+6的图象与反比例函数y=-9的图象相交于点4-1,M,8(n,—1)两点，与χ,

y轴分别交于c,。两点.

(1)求一次函数的表达式;

(2)求ACOD的面积.

23.(10分)如图①，四边形AEGE是边长为2的正方形，ZEAF=90,四边形AeCo是边长为正的正方形，点

AD分别在边AE、AFl.,此时8E=Db,BEA.DF成立.

(1)当正方形ABCD绕点A逆时针旋转α(0<α<90),如图②，BE=DF,BELDF成立吗?若成立，请证明;

若不成立，请说明理由；

(2)当正方形ABCD绕点A逆时针旋转α(任意角)时，BE=OEBE_LoF仍成立吗？直接回答；

(3)连接AC,当正方形ABC。绕点A逆时针旋转阳。<α<180)时，是否存在AC〃跖，若存在，请求出α的

值；若不存在，请说明理由.

24.(10分)如图，已知等边AABC,AB=I.以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DF_LAC,垂足为F,

过点F作FG_LAB,垂足为G,连结GD.

(1)求证：DF是。O的切线；

⑵求FG的长；

(3)求aFDG的面积.

25.(12分)如图，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点的坐标分别为A(—3,1),B(-l,3),C(0,1).

(1)将AABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后的4AιB∣G,并写出Ai,Bl的坐标；

(2)平移AABC,若点A的对应点A2的坐标为(-5,一3),画出平移后的AAZBZCZ,并写出B2,C2的坐标；

(3)若4A2B2C2和4AiBiG关于点P中心对称，请直接写出对称中心P的坐标.

26.甲、乙两名同学5次数学练习(满分120分)的成绩如下表：(单位：分)

测试日期U月5日11月20日12月5日12月20日1月3日

甲9697100103104

乙10095100105XOO

已知甲同学这5次数学练习成绩的平均数为100分，方差为10分2.

(1)乙同学这5次数学练习成绩的平均数为分，方差为分2；

(2)甲、乙都认为自已在这5次练习中的表现比对方更出色，请你分别写出一条支持他们俩观点的理由.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案.

【详解】解：4、g+夜无法计算，故此选项错误；

B、2+&无法计算，故此选项错误；

C2√6-√5,无法计算，故此选项错误；

。、λ∕8-y∣2=y∣2>正确.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

2、B

【分析】根据等边三角形的性质和圆周角定理的推论解答即可.

【详解】解：∙.∙ZVlBC是正三角形，

：.ZA=60o,

ΛZBDC=ZA=60°.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质和圆周角定理的推论，属于基础题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键.

3、B

【分析】根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形。C4。的面积是8,设A(x,)，)，则P(X根据

孙=8,可得:盯=4,再根据反比例函数系数Z的几何意义即可求出该反比例函数的表达式.

【详解】∙.∙矩形的中心为直角坐标系的原点O,反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，且图中阴影部分

的面积为8,

.∙•矩形0C4。的面积是8,

设A(X,y),则取=8,

；点P是AC的中点,

k

设反比例函数的解析式为V=一，

X

•••反比例函数图象于点P,

,11,

..K=%♦—y=-xy=4,

2-2

4

.∙.反比例函数的解析式为丫=一.

X

故选：B.

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数Z的几何意义，得出矩形Oe4。的面积是8是解题的关

键.

4,B

【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律.

【详解】y=(x+5)(x-3)=(x+l)2-16,顶点坐标是(-1,-16).

y=(x+3)(x-5)=(x-l)2-16,顶点坐标是(1,-16).

所以将抛物线y=(x+5)(X-3)向右平移2个单位长度得到抛物线y=(x+3)(x-5),

故选B.

【点睛】

此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.

5、A

【分析】根据图象得出函数及对称轴信息，分别利用函数图象与坐标轴交点得出对应函数关系的大小关系.

【详解】解：由图象可得：x=--=↑,贝!]2a+b=0,故①2a>-b错误；

2a

由图象可得：抛物线与X轴正半轴交点大于2,故4a+2b+c<0,故②4a+2b+c>0错误；

Tx=I时，二次函数取到最小值，Λm(am+b)=am2+bm>a+b,故③m(am÷b)>a÷b(m是大于1的实数)正

确；

,.*b=-2a.当X=-I时，y=a-b+c=3a+c>0,故④3a+cV0错误.

综上所述，只有③正确

故选：A

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确利用图象得出正确信息是解题关键.

6、C

【分析】根据两个中心对称图形的性质即可解答.关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被

对称中心平分；关于中心对称的两个图形能够完全重合.

【详解】解：根据中心对称的性质：

图中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是点C.

故选：C

【点睛】

本题考查中心对称的性质，属于基础题，掌握其基本的性质是解答此题的关键.

7、D

【分析】根据题意利用相似三角形可以证明线段B“4就是点8运动的路径（或轨迹），又利用AA旦4,SAAON求出

线段BR的长度，即点B运动的路径长.

【详解】解：由题意可知，OM=2,点N在直线y=-立X上，ANJ轴于点

3

则AQWN为顶角30度直角三角形，ON=之义2=巫.

√33

如下图所示，设动点尸在。点（起点）时，点B的位置为纥，动点尸在N点（终点）时，点B的位置为B,,,连接用纥，

VAOLABotAN1AB11

.∙.ZOAN=ZBoABn

又VABo=A。・tan30,AB11=AN∙tan30

ΛABo:AO=ABn:AN=tan30（此处也可用30。角的8）

：.MBι,BnAAON,且相似比为tan30，

,

.∙BB11=ON∙tan30=正义立=士

on333

现在来证明线段48“就是点B运动的路径（或轨迹）.

如图所示，当点P运动至QV上的任一点时，设其对应的点8为Bj,连接AP,AB,,BoBi

VAO±ABo,AP±ABi

：.NoAP=NB。ABi

又VABo=AO・tan30,ABi=AP∙tan30

.∙.ABo:AO=ABi:AP

：.ΔΛg,gsMOP

.∙.NABoBi=ZAOP

又TAAgSsA4ON

：.ΛABoBn=ZAOP

：.NAB。Bi=NAB“B”

.∙.点片在线段4纥上，即线段B.4就是点3运动的路径（或轨迹）.

4

综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段用纥，其长度为

故选：D

【点睛】

本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大.本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是

本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可

以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中.

8、D

【分析】根据平行投影的特点可确定矩形木板与地面平行且与光线垂直时所成的投影为矩形；当矩形木板与光线方向

平行且与地面垂直时所成的投影为一条线段；除以上两种情况矩形在地面上所形成的投影均为平行四边形，据此逐一

判断即可得答案.

【详解】A.将木框倾斜放置形成的影子为平行四边形，故该选项不符合题意，

B.将矩形木框与地面平行放置时，形成的影子为矩形，故该选项不符合题意，

C.将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段，

D.∙.∙由物体同一时刻物高与影长成比例，且矩形对边相等，梯形两底不相等，

二得到投影不可能是梯形，故该选项符合题意，

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，平行物体的影子仍旧平行或重合.灵活运用

平行投影的性质是解题的关键.

9、B

【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于2并且小于1.

【详解】解：A.某一事件发生的可能性非常大也是是随机事件，故不正确；

B.2222年1月27日杭州会下雪是随机事件，正确；

C.概率很小的事情可能发生，故不正确；

D、投掷一枚质地均匀的硬币1222次，正面朝上的次数大约是522次，故不正确；

故选：B.

【点睛】

本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：2≤p≤l,其中必然发

生的事件的概率P(A)=1；不可能发生事件的概率P(A)=2；随机事件，发生的概率大于2并且小于L事件发生

的可能性越大，概率越接近与1,事件发生的可能性越小，概率越接近于2.

10、B

【分析】过点C作Cj1〃AB交DE的延长线于点H,则DF=Io-2-t=8-t,证明4DFGS∕^HCG,可求出CH,再证明

∆ADE<^∆CHE,由比例线段可求出t的值.

【详解】解：过点C作Cl1〃AB交DE的延长线于点H,贝!∣BD=t,AE=2t,DF=10-2-t=8-t,

DF/7CH

.∙.∆DFG<^∆HCG,

DFFGi

^CH~~CG~2

ΛCH=2DF=16-2t,

同理aADEs∕iiCHE,

.ADAE

,'^CH~~CE,

.10-r_2t

"16-2f^10-2r,

解得t=2,t=2g5(舍去).

故选：B.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

11、C

【解析】根据题意和图形可知第一个图形转到红色，同时第二个转到蓝色或者第一个转到蓝色，同时第二个转到红色,

可配成紫色，从而可以求得可配成紫色的概率.

【详解】∙.∙第一个转盘红色占L

4

二第一个转盘可以分为1份红色，3份蓝色

.∙.第二个转盘可以分为1份红色，2份蓝色

开始

配成紫色的概率是2；.

12

故选C.

【点睛】

此题考查了概率问题，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键.

12、B

【分析】根据平均数的定义计算即可.

【详解】这组数据的平均数为(-l+0+l+2+3)÷5=L

故选：B.

【点睛】

本题考查了平均数.掌握平均数的求法是解答本题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、1

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在

20%左右得到比例关系，列出方程求解即可.

4

【详解】解：由题意可得，----×100%=20%,

4+α

解得，a=l,

经检验a=l是方程的根，

故答案为：L

【点睛】

本题主要考查的是频率和概率问题，此类问题是中考常考的知识点，所以掌握频率和概率是解题的关键.

14、1.

【详解】解：,：BE±AC,CDA.AC,

:.BECD,

：.AABEsAACD,

BEAB

"~CD~~∖C'

•1∙8_2

-CD-2+18,

解得：8=18,

故答案为1.

点睛：同一时刻，物体的高度与影长的比相等.

15、1

【分析】由图形选择的性质，NBAC=NB，AC，则问题可解.

【详解】解：TRtAABC绕点A逆时针旋转40。，得到RtAABC,使AB，恰好经过点C,

：.ZBAC=ZB,AC,=40o,

ΛZBAC,=ZBAC+ZB,AC,=lo,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了图形旋转的性质，解答关键是应用旋转过程中旋转角不变的性质.

16、1

【分析】根据题意求出AABC的周长，根据相似三角形的性质列式计算即可.

【详解】解：设AOEF的周长别为X,

AA5C的三边长分别为4、5^6,

.♦.△48C的周长=4+5+6=15,

•：AABCS^DEF,

.4=15

•.9

12X

解得，x=l,

故答案为L

【点睛】

本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键.

17、ɜ

2

【分析】根据比例的基本性质知道，在比例里两个外项的积等于两个内项的积.

【详解】因为，在比例里两个外项的积等于两个内项的积，

所以，6x=3×3,

x=9÷6,

3

X=一,

2

3

故答案为：

【点睛】

本题考查了比例中项的概念，熟练掌握概念是解题的关键.

18->y——2(x—3)^+1

【分析】由关于X轴对称点的特点是：横坐标不变，纵坐标变为相反数，可求出抛物线的顶点关于X轴对称的顶点,

关于X轴对称，则开口方向与原来相反，得出二次项系数，最后写出对称后的抛物线解析式即可.

【详解】解：抛物线y=20-3)2-1的顶点为(3,-1),点(3,-1)关于X轴对称的点为(3,1),

又••・关于X轴对称，则开口方向与原来相反，所以。=-2,

抛物线y=2(x-3)2-1关于X轴对称的抛物线解析式为>-=-2(X-3)2+1.

故答案为：y=-2(x-3)2+l.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于X轴对称点的特点.

三、解答题(共78分)

19、(I)L；(2)共12种情况；(3)1

43

【分析】(1)根据概率公式求解；

(2)利用树状图展示所有12种等可能的结果数；

(3)利用一次函数图象上点的坐标特征得到在函数y=-x+5的图象上的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】解：

(1)小红摸出标有数3的小球的概率是!；

4

(2)列表或树状图略：

由列表或画树状图可知,P点的坐标可能是(1,2)(1,3)(1,4)⑵1)⑵3),

(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)共12种情况，

(3)共有12种可能的结果,其中在函数y=-χ+5的图象上的有4种,即(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)

41

所以点P(x,y)在函数y=-χ+5图象上的概率=F=

123

【点睛】

本题考查的是概率，熟练掌握列表或画树状图是解题的关键.

4,84ɔ

20、(1)抛物线的解析式为y=-]X+§x+4；(2)PM=-Inr+4m(OVmV3)；(3)存在这样的点P使APFC

23

与AAEM相似.此时m的值为三或1,APCM为直角三角形或等腰三角形.

【解析】(1)将A(3,0),C(0,4)代入y=aχ2-2ax+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式.

(2)先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，从而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点

P、点M的坐标，即可得到PM的长.

(3)由于NPFC和NAEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和AAEM相似时，分两种情况

进行讨论：①^PFCs^AEM,②ACFPs^AEM;可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据

相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判

断出APCM的形状.

【详解】解：(1)∙.∙抛物线y=aχ2-2ax+c(a≠0)经过点A(3,0),点C(0,4),

4

a——

,解得｛3.

c=4

4ɔ8

.∙.抛物线的解析式为y=—gχ2+]x+4∙

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,

VA(3,0),点C(0,4),

3k+b=0,解得｛卜=—3.

\=4

b=4

4

・•・直线AC的解析式为y=X+4.

Y点M的横坐标为m,点M在AC上，

_4

JM点的坐标为(m,--m+4).

48

∙.∙点P的横坐标为m,点P在抛物线y=-一X92+-X+4±,

4O8

工点P的坐标为(m,--m^+-m+4).

33

4844

/.PM=PE-ME=(——∏9Γ+-m+4)—(——m+4)=——m7+4m.

3333

4,

ΛPM=——m-+4m(0<<3).

3m

(3)在(2)的条件下，连接PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和AAEM

相似.理由如下：

,._rfj=f444τ8ΛΛ

由题意，可得AE=3-m,EM=——m+4,CF=m,PF=——m+-m+4-4=——πr+-m,

33333

若以P、C、F为顶点的三角形和AAEM相似，分两种情况：

①若APFCsaAEM,则PF：AE=FC:EM,即(--m2+-m)：(3-m)=m：(--m+4),

333

n23

.'m≠0且m≠3,m=—.

16

V∆PFC^∆AEM,ΛZPCF=ZAME.

VZAME=ZCMF,ΛZPCF=ZCMF.

在直角ACMF中，∙.∙NCMF+NMCF=90°,ΛZPCF+ZMCF=90o,即NPCM=90。.

.∙.APCM为直角三角形.

2

②若ACFPsΔlAEM,贝!)CF:AE=PF:EM,即m：(3-m)=(--m+-m)：(--m+4),

333

■:m≠0且m≠3,：,m=l.

V∆CFP^∆AEM,ΛZCPF=ZAME.

VZAME=ZCMF,ΛZCPF=ZCMF.ΛCP=CM.

・•・4PCM为等腰三角形.

23

综上所述，存在这样的点P使APFC与AAEM相似.此时m的值为一或1,APCM为直角三角形或等腰三角形.

16

21、(l)ZDAF=36o;(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】(1)求出NABC、ZABD.NCBD的度数，求出ND度数，根据三角形内角和定理求出NBAF和NBAD度

数，即可求出答案；

(2)求出AAEFs^DEA,根据相似三角形的性质得出即可；

(3)连接AO,求出NOAD=90。即可.

【详解】(1)・；AD〃BC,

ΛZD=ZCBD,

VAB=AC,ZBAC=36o,

.φ.ZABC=ZACB=-×(180o-ZBAC)=72o,

2

ΛZAFB=ZACB=72o,

VBD平分NABC

1/1

ΛZABD=ZCBD=-ZABC=一×72o=36o,

22

ΛZD=ZCBD=36o,

ΛZBAD=180°-ZD-ZABD=180°-36°-36°=108°,

ZBAF=180°-ZABF-ZAFB=180°-36°-72o=72o,

ΛZDAF=ZDAB-ZFAB=108O-72O=36O;

(2)证明：VZCBD=360,ZFAC=ZCBD,

ΛZFAC=36o=ZD,

VZAED=ZAEF,

.φ.∆AEF^∆DEA,

•_A_E___E_D

•∙二f

EFAE

.,.AE2=EFxED;

(3)证明：连接OA、OF,

VZABF=36o,

.∙.ZAOF=2ZABF=72o,

VOA=OF,

1

ZOAF=ZOFA=-×(180o-ZAOF)=54o,

由⑴知NDAF=36。，

.∙.NDAo=360+54°=90°,

即OA±AD,

VOA为半径，

.∙.AD是。O的切线.

本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是

解此题的关键.

、

22(1)y=-x+4i(2)8

【分析】(1)根据题意先把4-1，加)，8(〃,-1)代入>确定A点和B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数

解析式即可；

(2)根据题意分别求出C、D点的坐标，进而根据面积公式进行运算可得结论.

5[m=5

【详解】解：(1)把4—1,加)，8(〃,一1)代入y=—-得《

X[n=5

5=~k+bZr=-I

把A(—1,5)和3(5,—1)代入y=H+8得n<

-l=5k+bb=4

所以一次函数表达式为y=-χ+4.

(2)在y=τ+4中含X=O得y=4,令y=。得χ=4,

AC(4,0),0(0,4),

5ΔCW=^∣OC∣∙∣OD∣=∣×4X4=8.

【点睛】

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，注意掌握求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立

成方程组求解以及掌握待定系数法求函数解析式.

23、(1)成立，证明见解析；(2)结论仍成立；(3)存在，C=IO5。

【分析】(D先利用正方形的性质和旋转的性质证明AWEgADF,然后得出BE=OF,NAE8=NAE0,再根

据等量代换即可得出NA/X>+NmM=90。，则有的IOF;

(2)先利用正方形的性质和旋转的性质证明ZSABEWADF,然后得出BE=OF,NAEB=NAEO,再根据等量

代换即可得出NAFD+ZRVM=90。，则有BEIoF；

(3)通过分析得出AC〃B石时，D、B、b在同一直线上,根据AO,AF求NAFO=30°,从而有

NBAF=ZOAF-ZOAB=15°,最后利用ZEAB=ZEAF+ZBAF即可求解.

【详解】(1)结论BE=DF,BELDF仍成立.

如图L延长EB交DF于M交AF于苴N,

V四边形AEGb，ABCD都是正方形,

ΛAB=AD,AEAF.

由旋转可得，ZBAE=ZDAF,

AB=AD,AE=AF,

∙∙∙∆ABEgAO尸，

.∙.BE=DF,AAEB=ZAFD.

ΛANE=ZFNM,ZANE+ZAEB=90°,

.∙.ZAFD+4FNM=90。,

BElDF，

.∙.结论仍成立.

(2)若正方形ABC。绕点A逆时针旋转90°<α<180°时，如图，结论仍然成立，理由如下:

图2

如图2,延长所交。/于M交AE于点N,

V四边形AEGF,ABCD都是正方形,

.∙.AB=AD,AE=AF.

由旋转可得，ZBAE=ZDAF,

AB^AD,AE^AF,

∙∙∙∆Aβ"ADF,

；.BE=DF,ZAEBAAFD.

ZANE=ZFNM,ZANE+ZAEB=90°,

.∙.ZAFD+ZFNM=90°,

--BElDF,

二结论仍成立.

当旋转其他角度时同理可证BE=ORBELDR,所以结论仍成立.

(3)存在

如图3,连接80,与AC相交于。，

图3

VBE1DF>当AC'〃BE时，ACVDF,

又TACLBD,

二。、B、厂在同一直线上.

T四边形ABCD,AEGF是正方形，

ΛZOBA=45o,ZEAF=90°.

,：AB=血,

ʌOA=AB∙sin45o=√2×—=1.

2

TAF=2,

.-.ZAFO=30°,

.∙.ZOAF=90°-ZAFO=60°,

.∙.ZBAF=ZOAF-ZOAB=15°,

.∙.AEAB=NEAF+4BAF=105°

即当C=IO5°时，AC〃BE成立.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，直角三角形两锐角互余，掌握正方形的性

质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，直角三角形两锐角互余是解题的关键.

24、(1)详见解析；(2)为8；(3)邑叵

28

【分析】⑴如图所示，连接OD.由题意可知NA=NB=NC=60。,则OD=OB,可以证明AOBD为等边三角形,易得

NC=NoDB=60