2023-2024学年上海市嘉定区高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年上海市嘉定区高二上册期末数学模拟试题

一、填空题

1.从｛1,2,3,4｝中随机选取一个数为从｛1,2,3｝中随机选取一个数为6,则…的概率是

【正确答案】!##0.25

4

【分析】首先根据题意用列举法写出全部基本事件，再利用古典概型公式求解即可.

【详解】从｛1,2,3,4｝中随机选取一个数为“，从｛1,2,3｝中随机选取一个数为b,

共有：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),

(4,1),(4,2),(4,3),共12个基本事件,

则…有(1,2),(1,3),(2,3),共有3个基本事件，

31

所以，＞"的概率为万=1

u1

故二

4

2.正方体/8CO-/SG。中，E,尸分别为的中点，则E尸与面4G。所成的角是:

【正确答案】300

【分析】作出线面角，根据等比三角形的性质求出线面角的大小.

【详解】由于E,尸分别是44,的中点，所以EF//48,直线EF和平面4GC4所成的角

的大小等于直线48和平面4Goi所成的角.根据正方体的几何性质可知8。工平面

4G。，所以NO//即直线48和平面4G。所成的角.在等边三角形48。中，。是8。的

中点，故所以N048=；X60"=30’.

本小题主要考查线面角的大小的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.

3.已知三角棱0-/8C,M,N分别是对边O/,8c的中点，点G在上，且MN=2GN,

设04=：，。£=，，od=c，则OG=(用基底(a，b，1)表示)

xxx

【正确答案】\(a+b+c)

4

【分析】画出几何体图形，根据条件知G为MN的中点，连接ON,从而可得

OG=-(OM+ON),根据N是OA,8c的中点即可用a,b,c表示出。方.

【详解】

:如上图，点G在脑V上，旦MN=2GN,

；.G为MN的中点，连接0M且M,N分别是对边048c的中点，则:

iXXX

OG=-(OM+ON)=-(OA+OB+OC)=-(a+h+c).

故答案为」S+6+c)

4

4.如图，在正方体488-44CQ中，”是CC的中点。是底面ABCD的中心,P是上的

任意点，则直线BM与OP所成的角为

【正确答案】900

【分析】本题考查异面直线所成的角，涉及线面垂直的判定与性质，关键是找到OP所在的某

个平面，利用正方体的结构特征和线面垂直的判定定理证明直线与此平面垂直.

【详解】如图，取AD,BC的中点分别为&F,连接EF,FBi,EAt,

易得RtBFB］三RtCMB,：.BM1.B/F,

又：月8犯F〃8_1平面5CG8/,...EF_L平面BCCIBI,

平面BCC,Bt,：.EF±BM,

又,/EFCBiF=F,：.BM1平面///FE,

又；OPu平面4BFE,

：.BM±OP,

:.BM与OP所成的角为90°,

故90°.

5.已知一组数据4,2a,3-a,5,7的平均数为4,则这组数的方差是.

【正确答案】3.6

【分析】先根据这组数据的平均数为4,求得a,再利用方差公式求解.

【详解】因为一组数据4,2a,3-a,5,7的平均数为4,

所以:(4+2a+3-a+5+7)=4,

解得4=1,

所以这组数据为4,2,2,5,7,

所以这组数据的方差为*[(4-4)、(2-4"(2-47+6-力(7-443.6

故3.6

6.已知数列｛““｝中，％=《,+〃，贝

【正确答案】，二叶2

2

【分析】利用累加法求解即可.

【详解】当〃22时，a„-an_t=n-\,

所以%=%+&_/)+0_。2)++(—)=1+1+2++(»-1)="~n+2,

2

又4=1,符合，所以一；+2.

7.对于空间三条直线，有下列四个条件：

①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行,

第三条直线和这两条直线都相交.其中使三条直线共面的充分条件有.

【正确答案】①④

【分析】利用三棱柱与三棱锥，可得判定②、③错误，利用平面的基本性质与推理证明正确

结论①、④正确，即可求解.

【详解】由三棱柱的三条侧棱两两平行，可得②错误；

由三棱锥的三条侧棱，两两相交于一点，可得③错误；

选项①中，如图①所示，由题意可设直线〃I与点力所确定的平面为a,

则再由平面的基本性质，可得直线/、〃也在a内.

选项④中，如图④所示，由题意可设直线w与直线〃所确定的平面为a,

则点力与点8均在平面a内，则再由平面基本性质，可得直线/也在平面a内,

综合可得，①④正确；

故①④.

B/\C

图①图②

8.某单位制作了一个热气球用于广告宣传.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每

分钟上升的高度都是前一分钟的彳，则该气球上升到70米至少要经过分钟.

【正确答案】4

【分析】设热气球在第分钟上升的高度为a“米，分析可知数列｛a,,｝为等比数列，

确定该数列的首项和公比，求出数列｛4｝的前”项和，利用数列｛$“｝的单调性可得出

S3<10<S4,由此可得出结果.

【详解】设热气球在第eN*）分钟上升的高度为对米，

则数列｛。“｝是首项为30,公比为|的等比数列，

经过〃分钟，热气球上升的总高度S“=

则数列电,｝单调递增,

2

因为S=90x=—<70,5=90X1-

43

所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米.

故答案为.4

9.棱长为。的正方体/BCD-4与匕。的8个顶点都在球。的表面上，E,尸分别是棱

DR的中点，则直线EF被球。截得的线段长为

【正确答案】缶

【分析】先求正方体外接球的半径尺再根据过球心。和点尸的大圆的截面图，可得直

线EF被球截得的线段为。R,进而可求解.

【详解】因为正方体内接于球，所以=R=*a，

过球心。和点£,厂的大圆的截面图如图所示，

则直线被球截得的线段为。R,过点。作。尸，QH于点P,

所以在QP。中，QR=2QP=2五a-

故缶

10.某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些

产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86,抽到二等品或三等

品的概率为0.35,则抽到二等品的概率为.

21

【正确答案】0.21##—

【分析】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为48,C,利用互斥事件加法列出方

程组即可求解.

【详解】设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件4B,C

P(/)+P(8)=0.86

则＜加(3)+尸(0=0.35,则P(8)=0.21

P(A)+P(B)+P(C)=\

故021

11.设数列｛《,｝的前”项之积为小且10g",=*则数列｛““｝的前〃项和

S“="

【正确答案】2"-1

【分析】由。的定义求得知,然后由等比数列的前〃项和公式计算.

【详解】因为或F，所以北=2誓，

则q=刀=2°=1,

n(n-l)

n［

〃之2时，an=—=vn=2~9q=1也适合.

〃-122~~

所以。“=2〃，为等比数列，S〃=T=2〃—1.

故2"-L

12.已知数列｛见｝满足％=1,％乜=;~詈~，若不等式二+1+加“恒成立,

2(n+1)(叫+1)〃2n

则实数，的取值范围是

【正确答案】［-9,田)

【分析】根据题意化简得到7~----------=•,利用等差数列的通项公式化简得

。“=一^,把不等式《+，+以,20,转化年—(4+〃)(〃+1)恒成立,结合基本不等式，

即可求解.

【详解】由数列｛%｝满足q=4，％“=：一詈一-(«eN),

2(n+l)(na„+l)

可得［工］------匚=1，且'=2,

所以数列表示首项为2,公差为1的等差数列，

所以」一='+（"1）="+1,所以%=,1,、，

nanax〃（〃+1）

又由3+1+犯,20恒成立，即f2-（4+"）（”+1）对〃©N•恒成立,

nnn

因为―（4辿@+1）=_（〃+3+5）4_（2EZ+5）=-9,

nnvn

当且仅当〃=2时取等号，所以，2-9,

即实数f的取值范围是19,+«)).

二、单选题

13.已知洸、/是两条不同直线，a、夕是两个不同平面，给出下列说法：

①若/垂直于a内两条相交直线，则/，a；

②若wua,/u£且/_1_胴，则a_L〃；

③若/u/,/_La,则

④若加ua,/u£且a///7,则"/相.

其中正确的序号是()

A.①③B.①②③

C.①③④D.②④

【正确答案】A

【分析】根据线面垂直的判定定理，面面的位置关系，面面垂直的判定定理及面面平行的性

质逐项分析即得.

【详解】①若/垂直于a内两条相交直线，根据线面垂直的判定易知/_La,正确；

②若机匚。,/匚£且/_15，则a,£可能相交或平行，错误

③由/u夕，Zia,根据面面垂直的判定有a正确；

④若mua,/u£且a〃/，则〃/加或/，机异面都有可能，错误；

因此正确命题的序号为①③.

故选：A.

14.已知正数数列但“｝为等比数列，公比为4,又瓦为任意正整数，且数列｛a｝严

格递减，则q的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,2)

C.(0,1)(1,2)D.(1,+8)

【正确答案】A

【分析】利用数列的单调性及等比数列的定义，结合对数的运算及对数不等式的解法即可求

解.

【详解】因为数列也｝严格递减，所以b“.i<b„,即log2.<log2«„,即log2卜0,

即Iog2</<0=log21,解得0cq<1,

所以q的取值范围为(o,i).

故选:A.

15.在无穷等比数列｛凡｝中，Iim(q+%++a„)=~,则q的取值范围是()

«->»2

A.(0,1)B.(0,1)(1,1)

C.(-11)D.(-1,0)(0,1)

【正确答案】B

【分析】根据无穷等比数列的极限存在条件及不等式的性质即可求解.

【详解】在无穷等比数列｛见｝中，lim(%+%++a„)=-，得#-=(，1W<1，且夕片°，

“fg2l-qZ

即q=；(l-q),-1<<7<1,且#0,

因为且《工0,所以0<q<l,且qwg,

所以q的取值范围是(0,5)(；」)■

故选：B.

16.已知正方体/8CD-44G。的棱长为26，M,N为体对角线80的三等分点，动点尸

在三角形内，且三角形PA/N的面积5^=半，则点尸的轨迹长度为()

A2娓R276r476口48

9393

【正确答案】B

【分析】先通过位置关系的证明说明N在平面4C片内，然后根据已知条件求解出PN的长

度，根据/W的长度确定出产在平面/cq内的轨迹形状，由此求解出对应的轨迹长度.

【详解】如图所示：

连接8GB\C=O,因为四边形8CC4是正方形，所以8G_L81C,

因为。C_L平面8CG4，46^平面8。。百，所以。

又8G£>,C,=C,,SC,u平面BCQi,D©u平面8CQ,

所以BC，平面8G2,所以片。，。乃，

同理可知：BJ工RB,

又因为与Cu平面,8/u平面/CB|,BCB、A=B、,

所以A8_L平面4CB,,

根据题意可知：D、B=CAB=6,AB、=B、C=AC=2娓,所以/。耳为正三角形，所以

N8/C=60。，

所以5心」x2#x26x3=66，设B到平面/CB1的距离为〃，

'22

因为“B-.CS,=七-谢,所以HCB,=§,S"CB/q,所以S彳空,〃=S"CB,夕片，

所以4“(2佝1〃=毡尹:2五，所以〃=2=；。/，所以h=BN,

所以N即为Of与平面的交点，由题意可知：平面/C8,,所以MNLPN,

所以S.a=-MN-PN=--2-PN=PN=乙6，再如下图所示：

PMN223

在正三角形4C片中，^iAO=ACsin60°=2痴x—=3£,

2

所以内切圆的半径/■=1/0=正＜里，且迎＜20=ZN,

333

取与。的两个三等分点及/，连接EN,FN,所以NE//AB、,NF//AC,

所以是以尸N长度为边长的正三角形，所以P的轨迹是以N为圆心，半径等于小的

3

圆，圆的周长为生叵，

3

在ZCg内部的轨迹是三段圆弧，每一段圆弧的圆心角为60。，所以对应的轨迹长度是圆周

长的一半为2叵，

3

故选：B.

思路点睛：空间中轨迹问题的解答思路：

(1)根据已知条件确定和待求点相关的平行、垂直关系;

(2)通过数量关系定量分析待求点的轨迹的形状；

(3)根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度等其他量.

三、解答题

17.如图，在四棱锥P-48co中，PZ_L底面Z8CZ),四边形Z8C。为正方形，M,N分

别为N8,尸。的中点.

p

(1)求证：MN〃平面尸8C；

(2)若尸4=40,求直线MN与平面PC。所成角.

【正确答案】(1)证明过程见详解

(2)arcsin^^

3

【分析】(1)取尸C中点，构造平行四边形，根据线面平行的判定定理证明即可；

(2)根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值，进而可求得线面角.

【详解】(1)取PC中点为E,连接8E,NE,

因为E,N分别为PC,PO的中点，

所以EN〃CD,EN=-CD.

2

又四边形/8C。为正方形，所以C。〃/8,CD=AB,

又因为〃为48的中点，所以EN〃BM,EN=BM,

所以四边形3MNE为平行四边形，所以MN〃BE,

又BEu平面PBC,MN/平面尸8C,所以MN〃平面P8C.

(2)以点/为坐标原点，AB,AD,4P所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

设|PA\=\AD\=2,则£>(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),M(l,0,0),阳0,1,1),

W=(-1,1,1).PC=(2,2,-2),尸。=(0,2,-2)，

设平面PCD的法向量为m=（x，V，z）,

,令N=l,则，(0,1,1),

m-PD—0

设直线的与平面尸CD所成角为。,

所以直线MN与平面尸。所成角为arcsin显

3

18.在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中

参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人.现从所有参加考试

的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析.

频率/组距

0.005

0.002

0507090110130150数学成绩

（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；

（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学

生数学成绩的平均分；

【正确答案】（1）见解析；（2）92.4

【分析】（1）根据总体的差异性选择分层抽样，再结合抽样比计算出非示范性高中和示范性

高中所抽取的人数；

（2）将每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积所得结果，再全部相加可得出本次测验

全市学生数学成绩的平均分.

【详解】（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，

由题意，从示范性高中抽取100x黑=40人，

从非师范性高中抽取100x翳=60人；

(2)由频率分布直方图估算样本平均分为

(60x0.005+80x0.018+100x0.02+120x0.005+140x0.002)x20=92.4

推测估计本次检测全市学生数学平均分为92.4

本题考查分层抽样以及计算频率分布直方图中的平均数，着重考查学生对几种抽样方法的理

解，以及频率分布直方图中几个样本数字的计算方法，属于基础题.

19.2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇、蓄势待发的一年.突如其来的疫情给世

界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能.某公司一下

属企业从事某种高科技产品的生产.假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投

入生产，到当年年底资金增长了50%,预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求

企业从第一年开始，每年年底上缴资金改2500)万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.

设第〃年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元

(1)判断是否为等比数列？并说明理由：

(2)若企业每年年底上缴资金，=1500,第加(weN*)年年底企业的剩余资金超过21000万

元，求加的最小值.(怆220.3010;lg3»0.4771)

【正确答案】(1)答案见解析；(2)6.

3

(1)由题意得％=5000(1+50%)-/=7500一，6Zn+I=a„(l+50%)-r=-Z,从而得

4,12=3,而当/=2500,即％-2f=0时，所以｛q-Z｝不是等比数列；

an〃〃一2/2

(2)由(1)可知，a“-3000=30001|)，由*=300()g)"i+3000>21000可得>6,

然后利用夕=(,j单调递增，可得答案

【详解】解：(1)由题意得，a,=5000(1+50%)-/=7500-/,

3

《川=%(1+5。％)一/=?。〃一£.

3

当£<2500时，即q—2，=7500—3，>0时，.勺+I—2/二「勺一1二3

a“_2t册一2t2

a

..•｛%-〃｝是以q-2/=7500-3/为首项，1为公比的等比数列.

当f=2500,即《-2/=0时，｛《,-2。不是等比数列

/»-1

(2)当f=1500时，由(1)知，*-3000=3000

3

am=3000(-)™-'+3000>21000,

法一：易知y=(3)单调递增,

81,.3.5243.

又=—<6,(―)=----->6,

16232

-,w>6,

・'•"2的最小值为6

lg6=lg24-lg30.3010+0.47710.7781

法二：'>logs6".42

起一电3-旭20.4771-0.3010~0.1761

2

机26,小的最小值为6.

易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合应用问题，属于难题.解决该问题应该注意的事

项：

(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点：

(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很

容易被忽视的问题；

(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限

制条件的转化.

20.为了求一个棱长为及的正四面体的体积，某同学设计如下解法.

解：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体力。4。为棱长是应的正四面体，且有

/面体=曝方体—匕8TCB,-GTBQ,--^D-ACD,=§匕E方体=§•

图1

（1）类似此解法，如图2,一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为石，V13,

回,求此四面体的体积；

（2）对棱分别相等的四面体N8CZ）中，AB=CD,AC=BD,4）=8C.求证：这个四面体

的四个面都是锐角三角形；

（3）有4条长为2的线段和2条长为〃?的线段，用这6条线段作为棱且长度为加的线段不

相邻，构成一个三棱锥，问〃，为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？

［参考公式：三元均值不等式师4"1二£（《&c>0）及变形”答）（a,6,c>0）,

当且仅当a=b=c时取得等号］

【正确答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）加=延时，三棱锥体积有最大值为竺也.

327

【分析】（1）类比己知条件中的解法，构造一个长方体，求出长方体的棱长，在由长方体的

体积减去四个三棱锥体积即可得到答案；

（2）在四面体中，由已知可得四面体488的四个面为全等三角形，设长方体的长、

宽、高分别为a、b、c,证明△Z8C为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角

三角形；

（3）当2条长为机的线段不在同一个三角形中，写出三棱锥体积的表达式，利用基本不等

式求最值.

【详解】（1）类似地，构造一个长方体Z88-44GA，

设从同一个顶点出发的三条棱的棱长分别为48=x、AD=y.AAt=z,则有:

f+y2=5fx=1

■x2+z2=10,解得：b=2

y2+z2=13[z=3

所以ZiWqo,="氏方体——B-ACB、—〃-M场—%-B、CD1-^D-ACD,

=1x2x3-—x—xlx2x3-—x—xlx2x3-—x—xlx2x3——x—xlx2x3=2

32323232

即此四面体的体积为2.

(2)证明：

在四面体中，因为/8=CZ>,AC=BD,AD=BC,

所以四面体18。的四个面都是全等的三角形,只需证明一个面为锐角三角形即可.

设长方体的长、宽、高分别为Me,则Z82=/+C2,BC2=b2+c2,AC2=a2+b2,

所以AB2+BC2=b2+c2+a2+c2>AC2=a2+b2

BPAB2+BC2>AC2,所以8为锐角；

同理可证：/为锐角，C为锐角，所以△NBC为锐角三角形.

所以这个四面体的四个面都是锐角三角形.

(3)因为长度为加的线段不相邻，所以2条长为朋的线段不在同一个三角形中，如图,

不妨设AD=BC=m,4B=BD=CD=4C=2,取BC的中点E,连接AE,DE,贝AEVBC,DE±BC,

而AECDE=E,...BC，平面则三棱锥的体积忆=；S,

在△/£!）中,NE=DEAD=m9

3

即,”=竽时，三棱锥体积有最大值为挈.

(1)求几何体体积的常用的方法有：①直接法；②等体积法；③补形法；④向量法；

(2)利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等“

①“一正”就是各项必须为正数；②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转

化成定值：要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；③"三相等''是利用基

本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,

这也是最容易发生错误的地方.

21.设数列｛4｝的前〃项和为已知q=l,S„+I-2S„=1(„eN-).

(1)求证：数列｛4｝为等比数列；

(2)若数列也｝满足:4=1,鼠=,+-!-.

①求数列也J的通项公式；

②是否存在正整数〃，使得£々=4-〃成立？若存在，求出所有〃的值；若不存在，请说

/=!

明理由.

【正确答案】(1)数列｛%｝为等比数列，首项为1,公比为2.(2)，=卡，〃=2

【分析】(1)由题设的递推关系式，得到竽=2(«>2),即可证得数列｛对｝为等比数歹IJ.

⑵①由⑴知，*=2"T,化简得2"%-2"一也=1,则数列｛2”%｝是首项为1,公差

为1的等差数列，即可求得〃=品.

②利用乘公比错位相减法，求得北=4-(2〃+4"(!)”，进而得到上2=2"、