2023-2024学年湖南省永州市高三（上）第一次模拟数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省永州市高三(上)第一次模拟数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合A={xeN*|y=K4-尤2},集合B={尤|%2-Y2o},则4nB=()

A.{x|l<x<2}B.{x|0<x<1}C.{0,1,2)D.{1,2}

2.复数z满足i5.z=1+3则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量a=(—1,2),h=(3,-1)，c=(x,1),且0+2至)，高贝反=()

A.2B.1C.0D.-1

4.“函数/Q)=X。在(0,+oo)上单调递减”是“函数g(x)=x4-(a+l)x是偶函数”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.在平面直角坐标系中，过直线2x—y-3=0上一点P作圆0：%2+2x+y2=1的两条切线，切点分别为4

B,则sin44PB的最大值为()

6.已知椭圆C：捻+与=l(a>b>0)的左、右焦点分别是Fi，尸2,点P是椭圆C上位于第一象限的一点，且

PF2与y轴平行，直线Pa与C的另一个交点为Q,若2所=5及@，则C的离心率为()

B.5

A•手D席

7.若数列{4}的前n项和为Sn,2Snan=a^+l(neN*,an>0),则下列结论正确的是()

A・Q2022a2023>1Q2023>V2023

。弓+»2+”・+就（19

C.S2Q23VQ2022

8.已知函数f(x)=3cos(3x+s)(3>0),若f(一》=3,6)=0,在区间(冶,一看)上没有零点，则3的

取值共有()

A.4个B.5个C.6个D.7个

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列关于概率统计说法中正确的是()

A.两个变量x,y的相关系数为r,贝什越小，x与y之间的相关性越弱

B.设随机变量f〜N(2,l),若p(f>3)=p,贝加(1<f<2)=：—p

C.在回归分析中，R2为0.89的模型比产为0.98的模型拟合得更好

D.某人解答10个问题，答对题数为X,X〜8(10,0.8)，则E(X)=8

10.对数的发明是数学史上的重大事件.我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=ax10n(l<a<

10,neZ)的形式，两边取常用对数，则有，gN=n+1ga,现给出部分常用对数值(如下表)，下列结论正确

的是()

真数工2345678910

均x(近似值)0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000

真数%111213141516171819

(近似值)1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279

A.5i°在区间(106,1()7)内

B.35°是15位数

C.若7-5。=ax10m,则?n=-43

D.若血3。(7neN*)是一个35位正整数，则m=14

11.菱形力BCD的边长为a,且nBAD=60。，将△ABC沿BD向上翻折得到△PBD,使二面角P-BD-C的余

弦值为全连接PC,球。与三棱锥P-BCD的6条棱都相切，下列结论正确的是()

A.PO_L平面8co

B.球。的表面积为2兀小

C.球。被三棱锥P-BCD表面截得的截面周长为亨Tia

D.过点。与直线PB,CD所成角均为前勺直线可作4条

12.已知函数/'(%)与g(x)的定义域均为R,/(x4-1)4-g(x-2)=3,f(x-1)-g(-x)=1,且g(-1)=2,

g(x-l)为偶函数，下列结论正确的是()

A.4为f(x)的一个周期B.g(3)=1

CZ跄ff(k)=4045D.£密3g出=2023

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有徒，去永州J)微鞭催马运粮忙J),

数幸福少《乡村振兴唱起来)四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求徵(幸福》与《乡村振兴唱起来

》相邻，则不同的排列种数为(用数字作答).

14.在平行六面体ABC。一中，DA=a,DC=b>西=3P为。。i的中点，过PB的平面a分别与

棱44rCQ交于点E,F,且4E=CF,则而+阮=.(用出b，3表示)

15.若函数/(乃=@：：芈一加,当xe(0,+8)时，/(%)>0,则实数t的取值范围.

16.已知点N(a,2「)(a>0)在抛物线C：y2=2px(0<p<2a)上，F为抛物线C的焦点，圆N与直线x=糊

交于4B两点，与线段NF相交于点R,且|4B|=21§|RF|.若R是线段NF上靠近F的四等分点，则抛物线C的

方程为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知数列｛斯｝是公比q>l的等比数列，前三项和为39,且%,a2+6,%成等差数列.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

G

(力设勾二就二岛西匚但N*),求｛bn｝的前般项和

18.(本小题12.0分)

在AaBC中，设4,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足ccosA-acosC=a+b.

(1)求角C；

(2)若c=5,AABC的内切圆半径r=?,求△ABC的面积.

19.(本小题12.0分)

如图所示，在四棱锥P-力BCC中，底面力BCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且4。=2AB=4,M、N分

别为PD、BC的中点，”在线段PC上，且PC=3PH.

(1)求证：MN〃平面PAB；

(2)当AM1PC时，求平面AMN与平面HMN的夹角的余弦值.

20.(本小题12.0分)

某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品A、B、C,其中A、B、C能通过行业标准检测的概率分别为得，2，

且4B、C是否通过行业标准检测相互独立.

(1)设新品4、B、C通过行业标准检测的品种数为X,求X的分布列；

(2)已知新品4中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025,现从足量的新品4中任意抽取一件进行

检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过71.如果

抽取次数的期望值不超过5,求n的最大值.

参考数据：〜5678

0.97540.904,0975«0.881,0.975=0.859,0.975=0.838,0.975=0.817

21.(本小题12.0分)

已知点4为圆C：%2+丫2-2口H％-6=0上任意一点，点8的坐标为(一，诃,0)，线段AB的垂直平分线与

直线4C交于点O.

(1)求点。的轨迹E的方程；

(2)设轨迹c与x轴分别交于七、4两点(①在公的左侧)，过R(3,0)的直线，与轨迹E交于M、N两点，直线41M

与直线&N的交于P,证明：P在定直线上.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=ln(x+1),g(x)=axex—2Ina+3/n2+3.

(1)当xe(—l,0)U(0,+8)时，求证：竽>_gx+l；

(2)若％W(-1,+8)时，^(%)>/(%),求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由4={x6N*\y=V4-x2}={1,2}，B-{x|x2-x>0]={x\x<。或x>1},

故ACB={1,2}.

故选：D.

求出集合A,B,即可求得答案.

本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由户.z=1+i得i-z=1+i,

1+i

•••z=—,

则z=l+；=l-i,即z在复平面内对应的点为(1,一1),位于第四象限.

故选：D.

根据虚数单位的性质，结合复数的除法运算可求出z,根据复数的儿何意义即可得答案.

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：向量日=(一1,2),另=(3,—1)，c=(x,1)，且0+2尤)，工

•••a+26=(5,0).

A(a+2b)-c=5x=0，

则x=0.

故选：C.

利用向量坐标运算法则、向量垂直的性质直接求解.

本题考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.【答案】B

【解析】解：根据题意，/(%)=%%若函数在(0,+8)上单调递减，则有a<0,

对于g(x)=P-®+l)x中，函数是偶函数，

(g(-%)=(一%)4-(a+1)(一%)

则有，g(%)=%4~(a+1)%,解得：a=—1,

=g(r)

若“函数f(%)=%。在(0,+8)上单调递减”,不一定有“函数g(x)=/-(a+1)%是偶函数”，

反之，若“函数g(x)=P-g+i)x是偶函数”，一定有“函数f(x)=周在(0,+8)上单调递减”；

故“函数/(x)=/在(0,+8)上单调递减”是“函数g(x)=%4-(a+l)x是偶函数”的必要不充分条件.

故选：B.

根据题意，由基函数的性质分析a的值，结合充分必要条件的定义分析可得答案.

本题考查基函数的性质，涉及函数的奇偶性和单调性，属于基础题.

5.【答案】A

V1—sin2a=

所以sinzJlPB=2sinacosa=2漂(一漆)

1-2-0-31_

又圆心C(-l,0)到直线2x-y-3=0的距离为d=

I22+(-1)2

所以|CP|2d=H，所以不妨设t=

J旖(1-潟)=2J2t(l-2t)=21-4(""

则sin乙4PB=2+R/(t)，

又因为f(t)在(0币单调递增，所以当且仅当t=£即|CP|=H，

即当且仅当直线CP垂直已知直线2x-y-3=0时，sin/APB有最大值,

(sin〃PB)max=硝=

故选：A.

由题意圆C：/+2%+y2=1的标准方程为c：(%+1)+y2=2,作出示意图可得sin乙4PB=sin2a=

2sinacsaf又s讥a=圈=所以cosa=V1-siMa=J1—潟p又由圆心到直线的距离可求

出|CP|的最小值，进而求解.

本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属中档题.

6.【答案】B

【解析】解：由PF2与y轴平行，可得：仍?2|=]，不妨设点P(c,1)，

设Q(Xo，yo)，由|PF/=4|&Q|,2两=59，

•29c2/

2(_2c,-£)=5(%o+c,yo>得Xo=_3，y0=-.

代入椭圆方程得：甥+基=1,

结合。2=炉+。2,化简上式可得：e2=^,

所以椭圆的离心率为e=*3，

故选：B.

由PF2与y轴平行，可得：\PF2\,不妨设点P(c,3)，设Q(Xo，yo)，由2AK=5KC，得Q的坐标，代入椭圆

方程化简即可求解.

本题考查了椭圆的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解:令n=1,则2S1%=居+1,即2域=居+1,由an>0，得%=1;

2

当n22时，2Sn(Sn-Sn_i)=(Sn-Sn_1)+1,即累-S£-i=1,又贷=进=1,

故｛Sn｝为首项是1,公差为1的等差数列，则喘=l+n-l=n,

故%=所以当nN2时，an=Sn-Sn_]=

的=1也适合该式，故即=V-n—Vn—1,

对于A，a2022a2023=(V2022-V2021)(72023-V2022)=

V2022+<l^n'2023+7^02?<1'入错俣；

对于B，a2023=V2023-V2022<V2023,B错误；

对于C,S2023=V2023>V2022.C错误；

对于。，当7i22时，(=盍<G+"T=2(C->/-I)，

故3+二+4+…+V1+2(V2—1)+2(V3—V2)+…+2(V100—V99)=14-2(—14-10)=

51X3J100

19,。正确.

故选：D.

根据册，Sn之间的关系可求出Sn=C，进而求得册=，方-「7^1，由此结合大小比较可判断4,BC

利用放缩法，当7122时，可推出"<2（产_JnT）,累加即可判断。.

本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：由题意，在f（x）=3cos（cox+0）（3>0）中，/（-；）=3,/（^）=0,

3cos（—（3+<p）=3|+w=2k机

***'rrf**'TLk],k?WZ,

3cos（2o>+9）=0[-co4-=k2n+-

两式相减得弓3=（卜2-2ki）rc+p

424n2

工3=§（k2—2攵1）+§,，3=可+§,几£2,

—

vXE□ZO）»3>0，

7T7T

*'•（JI）X+9€（—―（JL）-^-（P，——（x）-^-（p）,

Jo

令3X+（p=t,tE（—§a+w，—石w）f

由题意知y=3cost在（一号3+仍—*3+0）上无零点，

・'•（一§3+0,一不3+小）G（--+kn,-+kjf）,fcsZ,

一如+cpN-g+kji

,t•71nJ，kEZ,

-TO）—（p>---kn

v6Z

两式相加，得一*3>—7T,A0<CD<6,

o

丫3=等+|,*当?1=0时，3=|；当n=l时，3=2；当n=2时，3=竽；

当n=3时，3=竽：当n=4时，3=6.

•••3的取值有5个.

故选:B.

根据/（一力=3,凭）=0,可得3=与+|,根据区间（话,一看）上没有零点，可得。<3W6,即可求出3的

取值的个数.

本题考查余弦函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

9.【答案】BD

【解析1解：由题意，A项，两个变量久，y的相关系数|r|越小，x与y之间的相关性越弱，故A错误，

对于8.随机变量§服从正态分布N(2,l),由正态分布概念知若P(f>3)=p,

则P(-l<f<0)=P(2<f<3)=P(g>2)—P(g>3)=2—p,故B正确；

对于C.在回归分析中，R2越接近于1,模型的拟合效果越好，

R2为0.98的模型比R2为0.89的横型拟合的更好，故C错误；

对于D,某人在10次答题中，答对题数为X,X〜B(10,0.8),

则数学期望E(X)=10x0.8=8,故。正确.

故选：BD.

力项，通过相关系数的定义即可得出结论：B项，通过求出P(2<f<3)即可求出P(-l<f<0)的值；C项,

通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好：。项，通过计算即可求出E(x).

本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了相关系数的性质，以及二项分布的期望公式，属于中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解：对于4•••lg5w=1005»6.99,

IglO6=6lgl0=6<6.99,

IglO7=7lgl0=7>6.99,

；・51°在区间(106,1()7)内，故A正确；

对于8,「035。=50匈3223.85,二35°笈1()23.85,

.•.35。是24位数，故B错误；

对于C,lg7To=-5067y-42.25,

771

7-5。a10-42.25,...7-50=axIO,m=_43,故C正确；

Igm30=SOlgm,

m30(meN*)是一个35位正整数，

177

・•・34<301gmV35,・•.记WIgm<

/.1.1267<^771<1.1667,

/.m=14,故。正确.

故选：ACD.

根据=+分别求出各个选项中N的常用对数的值，对照所给常用对数值判断.

本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

11.【答案】AC

【解析】解：在菱形ABC。中，连接4C,贝IJ4C1BD,设4C,BD交于E,如图,

则PEIB。，CE1BD,PECEu平面C8。，

1

即ZPEC为二面角P-BD-C的平面角，即COSNPEC=热

•••4BAD=60。，；.△ABC为正三角形，即4PBD,ACBD为正三角形,

33212

222a22XQX=a

・・・PE=CE=三口，PC=PE+CE-2PE-CEcosZ-PEC2-4-3-

••PC=a,

三棱锥P-BCD是棱长为a的正四面体，

将该四面体补成正方体PHOG-NCMB,四面体的各棱为正万体的面对角线,

则正方体棱长为?a，

•.・球。与三棱锥P-BCO的6条棱相切，则。点即为正方体的中心，

连接PM,则。为正方体体对角线PM的中点，

PNJL平面MBNC,BCu平面MBNC,APN1BC,

•­•BC1MN,PNCiMN=N,二BC上平面PMN,

■:PMu平面PMN,•••BCA.PM,

同理可证BD1PM,BCCBD=B,

：.PM平面BCD,即P。1平面BCD,故A正确；

•••球。与三棱锥P-BCD的6条棱都相切，

・••球。即为正方体PHDG-NCMB的内切球，球的直径为正方体棱长为Ca，

则球半径为华a，•・•球。的表面积为4兀义(0a)2=:7m2,故B错误；

4v472

球。被平面截得的截面圆为正三角形BCD的内切圆，

BC=a,故正三角形BCD的内切圆半径为gx室a=^-a，

・••内切圆周长即为球。被平面截得的截面周长为27rxTa=?兀G

・••球。被三棱锥P-BCD表面截得的截面周长为4x?兀a=殍;ra，故C正确;

连接HM,•••PH〃BM,PH=BM,.•.四边形P/7M8是平行四边形，

PB//HA,■■■HMA.CD,:.PBLCD,

取空间一点S作PB,CD的平行线P'B',CD',如图，

则和P'8',C'。'所成角均为弓的直线即为它们形成的角的角平分线

假设平面a过k且垂直于且垂直于P'B',C'。'所确定的平面，当。绕点S且在a内转动时，

直线I与P'B',C'。'所成角相等，但会变大，大于今

・•.在P'B',C'。’所确定的平面外过点S不存在直线［与P'8',C'。'所成角为全

••・过点。与直线PB,CD所成角均为:的直线可作2条，故。错误.

故选：AC.

利用余弦定理求得P4=a,推导出三棱锥P-BCD为正四面体，进而补成正方体，推导出。点为正方体的中

心，结合线面垂直的判定可判断4求出球。的半径可判断B；求出球。被三棱锥一个侧面所截得的截面的周

长，即可求得球。被三棱锥P-BCD表面截得的截面周长，判断C；根据平行公理以及直线所成角的概念可

判断£>.

本题考查余弦定理、补形法、线面垂直、异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：由于g(x-l)为偶函数，图象关于y轴对称，所以g(x)图象关于％=-1对称，

所以g(x-2)=9(-1+(x-1))=g(-l-(x-1))=g(-x)，

所以f(%+1)+g(x-2)=f(x+1)+g(—x)=3①,

而/(x-1)-g(T)=1②，

两式相加得/"(x-1)+/(x+1)=4,则/'(X)+/(x+2)=4③，

所以f(x+4)=/(%+24-2)=4-/(x+2)=4-(4-/(%))=/(x),

所以4是/(》)的一个周期，力选项正确；

由③令％=1得/(1)+/(3)=4,

由①令x=2得/(2)+g(-1)=/(2)+2=3,/(2)=1,

由②令x=1得/(0)-g(-l)=/(0)-2=l,/(0)=3,则/(4)=f(0)=3,

所以/⑴+f(2)+/(3)+/(4)=8)/(I)+/(2)+f(3)=5,

所以£思:3](£)=2020x8+/(I)+/(2)+/(3)=4040+5=4045,C选项正确;

由①令x=-1得f(0)+g(l)=3+g(l)=3,g(l)=0,

由/'(x+1)+g(x—2)=3,/(x-1)-.g(-x)=1,

得/'(x)+g(x-3)=3,/(x)-g{-x-1)=1,

两式相减得g(x—3)+g(—x—1)=2>即g(x—3)+g[x—1)=2,

且g(x)关于(一2,1)对称，g(—2)=1,

所以g(x)+g(x+2)=2④，

所以g(x+4)=g(x+2+2)=2—g(x+2)=2—(2-g(x))=g(x),

所以g(x)是周期为4的周期函数，所以g(3)=5(-1)=2,所以8选项错误；

由④令x=2得g(2)+g(4)=2,所以g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=4,

由于g(2)=5(-2+4)=g(-2)=1,所以g(l)+g(2)+g(3)=3,

所2跄f9(卜)=竽*4+3=2023,所以D选项正确・

故选：ACD.

根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.

本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】12

【解析】解：由于儆幸福少与，乡村振兴唱起来/相邻，所以两者“捆绑”，

则不同的排列种数为尚朗=12种.

故答案为：12.

利用捆绑求得正确答案.

本题考查排列组合的应用，属于基础题.

14.【答案】\c-2a

【解析】解：根据题意知：EF=AC=AB+AD=DC-DA=b-a>乔=前+丽=一而+；西=

11

西K

+T一

一CQ

-DA-DC2-一2--

・••BP+EF=^c-a—b+b—a=-c—2a.

故答案为：1c-2a.

根据题意得出前=而，然后根据向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义及向量的数乘运算即可

得解.

本题考查了相等向量的定义，向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，向量的数乘运算，考查

了计算能力，是中档题.

15.【答案】©,+8)

【解析】解：依题意，当xe(0,+8)时，/(x)=(e'；；)tx—加工>0恒成立,

EP(etx+2)tx>(x+2)Enx恒成立,

即(/%+2)-lnetx>(x+2)2nx①恒成立,

设9(%)=(%+2)in%,g'(x)=1+-4-Inx,

令九(%)=g'(x)=1+-4-Inx,h(x)=谆

所以九(x)在区间(0,2)上/i'(x)<0,九。)单调递减；

在区间(2,+8)上"(%)>0,九(%)单调递增，

所以八(%)>九(2)=24-Zn2>0,也即g'(%)>0,g(%)在(0,+8)上单调递增，

所以由①得>%,即比>lnx,t>等，

设m(x)=若M(x)=号

所以m(%)在区间(0,e)上?n'(%)>0,zn(x)单调递增；

在区间(e,+8)上MQ)v0,?n(%)单调递减，

所以m(X)<m(e)=~~=

所以t>p即t的取值范围是C，+8).

故答案为：(工,+8).

由f(%)>0进行转化，利用构造函数法，结合多次求导来求得t的取值范围.

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题.

16.【答案】y2=4x

【解析】解：由C：y2=2p%(0vp<2Q)可知尸g,0),

设|NF|=设(t>0),则师|=t,\AB\=2yT5\RF\=2底t.

则|NR|=3t,故9-犷+(粤)2=|NR|2,即(a+)2+(Ct)2=9t20

又点N(a,2，V)(Q>0)在抛物线C：y2=2px(0<p<2a)上，

p

a+-

故|NF|2=4t②，且12=2pa,即pa=6③,

②联立得12小-20ap+3P2=0,得2Q=3P或6a=p,

由于0VpV2a,故2Q=3p,结合pQ=6③，

解得p=2,故抛物线方程为y?=4x.

故答案为：y2=4%.

设|NF|=>0),表示出|RF|=t,|4=2-5/?F|=2/亏匕利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的

弦长的几何性质列出关于a,p的方程，即可求得p,即得答案.

本题考查抛物线的性质，考查利用垂径定理求圆的弦长，找出参数a,p间的等量关系，从而列出方程组，

即可求解，属中档题.

17.【答案】解：⑴由题意得,

(2(。2+6)=Q]+。3

・•・2(a2+6)+a2=39,解得@2=9,

***Q]+Q3=30,

£(1+^)=30'则3q2-10q+3=0,解得q=酱=3，

又q>1,则q=3,

,:Qi3,

故a九=3x3nt=3n；

1ii

(2)由(1)得%=3%则以=iog3a2n.rlog3a2n+1=痴淖F砺丽=(2n-l)(2n+l)

=X击一焉%

故｛%｝的前71项和4t=1(1-|+|-|+-"+一白Q

—2(1_2n+P-2n+l*

【解析】(1)根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得出答案；

(2)由(1)得a=3%则垢=而一—(ne/V*),利用裂项求和法，即可得出答案.

n1，og3a2n-l〔og3a2n+l

本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)在△ABC中，由ccos/—acosC=a+匕得sinCcosA-s讥4cosc=sizM+s讥B,

S^sinCcosA-sinAcosC=sinA+sin(4+C),

故一2si九4cosc=sinA,由于4G(0,TT),・•・sinAW0,

故cosC=-g,而C£(0,7T),故2=：.

(2)由C=:可得c?=a2+h24-ah,而c=5,

故/+川=25—。从贝I](Q+b)2=25+ab,

由△ABC的内切圆半径丁=?,可得+b+c)•r=1absinC,

即华(a+b+5)=华ab，即Q+b=2ab-5,

故(2ab—5)2=25+ab,解得ab=?,

故^ABC的面积S=\absinC=/x=x

224216

【解析】(1)利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可得cosC的值，即可得答案；

(2)利用余弦定理得(^+及=25-ab,配方得(a+=25+ab,再结合△4BC的内切圆半径，利用等面

积法推出a+b=2ab-5,即可求得ab==,从而求得答案.

4

本题考查的知识要点：正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属

于中档题.

19.【答案】解：(1)证明：如图所示:

取AD中点Q,连接MQ,NQ,

M,N分别为PC、BC的中点，且底面力BCD为矩形，

所以MQ〃P4,MQ=gPA,且NQ//力B,

又因为MQu平面MQN,MQC平面P4B,NQcnMQN,NQ<t^PAB,

所以MQ〃平面PAB,且QN〃平面P4B,

又因为MQflNQ=Q,MQu平面MQN,NQu平面MQN,

所以平面MQN〃平面H4B,

因为MNu平面MQN,

所以由面面平行的性质可知MN〃平面P4B

(2)如图所示：

因为侧面P4。为正三角形以及M为P。的中点，所以由等边三角形三线合一得AM1PD,

又因为AMIPC,且PDu面PDC,PCu面PDC,PDnPC=P,

所以力Ml面PDC,又因为CDu面PDC,所以CDJLAM,

又因为底面4BC0为矩形，所以C0J.4D,

因为4Z)nAM=4,AMa^PAD,A。u面PAO,

所以CD_L面PAD,因为PQu面PAD,

所以CC1PQ,义CD//NQ,

所以NQ1PQ,又由三线合一PQd.AD,又AD1NQ,

所以建立上图所示的空间直角坐标系；

因为/W=2AB=4,

所以4(0,-2,0),N(2,0,0),P(0,0,2O),C(2,2,0),D(0,2,0),

又因为M为PD的中点，PC=3PH,

所以M(0,l，C(|,|,苧)，

所以初=(0,—3,一＜3)，而=(2,—1,一＜3)，丽=(|,-g,?),

不妨设平面4MN与平面HMN的法向量分别为元=(刈邛〜),布=(x2,y2,z2),

所以有叵丝二°,即［一3旷1-1"°,令％=1,可得汨

由但•亚=°,即辟-石+92=。，令“I,可得布=(i,2,0),

定力/=0(2x2-y2-＜3z2=0

不妨设平面AMN与平面HMN的夹角为仇

八.ny-nj..-1X1+1X2-口x0.1

所以皿"।而面।=1㈠…口可―22+M=M

综上所述：平面4MN与平面HMN的夹角的余弦值为土

【解析】(1)取AD中点Q,连接MQ,NQ,要证MN〃平面P4B,只需平面MQN〃平面P4B,结合已知条件

即可得证.

(2)当4M1PC时并结合已知条件即可建立如图所示坐标系，根据AD=2AB=4以及中点关系、PC=3PH即

可写出各个点的坐标，进而求出法向量即可求解.

本题考查空间中平行关系的证明，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解

能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)易知X的所有可能取值为0,1,2,3,

此时P(X=0)=9/盍=嬴

n”411,16111919

P(X=l)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=—

nzv461,419,16911457

P(X=2)=-x-x-+gX-x-+-x-x-=—175)

「疗_4、_4乂69_216108

175；

则X的分布列为:

X0123

119108

P(X)57

350350175175

(2)不妨设抽取第k(l<k<n-l,n>2)次时取到优质产品，

此时对应的概率为P(k)=0.025x(0.975)k-i,

而第n次抽到优质产品的概率为P(n)=(0.975)/1,

则E(n)=跻;k-P(k)]+nP(n)=0.025xk-(0.975/-1]+“0.975尸=0.025x[1+2x

0.975+•••+(n-1)x(0.975尸-2]+n(0.975)n-1,

又0.975-E(n)=0.025x[1x0.975+••■+(n-2)x(0.975)n-2+(n-1)x(0.975)n-1]+n(0.975)n,

两式相减得0.025-E(n)=0.025x[1+0.975+…+(0.975)n-2-(n-1)x(0.975)"-1]+0.025X

n(0.975)f

所以E(n)=早需:=40[l-(0.975),]，

因为E(n)<5,

所以40[l-(0.975)n]<5,

即(0.975严>0,875,

因为当n=5时，0.975S=0.881>0.875,

所以当n=6时,有0.9756=0.859<0.875,

综上所述：n的最大值为5.

【解析】(1)由题意，先得到X的所有可能取值，求出相对于的概率，进而可列出分布列；

(2)不妨设抽取第k(l<kWn-1)次时取到优质产品，此时对应的概率为P(k)=0.025x(0.975)1-1,而第

n次抽到优质产品的概率为P(n)=(0.975尸t,得到抽取次数的期望值E(n)的表达式，对其求和并结合

E(n)<5以及参考数据即可求解.

本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力.

21.【答案】解：(1)由。；/+丫2—2V10x—6=0得C：(x-710)2+y2=16,其半径为4,

因为线段4B的垂直平分线与直线4c交于点D,

故|DB|=\DA\,贝IJ|DC|-|DB|=\DC\-\DA\=AC\=4,而|BC|=8>4,

故点。的轨迹E为以B,C为焦点的双曲线，则2a=4,a=2,2c=c=CU，

.­.b2=c2-a2=6,故点。的轨迹E的方程为史一比=1；

46

(2)证明：由题意知&(-2,0),&(2,0),

若直线I斜率为0,则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意;

故直线1的斜率不能为0,设其方程为x=ty+3,

x=ty+3

联立身_尤_/得(3尸-2)y2+18ty+15=0,

.T-T-1

A=144t2+120>0,

设M(%i，yi),/V(x2,y2),故丫1+%=^^，

则直线41M的方程为y=岛。+2)=券(％+2),

直线4N的方程为y=刍。-2)=急yO-2),