四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二年级上册入学联考数学试题

2023〜2024学年度上期高中2022级入学联考

数学

考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填

写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后

再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域

答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.复数z=（2-3i）（l+2i）,则1的虚部为（）

A.-1B.1C.-iD.i

2.已知根，〃是非零向量，则■〃是机•〃=（）的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知偶函数/（X）在（-8,0］上单调递减，则下列结论正确的是（）

A./（-1）＞/（5）＞/（2）B./（2）＞/（-1）＞/（5）

C.〃-1）＞/（2）＞/⑸D./（5）＞/（2）＞/（-1）

4.设"BC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,已知B=生力=12,c=60,则。=（）

4

717T〃-5〃〃32乃

A.B.C.二或二D.一或一

66633

5.己知。，尸是空间中两个不同的平面，加，〃是空间中两条不同的直线，下列说法正确的是（）

A.若a_1_/?,mJL/，则m//a

B.若加〃a,〃〃a,a〃夕，则［%〃〃

C.若ml0,m〃n,nua,则a_L尸

D.若m＞a,n〃da1（3,则“

6.某中学校园内有一水塔，小明同学为了测量水塔的高度，在水塔底的正东方向的A处测得塔顶的仰角为30。,

在水塔底的南偏西6()。方向的B处测得塔顶的仰角为45。，已知AB=91m,则水塔的高度为()

A.13V7mB.7\/13mC.125mD.8>/i3m

7.在四棱锥P-ABCD中，P£>J_平面A8QD,四边形ABCD为菱形，PD=AB,NZM5=60°,点E

为尸。的中点，则异面直线CE与P3所成角的余弦值为()

2V5V10Vio26

A.B.c.---D.一一—

5丁55

sin50oVl-cos80°

8.的值为()

由coslO。

V6c亚D.逅

A.B.旦

3462

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.若集合4=卜卬-3=0},3={%*一2%-3=0},且4三5,则实数a的取值为()

A.0B.1C.3D.-3

10.已知机H-2sinx,6sinx),〃=(sinx,2cosX),函数/(%)=力〃+1,则下列结论正确的是()

A.函数/(力的初相是:

JT

B.x=j是函数/(x)图象的一条对称轴

C.是函数“X)图象的对称中心

rr

D.函数/(x)的图象向左平移2个单位后关于y轴对称

JTTT

11.如图，在四面体ABCD中，平面ABC，平面BCD,ZABC=/BCD=-,ZCBD=-,AB=BD=2,

则下列结论正确的是()

J

A.四面体ABC。的体积为GB.ABVCD

/yr87r

C.二面角A—CD—3的余弦值为X—D.四面体ABC。外接球的体积为一

3

12.设△ABC的内角A,民C的对边分别为。，4c,则下列结论正确的是()

A.若sinA>sinB,则

B.若，=屈,。=:，则AABC外接圆的半径为典

__Q

C.若Q=2,Z?=3,c=,则AC,8C=—

2

D.若qsinA+bsiaB〉csinC,则△ABC为锐角三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/(x)=,+L]>0,若〃a)=2,则。=____

x~—x,xK0

14.E!^Dee[o,'),l+cos2e=2sin2e,则cos6=.

15.已知等腰直角三角形的斜边长为2cm,以该三角形的一直角边所在的直线为旋转轴将该三角形旋转一周,

所得的旋转体的侧面积为cm2.

12

16.在八48。中，已知区4・8。=一。4・。8+—4。-48,则12e的最大值为_____.

33

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知加=(1,—=(1,2).

(1)加+2几与〃一m的夹角为6,求6；

(2)若左〃一机与机+2〃垂直，求左.

18.（12分）如图，在斜三棱柱ABC—45G中，AB，AG，A4,=48,"为BQi的中点.

（1）证明：AG〃平面A8"；

（2）证明：平面A5|C1_L平面ABC.

19.（12分）如图，在四边形ABCD中，ZDA6与/DCB互补，A3=6,3C=4,Cr>=4,AZ）=2.

(1)求AC；

(2)求四边形A5CD的面积.

71

20.(12分)已知函数/(x)=6sin(2x+1^—2sin2一+X

4

（1）求函数/（x）的最小正周期和图象的对称轴方程;

,使得不等式〃Xo）W-3成立，求cos|2x0/

（2）若存在与eR

cosAsinA

21.（12分）已知ZVIBC的内角A8,C的对边分别为a,b,c,

sinA+sinCcosA+cosC

57r

⑴若C=4求角A；

3b—c

(2)求^——的取值范围.

a

22.(12分)图①是由矩形ABC。和梯形A5所组成的一个平面图形，其中BE=石尸=2,A尸=4,

BE//AF,ZBEF=90°,AB=2BC,点G为。。边上一点，且满足阳=九(0</1<1),现将其沿着43折

凶

起使得平面ABCDJ_平面ABE尸，如图②.

(1)在图②中，当X=’时，

2

(i)证明：AG_L平面BFG；

(ii)求直线4G与平面EFG所成角的正弦值；

(2)在图②中，记直线AG与平面ERG所成角为耳，平面ABG与平面EFG的夹角为打，是否存在X使得

4=心？若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.

2023〜2024学年度上期高中2022级入学联考

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

12345678

ACDACABC

1.解：由题意得：z=8+i,则1=8-i,故选A.

2.解：当相，〃是非零向量时，_1_几="2•〃=0,故选C.

3.解：由于函数“X)为偶函数，故〃5)=/(—5)J(2)=/(—2),且/(x)在(―8,0］上单调递减，所以

/(-5)>/(-2)>/(-1),即/⑸>〃2)>/(—1),故选D.

bC126A/2Lt.—1「.ri—兀

4.解：由正弦定理得:----=-----,即nrI------=-----,则smC=—.又c〈b,则。=一,故选A.

sinBsinC-乃sinC26

scin

4

6.解：如图：设水塔高为〃，则AC=®,3C=〃，则在zMBC中，912=/J2+(V3/?)2-2X/IX

J5/ZXCOS150。，化简得：9俨=7/*g|J/z=13V7m,故选A.

7.解：如图，连接AC,8。交于点。，连接E0,则NCEO(补角)是异面直线CE与依所成角.设

PD=AB=2a,在△EOC中，EO=®,0C=,EC=y5a,AE0C为直角三角形,则

cos/CEO=平，故选B.

sin50W-cos80。忘皿50。与1140。=拒sin80。=瓜

8.解：由题意得:故选c.

6cos100V3cosl0°-2&COS10°-6

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9101112

ABDACDBCAC

9.解：B={—1,3},又A=当A=0,则a=0,当4={—1},则a=-3,当4={3},则a=l.故

选ABD.

10.解：由题意得：f(A:)=-2sin2x+2V3sinxcosx+1,f(x)=2sin|2x+•卜

易知函数/(x)的初相是?不是对称轴，是其中一个对称中心，

对于D选项：y=2sin2|%+—^+―=2sinf2x+—=2cos2x为偶函数.

LI6j6jI2)

故选ACD.

11.平面ABCJ_平面5CDZBCD=—,故CDJ_平面ABC,则COLAB,

2

=15AfiCD，/1=|X1X1X^/3x2=-y-,A不正确,B正确；

/IT

二面角A—CD—3的平面角是NACB,易得cosNAC8=J,C正确；

7

AO

易得外接球的半径R=夜，故丫=耳万(、6)3='—乃，D错误.故选BC.

12.解：由正弦定理sinA>sinB,则A>3,A正确；

由正弦定理2/?=三=半得，R=胆，B错误；

smCV33

T

113

由余弦定理cosC=—,AC,CB=2x3x—=—,C正确；

442

由正弦定理asinA+OsinBAcsinC,则/。为锐角，但八45。不一定为锐角三角形，D错误.

故选AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.-114.15.2血兀

V14

16.--

2

..1.-2.―-19

解：由8A•8C=-CAC3+—A。A8得〃CCOS8=-Q0COSC+—OccosA,

3333

即3QCCOSJB=abcosC+2/?ccosA,

_,.„,a1+C1-b1.a2+h2-c2_.h2+c2-a2

又由余弦定理Z得B：3ac--------------=ab---------------+2bc--------------，

lac2ah2bc

化简得：2a2+。2=3必，

222a2+c2

222a+C22

na+c-b----3-a+2c2®c0

2ac2ac6ac6ac3

cosB有最小值，8为锐角，故tanB有最大值，最大值为丫

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）解：（1）m+2n=（3,3）,/?—m=（0,3）＞

（机+2〃）•（〃一机）=9,|加+2“=3及,卜一加|=3,cos6=---亍）当

jr

又ee[o,乃],二。=1；

（2）-m=（1-1,2k+1）,加+2〃=（3,3）,

左〃一加与加+2〃垂直，二（左〃一〃4•（加+2nj=0,

即3（左一1）+3（2左+1）=0,得k=0.

18.（12分）解：（1）证明：设4B与A片交于点。，连接OM,如图,

在斜三棱柱ABC—48cl中，四边形ABgA是平行四边形，则点。为的中点,

,点。为AB1的中点，点〃为gG的中点，.•.OM〃AC「

OMu平面ABM,AG。平面AG〃平面ABM；

（2）证明：A4,=AB,.•.四边形AB04是菱形，,AB_L,

又AB_LAG,A810=A,,A3_L平面ABtC,,

又A6u平面ABC,.•.平面AgGJ_平面ABC.

19.（12分）解：（1）连接AC,如图，

NZMB与NDC3互补，ZADC与NABC互补,

在AADC中，AC2=AD2+CD2-2ADCD-cosZADC，

即AC?=4+16—2x2x4xcosZAOC,得cosNA4c=20一4C

16

在AABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC,

5?_

即=36+16-2X6X4XcosZABC,得cosZABC=

48

又ZADC与NABC互补，cosZADC+cosZABC=0,故AC=2不；

iRi

(2)由(1)得cosZAOC=——sinZADC=——,SAADr=—AD-CD-sinZAPC=2A/3,

222

iCi

由(1)得cosNABC=—,，sinNA8C=",SAAfir=-ABBC-sinZAfiC=673,

222

四边形

S4BCD=5AAsc+S“C£)=8G.

/(x)=V3sin(2x+9-2sin2(71

20.(12分)解：(1)-----FX

4

/(x)=V§cos2x+cos(2x+/J一1,

f(x)=V3cos2x-sin2x-1,/(x)=2c，OS12.X4—j—1)

••J（x）的最小正周期为乃,

又2%+工=^,%=--—GZ,/.对称轴方程为X=/一2,女GZ;

6212212

JT1T

则2/H—=2k兀+",攵£Z,故2%----=2ATTH------，攵£Z,

663

COS/Ac1pA

21.(12分)解：(1)・・・--------------=---------------，...cos(A+C)=—cos2A,

sinA+sinCcosA+cosC

/.cos(>T-B)=一COS2A,cosB=cos2A,

0<B<7r,0<2A<2小5=2A或5+2A=2万，

又0cA+3〈肛0v2A+Bv2),故6=2A,

<<a

A+B+C=^,C=3A+—=^,得A=上；

141414

、,L»±E，日3b-c3sinB-sinC3sin2A-sm(^-3A)3b-c3sin2A-sin3A

(z2)由正弦定理得：-----=-------------=------------*L------Ln即n-----

asinAsinAasinA

3b-c6sinAcosA一(sin2AcosA+cos2AsiFL4)

asinA

=6cosA-2cos2A-cos2A,

=Teos2A+6cosA+1,

/A3丫13

=-4cosA——+—，

I4j4

又二A+8+C=;r,B=2A,:.C=n—3A>0,

,八人乃・1人i.3b-c(13

..0<A<—,..—<cosA<1,..-------w3,—

32aI4

22.(12分)解：(1)当4二一时，即点G为。。的中点,

2

(i)证明：由题意得：A3=20,3C=后，则AG=