第五章数列专题3数列中的不等式能成立证明 （含解析） 2024年高考数学二轮复习（新高考新教材）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题3

数列中的不等式能成立的证明问题1．等差数列中，，的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)证明：对任意正数k，均存在使得成立．通过不等式的性质，结合数列中n为正整数的特殊性，将目标不等式的证明转化成一个更强的不等式证明，通过取整数从而推出不等式成立.（1）设数列的公差为d，于是，因为，所以，所以，解得，则；（2），，考虑，即，即，由于，则时，，且，结合上述不等式得，整理得，任取整数，则，原不等式成立，于是对于任意正数k，均存在使得成立．2．已知正项数列的前项和为，且.(1)求；(2)设，数列的前项和为，证明：.3．已知数列的前项和为，，是与的等差中项．(1)求的通项公式；(2)设，若数列是递增数列，求的取值范围．(3)设，且数列的前项和为，求证：．通过不断的等价转化将目标不等式，而当时，（*）左边，又时，，从而使原不等式得以证明.由（1）知，∴，而（*）当时，（*）左边，又时，∴对于任意正整数k，当n满足，且时，（*）成立，故原式成立4．已知数列，满足，，，，．(1)求出数列，的通项公式．(2)证明：对任意的，．5．设数列满足，．(1)若，令，求数列的通项公式；(2)若，问：是否存在实数c，使得对所有成立？证明你的结论．能成立的问题本质上就是要找到符合要求的一组正例，通过构造正例，逐条去验证题目所需的要求，就可以证明该问题.由（1）得：，∴当时，则，∴即令，对，取且（为k取整，则），此时∴6．已知数列满足，，证明：．7．数列中，，对任意正整数n都有.(1)求的通项公式；(2)设的前项和为，证明：①；②.8．已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，．(1)证明：是等比数列；(2)证明：；(3)设数列满足：．证明：．9．已知函数，数列的第一项，后面各项按如下方式取定：曲线在点处的切线与经过和两点的直线平行（如图）．证明：

(1)．(2)．10．已知数列满足，.(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.11．已知等比数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；(3)记，求证：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由等差数列的性质将变形为，结合即可算出公差，从而即可求解.（2）结合等比数列前n项和公式以及的通项公式，去分析不等式成立的必要条件为，从而取即可证明.【详解】（1）设数列的公差为d，于是，因为，所以，所以，解得，则.（2）由（1）可知，所以，，考虑，即，即，由于，则时，，且，结合上述不等式得，整理得，任取整数，则，原不等式成立，于是对于任意正数k，均存在使得成立．2．(1)(2)证明见解析【分析】（1）首先根据，，变形证明数列是等差数列，即可求通项公式；（2）首先根据（1）的结果，，再利用放缩法得，最后再求和，即可证明不等式.【详解】（1）当时，，即，由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为1，公差为1的等差数列，即，则，当时，，当时，成立，所以（2）由（1）可知，，则，当时，，成立，，成立，当时，，即.综上可知，，得证.3．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据等差中项定义、与关系可证得数列为等比数列，结合等比数列通项公式可推导得到；（2）根据数列单调性可得，分别在为偶数和为奇数的情况下，采用分离变量的方式确定的取值范围；（3）根据通项公式可推导得到，借此不等式进行放缩可得到，由此可得结论.【详解】（1）是与的等差中项，；当时，，又，；当且时，，，，又，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，.（2）由（1）得：，数列为递增数列，；①当为偶数时，，设，，数列为递减数列，当时，，；②当为奇数时，，由①知：数列为递减数列，则数列为递增数列，当时，，；综上所述：的取值范围为.（3）由（1）得：，，，，，【点睛】关键点点睛：本题重点考查了数列单调性的应用、数列与不等式综合应用的相关知识；本题证明不等式的关键是根据数列通项公式的形式进行等比形式的放缩，进而利用构造出关于的不等关系.4．(1)，(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得，即是首项为1，公差为3的等差数列，可求出，进而求出；（2）设数列的前项和为，由错位相减法求出，只要证明时，即可.【详解】（1）因为，，，∴，，又∵，，∴∴．∴是首项为1，公差为3的等差数列．∴，．（2）设数列的前项和为，∵①②②得：，所以，，则，当时，∴．5．(1)(2)存在，证明见解析【分析】（1）根据题意，将递推关系式化简可得是首项为，公差为2的等差数列，然后由等差数列的通项公式即可得到结果；（2）根据题意，先假设存在，然后根据条件可得，从而求得.【详解】（1）由题意，．所以，即．又因为，所以是首项为，公差为2的等差数列．因此．故．（2）由题意，，，知．假设存在实数c，使得对所有成立，则．所以，即，得．由，得．所以．故存在实数，使得对所有成立．6．证明见解析【分析】运用放缩法可得，再结合累乘法可证得结果.【详解】证明：由及糖水不等式可得．所以当时，，又因为，，所以对一切成立．7．(1)(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据题意化简得，得到数列为等比数列，进而求得数列的通项公式；（2）①易得；②由①得，设，利用乘公比错位相减法求得，即可求解.【详解】（1）解：因为，所以，即，又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，从而，则.（2）①因为，所以；②由①得，设，则，两式相减得，即，从而，故.8．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据等比数列的定义，结合递推公式，即可证明；（2）根据条件求和，再代入不等式，利用作差法，即可化简证明；（3）根据数列的通项公式，分别求奇数项和偶数项的和，再分别利用裂项相消法和错位相减法求和，即可证明.【详解】（1）由，得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，．（2）设等差数列的公差为，，得，所以，，，，，得证．（3）当n为奇数时，，，当n为偶数时，，，设，，两式相减得得，所以，所以．9．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义与两点斜率公式即可证明；（2）根据（1）的结论及二次函数的单调性可得，累乘可证不等式左侧成立，再令可得，累乘得，即证得结果.【详解】（1）由题意可得：，∴曲线在点处切线的斜率．又∵过和两点的直线斜率是，且曲线在点处的切线与经过和两点的直线平行，∴．（2）∵函数在时单调递增，而，∴，即．因此累乘可得．又，令，则．∵，∴累乘可得，∴，即．10．(1)数列成等比数列，证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）推导出，得到结论；（2）先得到，，从而得到，令，得到函数单调递增，且由特殊点函数值得到，，求出，当时，利用裂项相消法求和，得到.【详解】（1）数列成等比数列，证明如下：根据得，；，，，即数列成等比数列.（2）由（1）得，，，故，由，得.令，当时，单调递增，且，故，，，，，当时，，综上，知11．(1)(2)(3)详见解析.【分析】（1）根据和的关系即可求解；（2）根据等差数列前项和公式求出代入化简即可解决；（3）求出，进行适当放缩后用裂项相消求和解决.【详解】（1