专题18 数列（解答题压轴题）试题含解析

专题18数列（解答题压轴题） 1②数列中的恒成立（能成立）问题 5 7 1112023·江苏徐州·校考模拟预测）已知数列{an}的前n项和为Sn，且=an+1，a2=2.(1)求数列{an}的通项公式；2n}，将集合A的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为Tn，求Tn.22023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1，其前n项和为Sn，从n1nnn1(n已知，并解答下列问题.(1)求数列{an}的通项公式；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.32023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列{an}满足2=an+1，其中Sn是数列{an}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式；n11<λ恒成立，求实数λ的取值范围.42023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知数列{an}的前n项和为2nn+2neN*.(1)求数列{an}的通项公式；n}的前100项的和M100.52023·湖南郴州·统考模拟预测）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1,a2a3a4=64，数neN*.(1)求数列{an},{bn}的通项公式；n(2bn+1)，求数列{cn}的前2n项和T2n.2n1，求数列{bn}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求使得不等式Sn>2023成立的n的最小值.an 2nan 2n.2n(1)求数列{an}的通项公式； .2n，证明：Sn< .282023·福建三明·统考三模）已知数列{an(1)求数列{an}的通项公式；n92023·湖北武汉·统考模拟预测）已知Sn是数列{an}的前n项和，2Sn=nan，a2=3.(1)求数列{an}的通项公式；n16an,求数列{bn}的前n项和Tn.102023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列{an}的首项a1=，an+1=，neN*.(1)设bn=，求数列{bn}的通项公式；(2)在bk与bk+1（其中keN*）之间插入2k个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{cn}.记Sn为数列{cn}的前n项和，求S36.112023·山东泰安·统考模拟预测）已知数列{an}是递增的等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，{bn}的前n项和为Sn，且a2,a6,a14成等比数列，S3=b4一1，b2,122023·河北·统考模拟预测）已知数列{an}的前n项和为Sn，且=.(1)证明：数列{an}是等差数列；(2)若a2+1，a3+1，a5成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列{bn}的前n项和Tn.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）n②数列中的恒成立（能成立）问题12023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每2,12,22,32,n2,12,22,32,n3,13,23,33,13,23,3(1)设bn=an,n，求数列{bn}的通项公式；n,1，是否存在实数λ,使an,1<λSn恒成立，若存在，求出λ的所有值，若不存在，请说明理由.22023·河北·统考模拟预测）已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)在曲线x2一2x+y=0上.(1)证明：数列{an}为等差数列；(2)若bn=(1)nan，数列{bn}的前n项和Tn满足mTn2<Tn对一切正整数n恒成立，求实数m的值.32023·云南·校联考模拟预测）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=2Sn+2n+1，neN*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=，{bn}的前n项和为Tn，若对任意的正整数n，不等式Tn>m2+7恒成立，求实数m的取值范围.42023·浙江·二模）记Sn为正数列{an}的前n项和，已知{Sn_an}是等差数列.(1)求0；(2)求最小的正整数m，使得存在数列{an}，Sm_a>2.52023·上海徐汇·统考一模）对于数列{xn}，{yn}，其中yneZ，对任意正整数n都有xn_yn<，则称数列{yn}为数列{xn}的“接近数列”.已知{bn}为数列{an}的“接近数列”，且An=ain 14(1)若an=n 14（n是正整数），求b1，b2，b3，b4的值；3(2)若32（n是正整数），是否存在k（k是正整数），使得Ak<Bk，如果存在，请求出k的最小值，如果不存在，请说明理由；(3)若{an}为无穷等差数列，公差为d，求证：数列{bn}为等差数列的充要条件是d=Z.62023·四川雅安·统考模拟预测）给出以下条件：①a2，a3+2，a6+4成等比数列；②S2，a6，S4+4成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，.(1)求{an}的通项公式；(2)令〈〉是以2为首项，2为公比的等比数列，数列{bn}的前n项和为Tn．若n=N*，λ(Tn+2n+2-4)>8Sn-26an，求实数λ的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.12023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）设y=f(x)是定义域为R的函数，如果对任意的x1、x2=R(x12),f(x1)-f(x2)<x1-x2均成立，则称y=f(x)是“平缓函数”.(1)若f1(x)=,f2(x)=sinx，试判断y=f1(x)和y=f2(x)是否为“平缓函数”?并说明理由;(参考公式:x>0时，sinx<x恒成立)(2)若函数y=f(x)是“平缓函数”，且y=f(x)是以1为周期的周期函数，证明:对任意的x1、x2eR，均有f(x1)-f(x2)<;(3)设y=g(x)为定义在R上函数，且存在正常数A>1使得函数y=A.g(x)为“平缓函数”.现定义数列n22023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）设函数f(x)=ln(x+1)，g(x)=.n(2)设meZ．若对任意x>0均有f(x)>mg(x)-1成立，求m的最大值；(3)是否存在正整数t使得对任意neN，n之t，都有f(n-t)<n-g(k)成立?若存在，求t的最小可能值；若不存在，说明理由.32023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）已知f(x)=lnx+，g(x)=f(x)-x.(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)容易证明f(x)>1对任意的x>1都成立，若点M的坐标为(1,1)，P、Q为函数y=f(x)图像上横坐标均大于1的不同两点，试证明：ZPMQ<30。；42023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考阶段练习）已知函数f(x)=eax,aeR.(1)令g(x)=，讨论g(x)的单调性；,neN*；(3)若a=1，对于任意的m,neR，不等式2)+bf(lnn).f(m)+2>0恒成立，求实数b的取值范围.f(x)52023·全国·高三专题练习）若函数y=f(x)是其f(x)x是I上的严格减函数，则称y=f(x)是I上的“弱增函数”.若数列{an}是严格增数列，而〈〉是严格减数列，则称n}是“弱增数列”.(1)判断函数y=lnx是否为(e,+伪)上的“弱增函数”，并说明理由（其中e是自然对数的底数）；(2)已知函数y=f(x)与函数y=-2x2-4x-8的图像关于坐标原点对称，若y=f(x)是[m,n]上的“弱增函数”，求n-m的最大值；(3)已知等差数列{an}是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记{an}的前n项和为Sn，设Tn=(n是正整数，常数λ之一2)，若存在正整数k和m，使得k>m>1且Tk=Tm，求λ所有可能的值.62023·上海杨浦·统考一模）已知函数fn(x)=xn+x+a，其中n为正整数，a<0且为常数.(1)求函数y=f4(x)的单调增区间；(2)若对于任意n，函数y=fn(x)，在,1内均存在唯一零点，求a的取值范围；(3)设xn是函数y=fn(x)大于0的零点，其构成数列{xn}．问：是否存在实数a使得{xn}中的部分项：xn1，.xnk...其中i<j时，ni<nj）构成一个无穷等比数列{an}若存在；求出a；若不存在请说明理由.72023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}公差为d(d产0)，前n项和为Sn.、a13成等比数列，且存在正整数p、q(p产q)，使得与均为整数，求ap+q的值；2x+2x+1,证明对任意的等差数列{an}，不等式ai.f(ai)之0恒成立.12023·湖南·校联考模拟预测）一部电视连续剧共有n+1(n10)集，某同学看了第一集后，被该电视剧的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：从看完第一集后的第一天算起，把余下的n集电视剧随机分配在2n天内；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知这部电视剧最精彩的部分在第n集，设该同学观看第一集后的第X天观看该集.(1)求X的分布列；(2)证明：最有可能在第(2n-2)天观看最精彩的第n集.22023春·河北唐山·高二校考期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1=1,p2=0.②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小.32023·全国·高三专题练习）小明进行射击练习，他第一次射击中靶的概率为0.7，从第二次射击开始，若前一次中靶，则该次射击中靶的概率为0.9，否则中靶概率为0.7.(1)求小明射击3次恰有2次中靶的概率；(2)①分别求小明第2次，第3次中靶的概率.②求小明第n次中靶的概率.342023·全国·高三专题练习）学校篮球队30名同学按照1，2，ⅆ,30号站成一列做传球投篮练习，篮球3首先由1号传出，训练规则要求：第m(1<m<28,m=N)号同学得到球后传给m+1号同学的概率为2，传给m+2号同学的概率为，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为，30号同学投篮命中的概率为，设传球传到第n(2<n<30,neN)号的概率为Pn.(1)求P4的值；(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小.52023·全国·高三专题练习）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值x同一组中的数据用该组区间的中点值代表）(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2)，经计算1）中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率若随机变量X~N(μ,σ2)，则P(μ-σ<X<μ+σ)~0.6827，P(μ-2σ<X<μ+2σ)~0.9545，P(μ-3σ<X<μ+3σ)~0.9973)(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第n(1<n<14)格的概率为Pn，试证明{Pn+1-Pn}是等比数列，并求P15（获胜的概率）的值.62023·全国·高三专题练习）2022年4月23日是第27个“世界读书日”，某校组织“读书使青春展翅，知识让生命飞翔”主题知识竞赛，规定参赛同学每答对一题得2分，答错得1分，不限制答题次数.已知小明能正确回答每题的概率都为，且每次回答问题是相互独立的，记小明得n分的概率为p(n)，neN*.(1)求p(2)，p(3)的值；(2)求p(n).72023春·浙江宁波·高二校联考期末）某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.(1)当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的分布列和数学期望；(2)若累计得分为i的概率为pi(i=1,2,...,9)，初始分数为0分，记p0=1（ii）求活动参与者得到纪念品的概率.82023·全国·高三专题练习）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第k(k=1,2,…,100)个箱子中有k个数学题，100一k个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品.(1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p，答对每一个物理题的概率为q.①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；②已知p+q=1，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p、q的值.(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率.专题18数列（解答题压轴题） 1②数列中的恒成立（能成立）问题 11 17 2812023·江苏徐州·校考模拟预测）已知数列{an}的前n项和为Sn，且=an+1，a2=2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)集合A={a1,a2,…,an}，将集合A的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为Tn，求Tn.n1），n，n综上，an=n对任意nEN*都成立.,a2n其中最小元素为1的集合中，含1个元素的集合有1个，含2个元素的集合有C一1个，n2个，n1n2Tnn222023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1，其前n项和为Sn，从n已知，并解答下列问题.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=，设数列{bn}的前n项和Tn，求证：<Tn<1.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.(2)证明见解析.n之2)，因此数列{an}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列，即有a2a1=2a1=2，因此vneN*，an+1an=2，即数列{an}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列，Sn1n1，{}是以1为首项，1为公差的等差数列，n2，32023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列{an}满足2=an+1，其中Sn是数列{an}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若对任意n=N+，且当n>2时，总有+++...+<λ恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)an=2n-12n-an-1-2)=0，nn-1n-an-1-2=0，∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，（2）因为an=2n-1，所以Sn==n242023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知数列{an}的前n项和为n=**).(1)求数列{an}的通项公式；nn]（取整函数[x]表示不超过x的整数，如[2.1]=2求数列{cn}lanJ的前100项的和M100.【答案】(1)an=nn+1-Sn)， anaan anaana a (n+1)-log2n，222]log2101]，22245x552023·湖南郴州·统考模拟预测）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1,a2a3a4=64，+1-(1)求数列{an},{bn}的通项公式；(2)设cn=an+(-1)n(2bn+1)，求数列{cn}的前2n项和T2n.【答案】(1)an=2n-1，bn=n；2n【详解】（1）设数列{an}的公比为q，由已知得q>0，因为a2a3a4=64，所以a=64，得a3=4，又a1所以an=a1qn-1=2n-1，+b2n一一一所以bn=n；n(2n则数列{cn}的前2n项和为：T2n2所以：T2022n.(2.2nn2n(1)设bn=a2n+a2n一1，求数列{bn}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求使得不等式Sn>2023成立的n的最小值.【答案】(1)bn=2n+3(2)202n21所以数列{bn一3}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a2n1nn所以{Sn}(nE**)是一个增数列，因为S19=3920所以满足题意的n的最小值是20.(1)求数列{an}的通项公式；Sn，证明：S<1.lan.an+1Jn2(2)证明见解析1，一所以数列{an}的通项公式为an=一2n+1.因为nEN*，可得>0，所以Sn<.(1)求数列{an}的通项公式；nan，{bn}的前n项和为Sn，证明：1<S2n<.(2)证明见解析所以 nn 所以所以所以所以 所以所以所以所以 2=，公差d= 22a=nnnn所以，S2n=*)n52n592023·湖北武汉·统考模拟预测）已知Sn是数列{an}的前n项和，2Sn=nan，a2=3.(2)S36=1457(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn=16an，求数列{bn}的前n项和Tn.(3n22【详解】（1）由2Sn=nan，则2Sn+1=(n+1)an+1，一一一记Cn=193n，设数列{Cn}的前n项和T,.n235n；nnn22,nn22(3n22102023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列{an}的首项a1=，an+1=，neN*.(1)设bn=，求数列{bn}的通项公式；(2)在bk与bk+1（其中keN*）之间插入2k个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{cn}.记Sn为数列{cn}的前n项和，求S36.【答案】(1)bn=4n(neN*)所以aneN*).（2）在b1,b2之间有2个3，b2,b3之间有22个3，b3,b4之间有23个3，b4,b5之间有24个3，45S365S361-4112023·山东泰安·统考模拟预测）已知数列{an}是递增的等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，{bn}的前n项和为Sn，且a2,a6,a14成等比数列，S3=b4-1，b2,b4,a12成等差数列.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)证明见解析【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d(d>0)，：S3-1得b1：：n-1，n-1n-1nnnnn.(nn).2n，：{Tn}为递减数列，，：).2n，：{Tn}为递增数列，1时，Tn取最小值，且T1=，，：122023·河北·统考模拟预测）已知数列{an}的前n项和为Sn，且=(1)证明：数列{an}是等差数列；(2)若a2+1，a3+1，a5成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列{bn}多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析2.n的前n项和Tn.（注：如果选择 nSnn2Sn1，n，当n=2时上述式子恒成立，na即 n即n1nn1n，所以nn1222222所以{an}是以1为首项，a2一1为公差的等差数列.（2）设{an}的公差为d，因为a2+1，a3+1，a5成等比数列，若选②bn=，则12n+12n1 ，n+1，2253n+1②数列中的恒成立（能成立）问题12023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数q,a1,1>0,a1,3(1)设bn=an,n，求数列{bn}的通项公式；n,1，是否存在实数λ,使an,1<λSn恒成立，若存在，求出λ的所有值，若不存在，请说明理由.n1；(2)存在，λ=.【详解】（1）设a1,1=t，第一行从左到右成等差数列的公差为d，anλ<当nλ< 3恒成立，则λ<，因此λ=，2所以存在λ=，使得an,1<λSn恒成立.22023·河北·统考模拟预测）已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)在曲线x2一2x+y=0上.(1)证明：数列{an}为等差数列；nan，数列{bn}的前n项和Tn满足mTn2<Tn对一切正整数n恒成立，求实数m的值.【答案】(1)证明见解析；2,又S1=221，符合上式，所以an=32n(neN*)，则an+1an=2，故{an}为1为首项，2为公差的等差数列；若n=2k则Tn132k-1)42k)2-3k+易知f(n)=1-单调递增，f(n)<1，即m>1；Tn132k-1)42k-2)易知f(n)=1+n>3)单调递减，故1<f(n)<f(3)=3，故m£1综上所述，对于vneN*，m=1满足不等式恒成立.32023·云南·校联考模拟预测）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=2Sn+2n+1，neN*.(1)求数列{an}的通项公式；27恒成立，求实数m的取n(2)设bn=，{b27恒成立，求实数m的取n值范围.n-2,)nn-1，∴当n>2时，an又a1n-2,nn，1nn+1，②2n-n又因为对任意的正整数n，T>n27恒成立，所以m2-m+727min，n+1nn42023·浙江·二模）记Sn为正数列{an}的前n项和，已知{Sn-an}是等差数列.(1)求a0；(2)求最小的正整数m，使得存在数列{an}，Sm-a>2.【答案】(1)1(2)3【详解】（1）由题意{Sn-an}是等差数列，设其公差为d，则Sn+1则Sn+1-an+1=Sna（2）由（1）可知an=d>0，一方面Sm-a=md-d2>2，另一方面，m=3时，an=﹐S3-a=3-2>2满足条件，综上所述，正整数m的最小值是3.nn252023·上海徐汇·统考一模）对于数列{xn}，{yn}，其中yn=Z，对任意正整数n都有x-y<1，则称nn2数列{yn}为数列{xn}的“接近数列”.已知{bn}为数列{an}的“接近数列”，且An=ai，Bn=bi.），（n是正整数），是否存在k（k是正整数），使得Ak<Bk，如果存在，请求出k的最小值，如果不存在，请说明理由；(3)若{an}为无穷等差数列，公差为d，求证：数列{bn}为等差数列的充要条件是d=Z.(2)存在，kmin=17(3)证明见解析+，又因为{bn}为数列{an}的“接近数当n为偶数时，an=-n+1，由函数y=-x+1的单调性可知a2<an<，即an=,，得an-1=-,，进一步有bn=1，-1n，Bn=当k为偶数时，令Bk-Ak>0牵-1-k>0牵k>1无解；k因此，存在k（k是正整数），使得Ak<Bk，且kmin=17；（3）充要条件为：deZ.①若deZ时，由题意对于任意正整数n均有an-bn<恒成立，且bneZ，nn+1-从而an+1-an-1<bn+1-因为bneZ，deZ，所以bn+1-bn-d=0，即bn+1-bn=d.因此{bn}为等差数列，且公差也为d(deZ)；②若{bn}为等差数列，设公差为d,(d,eZ)，an+1-a1=an+1-bn+1+bn+1-b1+b1-a1<an+1-bn+1+bn+1-b1+b1-a1<nd,+1，又an+1-a1n+1-b1-an+1-bn+1+b1-a1>nd,-1，即nd,-1<n|d|<nd,+1，亦即-<(d-d,)<对任意正整数n都成立，所以，d=d,，又d,eZ，得deZ.因此，所求充要条件为deZ.62023·四川雅安·统考模拟预测）给出以下条件：①a2，a3+2，a6+4成等比数列；②S2，a6，S4+4成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，.(1)求{an}的通项公式；lanJnlanJnλ(T+2n+2-4)之8Sn-26an，求实数λ的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)an=2n；所以{an}的通项公式为an=2n.解得d=2，则an=a1+(n-1)d=2n，所以{an}的通项公式为an=2n.选③,设递增等差数列{an}的公差为d(d>0)，由是与的等差中项，得+=，化简得12d2-11d-26=0，即(d-2)(12d+13)=0，解得d=2，则an=a1+(n-1)d=2n，所以{an}的通项公式为an=2n.n4 等价于λn.2n+2之8n2-44n，于是得nEN*，λ之恒成立，n2nn+1n2n+12n2n+1n+令c=2n-11，则c-c=2(n+1)-1n2nn+1n2n+12n2n+1n+<0，即数列{cn}递减，当n=7时，(cn)max=，则λ之，所以实数λ的取值范围是,+伪.12023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）设y=f(x)是定义域为R的函数，如果对任意的x1、x2ER(x1,f(x1)-f(x2)<x1-x2均成立，则称y=f(x)是“平缓函数”.(1)若f1(x)=,f2(x)=sinx，试判断y=f1(x)和y=f2(x)是否为“平缓函数”?并说明理由;(参考公式:x>0时，sinx<x恒成立)1x221xx2x+x(x21x221xx2x+x(x2121122112有f(x1)f(x2)<;(3)设y=g(x)为定义在R上函数，且存在正常数A>1使得函数y=A.g(x)为“平缓函数”.现定义数列【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）对于函数y=f1(x)，由对任意的x1、x2eR，可知函数y=f1(x)是R上的“平缓函数”.对于函数y=f2(x)，由对任意的x1、x2eR，一==x一xxxxx2+1xx2+xxxx2+1xx2+1x2xx2x2xx2x<x2x1|因此函数y=f2(x)也是R上的“平缓函数”；（2）由已知可得f(0)=f(1)，由于函数y=f(x)是周期函数，故不妨设x1、x2e[0,1].当x1x2<时，由y=f(x)为R上的“平缓函数”得f(x1)f(x2)<x1x2<；当x1x22x1>，此时由y=f(x)为R上的“平缓函数”得f(x)f(x)=f(x)f(0)+f(1)f(x)<f(x)f(0)+f(1)f(x)综上所述，命题得证；1x2x1)g(x)22023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）设函数f(x)=ln(x+1)，g(x)=.n(2)设m=Z．若对任意x>0均有f(x)>mg(x)-1成立，求m的最大值；(3)是否存在正整数t使得对任意n=N，n>t，都有f(n-t)<n-g(k)成立?若存在，求t的最小可能值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见详解；【详解】（1）即 即当m-1<0时，h，(x)>0，所以h(x)在(0,+m)单调递增.又h(0)=ln1-0+1=1>0，所以则h(x)>0成立.故m£1.故h(x)min=h(m-1)<h(0)=0与h(x)>0矛盾.综上，m£1，所以m的最大值是1.令x分别取,,…,得 3-an+3)要使存在正整数t使得对任意n=N，n之t，都有f(n-t)<n-g(k)成立，又n=N且t为正整数，故t之1.所以存在正整数t使得对任意n=N，n之t，都有f(n-t)<n-g(k)成立，t的最小可能值是1.32023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）已知f(x)=lnx+，g(x)=f(x)-x.(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)容易证明f(x)>1对任意的x>1都成立，若点M大于1的不同两点，试证明：ZPMQ<30。；(3)数列{an}满足a1=(0,1)，an+(2)证明见解析(3)证明见解析的坐标为(1,1)，P、Q为函数y=f(x)图像上横坐标均(【详解】（1）因为f(x)=lnx+，定义域为(0,+m)，所以函数f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1,+m).xx2-x2+x- 3x2,当x>1时，函数y=-x2+x-单调递减，又由（1）可知，当x>1时，f(x)>f(1)=1，所以当x>1时，f(x)的图象始终夹在直线y=1和直线y=(x一1)+1之间，且f(x)的图象不会和直线y=1和直线y=(x一1)+1相交，因此经PMQ<30。恒成立，命题得证.x2x22x(1)23(1)23x2恒成立，又由（1）可知数f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+伪)单调递增，42023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考阶段练习）已知函数f(x)=eax,aeR.(1)令g(x)=，讨论g(x)的单调性；n*；(3)若a=1，对于任意的m,neR，不等式+bf(lnn).f(m)+2之0恒成立，求实数b的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析ax:ex>x+1，当且仅当x=0，等号成立.(1)(1)1(1)n(1)n一2(1)n(1)n一2n1 e(1)2(1)3(1)n「(1)2(1)3(1)n]n1 e(1)2(1)3(1)n「(1)2(1)3(1)n](1)2m①b<0，当n喻+伪,m喻0时，不等式显然<0，所以此时不成立；②b=0，不等式显然成立.2embmm-b.emln+2，bb2e22e2所以b<2e.f(x)52023·全国·高三专题练习）若函数y=f(x)是其定义域内的区间f(x)x是I上的严格减函数，则称y=f(x)是I上的“弱增函数”.若数列{an}是严格增数列，而〈〉是严格减数列，则称{an}是“弱增数列”.(1)判断函数y=lnx是否为(e,+伪)上的“弱增函数”，并说明理由（其中e是自然对数的底数）；(2)已知函数y=f(x)与函数y=-2x2-4x-8的图像关于坐标原点对称，若y=f(x)是[m,n]上的“弱增函数”，求n-m的最大值；(3)已知等差数列{an}是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记{an}的前n项和为Sn，设Tn=(n是正整数，常数λ之-2)，若存在正整数k和m，使得k>m>1且Tk=Tm，求λ所有可能的值.【答案】(1)y=lnx是(e,+伪)上的“弱增函数”，理由见解析(3)λ所有可能的值为-1和-2【详解】（1）函数y=lnx是(e,+伪)上的“弱增函数”，理由如下：对于函数y=，y,=，故y=是(e,+伪)上的严格减函数，（2）记g(x)=-2x2-4x-8，f(x)由y=f(x)是[m,n]上的“弱增函数”可得函数y=f(x)是[m,nf(x)x严格减函数，函数y=2x2-4x+8图像的对称轴为x=1，且是区间[1,n]上的严格增函数，当h,(x)=0，即2-=0时，解得x=-2或x=2，当-2<x<2时，h,(x)=2-<0，则函数h(x)在[m,2]上单调递减，即函数h(x)是区间[m,2]上的严格减函数，所以n-m的最大值为1.由{an}是“弱增数列”得d>0,4-d>0，即0<d<4.又因为d是偶数，所以d=2，nn222+3nnn2故若k>m之3，则不存在k和m，使得Tk=Tm.若T2若T2若T262023·上海杨浦·统考一模）已知函数fn(x)=xn+x+a，其中n为正整数，a<0且为常数.(1)求函数y=f4(x)的单调增区间；(2)若对于任意n，函数y=fn(x)，在,1内均存在唯一零点，求a的取值范围；(3)设xn是函数y=fn(x)大于0的零点，其构成数列{xn}．问：是否存在实数a使得{xn}中的部分项：xn，xn，xn...xn...其中i<j时，ni<nj）构成一个无穷等比数列{an}若存在；求出a；若不存在请说明理由.【详解】（1）解：由题知y=f4(x)=x4+x+a，（2）解：当x>0时，fn,(x)=nx所以函数y=fn(x)在,1内均存在唯一零点只需fn.fn(1)<0即可，fn(xn).），所以，{xn}是恒为1的常数列，符合题意.n由于y=fn(x)是(0,+伪)上的严格增函数，所以1>xnn)上的严格增函数，所以xn+1>xn.所以，{xn}是严格增数列，那么无穷等比数列{an}也为严格增数列.q故2<a<0不符合题意.由于y=fn(x)是(0,+伪)上的严格增函数，所以1<xn.n)上的严格增函数，所以xn+1<xn.所以，{xn}是严格减数列，那么无穷等比数列{an}也为严格减数列.q故a<2不符合题意.综上，使数列{xn}部分项可以构成等比数列的充要条件是：a=一2.72023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}公差为d(d产0)，前n项和为Sn.=12，求{an}的通项公式；1，a1、a3、a13成等比数列，且存在正整数p(3)若f(x)=，证明对任意的等差数列{an}，不等式ai.f(ai)之0恒成立.【答案】(1)an=5n_6；(3)证明见解析.【详解】（1）设{an}的公差为d，则S3=3x(_1)+3d=12，d=5，（2）设{an}的公差为d，由a1、a3、a13成等比数列得a=a1a13，anp,q都是正整数，=，=都是整数，显然是正整数，），t，（3）f(x)的定义域是R，f(_x)=___==_f(x)，∴f(x)是奇函数，从而1_<1_，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)是增函数，若ai+a2023_i），iai2023_i，f(ai)之f(_a2023_i)=_f(a2023_i)，f(ai)+f(a2023_i)之01<i<2022,ieN*），iai，f(ai)<f(a2023i)=f(a2023i)，f(ai)+f(a2023一i)<01<i<2022,ieN*∴f(ai)=f(a1)+f(a2022)+f(a2)+f(a2021综上，对任意的等差数列{an}，ai.f(ai)之0.12023·湖南·校联考模拟预测）一部电视连续剧共有n+1(n之10)集，某同学看了第一集后，被该电视剧的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：从看完第一集后的第一天算起，把余下的n集电视剧随机分配在2n天内；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知这部电视剧最精彩的部分在第n集，设该同学观看第一集后的第X天观看该集.(1)求X的分布列；(2)证明：最有可能在第(2n一2)天观看最精彩的第n集.【答案】(1)分布列见解析(2)证明见解析【详解】（1）要在第一集后的第1~2n天中观看后n集电视剧，考虑第n集在X=j时的概率，），在第j天看第n集，在第(j+1)~2n天要看第(n+1)集（即最后一集），nj，故X的分布列是：Xn1nLjLPC一一C+1C一一CL j12nj2L2nC2n3（2）设aj=P(X=j)，n-1<j<2n-1，下面求{aj}中的最大项，aj+1-2(2n-j-1)=j(j-1)…j-(n-2)+1(2n-j-1)ajC-(2n-j)(j-1)(j-2)…j-1-(n-2)+1(2n-j)j(2n-j-1)j(2n-j)-j[j-(n-2)](2n-j)j(2n-j)-(n-2)(2由于n-1<j<2n-1，则2n-j-1>0，j-(n-2)>1，所以aj+1<aj常j(2n-j)-j<j(2n-j)-(n-2)(2n-j)，即2n(n-2)<(n-1)j，所以j>2n-2时，有aj+1<aj，同理可得j<2n-3时，有aj+1>aj.所以{aj}中的最大项为a2n-2，即最有可能在第(2n-2)天观看第n集.22023春·河北唐山·高二校考期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1=1,p2=0.②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小.【答案】(1)分布列见解析；期望为1【详解】（1）方法一：X的所有可能取值为0,1,2,3，在一次扑球中，扑到点球的概率P=xxx3=，322x所以X的分布列如下：X0123P 247291729E(X)=x1+x2+79x3==方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为门将在前三次扑到点球的个数X可能的取值为0,1,2,3，易知X~B(|（3,，故X的分布列为：X0123P82431729所以X的期望E(X)=3x1=.3（2）①第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，则当n之2时，第n-1次传球之前球在甲脚下的概率为pn-1，第n-1次传球之前球不在甲脚下的概率为1-pn-1，=-pn-1nnn2则p=p-1x0+=-pn-1nnn2即pn-=-pn-1-，又p1-=122,3n-〉是以为首项，公比为-的等比数列.故p10<q10.32023·全国·高三专题练习）小明进行射击练习，他第一次射击中靶的概率为0.7，从第二次射击开始，若前一次中靶，则该次射击中靶的概率为0.9，否则中靶概率为0.7.(1)求小明射击3次恰有2次中靶的概率；(2)①分别求小明第2次，第3次中靶的概率.②求小明第n次中靶的概率.【答案】(1)0.301(2)①第2次中靶的概率为0.84，第3次中靶的概率为0.868；②小明第n次中靶的概率为1-【详解】（1）小明射击3次恰有2次中靶包括以下三种情况：第一种：第一、二次中靶，第三次未中靶，其概率为0.7根0.9根(1-0.9)=0.063；第二种：第一、三次中靶，第二次未中靶，其概率为0.7根(1-0.9)根0.7=0.049；第三种：第二、三次中靶，第一次未中靶，其概率为(1-0.7)根0.7根0.9=0.18（2）小明第2次中靶的概率由以下两种情况组成：第一种：第一次中靶、第二次也中靶，其概率为0.7根0.9=0.第二种：第一次未中靶、第二次中靶，其概率为(1-0.7)根0.7=0.21；所以，小明第2次中靶的概率为0.63+0.21=0因此，小明第2次未中靶的概率为1-0.84=0.16同理，第3次中靶的概率包括以下两种情况：②设小明第n次中靶的概率为Pn，则第n-1次中靶的概率为Pn-1(n>2)，第n次中靶的概率由以下两种情况组成：第一种：第n-1次中靶，第n次也中靶，其概率为0.9根Pn-1；第二种：第n-1次未中靶，第n次中靶，其概率为(1-Pn-1)根0.7；所以，小明第n次中靶的概率为Pn=1-42023·全国·高三专题练习）学校篮球队30名同学按照1，2，ⅆ,30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第m(1<m<28,m=*)号同学得到球后传给m+1号同学的概率为，传给m+2号同学的概率为，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为，30号同学投篮命中的概率为，设传球传到第n(2<n<30,n=*的概率为Pn.(1)求P4的值；(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小.(2)证明见解析(3)29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率.因此P43Pn-2（2）解：依题意篮球传到第3Pn-2 1 199所以{Pn+1-Pn}是首先为1，公比为-1的等比数列.；:PPP，2n1，1(1)27] +L4||所以P291(1)27] +L4||2827272827，所以29号投篮命中概率大于30号投篮命中概率.52023·全国·高三专题练习）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值x同一组中的数据用该组区间的中点值代表）(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2)，经计算1）中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率若随机变量X~N(μ,σ2)，则(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2