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文档简介
2023-2024学年吉林省吉林市蛟河市蛟河一中高考数学四模试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数满足,设,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知为虚数单位,若复数,则A. B.C. D.3.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点,且,抛物线的准线与轴交于,的面积为,则()A. B. C. D.4.已知为虚数单位,复数满足,则复数在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.过椭圆的左焦点的直线过的上顶点,且与椭圆相交于另一点,点在轴上的射影为,若,是坐标原点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.6.若复数,则()A. B. C. D.207.设x、y、z是空间中不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、y、z均为直线;②x、y是直线,z是平面;③z是直线,x、y是平面;④x、y、z均为平面.其中使“且”为真命题的是()A.③④ B.①③ C.②③ D.①②8.已知四棱锥的底面为矩形,底面,点在线段上,以为直径的圆过点.若,则的面积的最小值为()A.9 B.7 C. D.9.已知函数,若方程恰有两个不同实根,则正数m的取值范围为()A. B.C. D.10.一个组合体的三视图如图所示(图中网格小正方形的边长为1),则该几何体的体积是()A. B. C. D.11.如果实数满足条件,那么的最大值为()A. B. C. D.12.已知定义在上的函数满足,且在上是增函数,不等式对于恒成立,则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图所示,直角坐标系中网格小正方形的边长为1,若向量、、满足,则实数的值为_______.14.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则_________,该几何体的表面积为_________.15.的展开式中,的系数是______.16.若存在直线l与函数及的图象都相切,则实数的最小值为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程是(是参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程;(2)在曲线上取一点,直线绕原点逆时针旋转,交曲线于点,求的最大值.18.(12分)已知.(Ⅰ)当时,解不等式;(Ⅱ)若的最小值为1,求的最小值.19.(12分)在直角坐标系中,已知点,若以线段为直径的圆与轴相切.(1)求点的轨迹的方程;(2)若上存在两动点(A,B在轴异侧)满足,且的周长为,求的值.20.(12分)在中,角,,的对边分别为,,,已知.(1)若,,成等差数列,求的值;(2)是否存在满足为直角?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.21.(12分)已知动圆E与圆外切,并与直线相切,记动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点的直线l交曲线C于A,B两点,若曲线C上存在点P使得,求直线l的斜率k的取值范围.22.(10分)已知命题:,;命题:函数无零点.(1)若为假,求实数的取值范围;(2)若为假,为真,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
结合函数的对应性,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:若,则,即成立,若,则由,得,则“”是“”的必要不充分条件,故选:B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合函数的对应性是解决本题的关键,属于基础题.2、B【解析】
因为,所以,故选B.3、B【解析】
设点、,并设直线的方程为,由得,将直线的方程代入韦达定理,求得,结合的面积求得的值,结合焦点弦长公式可求得.【详解】设点、,并设直线的方程为,将直线的方程与抛物线方程联立,消去得,由韦达定理得,,,,,,,,可得,,抛物线的准线与轴交于,的面积为,解得,则抛物线的方程为,所以,.故选:B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算,计算出抛物线的方程是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.4、B【解析】
求出复数,得出其对应点的坐标,确定所在象限.【详解】由题意,对应点坐标为,在第二象限.故选:B.【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的除法运算,属于基础题.5、D【解析】
求得点的坐标,由,得出,利用向量的坐标运算得出点的坐标,代入椭圆的方程,可得出关于、、的齐次等式,进而可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可得、.由,得,则,即.而,所以,所以点.因为点在椭圆上,则,整理可得,所以,所以.即椭圆的离心率为故选:D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解,解答的关键就是要得出、、的齐次等式,充分利用点在椭圆上这一条件,围绕求点的坐标来求解,考查计算能力,属于中等题.6、B【解析】
化简得到,再计算模长得到答案.【详解】,故.故选:.【点睛】本题考查了复数的运算,复数的模,意在考查学生的计算能力.7、C【解析】
①举反例,如直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例,如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时.【详解】①当直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时,不正确;②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确;③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确;④如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时,不正确.故选:C.【点睛】此题考查立体几何中线面关系,选择题一般可通过特殊值法进行排除,属于简单题目.8、C【解析】
根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定,根据勾股定理,得到之间的等量关系,再用表示出的面积,利用均值不等式即可容易求得.【详解】设,,则.因为平面,平面,所以.又,,所以平面,则.易知,.在中,,即,化简得.在中,,.所以.因为,当且仅当,时等号成立,所以.故选:C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用,考查空间想象能力以及数形结合思想,涉及线面垂直的判定和性质,属中档题.9、D【解析】
当时,函数周期为,画出函数图像,如图所示,方程两个不同实根,即函数和有图像两个交点,计算,,根据图像得到答案.【详解】当时,,故函数周期为,画出函数图像,如图所示:方程,即,即函数和有两个交点.,,故,,,,.根据图像知:.故选:.【点睛】本题考查了函数的零点问题,确定函数周期画出函数图像是解题的关键.10、C【解析】
根据组合几何体的三视图还原出几何体,几何体是圆柱中挖去一个三棱柱,从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得,几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱,故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积,即,故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题,解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体,然后根据几何体的结构求出其体积.11、B【解析】
解:当直线过点时,最大,故选B12、A【解析】
根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数,由此可将不等式化为;利用分离变量法可得,求得的最大值和的最小值即可得到结果.【详解】为定义在上的偶函数,图象关于轴对称又在上是增函数在上是减函数,即对于恒成立在上恒成立,即的取值范围为:本题正确选项:【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题,涉及到恒成立问题的求解;解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,从而利用分离变量法来处理恒成立问题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据图示分析出、、的坐标表示,然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出的取值.【详解】由图可知:,所以,又因为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算,难度较易.已知,若,则有.14、;【解析】试题分析:如图:此几何体是四棱锥,底面是边长为的正方形,平面平面,并且,,所以体积是,解得,四个侧面都是直角三角形,所以计算出边长,表面积是考点:1.三视图;2.几何体的表面积.15、【解析】
先将原式展开成,发现中不含,故只研究后面一项即可得解.【详解】,依题意,只需求中的系数,是.故答案为:-40【点睛】本题考查二项式定理性质,关键是先展开再利用排列组合思想解决,属于基础题.16、【解析】
设直线l与函数及的图象分别相切于,,因为,所以函数的图象在点处的切线方程为,即,因为,所以函数的图象在点处的切线方程为,即,因为存在直线l与函数及的图象都相切,所以,所以,令,设,则,当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,所以,所以实数的最小值为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)最大值为【解析】
(1)利用消去参数,求得曲线的普通方程,再转化为极坐标方程.(2)设出两点的坐标,求得的表达式,并利用三角恒等变换进行化简,再结合三角函数最值的求法,求得的最大值.【详解】(1)由消去得曲线的普通方程为.所以的极坐标方程为,即.(2)不妨设,,,,,则当时,取得最大值,最大值为.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程,普通方程化为极坐标方程,考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法,考查三角恒等变换,考查三角函数最值的求法,属于中档题.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)当时,令,作出的图像,结合图像即可求解;(Ⅱ)结合绝对值三角不等式可得,再由“1”的妙用可拼凑为,结合基本不等式即可求解;【详解】(Ⅰ)令,作出它们的大致图像如下:由或(舍),得点横坐标为2,由对称性知,点横坐标为﹣2,因此不等式的解集为.(Ⅱ)..取等号的条件为,即,联立得因此的最小值为.【点睛】本题考查绝对值不等式、基本不等式,属于中档题19、(1);(2)【解析】
(1)设,则由题设条件可得,化简后可得轨迹的方程.(2)设直线,联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简并求得,结合焦半径公式及弦长公式可求的值及的长.【详解】(1)设,则圆心的坐标为,因为以线段为直径的圆与轴相切,所以,化简得的方程为.(2)由题意,设直线,联立得,设(其中)所以,,且,因为,所以,,所以,故或(舍),直线,因为的周长为所以.即,因为.又,所以,解得,所以.【点睛】本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算,还涉及到向量的数量积.一般地,抛物线中的弦长问题,一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程,再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式,该关系中含有或,最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.20、见解析【解析】
(1)因为,,成等差数列,所以,由余弦定理可得,因为,所以,即,所以.(2)若B为直角,则,,由及正弦定理可得,所以,即,上式两边同时平方,可得,所以(*).又,所以,,所以,与(*)矛盾,所以不存在满足为直角.21、(1);(2).【解析】
(1)根据抛物线的定义,结合已知条件,即可容易求得结果;(2)设出直线的方程,联立抛物线方程,根据直线与抛物线相交则,结合由得到的斜率关系,即可求得斜率的范围.【详解】(1)因为动圆与圆外切,并与直线相切,所以点到点的距离比点到直线的距离大.因为圆的半径为,所以点到点的距离等于点到直线的距离,所以圆心的轨迹为抛物线,且焦点坐标为.所以曲线的方程.(2)设,,由得,由得且.,,同理由,得,即,所以,由,得且,又且,所以的取值范围为.【点睛】本题考查由抛物线定义求抛物线方程,涉及直线与抛物线相交结合垂直关系求斜率的范围,属综合中档题.22、(1)(2)【解析】
(1)为假,则为真,求导,利用导函数研究函数有零点条件得的取值范围;(2)由为假,为真,知一真一假;分类讨论列
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