2023-2024学年广东省广州市高二年级上册期末数学模拟试题3(含解析)

2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.直线2x+3y+6=0在y轴上的截距是

A.2B.3C.-3D.-2

【正确答案】D

在y轴上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.

【详解】令尸0,则尸-2,即直线在y周上的截距为-2,

故选D.

2.求点42,1,-2)关于x轴的对称点的坐标为()

A.(-2,1,2)B.(—2,1,-2)

C.(2,-1,-2)D.(2,-1,2)

【正确答案】D

【分析】根据点关于坐标轴的对称点特征，直接写出即可.

【详解】4点关于x轴对称点，横坐标不变，纵坐标与竖坐标为原坐标的相反数，

故点的坐标为(2,-1,2),

故选：D

3.已知点尸(-3,-4),。是圆O:/+/=4上的动点，则线段尸。长的最小值为()

A.3B.4C.5D.6

【正确答案】A

【分析】根据圆的几何性质转化为圆心与点的距离加上半径即可得解.

【详解】圆。:一+必=4的圆心为(0,0),半径为厂=2,

所以|OP|=J(-3)2+(Y)2=5,

圆上点〈在线段O尸上时，I尸。京=5-2=3,

故选：A

4.已知椭圆方程为：—+^=1,则其离心率为()

m3m

A.]B.如C.-D.正

3333

【正确答案】B

【分析】根据椭圆的标准方程，确定/,〃，计算离心率即可.

【详解】由1=1知，

m3m

a2-3m,h'=m,

c2=a2—b2=Im,

2C~2mnV6

a233

故选：B

5.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150

个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之

和的!是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（）

4

A.30B.40C.50D.60

【正确答案】C

【分析】根据题意得到递增等差数列MJ中，q+%+/+%+%=150,

：（6+4+。5）=4+。2,从而化成基本量，进行计算，再计算出能，得到答案.

【详解】根据题意，设递增等差数列{%},首项为4,公差d,

at+a2+a3+a4+a5=150

则

小+%+%）=4+?

一、例+101=150

所以134+9"=4（2q+d）

%=10

解得

d=\0

所以最大项〃5=10+（5-1）x10=50.

故选：C

6.已知抛物线C:/=12x的焦点为凡直线/经过点/交抛物线。于4,B两点,交抛物

浅C的准线于点P,若尸片：28日，则后为（）

A.2B.3C.4D.6

【正确答案】C

【分析】由题意可知设P(-3,%),8(与,%)由尸8=28-可得，(&+3,巳-力)=2(3-4,

可求得/=1,以=±2百，根据模长公式计算即可得出结果.

【详解】由题意可知篇(3,0),准线方程为x=-3,设P(解丹)/(马,外)

P8=28尸可知，

(xB+\yB-yp)=2(3-xB,-yB),

xfi+3=2(3-xJ,解得：Xs=l,代入到抛物线方程可得.九=±2道

|SF|=>/4+12=4,

故选:C

7.已知圆O:f+V=25,^l:y=kx+\-k,直线/被圆。截得的弦长最短为()

A.2722B.2A/23C.8D.9

【正确答案】B

【分析】先求得直线过定点。,1),再根据当点(1,1)与圆心连线垂直于直线/时，被圆。截

得的弦长最短求解.

【详解】因为直线方程夕=丘+1-左，即为"Mx-1)+1,

所以直线过定点(1,1),

因为点(1,1)在圆的内部，

当点(1,1)与圆心连线垂直于直线/时，被圆。截得的弦长最短，

点(1,1)与圆心(0,0)的距离为d=0,

此时，最短弦长为2_2=2后,

故选：B

8.数列1,6,15,28,45,…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为

六边形数，那么第11个六边形数为()

A.153B.190C.231D.276

【正确答案】C

【分析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、

等比数列等，结合图形即可求解.

【详解】由题意知，数列{%}.•.为1,6,15,28,45,...

所以4=1=1x1,々=6=2x3,a3=15=3'5,

a4=28=4x7,t/5=45=5X9,…，an=n（2n—1）,

所以町=11x21=231.

故选：C

二、多选题

9.过点尸(-2,0)的直线/与直线4：x+y-2=O平行，则下列说法正确的是()

A.直线/的倾斜角为45°

B.直线/的方程为：x+y+2=0

C.直线/与直线4间的距离为2近

D.过点尸且与直线/垂直的直线为：x-y+2=0

【正确答案】BCD

【分析】由直线的斜率可求得倾斜角即可判断选项A,由直线平行和垂直的斜率关系设出所

求方程点P代入求得直线方程即可判断B、D,由平行直线间的距离公式计算即可判断C选

项.

【详解】过点P(-2,0)的直线)与直线4：x+y-2=O平行,

设直线/方程为4：x+y+m=O,尸(-2,0)代入可得-2+0+优=0,解得：，”=2,所以直线/

的方程为：x+y+2=0,B正确，

直线/的斜率上=-1,直线/的倾斜角为135。，则A错误，

/与直线4的距离为4=|21(-2"=2能,C正确，

过点P且与直线/垂直的直线可设为：x-y+n=0,P(-2,0)代入可得_2-0+〃=0,解得:

〃=2,则过点P且与直线/垂直的直线为：x-y+2^0,D正确.

故选：BCD.

2222

10.已知曲线G：工-匕=1与曲线c,：^—+E=1,则下列说法正确的是()

A.曲线G的焦点到其渐近线的距离是3

B.当9<左<16时，两曲线的焦距相等

C.当*<9时，曲线G为椭圆

D.当人>16时，曲线G为双曲线

【正确答案】AC

【分析】求出曲线G的焦点坐标和渐近线方程，进而求出距离即可判断A；

求出两条曲线的焦距即可判断B；

根据题意求出16-k,9-k的范围即可判断C,D.

【详解】对A,曲线G的左右焦点为4(-5,0),居(5,0),渐近线方程是3x±4y=0,则焦点

到渐近线的距离d="X(±5)=3,A正确；

5

v-22

对B,由A,曲线G的焦距为10,若9<k<16,则曲线C2:止了-喜v=1是焦点在x轴上

的双曲线，焦距为2,16-%+%-9=2/5,B错误；

对C,若4<9,则16-4>9-左>0,即曲线C?为焦点在x轴上的椭圆，C正确;

对D,若左>16,则I6-A<0,9-左<0,不表示任何图形，D错误.

故选：AC.

11.如图，点M是正方体力88-44中的侧面上的一个动点，贝IJ()

Di

A.点”存在无数个位置满足CM1AD,

B.若正方体的棱长为1,三棱锥8-GMZ)的体积最大值为:

C.在线段力。上存在点〃，使异面直线与M与C。所成的角是30，

D.点M存在无数个位置满足到直线AD和直线G2的距离相等

【正确答案】ABD

【分析】根据线面垂直的判定可证得平面则当M在线段4。上时，

CM14"恒成立，知A正确；由线面垂直的性质和判定可证得4c，平面8CQ,利用三

角形相似可知4到平面BCQ的距离为当，根据—MD=嗫-go可知当M与4重合时，

体积取得最大值，结合棱锥体积公式知B正确；以。为坐标原点建立空间直角坐标系，设

AM^XAD'(Q<^<\),利用异面直线所成角的向量求法和二次函数最值可确定异面直线

4M与所成的角大于30，，知C错误：根据点M到直线GA的距离即为其到点A的距

离，可知点〃轨迹为抛物线的一部分，知D正确.

【详解】对于A,连接力4,/。,8。，

四边形/£>£>/为正方形，.•./0_LZQ；

CD±平面ADD.A,,4。u平面ADD.A,,:.AD,±CD.

又A、DCD=D,42COU平面481CQ,N"J_平面同片。，

则当O/u平面4片。，即/在线段4。上时，CV_L4。恒成立,

二点M存在无数个位置，使得CM，/。，A正确；

对于B,连接ZC,交5。于点O,连接4C,交G。于点N,

BDVAC,BDLAA,,AC^AAX=A,/C,/%u平面/CC/,

..BOJ.平面zee/,又％Cu平面NCG4，，4C，3。；

同理可得：4c_L8G；又BC\BD=B,8G,8Du平面BCQ,

.•.4（7_1平面8弓。，即4NL平面8CQ；

RtC^^RtA^,CNAC,,CN=^正^正=^6,

8CQ是边长为&的等边三角形，."印=4x0x0x等当;

设点〃到平面8CQ的距离为"，则腺_CM，=%_BCQ=；SBCQM=4;

当“与4重合时，d取得最大值半，.•.（与9皿）心=3x亚=；,B正确：

对于C,以。为坐标原点，/工：。，。。：正方向为xj，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

则。(0,0,0),C(0,l,0),/(1,0,0),£>,(0,0,1),B,(1,1,1),

.-.C£)=(0-1,0),ADX=(-1,0,1),

当M在线段上时，可设//二

/4W=(-2,0,2),则〃(1-/1,0,/I),8附=(-2,-1,2-1),

,I^M-CDTI]

Z.COS<B\M,CD>=ITTT^I^T-/=r.

同孙卬Jo+i+--ipJ2/T+1)，

则当2=；时，卜os<薪=—<—,

2IImax32

二异面直线片”与CD所成的角大于30”，C错误；

对于D,CQ，平面ADD,AX,点〃到直线G。的距离即为其到点0的距离，

若点/到直线和直线GA的距离相等，则点加轨迹是以。为焦点，GA为准线的抛物

线在侧面力。A4上的部分，

•••点M存在无数个位置满足到直线AD和直线GA的距离相等，D正确.

故选：ABD.

12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,

5,…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的

数列｛为｝称为“斐波那契数列”，记5,为数列｛对｝的前〃项和，则下列结论正确的是().

A.6=8B.S7=33

C.4]+03++L+^2021=。2023D.〃]+〃2+L+°2022=42022。2023

【正确答案】ABD

【分析】对AB,直接求出对应项及求和:

对CD,由%+=%+2得=%+2-&>

q+%+%+L+a202]=a2+a4-a2+a(,-a4+L+/022一，。2(即可化简；

+L+。2022=+。2(“3—)+L+“2022(。2023—02021)即可化间.

【详解】对A,《=3+5=8,A对；

对B,%=5+8=13,$7=1+1+2+3+5+8+13=33,B对；

对C,由4+an+i=an+2得an+l=an+2-an,

..%+%+%+L+。202|=+°4—“2+06—04+L+。2022一。2020=。202，C错；

对D,%+&+L+02022=°1。2+°2(%)+L+“2022(020231a2021)=。2022a2023，D对.

故选：ABD

三、填空题

13.已知圆C:x2+V-2x+4y=0关于直线/：2x+ay=0对称，贝(]a=.

【正确答案】1

【分析】根据题意，圆心在直线上，进而求得答案.

【详解】由题意，圆心(1,-2)在直线上，则2-2a=0=a=l.

故1.

14.如图，在平行六面体44CQ1中，设44=a,NB=b,=c,N是8c的中点,

--八八，

则向量4%=.(用Q,b,c表示)

Di

【正确答案】-a+b+5c

【分析】根据向量的加减法运算法则及数乘运算求解即可.

【详解】由向量的减法及加法运算可得，

TT

A]N=AN—AA]=AB+BN—AA]

—>|—>->—>]TT

=AB+—AD-AA.=h+—c-a,

2'2

TTJ->

故一〃+h+—c

2

22

15.已知耳，鸟是双曲线后:5-勺=1（4>0力>0）的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意

ab

一点（不是顶点）,过耳作NF、M左角平分线的垂线,垂足为N,O是坐标原点.若ION|=Ml,

6

则双曲线E的渐近线方程为.

【正确答案】y=±20x

【分析】延长6N交加巴于点P,利用角平分线结合中位线和双曲线定义求得“，c的关系，

然后利用‘2=62+/,及渐近线方程即可求得结果.

【详解】延长£N交些于点尸，是/丹用匕的平分线，

又。是EE中点，所以m〃NO,且圈=2防=2，高=与，

又|「用=I4|-|A/P|=|四周-|岫|=2a,

，2。=与，c-3a,,又c2-a2=h2,

b2-Sa2,b-2\[2a.

二双曲线E的渐近线方程为了=±2》=±2岳

a

四、双空题

2"T〃为有数

16.已知S,,是数列｛a,,｝的前"项和，且贝”4=___________

2〃一为]禺数'

$2”=•

【正确答案】15土1+2/+〃

3

【分析】直接求出前4项求和；结合公式法分组求和即可.

【详解】由%=[：'：叱需（〃间可得々=1,。2=3,%=4,%=7,

[2〃-1,“为偶数''

§4二%+。2+。3+。4=1+3+4+7=15;

$2〃=（。1+。3++“2”-1）+（。2+。4++%〃）=（2°+2?++2?”-2）+[3+7++（4/7-1）]

二以5+取3=j2/+〃.

1-423

•Hr1V4〃­]2

故15；-----+2n~4-n.

3

五、解答题

17.已知M(5,2),N(-l,-4)两点.

(1)求以线段MN为直径的圆C的方程；

(2)在(1)中，求过M点的圆C的切线方程.

【正确答案】(l)(x-2)2+(y+l>=18；

⑵x+y-7=0.

【分析】(1)求出圆心和半径即可得到答案；

(2)根据题意先求出切线的斜率，进而通过点斜式求出切线方程.

【详解】(1)由题意，圆心“2,-1),半径r0CN|=J(2+l)2+(-1+4)2=30，则圆C的

方程为.(x-2/+(9+1)2=18

(2)由题意，々c”=W=l'则切线斜率为J，所以切线方程

为.y-2=-(x-5)=>x+y-7=0

18.已知S,,是等差数列｛《,｝的前”项和，且4=9,邑=15.

(1)求数列｛%｝的通项公式对;

⑵令b„=------,求数歹IJ抄“｝的前〃项和T„.

an+\'an

【正确答案】(1)2〃+1；

n

⑵3(2"+3)，

【分析】(1)由等差数列通项公式基本量《、d列方程求解，即可由定义得出通项公式；

(2)由列项相消法求和.

【详解】(1)设等差数列的前〃项为《，公差为d,则;'i”，解得寸

必=3q+3d=15[a=2

故数列｛%｝的通项公式%=3+(〃-1>2=2〃+1；

LI11(I1A

⑵"=%+1q=(二+1)(2n+3)=2I2M+I2rt+3)'故

19.如图，在四棱锥尸-45CQ中，底面Z8C。为正方形，尸N_L底面N88,AB=AP,E

为棱尸。的中点.

(1)求异面直线ZE与尸8所成角的大小；

(2)求平面AEC和平面PAB夹角的余弦值.

TT

【正确答案】(l)g

(2)y

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量法求异面直线所成角：

(2)求平面NEC和平面的法向量，利用空间向量法求两个平面夹角的余弦值

【详解】(1)如图，尸4,底面44CD,u底面4BCD,NOu底面4BCQ,

...PAJLAB,/.PALAD.

以点力为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设48=2,则力=(0,0,0),

B=(2,0,0),£>=(0,2,0),C=(2,2,0),P=(0,0,2),E=(0,1,1),

y4£=(0,1,1),尸8=(2,0,—2),

uumum

/uuruur,AEPB1

cos(AEPB=IULU'HUUI'I=—j=---------j==

f国网y/2x2y/22,

则异面直线AE与PB所成角的余弦值为方,故异面直线AE与PB所成角的大小为。.

(2)由题意可知平面P/8的法向量为我(0,1,0),

，--'UUU

设平面4EC的法向量为N=(X,y,z),AE=(0,1,1),AC=(2,2,0),

nAE=Qy+z=0

则｛X，即

n-AC=02x+2y=0

令X=1,贝|J〃=（1,一1,1）.

rr.r-

/rrxmn-1，3

丽飞二一7・

20.如图，正方形4WDE的边长为2,B,C分别为历。的中点.在五棱锥P-/8C7)£

中，4，底面48CDE,且尸/=/E,F为棱PE的中点，平面48尸与棱PD,PC分别交于

(1)求直线8c与平面48尸所成角的大小;

(2)求线段尸段的长.

7T

【正确答案】(l)z

6

(2)2

【分析】(1)以4为原点建立如图所示空间直角坐标系彳-xyz,由向量法求线面角即可；

(2)设〃(凡6,c),PH=APC\O<Z<1),结合；立即可解得参数，求得4坐标，由

两点距离公式即可求线段产”的长

【详解】(1)底面48CDE,四边形41〃龙为正方形，故以“为原点建立如图所示空

间直角坐标系Z-xyz,

•正方形/四。£的边长为2,B,C分别为NAZ,的中点，PA=AE,尸为棱PE的中点,

故有“(0,0,0),5(1,0,0),C(2,l,0),£(0,2,0),P(0,0,2),尸(0,1,1).

设平面4"的法向量为1(x,y,z),AF=(Q,\,\),AB=(1,0,0),SC=(1,1,0),

令V=l,得”=(0,1,-1).

2

设直线8c与平面月8F所成角为则sina

2

7t

故直线BC与平面ABF所成角为a为g

6

(2)设尸C上的点”(a,6,c),PH=XPC(0<2<1),则(a,6,c-2)=乂2,1,-2),

/.ci—2A,b=2,c=2-22.

又；为平面力所的法向量，AH=(a,b,c),故；/J4-c=0，即"(2-2力=0,解得

A=t

故有噜资，故叱所乖好7

故线段PH的长为2.

21.记数列｛/｝的前〃项和为S,，q=2,S„+Snl=3%,-4.

⑴求｛《,｝的通项公式;

(2)设b„=a„\og2a„,记但｝的前〃项和为7；.若(〃-+247；对于〃22且〃eN*恒成立，求

实数Z的取值范围.

【正确答案】(1)%=2"

(2)Z<8

【分析】(1)利用。“与S”的关系证得数列是等比数列，从而求得%=2"；

(2)先利用错位相减法求得北，再将问题转化为£4/(〃)而„,其中/(〃)=2二(〃±2),利

n-\

用作差法证得=8,从而得解.

【详解】(1)S.+S,,M=3a“M-4,

，当“22时，S“T+S”=3a“一4

两式相减,得a„+%=3a„+1-3a,,整理得a„+l=2a,,,

当〃=1时，S,+S2-3a2-4,:.at+at+a2-3a2-4,:.a2-4,

经检验，a2=2%满足。什|=2a„,

，数列｛%｝是以4=2为首项，2为公比的等比数列,

%=2X2"T=2".

(2)由(1)得，=4“k)gM,="-2",

.-.7；,=1X2'+2X22++nx2",

27；,=1X22+2X23++(〃-1)X2"+〃X2向,

2x(}-2"\

两式相减得=2、22++2"-nx2n+1

=—：2-〃x2,,+1=(1-«卜2n+,-2，

n+

：.Tn=(n-l)x2'+2,

又K”-l)2+247；对于“22且aeN•恒成立，BPZ(/?-l)2+2<(n-l)x2"+1+2,

等价于对于2且恒成立,

H—1

令/(〃)=与(“22)，则，“⑺四，

n-\

则有“，山)-/(〃)上-与=竺3

nn—\

所以当〃=2时，/(2)=/(3),当〃>2时，/(〃+1)>/(〃),

所以/(%n=/(2)=〃3)=8,则」48.

22.已知椭圆C:二+4=l(a>b>0)的离心率为正，焦点分别为耳鸟，点P是椭圆C

ah2

上的点，“与与面积的最大值是2.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设直线/与椭圆C交于M,N两点，点D是椭圆C上的点，0是坐标原点，若

OM+ON=OD^判定四边形OMAN的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是,

请说明理由.

【正确答案】⑴—+^-=1(II)见解析

42

【分析1(I)由题意得到。力，c的方程组，求