2023届浙江省绍兴上虞区四校联考中考数学模拟试题含解析

2023年中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，在RtAABC中，NABC=90。，AB=6,BC=8,点E是△ABC的内心，过点E作EF〃AB交AC于点F,

则EF的长为（）

2.如图是二次函数y=ax?+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax^+bx+cvO的解集是（）

A.-l<x<5B.x>5C.x<—l且X>5D.xV-l或x>5

3.方程x(x+2)=0的根是()

A.x=2B.x=0C.xi=0,X2=-2D.XI=0,X2=2

4.下列运算正确的是()

A.x2*x3=x6B.X2+X2=2X4

C.(-2x)2=3D.(a+b)2=a2+b2

5.关于x的一元二次方程x2-2x+k+2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）

0*

6.半径为R的正六边形的边心距和面积分别是（）

A.正R,-y/3R2B.-R,-A/3/?2

2222

C.—R,—R2D.-R,—R2

2424

7.将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（）

8.下面调查方式中，合适的是（）

A.调查你所在班级同学的体重，采用抽样调查方式

B.调查乌金塘水库的水质情况，采用抽样调查的方式

C.调查《CBA联赛》栏目在我市的收视率，采用普查的方式

D.要了解全市初中学生的业余爱好，采用普查的方式

9.小丽只带2元和5元的两种面额的钞票（数量足够多），她要买27元的商品，而商店不找零钱，要她刚好付27元,

她的付款方式有（）种.

A.1B.2C.3D.4

10.在同一坐标系中，反比例函数尸七与二次函数y=3+A（原0）的图象可能为（）

x

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.若-2x"fy2与3丁/,…是同类项，则机—3〃的立方根是.

12.如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD的周长为.

13.直线j=-x+1分别交x轴，j轴于A、B两点,则AAOB的面积等于_.

14.R3ABC中，AD为斜边BC上的高，若S=45,则==.

15.将一副直角三角板如图放置，使含30。角的三角板的直角边和含45。-角的三角板一条直角边在同一条直线上，则N1

的度数为__________

16.如图，△ABC中，过重心G的直线平行于BC,且交边AB于点D,交边AC于点E,如果设AB=a，AC=b，

用a,b表示GE，那么GE=一.

17.抛物线y=（x+1）2-2的顶点坐标是.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）为了解某校七年级学生的英语口语水平，随机抽取该年级部分学生进行英语口语测试，学生的测试成绩

按标准定为A、B、C、D四个等级，并把测试成绩绘成如图所示的两个统计图表.

七年级英语口语测试成绩统计表

成绩x（分）等级人数

x>90A12

75<x<90Bm

60<x<75Cn

x<60D9

七年级英语口语

测试成绩统计图

请根据所给信息，解答下列问题：本次被抽取参加英语口语测试的学生共有多少人？求扇形统计图中C级的圆心角度

数；若该校七年级共有学生64()人，根据抽样结课，估计英语口语达到B级以上(包括B级)的学生人数.

19.(5分)如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.

(1)求证：ADCEgZiBFE；

(2)若AB=4,tanNADB=1,求折叠后重叠部分的面积.

2

20.(8分)如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE1BC,垂足为点E,GF±CD,垂足为点F.

(1)证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；

An

②推断：——的值为：

BE---------

(2)探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角(0°VaV45°),如图(2)所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系,

并说明理由：

(3)拓展与运用:

正方形CEGF在旋转过程中，当B,E,F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交AD于点H.若AG=6,

GH=2夜，贝!JBC=.

图(1)图(2)图(3)

21.(10分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(0,1),点C(1,0),正方形AOCD的两条对角线的交点

为B,延长BD至点G,使DG=BD,延长BC至点E,使CE=BC,以BG,BE为邻边作正方形BEFG.

4R

(I)如图①，求OD的长及黑的值；

(H)如图②，正方形AOCD固定，将正方形BEFG绕点B逆时针旋转，得正方形BE，F，G。记旋转角为a(0。＜(1

<360°),连接AGI

①在旋转过程中，当NBAG，=90。时，求a的大小;

②在旋转过程中，求AF，的长取最大值时，点F，的坐标及此时a的大小(直接写出结果即可).

22.(10分)某市为了解本地七年级学生寒假期间参加社会实践活动情况，随机抽查了部分七年级学生寒假参加社会

实践活动的天数(“A-------不超过5天”、“B--------6天”、“C--------7天”、“D--------8天”、“E---------9天及以上

并将得到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图.

请根据以上的信息，回答下列问题:

(1)补全扇形统计图和条形统计图;

(2)所抽查学生参加社会实践活动天数的众数是(选填：A、B、C、D、E)；

(3)若该市七年级约有2000名学生，请你估计参加社会实践“活动天数不少于7天”的学生大约有多少人?

23.(12分)问题探究

(1)如图①，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使AAPD为等腰三角形，那么请画出满足

条件的一个等腰三角形AAPD,并求出此时BP的长；

(2)如图②，在△ABC中，ZABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6

时，BC边上存在一点Q,使NEQF=90。，求此时BQ的长；

问题解决

(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用

来监视边AB,现只要使NAMB大约为60。，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知NA=NE=ND=90。，AB=270m,

AE=4()0m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使NAMB=60。？若存在，请求出符合条件的DM

的长，若不存在，请说明理由.

24.(14分)某学校八、九两个年级各有学生180人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，具

体过程如下：

收集数据

从八、九两个年级各随机抽取20名学生进行体质健康测试，测试成绩(百分制)如下:

78867481757687707590

八年级

75798170748086698377

93738881728194837783

九年级

80817081737882807040

整理、描述数据

将成绩按如下分段整理、描述这两组样本数据:

成绩(X)40<x<4950M5960<x<69700烂7980£r<8990<x<100

八年级人数0011171

九年级人数1007102

(说明：成绩80分及以上为体质健康优秀，70〜79分为体质健康良好，60〜69分为体质健康合格，60分以下为体质

健康不合格)

分析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示:

年级平均数中位数众数方差

八年级78.377.57533.6

九年级7880.5a52.1

(1)表格中a的值为；请你估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为多少？根据以上信息，你认为哪个年级

学生的体质健康情况更好一些？请说明理由.(请从两个不同的角度说明推断的合理性)

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

过E作EG〃AB,交AC于G,易得CG=EG,EF=AF,ABC^AGEF,即可得至EG：EF：GF,根据斜边的

长列方程即可得到结论.

【详解】

过E作EG〃8C,交AC于G,贝!）N3CE=NCEG.

TCE平分N8CA,/.ZBCE=ZACE,：.ZACE=ZCEG,：.CG=EG,同理可得：EF=AF.

'JBC//GE,AB//EF,:.NBCA=NEGF,NBAC=NEFG,：.£s,ABC^^GEF.

VZABC=90°,48=6,BC=8,：.AC=1O,:.EG：EF：GF=BC：BC：AC=4：3：5,设EG=4A=AG,贝|JEf=3«=C尸，

FG=5k.

55

VAC=1O,，3mo,：.k=-,:.EF=3k=-.

62

故选A.

A

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构相

似三角形以及构造等腰三角形.

2、D

【解析】

利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集：

由图象得：对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(1,0),

二图象与x轴的另一个交点坐标为(-1,0).

由图象可知：ax'bx+cvO的解集即是y<0的解集，

.♦.xV-l或x>l.故选D.

3、C

【解析】

试题解析：x(x+1)=0,

=>x=0或x+l=0,

解得xi=0,xi=-l.

故选C.

4、C

【解析】

根据同底数幕的法则、合并同类项的法则、积的乘方法则、完全平方公式逐一进行计算即可.

【详解】

A、故A选项错误；

B、必+*2=2总故B选项错误；

C.(-2X)2=4X2,故C选项正确;

£>>(a+b)2=a2+2ab+b2,故D选项错误，

故选C.

【点睛】

本题考查了同底数幕的乘法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键

5、C

【解析】

由一元二次方程有实数根可知AK),即可得出关于A的一元一次不等式，解之即可得出"的取值范围.

【详解】

••・关于x的一元二次方程产-比+打2=0有实数根，

.,.△=(-2)2-4(*+2)>0,

解得：k<-l,

在数轴上表示为：

故选C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程根的情况利用根的判别式列出不等式是解题的关键.

6、A

【解析】

首先根据题意画出图形，易得A08C是等边三角形，继而可得正六边形的边长为R,然后利用解直角三角形求得边心

距，又由S跳边彩=6SOBC求得正六边形的面积.

【详解】

解：如图，0为正六边形外接圆的圆心，连接OB,0C,过点。作于

•：OB=OC=R,

•••△O3C是等边三角形，

：.BC=OB=OC=R9NO3C=60。

VOH1.BC,

CH

•••在Rt_OBH中，sinZOBH=sin60°=—,

OB

即也=g

R2

：.OH=BR,即边心距为正A；

22

V5=-BCOH=-R—R=—R2,

0OBBCC2224

.OA/3p2_3\/32

・・3正六边形一Ou=6xR=-----R9

OnRBCr42

故选：A.

【点睛】

本题考查了正多边形和圆的知识；求得正六边形的中心角为60。，得到等边三角形是正确解答本题的关键.

7、A

【解析】

试题解析：•.•一根圆柱形的空心钢管任意放置，

...不管钢管怎么放置，它的三视图始终是：：，（

,主视图是它们中一个,

...主视图不可能是/、.

故选A.

8、B

【解析】

由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似.

【详解】

A、调查你所在班级同学的体重,采用普查，故A不符合题意；

B、调查乌金塘水库的水质情况，无法普查，采用抽样调查的方式，故B符合题意；

C、调查《CBA联赛》栏目在我市的收视率，调查范围广适合抽样调查，故C不符合题意；

D、要了解全市初中学生的业余爱好，调查范围广适合抽样调查，故D不符合题意；

故选B.

【点睛】

本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，

对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关

重大的调查往往选用普查.

9、C

【解析】

分析：先根据题意列出二元一次方程，再根据x,y都是非负整数可求得x,y的值.

详解：解：设2元的共有x张，5元的共有y张，

由题意，2x+5y=27

・，.x二;(27-5y)

：x,y是非负整数,

x=\X=llx=6

或V,或＜

1尸5k尸3'

...付款的方式共有3种.

故选C.

点睛：本题考查二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系,

列出方程，再根据实际意义求解.

10、D

【解析】

根据k>0,k<0,结合两个函数的图象及其性质分类讨论.

【详解】

分两种情况讨论:

①当k<0时，反比例函数y=幺，在二、四象限，而二次函数y=kx2+k开口向上下与y轴交点在原点下方，D符合;

X

②当k>0时，反比例函数y=8,在一、三象限，而二次函数y=kx2+k开口向上，与y轴交点在原点上方，都不符.

X

分析可得：它们在同一直角坐标系中的图象大致是D.

故选D.

【点睛】

本题主要考查二次函数、反比例函数的图象特点.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11,2.

【解析】

°…加一〃=4in=2

试题分析：若-2x"'-"y2与是同类项，贝(J：J,解方程得：｛。.二加一3〃=2-3x(-2)=8.8

的立方根是2.故答案为2.

考点：2.立方根；2.合并同类项；3.解二元一次方程组；4.综合题.

12、1.

【解析】

试题解析：根据题意，将周长为8的AABC沿边BC向右平移1个单位得到ADEF,

贝!)AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC,

又：AB+BC+AC=1,

/.四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=1.

考点：平移的性质.

2

【解析】

先求得直线y=-x+1与x轴，y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求得^AOB的面积即可.

【详解】

,••直线y=-x+l分别交x轴、y轴于4、B两点,

二4、8点的坐标分别为(1,0)、(0,1),

111

SAAOH=-OA*OB=—xlxl=—,

222

故答案为工.

【点睛】

本题考查了直线与坐标轴的交点坐标及三角形的面积公式，正确求得直线y=-x+1与x轴、y轴的交点坐标是解决

问题的关键.

I

14、-

2

【解析】

利用直角三角形的性质，判定三角形相似，进一步利用相似三角形的面积比等于相似比的性质解决问题.

【详解】

如图，

VZCAB=90°,且AD_LBC,

，NADB=90。，

.♦.NCAB=NADB,且NB=NB,

.,.△CAB^AADB,

:.（AB：BC）,=△ADB：△CAB,

X'•*SAABC=4SAABI>>则SAABD:SAABC=1:4,

AAB：BC=1：1.

15、75°

【解析】

先根据同旁内角互补，两直线平行得出AC〃。凡再根据两直线平行内错角相等得出N2=NA=45。，然后根据三角形

内角与外角的关系可得N1的度数.

【详解】

VZACB=ZDFE=90°,：.ZACB+ZDFE=180°,：.AC//DF,AZ2=ZA=45°,/.Zl=Z2+ZZ）=45o+30o=75°.

故答案为：75。.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，求出N2=N4=45。是解题的关键.

1s6、——1a+—1,b

33

【解析】

连接AG,延长AG交BC于F.首先证明DG=GE,再利用三角形法则求出QE即可解决问题•

【详解】

连接AG,延长AG交BC于F.

是△ABC的重心，DE〃BC,

.,.BF=CF,

ADAEAG2

..DGADGEAE

'~BF~~AB'cF-AC*

.DGGE

BFCF

VBF=CF,

.♦.DG=GE,

27

VAD=-a,AE=-b,

33

2-2

...DE=DA+AE=-b——a,

33

-1一1.1

：.GE=-DE=-b——a,

233

故答案为—b——a.

33

【点睛】

本题考查三角形的重心，平行线的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

17、(-1,-2)

【解析】

试题分析：因为y=(x+D2-2是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(-1,-2),

故答案为(-1»-2).

考点：二次函数的性质.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)60人;(2)144。;(3)288人.

【解析】

(l)D等级人数除以其所占百分比即可得；

(2)先求出A等级对应的百分比，再由百分比之和为1得出C等级的百分比，继而乘以360即可得；

(3)总人数乘以A、B等级百分比之和即可得.

【详解】

解：(1)本次被抽取参加英语口语测试的学生共有9+15%=60人；

12

(2)A级所占百分比为右xl00%=20%,

60

；.C级对应的百分比为1—(20%+25%+15%)=40%,

则扇形统计图中C级的圆心角度数为360x40%=144;

⑶640x(20%+25%)=288(人)，

答：估计英语口语达到B级以上(包括B级)的学生人数为288人.

【点睛】

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力•利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究

统计图，才能作出正确的判断和解决问题•也考查了样本估计总体.

19、(1)见解析；(2)1

【解析】

(1)由矩形的性质可知NA=NC=90。，由翻折的性质可知NA=NF=90。，从而得到NF=NC,依据AAS证明

△DCE^ABFE即可；

(2)由△DCEWZkBFE可知：EB=DE,依据AB=4,tanNADB=』，即可得至I]DC,BC的长，然后再RtAEDC中

2

利用勾股定理列方程，可求得BE的长，从而可求得重叠部分的面积.

【详解】

解：(1)•••四边形ABCD是矩形，

.,.ZA=ZC=90°,AB=CD,

由折叠可得，NF=NA,BF=AB,

.,.BF=DC,NF=NC=90°,

XVZBEF=ZDEC,

.,.△DCE^ABFE；

(2)VAB=4,tanZADB=—,

2

，AD=8=BC,CD=4,

,.△DCEg△BFE,

；.BE=DE,

设BE=DE=x,贝！|CE=8-x,

在RtACDE中，CE2+CD2=DE2,

(8-x)2+42=x2,

解得x=5,

.,.BE=5,

11

:.SABDE=_BExCD=—x5x4=l.

22

【点睛】

本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，

折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

20、(1)①四边形CEGF是正方形；②0；(2)线段AG与BE之间的数量关系为AG=0BE；(3)375

【解析】

(1)①由GELBC、GFLCD结合/BCD=90可得四边形CEGF是矩形，再由/ECG=45即可得证；

②由正方形性质知/CEG=/B=90、/ECG=45，据此可得器=夜、GE//AB,利用平行线分线段成比

例定理可得；

(2)连接CG,只需证_ACGs^BCE即可得；

(3)证AAHGSCHA^—,设BC=CD=AD=a,知AC=0a，由丝=强得AH=2a、

ACAHCHACAH3

DH=-a.CH=®a,由江=£m可得a的值.

33ACCH

【详解】

(1)①•••四边形ABCD是正方形，

.*.ZBCD=90o,NBCA=45。，

,.,GE_LBC、GF±CD,

:.ZCEG=ZCFG=ZECF=90°,

二四边形CEGF是矩形，ZCGE=ZECG=45°,

AEG=EC,

・•・四边形CEGF是正方形；

②由①知四边形CEGF是正方形，

AZCEG=ZB=90°,ZECG=45°,

CGrr

.......—v29GE〃AB,

CE

AGCG

•••--J75乙,

BECE

故答案为夜；

(2)连接CG,

由旋转性质知NBCE=NACG=a,

在RtACEG和RtACBA中，

CEV2CBV2

----、=----，

CG2CA2

乌空S

CECB

,.△ACG^ABCE,

・.四上=区

BECB

,.线段AG与BE之间的数量关系为AG=V2BE；

(3)VZCEF=45°,点B、E、F三点共线，

,•ZBEC=135°,

/△ACG^ABCE,

,.ZAGC=ZBEC=135°,

\ZAGH=ZCAH=45°,

/ZCHA=ZAHG,

,.△AHG^ACHA,

.AGGHAH

••而一而一而‘

设BC=CD=AD=a,贝！|AC=0a,

则由生=也得二=迪,

ACAH缶AH

.,.AH=-a,

3

贝!|DH=AD-AH=；a,CH=7CD2+DH2=a'

2

X-Cl

AGAH6=3_

~AC~~CH^42aV10，

-----a

解得：a=36，即BC=36，

故答案为36.

【点睛】

本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练

掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.

21、(I)-(II)①a=30。或150。时，NBAG70。②当a=315。时，A、B、F，在一条直线上时，AP的长最大，最大

2

/711

值为之+2,此时a=315。，F，(一+0,--0)

222

【解析】

⑴根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题,(2)①因为NR4G，=90。，

AB1

5G，=2AB,可知sinNNG3=——=一，推出NNG3=30。,推出旋转角a=30。,据对称性可知，当NZ8G”=60。时，/&1G"=9O。,

BG2

也满足条件，此时旋转角a=150。,②当a=315。时人、B、尸在一条直线上时“广的长最大.

【详解】

(I)如图1中，

-A(0,1),

..OA=1,

•・•四边形OADC是正方形，

AZOAD=90°,AD=OA=1,

OD二

:.AB=BC=BD=BO=返，

2

VBD=DG,

=无

.BG

AB

-BGV2

一_1

一——.

V22

(II)①如图2中，，

VZBAGr=90°,BG，=2AB,

sinNAG，B=野=L

BG'2

.INAG'B=30°,

.•.NABG，=60。，

.♦.NDBGTO。，

二旋转角a=30°,

根据对称性可知，当NABG”=60。时，NBAG”=90。，也满足条件，此时旋转角a=150。,

综上所述，旋转角a=30。或150。时，NBAG，=90。.

②如图3中，连接OF,

•••四边形BE，F，G，是正方形的边长为血

/.BFr=2,

.,.当a=315。时，A、B、F，在一条直线上时，AF，的长最大，最大值为返+2,

2

此时a=315。，F，(》我，-1-V2)

【点睛】

本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握正方形的四条边

相等、四个角相等，旋转变换的性质以及特殊角的三角函数值的应用.

22、(1)见解析；(2)A；(3)800人.

【解析】

(1)用A组人数除以它所占的百分比求出样本容量，利用360。乘以对应的百分比即可求得扇形圆心角的度数，再求得时间

是8天的人数，从而补全扇形统计图和条形统计图；

(2)根据众数的定义即可求解；

(3)利用总人数2000乘以对应的百分比即可求解.

【详解】

解：(1)•••被调查的学生人数为24+40%=60人，

•••D类别人数为60-(24+12+15+3)=6人，

则D类别的百分比为与xl00%=10%,

(2)所抽查学生参加社会实践活动天数的众数是A,

故答案为：A；

(3)估计参加社会实践“活动天数不少于7天”的学生大约有2000x(25%+10%+5%)=800人.

【点睛】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

23、(1)1；2-77;6;(1)4+百；(4)(200-2573-4072)米.

【解析】

(1)由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可

解决问题.

(1)以EF为直径作。O,易证0O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方

形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长.

(4)要满足NAMB=40。，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然

后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长.

【详解】

(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①，

则PA=PD.

.•.△PAD是等腰三角形.

•..四边形ABCD是矩形，

/.AB=DC,ZB=ZC=90°.

VPA=PD,AB=DC,

ARtAABPgRtADCP(HL).

.,.BP=CP.

VBC=2,

.\BP=CP=1.

②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P，，如图①，

贝！IDA=DP'.

...△P，AD是等腰三角形.

•••四边形ABCD是矩形，

.*.AD=BC,AB=DC,ZC=90°.

VAB=4,BC=2,

.,.DC=4,DPr=2.

.••CP，="2—32="

工BP，=2-币.

③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P”,如图①,

贝!IAD=AP".

.•.△P"AD是等腰三角形.

同理可得：BP"=".

综上所述：在等腰三角形AADP中，

若PA=PD,则BP=1；

若DP=DA,贝!!BP=2-"

若AP=AD,贝!JBP=V7.

(1)TE、F分别为边AB、AC的中点，

，EF〃BC,EF=-BC.

2

VBC=11,

.\EF=4.

以EF为直径作。O,过点O作OQ_LBC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②.

A

BGDOC

图②

VAD±BC,AD=4,

...EF与BC之间的距离为4.

.\OQ=4

.,.OQ=OE=4.