四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二年级上册入学联考数学题 含解析

2023-2024学年度上期高中2022级入学联考

数学试卷

考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字

笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干

净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出

答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1,复数z=（2-31）（1+21）,则1的虚部为（）

A.-1B.1

C.-iD.i

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的乘法法则及共轨复数的定义，结合复数的概念即可求解.

【详解】z=（2—3i）（l+2i）=2+4i—3i—6i2=8+i,

所以三=8—i，

所以［的虚部为-1.

故选:A.

2.己知机,〃是非零向量，则加J_〃是机.〃=0（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据充分必要性以及向量数量积的运算规则进行判断.

【详解】解：因为加，〃是非零向量且〃?_L〃，

所以加•〃=（）,满足充分性;

又因为〃八〃=0，且〃,2〃是非零向量，

所以时.cos＜m,〃＞=0,

故vW＞=90,即机_L〃，满足必要性.

故选：C.

3.已知偶函数/（力在（-oo,0］上单调递减，则下列结论正确的是（）

A./(-1)>/(5)>/(2)B./(2)>/(-1)>/(5)

C./（-1）＞/（2）＞/（5）D./（5）＞/（2）＞/（-1）

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶函数的性质和函数的单调性求解.

【详解】由于函数“X）为偶函数,故〃5）=/（—5）,〃2）=/（—2）,

且了（力在（7,0］上单调递减,

所以/(—5)>/(-2)>/(-1),即/(5)>/(2)>/(-1),

故选:D.

4.设.ABC的内角A8,C的对边分别为a,4c,已知8=工,。=12,。=6及，则C=（）

4

71it

A.-B.一

63

c.N或型兀3.2兀

D.一或一

6633

【答案】A

【解析】

【分析】正弦定理求解.

12672

b

【详解】由正弦定理得:，即一sinC，

sinBsinCsin—

4

则sinC=’.又TT

c<b,则C<3,则c=一，

26

故选:A.

5.已知a,/是空间中两个不同的平面，加，〃是空间中两条不同的直线，下列说法正确的是（）

A.若a_L£,m_L，，则m//a

B.若zn//a,”///?,a//p,则向/〃

C.若m10,m//n,nua,则a_L，

D,若加」a,〃/〃?,c_L£,则加_L〃

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间中线面关系的判定与性质定理逐项验证即可.

【详解】对于A,若a_L/7,m，£,则m//a或能ua,故A错误；

对于B,若加//a,〃//p,a//Q,则加〃〃或者〃7鹿=「或者〃异面，故B错误；

对于C,若加_1_耳,〃?//”,，则〃_L£,又"ua,则a_!_/?,故C正确；

对于D,若〃//£,a_Lp,则〃可以垂直a,又m_La,则加〃小故D错误.

故选：C.

6.某中学校园内有一水塔，小明同学为了测量水塔的高度，在水塔底的正东方向的A处测得塔顶的仰角

为30。，在水塔底的南偏西60。方向的8处测得塔顶的仰角为45°,已知AB=91m,则水塔的高度为

（）

A.1377mB.7V13m

C12MoD.8vHm

【答案】A

【解析】

【分析】画出图象，在qABC,利用余弦定理解出即可.

【详解】如图：设水塔高为/?，则AC=6〃,3C=/Z，

则在zuABC中,9/="+（血」一2x力xV3/ixcosl50°，

化简得：9产=7*,即〃=13j7m，

设~D=AB=2a,

在△EOC中，EO=6a,OC=品，EC=瓜

所以cosNCEO=g°=>

EC5

故选:B.

8擎正运的值为（）

A/3COS100

AV6V6cV6nx/6

3462

【答案】C

【解析】

【分析】利用二倍角公式及诱导公式化简即可.

【详解】由题意得：

sin5O°Jl-cos80。_及sin50°・sin40。_夜cos40°・sin40°_及sin80。_76

gcoslO°&coslO°V3cosl0o2^cosl006

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.若集合A={x|or-3=0},8={x|V_2x—3=0},且AqB,则实数。的取值为（）

A.OB.1

C.3D.-3

【答案】ABD

【解析】

【分析】解出集合B,根据4勺8,讨论集合A,解出实数〃的值即可.

【详解】5={X|X2_2X—3=0}={—1,3},又A=B,

当A=0,则。=0,

当4={-1},则口=一3,

当4={3},则a=l.

故选：ABD.

10.已知加=b2sinx,\5sinx),"=(sinx,2cosx),函数/(x)=m•〃+1,则下列结论正确的是

()

A.函数/(龙)的初相是2

6

B.x=：是函数"X)图象的一条对称轴

C.他0)是函数“X)图象的对称中心

D.函数/(x)的图象向左平移B个单位后关于y轴对称

6

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据向量的数量积的坐标表示及二倍角公式，利用辅助角公式及三角函数的性质，结合图象的平

移变换即可求解.

【详解】因为m=^-2sinx,>/3sinxj,n=(sinx,2cosx),

所以/(x)=mn+\=-2sin2x+2\Z3sinrcosx+1=-73sin2x+cos2x=2sin(2x+^J,

易知函数/(x)的初相是V，故A正确；

6

由/(T=2sin(2xE+2)=2sing=6w±2,得*=:不是函数/(x)图象的一条对称轴，故B

错误；

由/(x)=2sin^2xj1+^j=2sin7t=0,得(著，0］是函数/(x)图象的一个对称中心，故C正确；

/71\71(兀、

对于D选项：y=2sin2lx+—l+—=2sin2x+-=2cos2x为偶函数，函数关于y轴对称，故D

\2)

正确.

故选：ACD.

TlTI

11.如图，在四面体ABCO中，平面平面BCQ,NA3C=N8CO=—,NCBD=—,

26

AB=BD=2,则下列结论正确的是()

J

A.四面体ABC。的体积为g

B.ABA.CD

C.二面角A—CO—8的余弦值为叵

7

4

D.四面体ABCQ外接球体积为g7r

【答案】BC

【解析】

7T

【分析】根据平面ABC1平面BC2ZBCO=一，得到CD_L平面ABC,从而CDL43,再由

2

7T

NABC=—得到A813C,从而AB1平面BCD,可判断AB选项；易得二面角A—CD—8的平面

2

角是NAC8判断C选项；将原几何体补成长方体判断D选项.

7F

【详解】因为平面43cl平面BCD,/58=一，平面ABCc平面88=BC,

2

所以CDJ•平面ABC,ABu平面ABC,

所以CD_LAB,

Tt

又NABC=—，则AB_Z3C,且CE>cBC=C,

2

所以AB上平面BCD,

TTTT

在△38中，因为NBCO=—,NC5D=—,BD=2,

26

所以。C=6OsinC=2x』=l,8C=8Ocos^=2x3=^,

6262

所以S=-BCDC=-xlxV3=—.

BwCrDn322

所以匕IBe=—SRe-AB=—xx2=,A不正确，B正确；

n-Dv^u3D\.LJ323

二面角A-CD-3的平面角是NACE,易得cos/A。8=生=叵，C正确;

AC7

将原几何体补成长方体，如图所示：

-------715

则四面体ABCD的外接球即为长方体的其外接球，外接球的直径为AD,且

\AD\=yj\ABf+\BDf=2V2，

所以半径R=0,

故L=g7I（A/2）3=-71>D错误.

故选：BC.

12.设ABC的内角A,8,C的对边分别为a,4c,则下列结论正确的是（）

A.若sinA>sin5,则4>夕

B.若C=而,C=色，则二ABC外接圆的半径为叵

36

3

C.若a=2,。=3,c=vlO，则AC,BC=—

D.若asinA+Z?sin3>csinC,则一ABC为锐角三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】利用正弦定理化角为边，再根据大边对大角即可判断A；利用正弦定理即可判断B；先利用余弦

定理求出COSC，再根据数量积的定义即可判断C；利用正弦定理化角为边，正在跟进余弦定理即可判断

D.

【详解】对于A,因为sinA>sin3,由正弦定理得a>九,A>8,故A正确；

2R=C扇

对于B,由正弦定理:一二万，得尺=卫，

T

即,ABC外接圆的半径为叵，故B错误;

3

^2>2_24+9-101

对于C,由余弦定理cos。二幺二一-

2ab2x2x3-4

13

则AC・C8=2x3x—=—,故C正确；

42

对于D,因为asinA+hsinB>csinC,

『扇2

由正弦定理得/+。2Ac?，则/+尸〉。？，故COSC="------------>0，

2ab

所以角C为锐角，但不一定为锐角三角形，故D错误.

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

/x2x+1,x>0/\

13.已知函数〃x）={2，若/（a）=2,则。=______.

x—x,x<0

【答案】-1

【解析】

【分析】根据己知条件及分段函数分段处理的原则即可求解.

【详解】当a>0时，2"+1=2,解得。=0,此时“无解，

当时，«2-<2=2>解得a=T或。=2（舍去），

所以a=-l.

故答案为：T.

14.已知。e（0,5）,l+cos2e=2sin2。，贝i]cos〃=.

【答案】拽#。石

55

【解析】

【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.

【详解】由l+cos26=2sin2e,得2852。=45111夕85。，

（

因为。w0,—<

乙）

所以cos>0,sin>0,tan,

2

八sin。1sin®=——

tan0=-------=—5

vcos02解得

a2亚'

sin2。+cos?6=1cos0=------

5

所以COS9=26.

5

故答案为：2叵.

5

15.已知等腰直角三角形的斜边长为2cm,以该三角形的一直角边所在的直线为旋转轴将该三角形旋转

一周，所得的旋转体的侧面积为cm2.

【答案】2舟

【解析】

【分析】根据圆锥的侧面积公式求解.

【详解】由题可知，等腰三角形的腰长为血cm，

所以所得旋转体是以r=夜为底面圆的半径,1=2为母线长的圆锥，

所以侧面积为—x2兀rx/=2及兀cm?,

2

故答案为：2正冗・

16.在」48。中，已知BA-BC='C4-C3+2AC-A3,则tanB的最大值为.

33

【答案】2^1##1714

22

【解析】

【分析】由平面向量数量积公式和余弦定理得到2/+。2=3必，进而由余弦定理和基本不等式求出

COS8=/+2C~n",从而求出tanB有最大值，最大值为恒.

6ac32

1?12

【详解】由A4,BC=-CA-CB+—AC-AB得accosB=—ahcosC+—hccosA,

3333

即3accosB=abcosC+2/?ccosA，

2212222222

又由余弦定理得：3aca+C~=ab--a+b-cC,b+c—a

■+2bc—

2aclab2hc

化简得：2/+。2=3必，

222a2+c2

222612二夜，

Da+c-b+c_fl+2c22\j2ac

>-------------:

laclac6acGac3

当且仅当a=时，等号成立，

将。=后代入2a?=3/中，可得匕,满足任意两边之和大于第三边,

singV14

故cosB有最小值，且8为锐角，此时Sin5，tanB

cosB2

由于y=cosx在（0卷）上单调递减，y=tanx在（0,5）上单调递增,

故tanB有最大值，最大值为恒.

2

故答案：叵

2

【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题,

或与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，

通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知加=.

（1）加+2〃与〃—根的夹角为。,求

（2）若攵几一根与〃2+2〃垂直，求女.

7T

【答案】（1）

4

（2）k=0.

【解析】

【分析】(1)利用平面向量的夹角公式求解;

(2)根据无一机与〃?+2〃垂直，由(左〃一根)•(加+2〃)=0求解.

【小问1详解】

解：因为加=(1,-1),〃=(1,2),

所以+2〃=(3,3),力一加=(0,3),

（加+2〃）•（〃一",=9,|m+2/?|=3五,卜一/“二3,

所以cos9二

|zn+2n||n—2

jr

又。«0,可,.♦.£=“

【小问2详解】

kn-m=[k-l,2k+\）y,m+2n=（3,3）,

kn-m与〃z+2〃垂直，

二伏〃-加）.（〃?+2〃）=0,

即3（I）+3（2Z+l）=0,

解得k=0.

18.如图，在斜三棱柱ABC-A4G中，\BLACVAAX=AB,〃为BC的中点.

(1)证明：AC"/平面A8M；

(2)证明：平面平面48c.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】（1）由三角形中位线可得OM〃AG，进而结合线面平行的判定定理分析证明;

（2）由题意可得平面AB。，进而结合面面垂直的判定定理分析证明.

【小问1详解】

设A8与AB1交于点。，连接OM,如图，

在斜三棱柱ABC-AgG中，四边形ABB/是平行四边形，则点。为A81的中点，

因为点。为Ng的中点，点M为BQ的中点，则OA7〃AG，

且OMu平面ABM,AC1<Z平面ABM,AC|〃平面A8M.

【小问2详解】

因为AA=A6,则四边形是菱形，则

又因为A8LAG，AG=A,可知A3,平面A8G，

且ABu平面ABC,所以平面AgG，平面ABC.

19.如图，在四边形ABC。中，/ZM5与N0CB互补，AB=6,BC=4,CD=4,A£>=2.

⑴求AC；

（2）求四边形ABCD的面积.

【答案】（1）AC=2百

⑵8百

【解析】

【分析】(1)连接AC,在△AOC,98C中，利用余弦定理分别求出，cosNAOCcos/ABC,利用两

值相反，建立等式，解出即可；

(2)分别求出△ADCA45C的面积，相加即可.

【小问1详解】

连接AC,如图，

与N0C6互补，,NADC与/ABC互补，

在AADC中，AC2=AD2+CD2-2AD-CD-cosZADC，

即AC2=4+16-2x2x4xcosZADC.

阳…万20-AC2

得cosZADC----------.

16

在,ABC中，AC2=AB-+BC2-2AB-BC-cosZABC.

即AC2=36+16-2X6X4XCOSZABC）

得cosZABC=AU,

48

又/ADC与/ABC互补，

/.cosZADC+cosZABC=0,

故AC=2币;

【小问2详解】

iG

由（1）得cosZAOC二一一sinZADC=—,

22

•・SMM=—AD-CD-sinZADC=273,

Ih

由（1）得cosNA8C=-,:.sinNA8C=»,

22

/.S△ABC=gA3-BC-sinZABC=6A/3,

S四边形A8CD=S4BC+%4co=8>/3.

20.已知函数/(x)=Gsin(2x+5)-2sin22+x

(1)求函数/(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;

(2)若存在x°eR，使得不等式/(七)4一3成立，求cos

l^TTJT

【答案】(1)最小正周期为兀，对称轴方程为x=---------MwZ；

212

(2)cos

2

【解析】

【分析】(1)化简/(x),得/(x)=2cos[2x+Wj-l,从而可得周期；令2x+^=加,ZeZ,求解即

6

可得到对称轴方程;

jr27r

2XQ—=2&兀H----，&£Z,从而可得cos

632

小问1详解】

/(x)=V3sin|2x+—j-2sin2—+x=V3cos2x+cos2x+--1

4JI2

=V3cos2x-sin2x-l=2cos^2x+^-j-l,

27r

\/(x)的最小正周期7=/=兀，

ITKTTTT

令2x+—=E,ZwZ,解得尤=-------,kwZ,

6212

jZTTIT

・・•对称轴方程为x=--------/GZ；

212

【小问2详解】

即

/(x0)=2cos1<-3,cos

一兀712兀

则2x°H—-—2kli+Tt、keZ,故2x0—=2knH----,keZ,

663

cosAsinA

21.已知d45c的内角A民。的对边分别为a,b,%

sinA+sinCcosA+cosC

（1）若。=不~,求角A;

14

（2）求次三的取值范围.

a

3兀

【答案】（1）A=—

14

3b-c

(2)-------e

【解析】

【分析】（1）逆用余弦和角公式，结合二倍角公式和诱导公式，得到cosB=cos2A,结合角的范围得到

5713兀

B=2A，由A+6+C=TE,C='求出A=H；

1414

（2）由正弦定理和三角函数恒等变换得到独二=-4（COSA—3]+—,计算出0<A〈色，从而求出

aL4j43

生£的取值范围.

a

【小问1详解】

cosA_sinA

sinA+sinCcosA+cosC

cos2A+cosAcosC=sin2A+sinAsinC，

即cosAcosC-sinAsinC=sin2A-cos2A，

cos(A+C)=-cos2A,

cos(TC-B)=-COS2A,

/.cosB=cos2A,

0<B<TI,0<2A<2TI,

/•3=2A或3+24=2兀，

又0<4+3<兀,0<4<兀，故0<24+3<2兀，

所以8=2A，

5兀

A+B+C=K,C=—,

14

57r37i

A3A+—=7i,解得A=世；

1414

【小问2详解】

3b-c3sinB—sinC3sin2A-sin（兀-3AL）

由正弦定理得：-----=-----;------=---------:-------,

asinAsinA

3b-c_3sin2A-sin3A_6sinAcosA-sin（2A+A）

asinAsinA

6sinAcosA-（sin2AcosA+cos2AsinA）

----------------------------------------------=6cosA-2cos2A-cos2A

sinA

L4+6cosA+l=4cosA-牙+巴

I4j4

又，A-bB-hC=7i,B=2A,

:.C=7i—3A>0,

0<<—.

3

—<cosA<1,

2

22.图①是由矩形ABCD和梯形WE组成的一个平面图形，其中3E=EF=2,A尸=4,

DG

BE〃AF,NBEF=90。,AB=2BC,点G为。。边上一点，且满足证=2（0＜九＜1）,现将其沿着

折起使得平面平面A5EE,如图②.

①②

(1)在图②中，当/1=,时，

2

(i)证明：AG_L平面5R7；

(ii)求直线AG与平面EEG所成角的正弦值；

(2)在图②中，记直线AG与平面EFG所成角为4,平面ABG与平面EFG的夹角为%,是否存在；I

使得4=%?若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)(i)证明见解析；(ii)打巨；

11

(2)存在；［=1一走

2

【解析】

【分析】(1)(i)分别利用勾股定理得到AG2+GB2=AB2,故AGLG5,AB2+BF2^AF2＞故

BF±AB,再利用平面ABC。1平面ABEF,得到B/7_1_平面ABCD，从而5ELAG,再利用线面

垂