2023-2024学年河南省信阳市息县思源实验学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省信阳市息县思源实验学校九年级第一学期

开学数学试卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1.若方程(m+z)xmJZ+Zx+ko是关于x的一元二次方程，则〃?的值为()

A.-2B.0C.-2或2D.2

2.设A(1,%)，8(-2,”)，C(2,p)是抛物线y=-(x+1)2+3上的三点，则y\,

y2,的大小关系为()

A.j3>y2>yiB.>'3>yi>y2C.y2>yi>y3D.»>”>丫2

3.函数y=-2/先向右平移3个单位，再向下平移7个单位，所得函数解析式是()

A.y--2(x-3)2+7B.y--2(x-3)2-7

C.y=-2(x+3)2+7D.尸-2(x+3)2-7

4.一个Q。群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息

420条，则可列方程()

A.£X(X-1)=420B.x(x-1)=420

C.yx(x+l)=420D.x(x+l)=420

5.已知二次函数y=-N+2r+4,则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是()

A.图象的开口向上

B.图象的顶点坐标是(1,3)

C.当xVl时，y随x的增大而增大

D.图象与x轴有唯一交点

6.抛物线y=(x-/??)2+m-2的对称轴是直线x=3,那么它的顶点坐标是()

A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)

7.某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件331万个.设该厂五、六月份平均

每月的增长率为羽那么x满足的方程是()

A.100(1+x)2=331

B.100+100(1+x)+100(1+x)2=331

C.100(1+2%)=331

D.100+100(1+x)+100(l+2x)=331

8.若关于x的一元二次方程匕2-Zr-1=0有实数根，则k的取值范围是（

A.无2-1且kWOB.无》-1C.AW1D.kWT且AWO

9.在同一平面直角坐标系中，二次函数》=以2与一次函数y=fov+c的图象如图所示，则二

次函数y=ar2+bx+c的图象可能是（）

10.如图是二次函数y=ox2+/»+cQW0）图象的一部分，对称轴是直线x=-2.关于下列

结论：@ab<0；②拄-4ac>0；③9a-3匕+c>0；④b-4a=0；⑤方程以2+法=（）的两个

根为箝=0,及=-4,其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题（每题3分，共15分）

11.若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围

是

12.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式，话-“+2022的值

为.

13.汽车刹车后行驶的距离s(单位：米)关于行驶的时间f(单位：秒)的函数解析式是s

=8-2凡汽车刹车后停下来前进的距离是米.

14.已知方程(/+9-1)2=]6,则N+y2的值为.

15.如图，已知抛物线)=以2+公+'(4#0)的对称轴为x=l,与x轴的一个交点是(3,0),

则方程+反+c=0(a#0)的两根是.

三、解答题(共75分)

16.用适当的方法解下列一元二次方程：

(1)N-6X+3=0；

(2)2(x+1)2=x2-1.

17.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中«>b、c分别为AABC

三边的长.

(1)如果x=-1是方程的根，试判断AABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由.

18.某菜农每年的种植成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为5万元，可变

成本逐年增长.已知该菜农第1年的可变成本为2.7万元，如果该菜农第3年的种植成本

为8.888万元，求可变成本每年平均增长的百分率.

19.已知一个二次函数的对称轴是直线x=l,图象最低点尸的纵坐标是-8,图象过(-2,

10)且与x轴交于A、B,与y轴交于C.求：

(1)这个二次函数的解析式；

(2)△ABC的面积.

20.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15机的住房墙，另外三边用27m

长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，当所围矩形

猪舍的长，宽分别为多少米时，猪舍面积为96病?

,住房墙.

L

TfIm

____f

21.为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入

大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场

调查发现,该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系:y=-2x+80.设

这种产品每天的销售利润为w元.

（1）求w与x之间的函数关系式.

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150

元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

22.周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果

不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线.小明测得小球的飞行高度力（单位：m）

与飞行时间f（单位：s）的几组值后，发现人与f满足的函数关系式是/7=20-5F.

（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？

（2）小球飞行时间，在什么范围时，飞行高度不低于15机？

23.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（-1,0）,直线y=-x+机与该二次函数的

图象交于A,B两点，与二次函数图象的对称轴交于点D,其中A点的坐标为（-3,4）,

B点在y轴上.

（1）求机的值及这个二次函数的关系式；

（2）求△ABC的面积；

（3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q,使得以A,B,Q为顶点的三角形是等腰

三角形？若存在，请直接写出符合条件的。点的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（每题3分，共30分）

1.若方程（1n+2h.-2+2*+1=0是关于X的一元二次方程，则加的值为（）

A.-2B.0C.-2或2D.2

【分析】根据一元二次方程的定义得出/M+2W0且机2-2=2,再求出机即可.

解：：方程（m+2）*代-2+2*+1=0是关于x的一元二次方程，

...nj+2W0且m2-2—2,

解得w=2.

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出〃?+2W0且

m2-2=2是解此题的关键.

2.设A（1,%）,8（-2,”），C（2,"）是抛物线y=-（x+1）2+3上的三点，则），”

y2,y3的大小关系为（）

A.y3>”>yiB.>'3>>'i>>,2C.D.

【分析】根据二次函数的性质得到抛物线），=-（X+1）2+3的开口向下，对称轴为直线X

=-1,然后根据二次函数的性质即可得到结论.

解：；抛物线y=-（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x=-l,

：.B（-2,"）关于对称轴的对称点为（0,”），

V-1<0<1<2,

：.y3<y\<y2.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解

析式.也考查了二次函数的性质.

3.函数y=-2x2先向右平移3个单位，再向下平移7个单位，所得函数解析式是（）

A.y=-2（x-3）2+7B.y=-2（x-3）2-7

C.y=-2（x+3）2+7D.y=-2（x+3）2-7

【分析】先确定函数）'=-2%2的顶点坐标为（0,0）,再把点（0,0）平移所得对应点

的坐标为（3,-7）,然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.

解：函数y=-2%2的顶点坐标为（0,0）,把（0,0）先向右平移3个单位，再向下平

移7个单位所得对应点的坐标为（3,-7）,所以平移后的抛物线解析式为y=-2（x

-3）2-7.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故。不

变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点

平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出

解析式.

4.一个。。群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息

420条，则可列方程（）

A.（X-1）=420B.x（x-l）=420

C.-^-x（x+1）=420D.x（x+1）=420

【分析】利用发信息的总数=Q。群里好友的人数x（QQ群里好友的人数-1）,即可

列出关于x的一元二次方程，此题得解.

解：根据题意得：x（x-1）=420.

故选：B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的关键.

5.已知二次函数y=72+〃+4,则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）

A.图象的开口向上

B.图象的顶点坐标是（1,3）

C.当时，y随x的增大而增大

D.图象与x轴有唯一交点

【分析】先利用配方法得到y=-（X-1）2+5,可根据二次函数的性质可对A、B、C进

行判断；通过解方程-/+标+4=0可对D进行判断.

解：Vy=-x2+2x+4=-（x-1）2+5,

二抛物线的开口向下，顶点坐标为（1,5）,抛物线的对称轴为直线x=l,当x<l时，

y随x的增大而增大，

令y=0,贝ij-N+2r+4=0,解方程解得羽=1+诉，及=1-遥，

.♦.△=4-4X(-1)义4=20>0,

.•.抛物线与x轴有两个交点.

故选：C.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y="2+bx+c(a,b,c是常数，

aWO)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程根的判断.也考查了二次

函数的性质.

6.抛物线y=(x-m)2+m-2的对称轴是直线x=3,那么它的顶点坐标是()

A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)

【分析】首先根据对称轴是直线x=3,从而求得机的值，然后根据顶点式直接写出顶点

坐标；

解：；抛物线y=(x-m)2+胆-2的对称轴是直线x=3,

.•.1"=3,

解析式y=(x-3)2+1,

顶点坐标为：(3,1),

故选：A.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键，难度适中.

7.某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件331万个.设该厂五、六月份平均

每月的增长率为x,那么x满足的方程是()

A.100(1+x)2=331

B.100+100(1+x)+100(1+x)2=331

C.100(1+2%)=331

D.100+100(1+x)+100(l+2x)=331

【分析】根据该厂四月份的产量及五、六月份平均每月的增长率，即可得出该厂五月份

生产零件100(1+x)万个，六月份生产零件100(1+x)2万个，再结合该厂第二季度共

生产零件331万个，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

解：：该厂四月份生产零件100万个，且该厂五、六月份平均每月的增长率为x,

该厂五月份生产零件100(1+x)万个，六月份生产零件100(1+x)2万个，

又•.•该厂第二季度共生产零件331万个，

A100+100(1+x)+100(1+x)2=331.

故选：B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的关键.

8.若关于x的一元二次方程近2-2x-1=0有实数根，则a的取值范围是()

A.左》-1且ZWOB.k》-IC.代1D.ZW1且ZW0

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到AW0且△=22-4火X(-1)20,

然后求出两个不等式的公共部分即可.

解：根据题意得4#0且△=22-4&X(-1)》0,

解得心-1且20.

故选：4

【点评】本题考查了一元二次方程ox2+bx+c=0(a#0)的根的判别式△=〃-4“c：当

A>0,方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方

程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.

9.在同一平面直角坐标系中，二次函数>=以2与一次函数y=bx+C的图象如图所示，则二

次函数y=ox2+6x+c的图象可能是()

【分析】根据二次函数尸”与一次函数产以+c的图象，即可得出40、b>0、c<0,

由此即可得出：二次函数y=ov+法+c的图象开口向上，对称轴x=-4<°，与y轴的

2a

交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论.

解：观察函数图象可知：a>0,b>0,c<0,

.•.二次函数y=or2+bx+c的图象开口向上，对称轴》=-已<0,与y轴的交点在y轴负

2a

半轴.

故选：D.

【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函

数图象经过的象限，找出。>0、〃>0、cVO是解题的关键.

10.如图是二次函数y=ox2+笈+c(aW0)图象的一部分，对称轴是直线x=-2.关于下列

结论：@ab<0；®b2-4ac>0；(3)9a-3b+c>0；@h-4«=0；⑤方程0%2+法=0的两个

根为xi=O,及=-4,其中正确的结论有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】由抛物线的开口方向判断。与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的

关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

解：：抛物线开口向下，

••b—4a,ab>0,

.".b-4a=0,

.,.①错误，④正确，

；抛物线与x轴交于-4,0处两点，

.".b2-4ac>0,方程ax2+6x=0的两个根为》=0,X2=-4,

二②⑤正确，

当x=-3时y>0,即9a-3b+c>0,

.••③正确，

故正确的有②③④⑤.

故选：C.

【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与6

的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用.

二、填空题（每题3分，共15分）

11.若关于x的一元二次方程N-2x+A=0有两个不相等的实数根，则上的取值范围是」

<1.

【分析】根据根的判别式的意义得到（-2）2-4k>0,然后解不等式即可.

解：根据题意得△=（-2）2-4XQ0,

解得ZVL

故答案为：k<l.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）的根与A=62-4ac

有如下关系，当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相等的

实数根；当△<（）时，方程无实数根.上面的结论反过来也成立.

12.已知抛物线y=/-x-1与x轴的一个交点为（〃?，0）,则代数式加-加+2022的值为

2023.

【分析】将（〃?，0）代入函数解析式可得切2一根的值，进而求解.

解：将（加，0）代入y—x2-x-1得加2--1=0,即浮_机=1,

，相2一例+2022=1+2023,

故答案为：2023.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系.

13.汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间单位：秒）的函数解析式是s

=8,-2产，汽车刹车后停下来前进的距离是米.

【分析】直接利用配方法求出二次函数最值进而得出答案.

解：s=8f-It2

=-2（於-4/）

--2（/-2）-+8,

故当t=2时，s最大为8〃?.

故答案为：8.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确应用配方法是解题关键.

14.已知方程（/+y2-1）2=16,则*2+y2的值为5.

【分析】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案.

解：设N+y2=a,原方程等价于（a-1）2=16.

解得a-1=4,a-1=-4（不符合题意，舍），

x1+y2—5,

故答案为：5.

【点评】本题考查了换元法解一元一次方程，利用/+产=〃得出关于。的一元二次方程

是解题关键，注意平方都是非负数.

15.如图，已知抛物线y=or2+bx+c（“W0）的对称轴为x=l,与x轴的一个交点是（3,0）,

则方程如2+〃x+c=0（4#0）的两根是x=3或x=-1.

【分析】利用“方程的解即为对应函数与x轴的交点横坐标”和二次函数的对称性求解

两根.

解：•.•抛物线>="2+法+。（a#0）的对称轴为X=l,与X轴的一个交点是（3,0）,

，抛物线与x轴的另一个交点为（-1,0）,

/.当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为x—3或x--1.

故答案为：》=3或工=-1.

【点评】本题考查了函数与方程的联系，即“函数与X轴的交点横坐标就是y=0时的方

程的解”，同时也考查了二次函数的轴对称性.

三、解答题（共75分）

16.用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）JC2-6x+3=0；

（2）2（x+1）2=x2-1.

【分析】（1）利用配方法得到（x-3）2=6,然后利用直接开平方法解方程;

(2)先移项，再利用因式分解法把方程转化为尤+1=0或2x+2-x+l=0,然后解两个一

次方程即可.

解：(1)x2-6x+3=0,

x2-6x=-3,

N-6x+9=6,

(x-3)』6,

X-3=±心

所以a=3+遍，及=3-五；

(2)2(x+1)2=N-i.

2(x+1)2-(x+1)(x-1)=0,

(x+1)(2x+2-x+1)=0,

x+1=0或2x+2-x+1=0,

所以Xl=-1,X2=-3.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方

法.

17.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中。、b、c分别为△ABC

三边的长.

(1)如果x=-l是方程的根，试判断aABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断AABC的形状，并说明理由.

【分析】(1)根据方程解的定义把x=-1代入方程得到(a+c)X(-1)2-28+(a-

c)=0,整理得a-6=0,即a=b,于是根据等腰三角形的判定即可得到△A8C是等腰

三角形；

(2)根据判别式的意义得到4=(2b)2-4(a+c)-c)=0,整理得“2=坟+/,然

后根据勾股定理的逆定理得到aABC是直角三角形.

解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：

-1是方程的根，

(a+c)X(-1)2-2h+(a-c)=0,

a+c-2b+a-c=0,

：.a-b=0,

:.a=b,

...△48C是等腰三角形；

(2)ZVIBC是直角三角形.理由如下：

•••方程有两个相等的实数根，

A=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0.

.,.4b2-4a2+4c2=0,

.'.^—b^+c2,

...△ABC是直角三角形.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根与A-4ac

有如下关系：当△>()时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=()时，方程有两个相

等的两个实数根；当AV0时，方程无实数根.也考查了勾股定理的逆定理.

18.某菜农每年的种植成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为5万元，可变

成本逐年增长.已知该菜农第1年的可变成本为2.7万元，如果该菜农第3年的种植成本

为8.888万元，求可变成本每年平均增长的百分率.

【分析】设可变成本平均每年增长的百分率为居根据该菜农第3年的种植成本为8.888

万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

解：设可变成本平均每年增长的百分率为X,

依题意得:5+2.7(1+x)2=8.888,

解得：Xi=0.2=20%,X2—-2.2(不合题意，舍去).

答：可变成本平均每年增长的百分率为20%.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

19.已知一个二次函数的对称轴是直线x=l,图象最低点P的纵坐标是-8,图象过(-2,

10)且与x轴交于A、B,与y轴交于C.求：

(1)这个二次函数的解析式；

(2)△ABC的面积.

【分析】(1)由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式尸a(x-1)2-8,然后把(-

2,10)代入求出a即可；

(2)根据坐标轴上点的坐标特征求出A、B、C三点坐标，然后利用三角形面积公式求

解.

解：(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)2-8,

把(-2,10)代入得(<•(-2-1)2-8=10,

解得：a—2,

所以抛物线解析式为y=2U-1)2-8；

(2)当x=0时，y=2(x-1)2-8=-6,则C(0,-6),

当y=0时，2(x-1)2-8=0,

解得Xl=-1,X2=3,

则A(-1,0),B(3,0),

所以△ABC的面积=▲义(3+1)X6=12.

2

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关

系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一

般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解;

当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴

有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

20.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15〃?的住房墙，另外三边用27〃?

长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1〃?宽的门，当所围矩形

猪舍的长，宽分别为多少米时，猪舍面积为96M?

【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为X，“，可以得出平行于墙的一边的长为(27-

2A+1)m.根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了.

解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，

可以得出平行于墙的一边的长为(27-Zr+l)m,

由题意得x(27-2x+l)=96,

解得：xi=6,垃=8.

当x=6时，27-2x+l=16>15(舍去),

当x=8时，27-2x+l=12.

答：当所围矩形猪舍的长为12〃?、宽为8，*时，猪舍面积为96〃汽

【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元

二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键.

21.为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入

大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场

调查发现,该产品每天的销售量y（千克）与销售价尤（元/千克）有如下关系:y=-2X+80.设

这种产品每天的销售利润为W元.

（1）求卬与X之间的函数关系式.

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150

元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

【分析】（1）根据销售额=销售量X销售单价，列出函数关系式；

（2）用配方法将（1）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；

（3）把），=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x,根据x的取值范围求

x的值.

解：（1）由题意得出：

w=（x-20）-y

=（x-20）（-2x+80）

=-2x2+120x7600,

故卬与x的函数关系式为：w=-2x2+120x-1600；

（2）w=-2x2+\20x-1600=-2（x-30）2+200,

：-2<0,

.•.当x=30时，卬有最大值.卬最大值为200.

答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.

（3）当卬=150时，可得方程-2（x-30）2+200=150.

解得xi=25,及=35.

V35>28,

；.X2=35不符合题意，应舍去.

答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元.

【点评】本题考查了二次函数的运用.关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数

的性质解决问题.

22.周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果

不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线.小明测得小球的飞行高度力(单位：m)

与飞行时间f(单位：s)的几组值后，发现人与f满足的函数关系式是/?=20「5凡

(1)小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？

(