2023-2024学年河北省保定市曲阳县九年级上册数学期末经典试题含解析

2023-2024学年河北省保定市曲阳县九上数学期末经典试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2,4）,过点A作AB丄X轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中

2.如图，为OO的直径，弦CQ丄于E,则下面结论中不一定成立的是（）

A.CE=DEB.BC=BD

C.ABAC=/BADD.OE=BE

3.把二次函数y=f-4x+2配方后得()

A.y——(x—2)~+2B.y——(x—2)~—2

C.y=(x+2)~+4D.y=(x+2)2-4

4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

C.2n+4D.3n+4

5.AABC中，ZC=90°,内切圆与AB相切于点D,AD=2,BD=3,贝!JAABC的面积为（）

A.3B.6C.12D.无法确定

6.在一个有10万人的小镇，随机调查了1000人，其中有120人周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目，那么

在该镇随便问一个人，他在周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目的概率大约是（）

1133

A.—B.—C.—D.-------

2550251250

k一%

7.若双曲线丫=二一在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）

x

A.k<3B.k>3C.k>3D.厚3

8.在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾抽奖的环节，主持人把分别写有“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字的四张卡

片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来，由主持人随机地弄乱这四个盒子的顺序，然后请出抽奖的小嘉宾，让

他在四个小盒子的外边也分别写上“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字，最后由主持人打开小盒子取出卡片，如果每一个

盒子上面写的字和里面小卡片上面写的字都不相同就算失败，其余的情况就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为（）

2

3

9.如图，在AABC中，AB=AC=10cm,尸为A8上一点，厶尸=2,点E从点A出发，沿AC方向以2an/s

的速度匀速运动，同时点。由点8出发,沿84方向以1cm/5的速度匀速运动，设运动时间为（$）（0<，<5）,连接

交.CF于点G,若CG=2FG,贝P的值为（

B.2C.3D.4

10.如图，四边形ABCD和四边形厶e0是以点0为位似中心的位似图形，若OA：OAr=2；3,四边形ABCD的

面积等于4,则四边形的面积为（）

A.3B.4C.6D.9

11.如图，已知抛物线yi=；xi—lx,直线yi=-lx+b相交于A,B两点，其中点A的横坐标为1.当x任取一值

时，X对应的函数值分别为yi,yi,取m=；(|yi-yi|+yi+yi).贝！|()

A.当xV—1时，m=yiB.m随x的增大而减小

C.当m=l时，x=0D.m>—1

12.某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行

或多少列吗？设增加了/行或列，则列方程得()

A.(8-X)(10-1)=8X10-40B.(8-%)(10-1)=8X10+40

C.(8+)(10+X)=8X10-40D.(8+X)(10+x)=8X10+40

二、填空题(每题4分，共24分)

13.如图，AB、AC都是圆O的弦，OM丄AB,ON丄AC,垂足分别为M、N,如果MN=百，那么BC=.

14.二次函数.丫=/一4%+5的顶点坐标是.

15.已知：AA8C中，点E是AB边的中点，点尸在AC边上，AB=6,AC=8,若以A，E，尸为顶点的三角

形与AABC相似，AR的长是一.

16.在RtAABC中，斜边AB=4,ZB=60°,将厶ABC绕点B旋转60°,顶点C运动的路线长是(结果保留n).

17.一个正多边形的每个外角都等于60°,那么这个正多边形的中心角为.

18.如图，用一张半径为10cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子(接缝忽略不计)，如果做成的圆锥形帽子的高为8cm,

那么这张扇形纸板的弧长是cm.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，点P是二次函数y=—；（x—1了+1图像上的任意一点，点6（1。）在x轴上.

（1）以点P为圆心，8P长为半径作。P.

①直线/经过点C（0,2）且与x轴平行，判断P与直线/的位置关系，并说明理由.

②若P与轴相切，求出点尸坐标；

（2）8、4、厶是这条抛物线上的三点，若线段BP?、5厶的长满足网上竽土网.=B£,则称巴是6、

片的和谐点，记做T（片,匕）.已知6、4的横坐标分别是2,6,直接写出丁（［,勺）的坐标.

20.（8分）如图，已知抛物线y=^x2+bx+c经过ABC的三个顶点，其中点A（0,3）,点B（—12,15）,AC!lx

轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点P且与）’轴平行的直线/与直线A3、AC分别交与点E、F,当四边形AECP的面积最大时，求点P的

坐标；

（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、。为顶点的三角形与A3C相似，

若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

21.（8分）如图，为测量一条河的宽度，某学习小组在河南岸的点A测得河北岸的树C在点4的北偏东60。方向,

然后向东走10米到达8点，测得树C在点5的北偏东3。。方向，试根据学习小组的测量数据计算河宽.

22.（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+l）x+m2+m=l.求证：无论m为何值，方程总有两个不相等

的实数根.

23.（10分）如图，在某建筑物AC上，挂着“缘分天注定，悠然在潜山”的宣传条幅BC,小明站在点尸处，看条幅顶

端3,测得仰角为30。，再往条幅方向前行30米到达点E处，看到条幅顶端8,测得仰角为60°,求宣传条幅8C的

长.（注：不计小明的身高，结果精确到1米，参考数据行°1.4，

24.（10分）如图，某科技物展览大厅有4、8两个入口，C、D,E三个出口.小旳任选一个入口进入展览大厅，参观

结束后任选一个出口离开.

____|出「IEI.

JL

出口C展览大厅fliOD

入口A入口B

⑴若小旳已进入展览大厅，求他选择从出口C离开的概率.

(2)求小旳选择从入口A进入，从出口E离开的概率.(请用列表或画树状图求解)

25.(12分)如图，在RSA5c中，N4c3=90。.

(D利用尺规作图，在8c边上求作一点P,使得点P到边AB的距离等于PC的长；(要求：尺规作图，不写作法，

保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)

(2)在(1)的条件下，以点尸为圆心，PC长为半径的。尸中，。尸与边BC相交于点O,若AC=6,PC=3,求80

的长.

k

26.如图，在平面直角坐标系X。)，中，反比例函数＞=—(%*0)的图象过等边三角形80C的顶点8,OC=2,点A

x

在反比例函数图象上，连接ACAO.

k

(1)求反比例函数丁=一(攵。0)的表达式；

x

(2)若四边形ACBO的面积是36,求点A的坐标.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【解析】直接利用位似图形的性质结合A点坐标可直接得出点C的坐标，即可得出答案.

【详解】•:技卜(2,4),过点A作AB丄x轴于点B,将AAOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的丄，得到

2

△COD,

AC(1,2),则CD的长度是2,

故选A.

【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键.

2、D

【分析】根据垂径定理分析即可.

【详解】根据垂径定理和等弧对等弦，得A.B.C正确，只有。错误.

故选D.

【点睛】

本题考查了垂径定理，熟练掌握垂直于弦(非直径)的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧是解题的关键.

3,B

【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可.

【详解】解：y-x2-4x+2-x2—4x+4-4+2

=(X2-4X+4)-2

=(x—2)2-2

故选：B

【点睛】

本题考査的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键.

4、D

【解析】试题解析：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2,

表面积有四个面组成：两个半圆，一个侧面，还有一个正方形.

1,

故其表面积为：2x—x7ixl2+71x1x2+2x2=371+4,

故选D.

5、B

【分析】易证得四边形OECF是正方形，然后由切线长定理可得AC=2+r,BC=3+r,AB=5,根据勾股定理列方程即

可求得答案.

【详解】如图，设OO分别与边BC、CA相切于点E、F,

连接OE,OF,

分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F,

.♦.DE丄BC,DF丄AC,AF=AD=2,BE=BD=3,

.,.ZOEC=ZOFC=90",

VZC=90°,

四边形OECF是矩形，

VOE=OF,

A四边形OECF是正方形，

设EC=FC=r,

；.AC=AF+FC=2+r,BC=BE+EC=3+r,AB=AD+BD=2+3=5,

在Rt^ABC中，AB2=BC2+AC2,

••-52=（3+r）2+（2+r）2,

:.戸+5-6=0，

即r—lr+6=0,

解得：r=l或r=-6（舍去）.

.•.（DO的半径r为1,

ASABC=|BCXAC=1X（3+1）（2+1）=6.

故选：B

【点睛】

本题考查了三角形的内切圆的性质、正方形的判定与性质、切线长定理以及勾股定理.注意掌握辅助线的作法，注意

数形结合思想与方程思想的应用.

6、C

【解析】试题解析：由题意知：1000人中有120人看中央电视台的早间新闻，

在该镇随便问一人，他看早间新闻的概率大约1是20温=点3.

故选C.

【点睛】本题考查概率公式和用样本估计总体，概率计算一般方法：如果一个事件有"种可能，而且这些事件的可能

性相同，其中事件A出现，"种结果，那么事件4的概率产⑷=%.

n

7、C

【分析】根据反比例函数的性质可解.

【详解】解：・・•双曲线》=—^在每一个象限内，y随x的增大而减小，

X

/.k-3>0

Ak>3

故选：C.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数>=丄，当k>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象

X

限内y随X的增大而减小；当kVO,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随X的增大而增大.

8、B

【分析】得出总的情况数和失败的情况数，根据概率公式计算出失败率，从而得出中奖率.

【详解】共有4X4=16种情况，失败的情况占3+2+1=6种，失败率为且=3,中奖率为1—3=9.

16888

故选：B.

【点睛】

本题考査了利用概率公式求概率.正确得出失败情况的总数是解答本题的关键.用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

9、B

【分析】过点C作CH〃AB交DE的延长线于点H,则DF=102t=8-t,证明△DFGS/^HCG,可求出CH,再证明

△ADE^ACHE,由比例线段可求出t的值.

【详解】解：过点C作CH〃AB交DE的延长线于点H,贝BD=t,AE=2t,DF=10-2-t=8-t,

VDF//CH,

.,.△DFG^AHCG,

.DF_FG

C/7-CG-2,

.*.CH=2DF=16-2t,

同理△ADEs^CHE,

.AD_AE

"'~CH~~CE，

•10~r-2t

■16-2f-10-2f'

解得t=2,t=25?（舍去）.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

10、D

【分析】利用位似的性质得到AD：A，D，=OA：OA，=2：3,再利用相似多边形的性质得到得到四边形的面

积.

【详解】解：•••四边形ABCD和四边形A，B，C，D，是以点。为位似中心的位似图形，

AAD：A'D'=OA：OA'=2：3,

四边形ABCD的面积：四边形A，BO的面积=4：1,

而四边形ABCD的面积等于4,

...四边形的面积为1.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键.

11、D

【分析】将点A的横坐标代入y=；d-2x,求得y=-2,将x=2,y=-2代入必=-2x+b求得。=2,然后

将y=gf-2x与%=-2》+2联立求得点B的坐标，然后根据函数图象化简绝对值，最后根据函数的性质，可得函

数〃？的增减性以及m的范围.

1,

【详解】将尤=2代入弘=2%2-2彳，得y=-2,

.••点A的坐标为（2,-2）.

将x=2,丁=_2代入%=_2无+8，得b=2,

/.y2=-2x+2.

1〜

将y-2%与%=-2x+2联立，解得：玉=2,乂=-2或々=-2,y2=6.

二点B的坐标为（一2,6）.

二当xV—l时，%>必，

yi|+yi+yi尸y（yi-yi+yi+yi）=yi,

故A错误；

当x<—2时，M〉内，

m=y）=gf-2x.

当-2,x<2时，ya%

m=y2=-2x+2.

当x..2时，必〉必，

/.m=y=^x2-2x.

...当xVl时，m随x的增大而减小，

故3错误；

令力=2,代入机=y=g/-2力求得：%=2+2/或x=2-2血（舍去），

令，然=2,代入根=%=-28+2,求得：x=0,

二当m=l时，x=0或兀=2+20，

故C错误.

12

—x2-2x(x<-2)

.m=、一2尤+2(—2<]<2),画出图像如图,

1)

—X2-2x(x22)

:.tn..2.

，D正确.

故选。.

【点睛】

本题主要考查的是二次函数与一次函数的综合，根据函数图象比较出力与％的大小关系，从而得到，〃关于x的函数

关系式，是解题的关键.

12、D

【解析】增加了x行或列，现在是8+X行，10+X列，所以(8+*)(10+%)=8X10+40.

二、填空题(每题4分，共24分)

13,273

【分析】根据垂径定理得出AN=CN,AM=BM,根据三角形的中位线性质得出BC=2MN,即可得出答案.

【详解】解：VOM±AB,ON丄AC,OM过O,ON过O,

.".AN=CN,AM=BM,

.*.BC=2MN,

VMN=V3,

.*.BC=2V3,

故答案为：2百.

【点睛】

本题考查了垂径定理和三角形的中位线性质，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦.

14、(2,1)

【分析】将解析式化为顶点式即可顶点答案.

【详解】•••y=x2—4x+5=(x—2)2+l,

...二次函数y=f-4x+5的顶点坐标是(2,1),

故答案为：(2,1).

【点睛】

此题考查二次函数的一般式化为顶点式的方法，顶点式解析式中各字母的意义，正确转化解析式的形式是解题的关键.

9

15、4或一

4

【分析】根据相似三角形对应边成比例进行解答.

【详解】解：分两种情况：

©VAAEF^AABC,

/.AE：AB=AF：AC,

即：陞”

68

②•.•△AEFSAACB,

AAF：AB=AE：AC,

6

AF=-

4

-9

故答案为:4或一

4

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边.

.2

16、一兀.

3

【解析】试题分析：将AABC绕点B旋转60。，顶点C运动的路线长是就是以点B为圆心，BC为半径所旋转的弧,

根据弧长公式即可求得.

试题解析：；AB=4,...BC=2,

所„,以弧长6=0万苗x2_=铲2.

考点：1.弧长的计算；2.旋转的性质.

17、60°

【分析】根据题意首先由多边形外角和定理求出正多边形的边数n,再由正多边形的中心角3=型60-°,即可得出结果.

n

【详解】解：正多边形的边数为360+60=6,

故这个正多边形的中心角为36（）案6=60?.

故答案为：60°.

【点睛】

本题考査正多边形的性质和多边形外角和定理以及正多边形的中心角的计算方法，熟练掌握正多边形的性质，并根据

题意求出正多边形的边数是解决问题的关键.

18、12万

【分析】首先求出圆锥的底面半径，然后可得底面周长，问题得解.

【详解】解：•••扇形的半径为10cm,做成的圆锥形帽子的高为8cm,

圆锥的底面半径为7102-82=6<™,

二底面周长为27rx6=12?rcm,即这张扇形纸板的弧长是12ncm,

故答案为：12九

【点睛】

本题考査圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长=侧面展开扇形的弧长.

三、解答题（共78分）

19、（1）①，P与直线相切.理由见解析；②尸（1,1）或尸（5,—3）；（2）（屈+1,-2或（一9+1,-；］.

【分析】（1）①作直线/的垂线，利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征证明线段相等即可；

②利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征构建方程即可求得答案.

（2）利用两点之间的距离公式分别求得各线段的长，根据“和谐点”的定义及二次函数图象上点的特征构建方程即可

求得答案.

【详解】（1）①。P与直线相切.

如图，过P作尸。丄直线/,垂足为Q,设尸（利〃）.

则尸32=(加一1)2+〃2,尸02=(2—〃J

Q〃=一;(加-I)?+1,即：(m-1)2=4-4/1

/.PB2=(m-1)2+«2=4-4/1+7i2=(2-H)2=PQ2

:.PB=PQ

/.eP与直线/相切.

②当p与y轴相切时PO=P3=PQ

/.nr=(2—H),

/.|/n|=2-n9即:n=2±m

代入=4-An

化简得：加2-66+5=0或/庁+2加+5=0.

解得：叫=1,tn-,=5.

・・・尸(1,1)或1(5,-3).

（2）已知4、A的横坐标分别是2,6,代入二次函数的解析式得:

42，；,厶6,十21

4

设g(m,〃)，

•.•点B的坐标为(1,0),(m-1)2=4-4n

2

1『+仔-0、5

=-9

74

%=J(6—1+卜子―0)=等,

2

BP2-J(仁-I)=+(〃_0)=，4-4〃+〃2=|n-2|»

依题意得：网上筈出=86，即23A=+

2|〃-2|=^+今即：|〃—2|=?,

259

・・・〃=亍(不合题意，舍去)或〃二一二，

44

9,、,

把〃二一1，代入(机-1)~=4一4〃得：

(m-1)2=13

直接开平方解得：m,=713+1,^=-713+1,

.••T([,6)的坐标为：[9+或\加+1,—g)

【点睛】

本题主要考查了两点之间的距离公式二次函数的性质，利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征构建方程

是解题的关键.

20、(1)y=；f+2x+3；(2)P(-6,0)；(3)存在，2,(-y,3),Q2(4,3)

【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可；

1,_1,1

(2)设点P(m,-m"+2/n+3),表示出PE=----m~—3m,再用S四边彩AECP=SAAEC+SAAPC=37ACXPE,建立

442

函数关系式，求出最值即可；

(3)先判断出PF=CF,再得到NPCA=NEAC,以C、P、Q为顶点的三角形与aABC相似，分两种情况计算即可.

【详解】(D•.•点A(0,3),B(—12,15)在抛物线上,

c-3

：.[1,

15=-X144-12/7+C

I4

b=2

・"，

c=3

1,

二抛物线的解析式为y=—/+2*+3,

4

(2)VAC/7xtt，A(0,3)

—+2x+3=3,

4

Axi=-6,X2=0,

，点C的坐标(-8,3),

・・•点A(0,3),B(—12,15),

求得直线AB的解析式为y=-x+3,

1.

设点P(m,—nV+2m4-3)AE(m,-m+3)

4

11

PE=-m+3-(9+2〃z+3)=——nr9-3m,

44

VAC±EP,AC=8,

S四边形AECP

=SAAEC+SAAPC

1,1

=—ACXEF+—ACXPF

22

1

=—ACX(zEF+PF)

2

1

=—ACXPE

2

11

=—X8X(—m9—3m)

24

=-m2-12m

=-(m+6)2+36>

V-8<m<0

・••当m=-6时，四边形AECP的面积的最大，此时点P(-6,0)；

1919

(3)Vy=-X2+2X+3=-(X+4)2-1,

44

/-P(-4,-1),

PF=yr-yp=4,CF=XF-XC=4,

APF=CF,

AZPCF=45°

同理可得：ZEAF=45°,

.\ZPCF=ZEAF,

・•・在直线AC上存在满足条件的Q,

设Q(t,3)且,AC=8,CP=^[-8-(-4)]2+[3-(-1)]2=472,

•.•以C、P、Q为顶点的三角形与aABC相似,

①当△CPQs/^ABC时，

.CQ_CP

,•就一丽’

.卜+8|_472

,,丁二际

.•/=-3或1=-必（不符合题意，舍）

33

•*.Q（------,3）

3

②当△CQPs^ABC时，

.CQCP

.•---=---«

ABAC

.|r+8|_4>/2

.・乐一丁’

，t=4或t=-20（不符合题意，舍）

...Q（4,3）

综上,存在点2（-与,3）Q（4,3）.

【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关

键是求函数解析式.

21、5百米

【分析】如图（见解析），过点A作AE丄CD于点E,过B作6/丄8于点F,设河宽为x米，则==

在RtMCE和Rt^BCF中分别利用tan60°和tan30。建立x的等式，求解即可.

【详解】过点A作AE丄CD于点E,过B作BE丄C。于点F

设河宽为x米，则A£=3b=x

依题意得EF==10,NC4E=60。,NCBF=30°

CECF

在R/A4CE中，tanZCAE=——，即tan60。=匕

AEx

解得：CE=xtan60o=岛

则CF=CE-EF=V3x-10

在RfABCF中,tanZCBF=—,即tan30。=百“一”）

BFx

解得：x=56（米）

答：根据学习小组的测量数据计算出河宽为56米.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数中的正切的实际应用，依据题意构造出直角三角形是解题关键.

22、见解析

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得岀由此即可证出：无论实数m取什么值，方程总有两个

不相等的实数根.

【详解】解：证明：在方程x2+（2m+Dx+m2+m=l中，

△=b2-4ac=（2m+l）2-4xlx（m2+m）=1>1,

•••无论实数m取什么值，方程总有两个不相等的实数根.

【点睛】

本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握“当△>1时，方程有两个不相等的实数根”.

23、宣传条幅BC的长约为26米.

【分析】先根据三角形的外角性质得出/=/尸=30°,再根据等腰三角形的判定可得BE的长，然后利用ZBEC

的正弦值求解即可.

【详解】由题意得N尸=30。,/8后。=60。,瓦'=30米

AEBF=ZBEC-ZF=60°-30°=30°

.-.Z£BF=ZF=30°

:.BE=EF=30（米）

在RtMCE中,sinZBEC=—,即sin60°=些

BE30

BC=30xsin60°=30x—«26（米）

2

答：宣