安徽省滁州市定远县民族中学2022-2023学年高二年级上册10月月考数学 含解析

2022-2023学年度高二第一学期10月月考试卷

数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）

11

AB+—BC+—BD=

1.如图，如空间四边形A8C0中，E,尸分别是BC,8的中点，22（）

A.ADB.AFC.FAD.EF

【答案】B

【解析】

【分析】利用空间向量运算法则进行计算.

【详解】AB+-BC+-BD=AB+BF=AF.

22

故选：B

2.已知A,B,C,D,E是空间中的五个点，其中点A,B,C不共线，则“存在实数x,y,使得

Z）E=xAB+yAC是“。£7/平面ABC"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

UUUUUUUUIU

【分析】利用存在实数X,y,使得。后=》48+）法（70。石//平面/18（?或。石匚平面48。，结合充分

必要条件的定义即可求解.

UUtlUUUL1LU11

【详解】若£>E//平面ABC,则AB,AC共面，故存在实数x,y，使得。E=xA3+yAC,所以必

要性成立；

ULIUUUUUUU

若存在实数X,»使得OE=xA8+），AC,则。及AB,AC共面，则。£//平面ABC或DEu平面

ABC,所以充分性不成立；

所以“存在实数x,y,使得OE=xA8+yAC是“。E//平面ABC，的必要不充分条件，

故选：B

UUUUUUUUU

【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数X,y,使得。E=xA8+)，ACo

DE//平面ABC或DEu平面ABC是解题的关键，属于基础题.

3.已知四面体A8CQ，所有棱长均为2,点E,尸分别为棱AB,CD的中点，则()

A.1B.2C.-lD.-2

【答案】D

【解析】

【分析】在四面体ABC。中，取定一组基底向量，表示出4尸，CE，再借助空间向量数量积计算作答.

【详解】四面体ABC。的所有棱长均为2,则向量A3,AC,AO不共面，两两夹角都为60，

则A6-AC=ACA£)=ADAB=2x2xcos60=2，

因点E,F分别为棱AB,CD的中点，则AF='(AC+AQ),CE=AE-AC=-AB-AC,

22

AFCE=-(AC+AD)-(AB-2AC)=-(AC-AB+AD-AB-2AC2-2AC-AD)

44

=；(2+2—2x2?—2x2)=—2,

所以AF-CE=-2.

故选：D

4.已知空间向量q,。，忖=1,忖=&，且a—b与a垂直，则a与b的夹角为()

A.60B.30C.135D.45

【答案】D

【解析】

【分析1根据已知可得(a-b)s=0,根据数量积的运算律即可求出cos(a,b)=g,进而求出结果.

【详解】因为与a垂直，所以("4。=0，

即a—"一"•bcos(a/)=l-V^cos(Q,b)=0,

所以cos(a,/?)=.

rr

又0<(«,^<180,所以(a,")=45。.

故选：D

5.在长方体ABCD-A4GA中，若A8=3f,AD=21,AA=53则向量患在基底«,/,Z｝下的坐标

是()

A.(1,1,1)B，(n'g)C.(3,2,5)D.(3,2,—5)

【答案】C

【解析】

【分析】结合图形，利用空间向量加法运算的几何表示与基本定理即可得解.

【详解】如图，长方体ABC。-中，若A6=3i,A£)=2),A4,=5Z,

则AC；=AB+BC+CC1=AB+AD+AA,=3i+2j+5k,

所以向量患在基底下的坐标是(3,2,5).

故选：C.

6.如图所示，在棱长为2的正四面体A3CD中，以△8C。的中心。为坐标原点，Q4为z轴，。。为V

轴建立坐标系，M为A8中点，则M的坐标为()

【解析】

【分析】

先求出a-b的坐标，然后由(。->)_Lc可得(。-勿•，=(),再根据向量数量积的坐标运算求解即可.

【详解】因为2=(2,0,3),1=(4,-2,1),所以。一。=(一2,2,2),

因为(a-Z?)_LC,所以(a-/?)-c=0,即4+2x+4=0,解得x=T.

故选：B

8.已知空间向量a=(1,2,3),b={ni,-\,ii),若a〃匕，则加+〃=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】由空间向量平行的坐标公式求出人〃即可.

【详解】由—————，解得/〃=—,n——,则/?!+〃=—2.

12322

故选：A.

9.在三棱柱ABC-A与G中，如图所示，侧棱A&J•底面ABC，点。是A圈的中点，片是AG的中

点，N8C4=90°,8C=CA=2,CC1=3,则8。与A4所成角的余弦值是()

,V30R4师

A.------fc>.----------------

1055

「炳n6A/H0

1555

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，从而求得00,4耳的坐标表示，进而利用空间向量夹角余弦的

坐标表示求得所求.

【详解】因为在直三棱柱ABC中，N5C4=90。，

所以易得CA,C3,CG两两垂直，则以C为原点，C4为x轴，CB为了轴，C&为z轴，建立空间直角坐

标系C一孙z,

因为BC=CA=2,CG=3,所以A（2,0,0）,3（0,2,0）,G（0,0,3）,A（2,0,3）,旦（0,2,3）,

又点A，4分别是4。的中点,所以t（1,0,3）,“（1,1,3）,

故=(1,—1,3),A4=(—1,0,3),

设BQ与A&所成的角为。，

则cos”犯产=/H+°+?=8型

BD^AE^71+1+9x7179VllxVlO55

所以BD｝与AEy所成角的余弦值为生叵.

55

10.若直线/的方向向量为。=（1,0,2）,平面a的法向量为“=（一2,1,1）,则（）

A.I//aB.ILaC./ua或/〃aD./与。斜交

【答案】C

【解析】

【分析】利用直线的方向向量和平面的法向量垂直来判断直线和平面的位置关系.

【详解】Va=(1,0,2),«=(-2,1,1),

a•〃=0即。_L〃，

/〃。或/ua.

故选：C.

11.若直线/经过点P(2,3),且在x轴上的截距的取值范围是(-1,3),则其斜率左的取值范围是()

A.(~℃,—3)(1,+oo)

D.(-oo,-l)uf1,+oo

C.(-3,1)

【答案】A

【解析】

【分析】将截距范围转化为直线与线段有交点，利用斜率计算公式及其意义即可得出.

【详解】取直线/与x轴的交点N(3,0).

%二有不=1'y三

.直线/与线段MN相交，

二.左>1或&<—3.

【点睛】本题考查了直线在坐标轴上截距的定义、斜率计算公式及其意义，考查了转化思想与计算能

力，属于基础题.

12如果直线x+2冲-1=0与直线(3a-l)x—ay-1=0平行，则”等于()

1“小

A.OB.-C.0或1D.0或一

66

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线平行的条件，列出关于a的方程并解之，即可得到实数。的值.

【详解】•.•直线X+划一1=0与直线（3。-1）%-政-1=0平行,

—a—2a（3a—1）解之得a=0或,,

6

故选D.

【点睛】本题给出两条直线互相平行，求参数的值，着重考查了直线的方程与直线的位置关系等知识，

属于基础题.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.已知点M（-l,l）,N（3,-3）,且过点尸（3,0）的直线/分别到点"，N的距离相等，则直线/的斜率为

【答案】3或T

【解析】

【分析】直线/与点M,N的距离相等，则直线/与直线MN平行或直线/经过M,N的中点，可求直线

斜率.

[详解】当过点P的直线/与直线MN平行时，直线/与点N的距离相等，所以用=kMN==-1：

当过点P的直线/经过N的中点时，直线/与点"，N的距离相等，由M,N的中点坐标为。（1,一1）,

P（3,0）,所以&=即2=*=4.

故答案为：■或T.

14.若过点（—3,0）的直线人的倾斜角是直线/2：J§x—3y+a=0倾斜角的两倍，则直线4的方程为

【答案】Gx-y+3百=0

【解析】

【分析】求出直线，2的倾斜角，从而得到直线4的倾斜角及斜率，写出直线4的方程.

【详解】设直线&：6彳-3y+a=0的倾斜角为%ee[0,兀），

则tana=，故。=g,

36

7T

设直线4的倾斜角为尸，则尸=2。=],

故直线/,的斜率为tan/?=tany=V3>

故直线4的方程为y=g(x+3),即可一y+3G=0.

故答案为：百x-y+3百=0.

15.若向量“=(',4,5),。=(1,一2,2),且n与人的夹角的余弦值为也，则实数x的值为

6

【答案】3

【解析】

【分析】由向量的夹角公式列方程求解.

【详解】向量£=(x,4,5),ft=(1,-2,2),

***a.b=x—8+10=x+2，

a-y/x2+42+52="l+f‘

W="+(—2)2+22=3.

又“，匕夹角的余弦值为正，

6

V2abx+2

6|a||/?|"l+j?x3，

解得x=3.

故答案为：3.

16.如图，M是四面体。43c的棱SC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且

13

MN=-ON,AP=—AN,用向量Q4，OB>OC表示OP，则OP=______.

24

o

【答案】-OA+-OB+-OC

444

【解析】

【分析】利用空间向量的线性运算直接求解

【详解】由题意OP=OA+-AN=OA+-（ON-OA\=-OA+-X-OM=-OA+-x-x^^

44V74434432

=-OA+-OB+-OC

444

故答案为：-OA+-OB+-OC

444

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知AQ2,0）,5（0,4,0）,C（2,3,3）.

（1）求cos（A8,AC）；

（2）已知点P（—3,北〃）在直线AC上，求的值；

（3）当之为何值时，A8与A6+XAC垂直？

【答案】（1）叵

55

（2）-14

（3）A=-5

【解析】

【分析】（1）根据空间向量数量积的坐标运算直接求解；（2）利用空间向量共线的坐标表示求解；（3）利

用空间向量垂直的坐标表示求解.

【小问1详解】

A3=(-1,2,0),AC=(1,1,3),

AB|=逐JAC|=VTT,A8AC=-1+2=1,

cos(AB,AC\=一尸1；—=.

\/底幅55

【小问2详解】

因为点尸(一3,也〃)在直线AC上，.•.茄与AC共线，

则存在〃eR使得AP="AC,即(一3—1,"L2,〃-0)=〃(1,1,3),

-4二〃

=解得加=—2,〃=—12,m+九=—14；

〃二3〃

【小问3详解】

AB+/lAC=(-l,2,0)+"1/,3)=(2-1"+2,34),

AB与A8+2AC垂直，

-lx(2-1)+2x(2+2)+0x3A=0,

4=—5,

.•.4=—5时，48与AB+AAC垂直.

18.已知直线与x轴正半轴交于点A(a,0),与)'轴正半轴交于点3(0,。)，点M在线段A8上，满

足忸M|=2|M4],直线(。为原点)的斜率为*.

(1)求2的值；

a

(2)设点。与点B关于x轴对称，N为线段AC的中点，求证：MN1AB.

【答案】(1)必

5

(2)证明见解析

【解析】

【分析】⑴根据忸M|=2|M4|及A(a,0),3(0,。)坐标即可得点M的坐标为从而可得

心“=2='5,即可得2的值；

OM2a10a

（2）根据对称可得点C的坐标为（0,-。），从而可得N的坐标,计算《外，心B，验证

1，即可证明结论.

【小问1详解】

解：点M在线段AB上且满足忸叫=2|M4|,所以8M=§区4n（如，将叫=3（。，一匕），

21（21、

则〜=~a^M=gb,即点M的坐标为J.

又因为直线的斜率为好,于是自M=迎=3—=3=交，

10XM2a2a10

所以2=亚；

a5

【小问2详解】

证明：「点。与点5关于x轴对称，

・••点C的坐标为（0,-匕），

线段AC的中点N的坐标为一；人），

于是==-正=-1，

所以MN工A5.

19.已知已=（3,4,x）,〃=（2,y,-2）.

（1）若由+21）〃（£」），求为y的值.

（2）若（a+0）_L（a—b）,且忖=5,求x的值.

Q

【答案】（1）x=-3,y=-；

(2)x=o.

【解析】

【分析】(1)利用向量的线性运算和向量平行的坐标运算，列方程求解.

(2)利用向量垂直的充要条件和向量模的坐标运算，列方程求解.

【小问1详解】

a=(3,4,x),b=(2,y,-2)

<7+=(7,4+2y,x-4),a-Z?=(1,4-j,x+2).

(5+')〃(「』)，孑=^^=法,解得*=-3,y=g

【小问2详解】

由(a+8)得(a+Z>>(a_/>)=0,二a2-b2=0,，同=|可，

由W=5,有同=5,即/=25，,-.32+42+X2=25.

解得x=0.

20.如图，三棱柱ABC-A4G中，M,N分别是4仇4G上的点，且助W=2AM，GN=2B1N.设

AB=aAC=b»AA,=c-

(1)试用a,b，c表示向量MN；

(2)若/84。=90。,/如]=NC4A=6()o,A8=AC=A4]=1,求MN的长.

【答案】(1)MN^-a+-b+-c

333

⑵叵

3

【解析】

【分析】(1)利用空间向量的线性运算即可求解.

(2)根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.

【小问1详解】

解：MN=MA]+A,Cl+CiN

=-BA.+AC+-CB

33

u-gAB+gM+AC+^(AB-AC)

I11

=-AB+-A4,+-AC,

11-1

：.MN=-a+-b+-c；

333

【小问2详解】

解：AB=AC=A4,=1,.*.|a\=^b\=^c\=l,

ABAC=90°,.\ab=O,ZBA^=ZCAA,=60°,

,1

:.ac-