2023-2024学年银川市一中高三数学（文）上学期第二次月考卷附答案解析

2023-2024学年银川市一中高三数学（文）上学期第二次月考卷

时间120分钟；满分150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分6（）分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知集合4=卜6冲3"37},B={x\\<x<2},则的子集个数为（）

A.2B.4C.3D.8

2.己知iz=l+i,则在复平面内，复数彳对应的点位于（）

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限

3.下列命题正确的是（）

A.命题“若/_3*+2=0,则x=2”的否命题为“若/一3工+2=0,则X/2”

22

B.若给定命题p：lreR,x+x-l<0）则~：VxwR,x+x-l>0

+l

C.已知0：-l<x<2,^:2'+log2（x+2）<10,则。是夕的充分必要条件

D.若夕"4为假命题，则。，夕都为假命题

4.若函数/（x）=e'（sinx+a）在点A（OJ（O））处的切线方程为y=3x+a,则实数。的值为（）

A.1B.2C.3D.4

已知sina=咚，。为钝角,tan（a_£）=；,则tan〃=（）

5.

A.1B.-1C.2D.-2

已知〃=苗，/?=1°g2（ln7r）,c=（£f，则。，b,C的大小关系为（）

6.

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.b<c<a

7.己知向量a=（G,l）,忖=2,且（2"+6）“a-2/4，则与方夹角为（

8.等比数列{%}的前〃项和为S,,已知。2%=2%，且4与2%的等差中项为：，则演=

A.29B.31C.33D.36

9.意大利画家列奥纳多•达•芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与

她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重

力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛

物线，而是与解析式为丫=£三二的"双曲余弦函数''相关.下列选项为“双曲余弦函数''图象的是（）

A.S”的最小值是弗B.S”的最小值是几

c.s”的最大值是iD.s”的最大值是与

11.己知函数/(x)=Asin3+e)(A>0,3>0，m<5的图象如图所示，图象与x轴的交点为

与N轴的交点为N,最高点P(LA),且满足MWJ.NP.若将/(x)的图象向左平移1个单位得到的图象

对应的函数为g(x),则g(O)=()

12.高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子'’的称号，用其名字命名的“高斯

函数''为：设xeR,用㈤表示不超过x的最大整数，则丫=㈤称为“高斯函数”，例如：[-2.5]=-3,

2

[2.7]=2.已知数列｛叫满足q=l,g=3,an+2+2an=3an+l,若包=[log?4+』，5“为数列的

前〃项和，则S2023二()

2022「2024—2023>2025

A.------B.------C.------D.------

2023202320242024

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a=(sin，,cos。)，〃=(3/)，若“〃b，则sin?0+sin2。的值为.

14.函数〃x)定义如下表，数列｛怎｝(〃eN)满足々=2,且对任意的自然数”均有七+1=/(%),则

•^2024=•

X12345

“X)51342

15.已知为等腰直角三角形，AB=AC=2,圆M为，IBC的外接圆，例E=：(M4+MB),若p为

圆M上的动点，则PM-PE的最大值为.

16.定义在R上的奇函数f(x)满足〃x)=〃2r),且当xe[0,l]时，”x)=d.则函数

g(x)=〃x)-(喘]的所有零点之和为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题

考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.已知等差数列｛%｝的前〃项和为臬，%+%=-2,53=57.

(1)求数列｛%｝的通项公式％;

(2)求数列M|｝的前〃项和7；.

18.在ABC中，。是边AC上一点，8=1,BD=2,AB=3,cosZBDC=~.

8

⑴求4。的长；

⑵求A8C的面积.

3

19.已知数列｛七｝的前"项和为S“，且2S“=3%-9.

⑴求｛“,』的通项公式；

(2)若勿=41幅3求数列也,｝的前«项和T„.

20.记锐角-A5C的内角A,B,C的对边分别为aec,已知则4二2=理组6.

cosBcosC

⑴求证：B=C；

⑵若asinC=l,求的最大值.

21.设函数〃x)=alnx,^(x)=1-x2

⑴若a>0,求〃(x)=/(x)-g(x)的单调区间.

(2)若a=l,对任意的为>々>0,不等式“心(%)-8(々)］>%/(%)-工2/(工2)恒成立，求

的值.

(3)记g'(x)为g(x)的导函数，若不等式〃”)+28，(力4(4+3)%—(力在*中向上有解,求实数a的取

值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.如图，在极坐标系。r中，圆。的半径为2,半径均为1的两个半圆弧C，G所在圆的圆心分别为

臼，如，引，/是半圆弧G上的一个动点，N是半圆弧a上的一个动点.

71

(I)若/。2。%=§,求点N的极坐标；

(2)若点K是射线。=方(夕20)与圆。的交点，求MOK面积的取值范围.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知a,0,c£R+,/+〃+。2=9,求证：

⑴abc<3百;

0、crb1c2a+h+c

(2)----+----+---->-------.

h+cc+aa+b3

4

1.A

【分析】首先根据指数不等式求解集合A,然后再根据集合交集的运算定义求解AcB,根据AcB的

元素个数即可求出其子集个数.

【详解】由题可知4=卜€中"37}={0,1,2,3},所以AcB={l},

其子集个数为2=2.

故选：A.

2.D

【分析】根据复数的运算求得z,以及N,再求其对应的点，即可判断和选择.

【详解】由题意知z=H^=i-i,所以z=i+i,

1

故其在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限.

故选：D.

3.D

【分析】根据否命题，命题的否定，充分必要条件的定义，复合命题真假判断各选项.

【详解】命题“若f-3x+2=0,则x=2”的否命题为“若X2-3X+2RO,则XH2"，A错：

命题"HxwR,x2+x-l<0的否定是VxeR,x2+x-l>0,B错；

易知函数/@)=2川+1。8式》+2)在定义域内是增函数，/(-1)=1,/(2)=10,

所以一1<》<2时，1<2'"+Iog2(x+2)<10满足2i+log2(x+2)<10,

但2川+142(X+2)<10时，-2<x<2不满足-l<x<2,因此题中应充分不必要条件，C错；

Pvg为假命题，则P,«都为假命题，若P，4中有一个为真，则Pvg为真命题，D正确.

故选：D.

4.B

【分析】求出函数的导函数，即可求出/(o)、r(o),从而求出切线方程，即可得到方程，解得即可.

【详解】解：因为/(x)=e<(sinx+a),所以〃0)=e"(sin0+a)=a,

又r(x)=e*(sinx+a+cosx),所以/'(0)=e°(sin0+a+cos0)=l+a,

所以切线方程为y-a=(l+a)(x-0)，即y=(l+a)x+a,

所以1+4=3,解得a=2：

故选：B

5.B

【分析】首先求出cosa,从而求出tana,再根据tan£=tan[a-(a-Q)]利用两角差的正切公式计算可

得.

5

【详解】解：因为sina=@，所以cosa=±Jl-sin2a=土冬叵,因为a为钝角,

55

所以cosa=-35,则tana=23=一1，

5cosa2

八r/八、tana-tan(a-Q)-

所以tan/=tana-(a-B\=---------------=----——/乙:—=-1

方〃LI〜」i+tanatan(a—4)J+fJ_V

故选：B

6.D

【分析】根据指数函数及对数函数的单调性结合中间量法即可得出答案.

【详解】解：f7_eU>eo_p

因为In兀>1,所以匕=bg30n兀)<bg/=。，

所以力VcV〃.

故选：D.

7.D

【分析】根据平面向量的数量积的运算律求解即可.

【详解】依题意有(24+。卜(4-2%)=2/-3“力-给2=0,

：.a-b=0,(叱0=4-2x0+4=8,斗-可=2夜，

/\/\\d-b]'b.4J2

又一/?)./?=-4,/.cos(a-b,b)=->----=—广=--—.

V7、/4近2

所以a-b与b的夹角为手»

4

故选:D.

8.B

《网闯4=2%q2_£

【详解】试题分析：设等比数列｛〃”｝的首项为4,公比为9,由题意知｛、c6c5,解得｛"=5,

a闻+2qq=2x-=16

所以S$=驾二0=31,故选民

1-4

考点：等比数列通项公式及求前”项和公式.

6

【一题多解】由%%=24,得4=2.又4+2%=|,所以%=；,所以q=g,所以q=16,所以

55=誓二©=3i,故选B

i-q

9.c

【分析】分析函数)，=与二的奇偶性与最小值，由此可得出合适的选项.

【详解】令〃力=£(二，则该函数的定义域为R,〃_力=土产=〃H，

所以，函数/(x)=W二为偶函数，排除B选项.

由基本不等式可得f(x)zgx2必厂=1,当且仅当x=0时，等号成立，

所以，函数f(x)的最小值为/(力向=/(0)=1,排除AD选项.

故选：C.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；

(2)从函数的值域，判断图象的上下位置.

(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(5)函数的特征点，排除不合要求的图象.

10.A

【分析】利用等差数列求和公式可化简己知不等式得到数列｛%｝为递增的等差数列；结合组<T可确

ai7

定当〃417且〃eN*时，a„<0,当〃218且〃eN*时，«„>0,由此可得结论.

qq〃(4+《)J"+l)(4+4,+J

【详解】由得:即%<。用，

nn+12n2(〃+1)

二.数列｛为｝为递增的等差数歹U，

—<~^t.二的<°，

a!7

・.・当拉417且〃EN*时，/<。；当〃N18且〃cN*时，勺>0;

・•.S,有最小值，最小值为5”.

故选：A.

11.D

7

【分析】根据题意得7=6,0=£,进而得再根据M0LNP结合向量垂直关系的表示解得

A=布，进而得〃力=//出($+£],再根据平移变换得g(x)=Vi6cos；x,最后求函数值即可.

T<3

【详解】解：由题知，函数”X)的周期T满足:=XM-Xp=1-l=q,解得7=6,

所以。=§=弓，

63

由图象与X轴的交点为例($0)得Wx|+S=E(keZ),

因为1勿<9，所以9=三，即/(x)=Asin(fx+m],

26

所以，f(x)图象与y轴的交点为N(0,£|，

因为NMLNP,所以NM-NP=(|,-?)K[=|-+=0,解得4=9(负舍)，

所以“X)=Ji^sin(¥+J

所以若将/(x)的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为g(x)

g(x)=A/iOsin^yX+yj=-v/iOcosyX,

所以g(0)=厢.

故选：D

12.C

【分析】运用构造法可得为等比数列，再运用累加法可得｛%｝通项公式，进而求得｛〃｝通项公

式，再运用裂项相消求和可得结果.

【详解】由%+2+24=3%.],得4,+2-q+1=2(4什|一4).又%-4=2,所以数列｛--。”｝构成以2为首

项，2为公比的等比数列，

所以4,「勺=2、

2rt-1

又〃2-4=2,a3-a2=2,an-an_x=2,

叠加可得(4一%)+(々3一〃2)+…+(4]-4i)=21+22H--\-T~\n>2),

即4一%=2i+2?+…+2”、

1-2x2

所以a“=2°+2i+22+-+2"T=2=2"-l(n>2).

又因为4=1满足上式，所以a,=2"-1(w€N)

8

所以巧用=2向-1.

,,+n+,

因为2"<2'-1<，所以1暇2"<log2（2-l）<log22向，

+,

即〃<log2（2"-l）<n+l,所以2=[log,1』=[log,（2""一1）卜〃.

1111

故----=-------=-------

她+1»-（«+1）”"+「

所以%23=（1一+…+（蔡一击）=]一击=黑・

故选：C.

13.3

2

【分析】根据题目条件可得sin6=3cos6,代入sin2®+sin2e=必上当化简即可.

sirre+cos-。

【详解】已知向量（sin。,cos。），Z?=（3,l）,若〃〃/?,则有sine=3cos。，

..n•“sin?夕+2sin0cos09cos20+6cos20153

.・sin一2夕+sin20=------------；----=-----；---------=—=—・

sin*'+cos299cos+cos〜。102

、.,3

故答案为：—

14.5

【分析】利用表格中数据可分别求得芭=1，%=5,马=2…，可得数列｛x.｝（〃£N）是周期数列，即可

得X2024="2=5.

【详解】根据表格表示的函数可知石=/（不）=/（2）=1,

则％=/（苔）=/（1）=5,刃=>（/）=〃5）=2,X4=/（^）=/（2）=1,…

易知数列｛x,J（〃£N）是以3为一个周期的周期数列，

X

所以X2024=2=5.

故答案为：5

15.2+V2

【分析】建立坐标系，利用坐标运算解决向量数量积的运算

【详解】如图，以圆心M为坐标原点，建立平面直角坐标系，

因为AHC为等腰直角三角形，且AB=AC=2,所以圆M为f+丁=2,

设P（0cos。,应sin。），

又M（0,0）,£（0,—l）,所以PM=（-缶os一缶in，），PE=（-V2cos/9,-1->/2sin<9）,

故PM•PE=2cos冶+血sin<9（1+忘in0）=2+V2sin0,

9

又sineq-1,1],所以的最大值为2+四，

故答案为：2+&-

16.18

【分析】判断出“X)的对称性、周期性，画出y=〃x),y=(若]的图象，结合图象求得g(x)的所有

零点之和.

【详解】解：依题意，定义在R上的奇函数“X)满足〃x)=/(2-x),

〃l-x)=〃2—(l—x))=〃l+x),所以“X)关于x=l对称，

/(x+4)=/(l+(x+3))=/(l-(x+3))=/(-2-x)=-/(2+x)

=—f(2—(—=x)=〃x),所以〃x)是周期为4的周期函数.

/(2+X)=/(1+(1+X))=/(1-(1+X))=/(-X)=-/W=-/(2-X),

所以关于点(2,0)对称.

由于函数夕=―匕关于原点对称，'=1三匚丫=9辿-图象可以由夕=上图象向右平移2个单位得

1000I10J10001000

到，

所以函数y=(若J关于一(2,0)对称，

画出y=f(x),y=(常J的图象如下图所示，

由图可知，y=/(x),y=有9个公共点，

所以g(x)的所有零点和为9x2=18.

故答案为：18

10

[25n-2n2,(nV6,"wN')

17.(1)4=27-4〃；(2)T„3/-25"+156,("N7,"eN，)

【分析】（1）设等差数列｛q｝的公差为d,根据已知条件列方程组求4、d,写出通项公式。“；

（2）由（1）可知“27时，。“<0,而14〃46,«„>0,分别求出1«〃46、”27时数列｛同｝的前"项

和Z,即可.

【详解】（1）设等差数列｛为｝的公差为d，

J%+%=2q+12d=_2Ja,=23

[S3=3a｝+3d=57[d=-4

an=%+(n—])d=27-4〃.

27

⑵由⑴知…<。，则27-4”。，得〃>彳，又“E

I.〃27时、<0,ffi]l<n<6,。〃>。，

a,+...十〃“,(〃W6,〃eN')6x5

，数歹U｛|a.|｝的前〃项和Z,jf056=6x23+-^x(-4)=78,

a,+...+a-(%+...+aa),(〃N7,〃£N')

{6

2

Sn=25n-2nf

25〃-2〃2,(〃W6,nwN')

a-j+...+a=S-S=25〃-2n2-78,故骞

ntl62n2-25〃+156,527,〃wN‘)

18.(1)2

⑵场

8

【分析】（1）△AB。中，根据余弦定理求A。的长;

（2）△ARD中，根据余弦定理求cosA,即可求sinA,再根据三角形的面积公式求解.

【详解】（1）因为cosNBDC=J,

8

=-cosNBDC=-L

则cosZADB=cos(7i-NBDC)BD=2,AB=3

89

11

ZXABD中，AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosAADB,

EP9=AD2+4-2X2XADX,解得:A£>=2或(舍)，

2

所以45=2；

AB2-VAD2-BD29+4-43

(2)cosA=

2-AB-AD2x3x2-4

因为。<AV7T,

所以sinA=V1-cos2A=>AC=AD+DC=2+1=3,

所以SA，c=LxA2xACxsinA=1x3x3x^=^.

ABC2248

19.(1)«„=3n+1；

2/1+3

(2)(,=x3，，+2

4-T

【分析】(1)利用4,5,，关系及等比数列的定义求｛〃“｝的通项公式；

(2)由(1)可得a=(〃+2)3向，应用错位相减法求人

【详解】(1)当〃=1时，2，=2q=3q-9,解得％=9.

当〃22时-，2«„=25„-2S,i=3«„-3a,一，整理得%=,

所以｛为｝是以9为首项，3为公比的等比数列，故4=9X3"T=3")

(2)由(1)知,〃,=(〃+2)3叫则7；=3x32+4x3?+,+(n+2)3向①，

所以37；,=3x3?+4x3"++(n+2)3"+20,

34n+l+2+2+2

①-②得：-27；=27+3+3++3-(«+2)3"=27+'J"，?_(„+2)3"=y-x3"

故7＞誓^3川号.

20.⑴见解析;

【分析】(1)运用两角和与差正弦进行化简即可；

(2)根据(1)中结论运用正弦定理得asinC=2Rsin4==8sinA=l,然后等量代换出二+",再运

2Ra2

用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解.

12

__」口八sin(A-B)sin(/4-C)

【详解】(1)证明：由题知“-

cosBcosC

所以sin(A-B)cosC=sin(A-C)cosB,

所以sinAcosBcosC-cosAsinBcosC=sinAcosCcosB-cosAsinCcosB,

所以cosAsinBcosC=cosAsinCeosB

因为A为锐角，即cosAwO,

所以sinBcosC=sinCeosB,

所以tan3=tanC,

所以B=C.

(2)由(1)知：B=C,

所以sin3=sinC,

因为asinC=l,

所以，=sinC,

a

因为由正弦定理得：〃=2RsinA,sin8=g,

2R

所以asinC=2Rsin4会=A=1,

所以:=sinA,

b

因为4=万一3—。=万一2c,

所以1=sinA=sin2C,

b

所以

11

------1------

a2b2

=sin2C+sin22C

l-cos2C

+(l-cos22C)

2

[3

=—cos-2c—cos2cH—

22

因为一ABC是锐角三角形，且3=C,

所以?<c/,

所以受2C。,

所以一1vcos2c<0,

13

当cos2c=-1时，4+g取最大值为g,

4ab16

所以士1+士1最大值为：2孑5.

abz16

21.⑴函数力⑴在(。，布)单调递增，在(右收)单调递减

(2)m=1

(3)弓什。0)

【分析】(1)求导得/«力=三二(》>0),求解计算即可;

(2)根据题意得加8(与)-3/(与)>叫(工2)-天/(*2)，设，》)=手尸一xlnx(x>0),

证明函数在xw(O,4w)单调递增，转化为机匣里),求解即可；

\X/max

/1\

12

-X-X

(3)根据题意得―即可满足题意，求最值即可.

x-inx

\/min

【详解】(1)根据题意得，〃(x)=alnx—gd(x>0),

所以/«x)=2-x=£^£(x>0),因为0>0,所以令〃(x)>0,解得0<x<6,

令〃(x)<0,解得x>&,所以函数〃(x)在位,6)单调递增，在(&,+8)单调递减.

(2)当a=l时，/(x)=lnx,由研g(3)-g(N)]>%/(%)一刀/(々)恒成立,即

加g(不)一玉/(王)>mg(工2)—Z/(N),

设f(x)=mg(x)-4(x)=£x2_x]nx(x>0),由题意%>x2>0,故当xe(0,+oo)时函数f(x)单调递增，

所以f'(x)=〃a-lnx-120恒成立，即机2叱口恒成立等价于〃?2(曲山)，

X、X)max

、rlnx+1llz/Inx.,Inx八口八*,Inx八

设丁=-----,所以y=---厂，令,=---->0,解得Ovxvl,令丫=----<0,

XXXX

解得x>l,所以函数在(0,1)上单调递增，在。，叱)上单调递减，所以函数>=@必在x=l处取得极大

值，

同时也是函数的最大值，所以丫=也四41,故加之/,结合条件，所以加=1.

X

14

(3)不等式/(%)+2g，(x)K(a+3)工一g(x)在x£[1,e]上有解,

即t/lnx+2x<(«+3)x-^x2,整理得a(x-Inx)2；/一%在“£[l,e]上有解，

令Mx)=x-lnx,x«Le],所以加(力=1一,=匚3()恒成立，

所以〃z(x)在x«l,e]上单调递增，所以〃z(x)2〃7⑴=1,

(1\

-X2-%

所以〃>2工一工等价于QN,

a之-----x-lnx

x-\nx

\/min

_1丫2_丫(%—x+l-lnx|i

设心)=2一，所以%，(x)=12_________7,再令〃(x)=jx+l-Inn,xe[l,e],

x-lnx(x-lnx)2

ii_o

所以〃。)=；-：=r黄，所以函数”(x)在［1,2)单调递减，在(2,e］单调递增，

所以〃(x)2〃(2)=2-ln2>0,即当xe［l,e］时，^x+l-lnx>0,

(x-l)f—x+1-lnx|

又因为x—l>0,所以在xe［l,e］时，《⑴.'A2_________2>o恒成立，

(x-lnx)2

所以Z(x)在［l,e］上单调递增，所以Z(x)“(1)=-即实数a的取值范围为：-；,+8

【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面:

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题,

解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

⑵回

【分析】(1)根据图形关系可确定。=1,极角。==，由此可得点N的极坐标；

O

(2)利用e表示出|0M|和4/OK,代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可