2023-2024学年人教版数学九年级上册同步专题热点难点专项练：反比例函数

2023-2024学年人教版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习

专题26.5反比例函数（章节复习+能力强化卷）

思维导图知识索引

作图象时要注意用

光滑的曲线连接

形如卜=：（k/0）的函数，

称.，是、的反比例函数

x表达式

或0=比（比wo）

概念

❶设反

❷代比

待定系数法例

❸解表达式的求法函

数

❹写

利用比例系数〃的几何意义

在实际生活中的应用

反比例函数的比例系数一⑼亠亠一宀

确几何意义的应用罩烹甥它知现应用

的综口应用

与一次函数结合的应用

知识模块精讲讲练

知识点1:反比例函数的概念

一般地，形如＞=丄（左为常数，k力0）的函数称为反比例函数，其中％是自变量,y是函数,自变

X

量X的取值范围是不等于0的一切实数.

细节剖析：

在丁=丄中，自变量X的取值范围是X3。，y=-GHO）可以写成旷=尢宀（4"））的形式，也可

XX

以写成卩=上的形式.

知识点2：反比例函数解析式的确定

k

反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数丫=—中,只有一个待定系数上,因此只

X-

需要知道一对不y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出左的值，从而确定其解析式.

知识点3：反比例函数的图象和性质

1.反比例函数的图象

k

反比例函数y=2（左wO）的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、

四象限.它们关于原点对称,反比例函数的图象与X轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近

坐标轴,但永远不与坐标轴相交.

细节剖析：

观察反比例函数y-上的图象可得：x和y的值都不能为o,并且图象既是轴对称图形,又是

X

中心对称图形,它有两条对称轴,对称中心是坐标原点.

①y=丄（4w0）的图象是轴对称图形,对称轴为y=X和y=-X两条直线；

X

k

②y=—（左wO）的图象是中心对称图形,对称中心为原点（0,0）；

X

注：正比例函数y=%x与反比例函数y=3,

x

当后•七＜0时，两图象没有交点；当分•七＞0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原

点成中心对称.

2.反比例函数的性质

（1）图象位置与反比例函数性质

当上＞0时，］、y同号，图象在第一、三象限,且在每个象限内，丁随」的增大而减小;当左＜o时，

了、丁异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，丁随犬的增大而增大.

（2）若点（a,方）在反比例函数y=丄的图象上，则点（-a,-Z?）也在此图象上，故反比例函数的图象关

x

于原点对称.

（3）正比例函数与反比例函数的性质比较

正比例函数反比例函数

y=与(七N0)

解析式y=kx(kw0)

X

图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）

左＞0,一、三象限；左＞0,一、三象限

位置

左＜0,二、四象限左＜0,二、四象限

k＞o,丁随x的增大而增大k＞o,在每个象限，y随x的增大而减小

增减性

k＜o,丁随工的增大而减小k＜o,在每个象限，丁随x的增大而增大

（4）反比例函数y=&中左的意义

X

①过双曲线y=&（左W0）上任意一点作X轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为何亠

x

②过双曲线y=K（左力0）上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为四.

x2

知识点4：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点

1.反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转

化为数学问题.

2.列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.

［能力拔高百分冲刺

一、选择题(每题2分，共20分)

1.(本题2分)(2021春•九年级课时练习)如图，已知二次函数丫=%父-47小+3〃7((〃7>0)的图像与无轴

交于A、8两点，与，轴交于点C,连接AC、BC,若C4平分/0C3,则加的值为()

A.GB.72C.—D.叵

23

【答案】D

【分析】先求出A(l,0),B(3,0),C(0,3m),再证△COBsaADB,列比例式求解即可.

【详解】解：：二次函数丁=如2-4如+3双(加>0)的图像与x轴交于A、B两点，与V轴交于点C,

当y=0时，即0=如;2_4nxr+3刃，解得，Xi=l,x2-3,

.,.A(l,0),B(3,0),

当x=0时，y=3m,

C(0,3m),

过点A作AD丄BD于点D,如图,

.\AD=OA=1,

又；AB=2,

;.BD=G

ZCOB=ZADB,ZB=ZB,

/.△COB^AADB,

,COOB3m3

•.=--,即Bn———~~j=,

ADDB1V3

故选D

【点睛】此题主要考查了二次函数与坐标轴交点和相似三角形的判定与性质.正确的添加辅助线和证

-△ADB是解决问题的关键.

2.（本题2分）（2022•河南郑州•郑州外国语中学校考模拟预测）如图1,在矩形ABCD中，动点E从A出

发，沿A-B-C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF丄AE交CD于点F,设点E运动路程为

x,CF=y,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a=3；②当CF=I时，点

A.①②都对B.①②都错C.①对②错D.①错②对

【答案】A

【分析】由已知，AB=a,AB+BC=5,当E在BC上时，如图，可得△ABEsZ\ECF,继而根据相似三角形的性

质可得y=-丄/+2。尤-5,根据二次函数的性质可得-丄（g31+,+5"+5一5=丄,由此可得浒3,继

aaa\2）al3

ioi7qi

而可得y=-公/+：尤-5,把y=i代入解方程可求得xi=j,x2=1,由此可求得当E在AB上时，y=1时，

DD।乙乙I

x=?,据此即可作出判断.

4

【详解】解：由已知，AB=a,AB+BC=5,

当E在BC上时，如图,

・.・E作EF丄AE,

,AABE^AECF,

.ABCE

*BE-FCy

a_5-x

,x-ay

1。+5

—X2H----------x-5

aa

.ba+5.ifa+5^^a+5a+5_1

••=x=-『='—时,

2a2ay2Ja23

75

解得@i=3,a2=—（舍去），

y——一—%—5,

33

wJI128口

当y二一时，一二—三+-x-5,

4433

7Q

解得Xi=Q,x2=—,

当E在AB上时，y二丄时，

4

c111

x=3=——，

44

故①②正确，

故选A.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，综合性较强，弄清题意，正确画出符合

条件的图形，熟练运用二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

3.（本题2分）（2023•山东聊城•统考三模）如图，已知矩形/阅9的长相为5,宽6。为4,£是宛边上

的一个动点，AELEF,EF交CD于息F,设B拄x,FOy,则点£从点8运动到点。时，能表示p关于x的函

数关系的大致图象是

【答案】A

【分析】利用三角形相似求出y关于x的函数关系式，根据二次函数的图象和性质进行分析，即可求解.

【详解】解：在矩形加力中，N分N俏90°,

:./CEF+/CF芹郷,

•:除4,BE=x,

：.C£=4-x.

■:AELEF,

:./AEB+/CE六9b°,

・•・ZAEB^ZCFE.

又•・・/庐N卽90°,

AAEBs丛EFC,

.ABBE

9,~CE~~CF"

“5x

即^——，

4-xy

I14

•\y=—(4x-x)=—(x-2)2+—

555

14

・・・y与x的函数关系式为：j---(^-2)2+y(0W后4)

4

由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2,y）,对称轴为直线尸2.

故选：A

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象问题，根据题意求出函

数关系式是解题关键.

4.（本题2分）（2023•湖北襄阳•统考模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球

内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，如图，当气球内的气压大于120kPa时，气球

将爆炸，为了安全起见，气球体积丫应（）n?.

5454

【答案】A

【分析】由题意得尸与V成反比例，设气球内气体的气压尸和气体的体积V之间的函数关系式为

尸=£（左＞0）,代入（1.6,60）,求出解析式，由尸W120,求出V的范围即可.

【详解】解：设气球内气体的气压尸和气体的体积V之间的函数关系式为尸="（左＞0）,

・・,图象过（1660）,

60=-^―,

1.6

解得，左=96,

.p-96

,,V'

•••在第一象限内尸随V的增大而减小，

964

・••当PW120时，y＜120,即

故选：A.

【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上已知点的坐标,

利用待定系数法求出函数解析式.

5.（本题2分）（2023•吉林长春•校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD的顶点力在反比例函数y=；（x>0）

的图象上，点6在y轴上，点C、点。在x轴上，AO与y轴交于点£,若5"£=3,则"的值为（）

A.3B.3A/3C.6D.6g

【答案】C

【分析】作AF丄x轴于F,先证明四边形厂是矩形，根据平行四边形的性质得到S平行四边映BCD=2SBCE=6,

再根据矩形ABOF与平行四边形A3CD面积相等即可求出阳=6进而求解.

【详解】解：作AF丄x轴于广，如下图所示：

在平行四边形ABCD中，ABCD,

•••CD丄y轴，

AB丄y轴，

尸丄x轴，30丄。尸轴，

四边形ABO尸是矩形，

•••QV.BCE~=）3，

S平行四边形ABCD=2SBCE=6,

S矩形ABOF=S平行四边形ABC。，

••$矩形4B0F=6,

又：S矩形4B0f=ABxBO，

.,.闷=6,

•.•点/在第一象限，

：.k=6,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质及反比例函数中4的几何意义：过反比例函数上任一点作x轴和y

轴的垂线，则两个垂足、原点及该点所围成的矩形面积等于反比例函数的I礼得出S平行四边形ABC»=2S皿=6,

是解答本题的关键.

6.（本题2分）（2023春•吉林长春•九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、C在反比

例函数＞=+（左＞0）的图象上且关于原点对称，点B、D在反比例函数y=§优2＜。）的图象上.已知点A的

坐标为（3,2）,点B的横坐标为石，若四边形A3CD为矩形，则性的值为（）

A.-2y/2B.-2A/5C.-2屈D.-2岳

【答案】C

【分析】连接OA.OB,根据四边形A3CD为矩形,可得OA=OB,根据点A的坐标为（3,2），可求得OA=OB=

万，根据点8的横坐标为石，即可求得点5的纵坐标，进而可求心的值.

【详解】解：如图，连接。4、OB,

k

四边形ABCD为矩形，点A、C在反比例函数＞=：（匕＞0）的图象上且关于原点对称，

OA=OB,

.点A的坐标为（3,2）,

OA=J32+2、='s/T^，

OB=y/l3,

点8的横坐标为石，点8在第四象限，

点B的纵坐标为713-5=-提=-2&

k2的值为-20XA/5=-2V10，

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，解决本题的关键是综合运用反比例函

数的图象和性质、矩形的性质.

7.（本题2分）（2023•湖北恩施•校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2尤+4与x轴、7

轴分别交于48两点，以为边在第二象限作正方形ABCD,点，在双曲线y=A上，将正方形ABCD沿

X

X轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好落在此双曲线上，则a的值是（）

【答案】B

【分析】作CE丄y轴于点E,交双曲线于点G.作小丄X轴于点尸，易证丝FD陰EBC,求得4B

的坐标，根据全等三角形的性质可以求得C、。的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，

进而求得平移后的点的坐标，贝I」。的值即可求解.

【详解】解：作CE丄y轴于点E,交双曲线于点G,作。尸丄x轴于点

在y=2x+4中，令x=0,解得：y=4,

.•.8的坐标是(。，4).

令y=。，解得：x=-2,

r.A的坐标是(-2,0).

:.OB=4,04=2.

:四边形A3CD是正方形，

ZBAD=90°,AD=AB,

ZBAO+ZDAF=90°,

又；直角,ABO中，ZBAO+ZOBA^90°,

:.ZDAF=ZOBA,

在,和△FDA中，

ZABO=ZDAF

<ZBOA=ZAFD,

AB=DA

OAB^,FDA(AAS),

同理可证△Q钻丝△£»(7,

:.AF=OB=EC=4,DF=OA=BE=2,

.:£＞的坐标是(-6,2),C的坐标是(T，6).

.,.k=6x2=—12,

，反函数的解析式是：y=-上19.

12

把>=6代入y亠得：x=-2.

X

a=—2—（—4）=2.

故选：B.

【点睛】本题考查正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数

法求函数的解析式，正确求得C、。的坐标是关键.

8.（本题2分）（2023春•湖北襄阳•九年级统考开学考试）对于反比例函数、=-纟，下列结论：

X

①图象分布在第二，四象限；

②当x<。时，y随工的增大而增大；

③从图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积都是6；

④若点A（占,M）,3（*2，%）都在图象上，且%</，则

其中正确的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确.

【详解】解：•反比例函数>=-纟，-6<0,

,该函数的图象分布在第二、四象限，故①正确;

当x<o时，y随x的增大而增大，故②正确；

当根据上的几何意义可知，③正确；

若点A（X，yJ,Ww，%）都在图象上，且为＜%,则点A和点B都在第二象限或都在第四象限时以〈为，点

A在第二象限，点B在第四象限时%＞%，故④错误；

故选：A.

k

【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的图象与性质，反比例函数y=*（左是常

X

数，%W0）的图象是双曲线，当左＞0,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随X

的增大而减小；当上＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增

大.

9.（本题2分）（2023秋•甘肃兰州•九年级校考期末）如图，两个反比例函数y=之和y=*在第一象限的

尤x

图象分别是和Cz，设点戶在G上，丛丄X轴于点4交a于8贝!]PO3的面积为（）

【答案】A

【分析】根据反比例函数y」（人0）系数上的几何意义得到S9,SA0B,然后利用SPOB=SAOP-SA.进

X

行计算即可.

【详解】解：・・・如丄工轴于点4交于点民

**•S^AOP=,x4=2,SAOB=，x2=1，

SPOB=SAOP-SAOB=2-1=1.

故选：A

【点睛】本题考查了反比例函数y=A（z#o）系数％的几何意义：从反比例函数y=勺（左二。）图象上任意一

XX

点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为网.

2

10.（本题2分）（2023•全国•九年级专题练习）如图，点/在函数,=一（％＞0）的图象上，点6在函数

3

>=—（兀>0）的图象上，且轴，5c丄九轴于点G则四边形ABCO的面积为（）

X

-----——°------------->

0CX

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】延长54交y轴于点。，根据反比例函数上值的几何意义得到5厶也。=/X2=1,S矩形OCBD=3,根据

四边形ABCO的面积等于S矩形OC5D-SADO,即可得解.

【详解】解：延长54交y轴于点。，

-of-CX

AB〃x轴，

..•。4丄y轴，

..•点/在函数y=—（尤>0）的图象上，

X

「・=当X2=1,

3

・・5C丄x轴于点。，05丄y轴，点8在函数y=—（%>0）的图象上，

X

••S矩形0c5。=3,

・・・四边形ABCO的面积等于S矩形g加-S的=3-1=2；

故选B.

【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用.熟练掌握反比例函数中上的几何意义，是解题的关键.

二、填空题（共20分）

11.（本题2分）（2022•福建南平•统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，ABC

的顶点均落在坐标轴上，SLAC=BC,将线段AC沿x轴正方向平移至DE,点〃恰好为中点，DE与BC

交于点广，连接AE、AF.若△AEF的面积为6,点£在函数>=勺4#0）的图像上，则次的值为.

【答案】16

【分析】设6点的坐标为（a，0）,点C的坐标为（O,c），由已知条件可得A（-。，0）,-

分别求出直线BC与直线QE的解析式，联立方程组，可求得点尸坐标，再结合三角形面积公式可得出ac的

值，最后利用反比例函数中孑的几何意义可得出答案.

【详解】解：•••ACuBC,

.工BC为等腰三角形，

OA=OB,

设6点的坐标为（a，。），点C的坐标为（0，c）,

A（-a,0）,

设直线AC的解析式为y=履+8，

把A（-a,0）,C（0,c）代入>=厶+。，

,_c

得F,

b=c

直线AC的解析式为y=£x+c,

a

..•线段OE是由线段AC沿x轴正方向平移得到，且。为中点，

设直线DE的解析式为y=mx+n,

1

将C］，代入y=痛+〃，

2

c

m=—

a

得得

c

n=——

2

直线OE的解析式为了=£》-《

a2

同理可得直线3c的解析式为y=-£x+C,

a

ccc3

由一x—=—X+c,得

a2a

所以b

13

••Q—Q-Q=—X—QX=6,

•°AEF~°ADE°AFD22

3

—ac=16,

2

..•点£在函数y=［伍xO）的图像上,

3

k=—ac=16,

2

故答案为：16.

【点睛】本题考查了反比例函数A的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数中A

的几何意义是解答本题的关键.

12.（本题2分）（2023秋•浙江金华•九年级义乌市绣湖中学教育集团校考开学考试）菱形A3CD在平面

直角坐标系中如图1所示，已知NC=45。，CD〃x轴，点。的横坐标为-1.直线y=x向左平移0个单位，

在平移过程中，被菱形截得的线段长为〃，〃与0之间的函数关系如图2所示，则过点8的反比例函数表达

式为.

【分析】观察所给图象可知，当m=2时，平移后图象经过点C,由此求出点。的坐标；当平移后图象在点

8和点，之间时，被菱形截得的线段长〃=2,由此求出菱形边长，由此可解.

【详解】解：直线y=x向左平移加个单位后的解析式为，=*+%,当平移后图象经过点戸时如下图所示,

直线y=x+7〃与AD交于点E,过点8作3/丄CD于点F,

由图2知，当m=2时，平移后图象经过点G即直线y=x+2经过点G

点C的横坐标为-1,y=-i+2=i,

，点，的坐标为(-M).

由图2知，当平移后图象在点6和点，之间时，被菱形截得的线段长〃=2,即亜=2,

AB〃CD〃x轴，

•・•直线V=x+机与43的夹角NABEH5。，

又；菱形ABCD中，ZA=ZC=45°,

ZAEB=90°,

厶4£8是等腰直角三角形，

AB=®BE=20，

BC=AB=2应,

ZC=45°,BFLCD,

•••/C是等腰直角三角形，

CF=BF=2>/2x—=2,

2

.••点6的坐标为(—1—2,1+2),即2(—3,3)

设过点8的反比例函数表达式为丁=：(4*0),

将5(—3,3)代入,得：左=—3x3=—9,

9

•••点B的反比例函数表达式为y=—-,

x

9

故答案为：y=--.

【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图象，一次函数图象的平移，求反比例函数解析式，等腰直角三角

形的判定和性质等，解题的关键是求出菱形边长和点c的坐标.

13.（本题2分）（2023•安徽六安•校考二模）如图，反比例函数y=-，（x<0）的图象经过点4反比例函

bo

数>（无<0）的图象经过点B,A3所在直线垂直x轴于点C,M是y轴上一点，连接MB,若%MAB=~>

则k的值等于.

【答案】-2.4

【分析】首先设OC=7〃，依题意得点A、B的横坐标均为一〃?，于是可表示出点A,B的纵坐标，进而可

9

表示出线段A3的长，然后依据若以“初=不可求出％的值.

【详解】解：设点A横坐标为m，则OC=-机，

依题意得：点A、B的横坐标均为一相，

.•点A在反比例函数丁=-纟的图象上，

X

•••点A的纵坐标为：-纟，

m

•点5在反比例函数y=&的图象上，

x

点3的纵坐标为:y,

o

…6kZ+6

二.AB=------=------,

mmm

-2

s-5，

19

-ABOC=-,

25

1,k+6、/、9

n即n：—,（-----）•（一机）=—，

2m5

解得：k=-2.4,

故答案为：-2.4.

k

【点睛】此题主要考查了反比例函数y=勺中，上的几何意义，解题的关键是设加，并用加的代数式

X

表示出线段A5的长.

14.（本题2分）（2022•广东珠海•校考三模）两个反比例函数》=丄和y=—在第一象限内的图象如图所

xx

k7?

示，点夕在y=上的图象上，PC丄x轴于点G交丁=女的图象于点4丄y轴于点〃交y=4的图象于

XXX

点6,当点戶在>=纟的图象上运动时，以下结论：①△OD8与亠©的面积相等；②四边形的面积

不会发生变化；③以与PB始终相等；④2<%<4.其中一定正确的是.

【分析】根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数孑的几何意义，对四个选项逐一进行分析,

即可得出正确答案.

【详解】解：由于点/和点〃均在同一个反比例函数y=4的图象上，

X

所以S.ODB=5孙=1，OCA=~A>，=1'

故△OD3与厶。。的面积相等，故①正确；

:矩形OCPD的面积是上而/XODB、厶。。为定值1,则四边形的面积只与孑有关，

...四边形的面积不会发生变化，故②正确；

只有当四边形OCPD为正方形时满足上4=PB,

.•.以与PB不一定相等，故③错误；

由图象可知：当x=2时，y<2,则上<4,

又•.•当x取同一个值时，y=*的图象在y=女的图象的上方，

XX

故左>2,

：.2<k<4,故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数y=:（左#0）中左的几何意义，即过双曲线上任

意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为陶，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做

此类题一定要正确理解k的几何意义.

15.（本题2分）（2023春•江苏淮安•九年级统考期中）如图，将反比例函数y=*（x>0）的图象绕坐标原

点（0,0）顺时针旋转45。，旋转后的图象与X轴相交于/点，若直线y=gx与旋转后的图象相交于昆则OAB

的面积为.

外

【答案】在以也住6

333

【分析】反比例函数>=*（X>。）的图象上点E绕点。顺时针方向旋转45。得点A,过点E作防丄x轴于尸，

得出。4=。£=w，作3c丄x轴于C,设并且△OBC是由_OKH绕点。顺时针旋转45。得到

的，则OH=OC=x,从而H—x,jx，可证出oKGH是等腰直角三角形，得K的坐标，代入y=—（x>0）

I22丿x

从而得出x的值，进而求得3C的长度，利用三角形面积公式解决问题.

【详解】解：设反比例函数>=9（x>0）的图象上点E绕点。顺时针方向旋转45。得点A,过点E作EF丄x

X

轴于P,

设中,二，

QNEO戶=45。，

:.EF=OFf

5

a

a>0,

/.a=y/5，

OA=OE=JlO,

作BC丄x轴于C,AOBC是由aOKH绕点。顺时针旋转45。得到的，

.•.点/在原反比例函数图象上.

设

.-.OH=OC=x,

KH^BC=-x,

2

:.KG=GH=-x,

4

.J亚“亚叵亠6\Bnd3正，

..K.\----x-------Xf-----x-\------x.即K----XJ----------x

(2424丿(44

.V23A/2.

-----x-------x=5，

44

解得方迥或X一迥(舍),

33

故答案为：巫.

3

【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，反比例

函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得8点的坐标是解题的关键.

16.（本题2分）（2023春•黑龙江大庆•九年级统考期中）如图，点A，4,4…在反比例函数y=j尤>0）

的图象上，点与，B»B3,…纥在y轴上，且/瓦。41=/及44=/"&4=……，直线y=x与双曲线>=丄

X

交于点4，片A丄。4，与&丄与人,鸟人丄纥4…，则8”（〃为正整数）的坐标是.

J

54

5

3

8

52

1

【答案】（。,26）

【分析】如图，过4作4"丄y轴于H,求解A。』），结合题意，片&为，&A鸟，…，都是

等腰直角三角形，想办法求出。与，OB2,OB3,OB&,…,探究规律，利用规律解决问题即可得出结论.

【详解】解：如图，过A作4冃丄y轴于“，

1

y=—

vr%,其中x>o,

y=x

f%—1,、

解得：[=],即A(L1),

.・.OH=AlH=l,

：./AQH=45。，

.•…。44是等腰直角三角形,

OBX=2；

同理可得：一片层厶3鸟，…，都是等腰直角三角形,

»

歹/

54

83

2

55-

1

T

/7Z

------7厶---------------------------►

x\oX

同理设4（粧加+2）,

m（2+m）=l,

解得m=0-1,（负根舍去）

•••。巴=2+2亚-2=2血，

同理可得：OB3=2y/3,

OBn=2>J~n,

・・・&（0,2册）.

故答案为：（0,2册）.

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的解法，规律型问题，解题的关键是

学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题.

4

17.（本题2分）（2023•浙江温州•校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=—（x>0）

x

的图象经过平行四边形。RC的顶点4将该反比例函数图象沿y轴对称，所得图象恰好经过5c中点

【答案】10

【分析】设《力,根据平行四边形对边平行得到点6的纵坐标*根据图象沿y轴对称所得图

象为y=-:及中点性质得到”[-2兑彳]，根据点。、力的水平距离为x及平行四边形对边平行且相等，推出

得至IJAB=』x

点、欣8的水平距离为推出得到S°ABC=10-

2I2尤2

4

【详解】•・・>=—（x>0）的图象经过平行四边形。1BC的顶点4

x

设厶（羽-1,

・.•AB.%轴，

4

・••点戸的纵坐标为一，

x

44

・・・y=—图象沿了轴对称所得图象为y=—-,这个图象恰好经过中点M,

xx

・・,点。、/的水平距离为X,OA//BC,OA=BC,

・••点B、。的水平距离也为x,

丄点从6的水平距离为1%,

2

A.B=xH—x——x,

22

54

---SOABC=ZT--=10-

2x

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了反比例函数，轴对称，平行四边形.解决问题的关键是熟练掌握反比例函数图象

上点的性质，关于y轴对称的函数的性质，平行四边形边的性质，中点坐标的性质.

18.（本题2分）（2023春•山东日照•九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形QBCD的边

在x轴上，反比例函数>=—（尤>0）的图像经过菱形对角线的交点A,且与边8C交于点尸，点C的坐标为

x

（8,4）,贝I]08尸的面积为

【分析】根据菱形的性质求出点A坐标，将点A的坐标代入到反比例函数的一般形式后求得左值即可确定函

数的解析式；过点A作厶M丄无轴于点,过点。作CN丄入轴于点N,过点/作切丄工轴于〃，求得点B

的坐标，然后求得直线3c的解析式，确定直线和双曲线的交点b坐标，然后根据求解即

可.

【详解】解：；四边形OBCD是菱形，

，OA=AC,

:点C的坐标为(8,4),

/.A(4,2),

把点44,2)代入反比例函数y=纟，解得左=8,

X

Q

...反比例函数的解析式为y=2；

X

过点厶作A〃丄x轴于点M,过点C^、CN丄x轴于点N,过点尸作丄x轴于如下图，

贝i]CV=4-0=4,

设O3=x,贝U3C=C®=x,BN=S-x,

在Rt^CNB中，可有BM+CN2=BC2,即（8-X>+42=Y,

解得x=5,

...点B的坐标为(5,0),

设直线3c的函数表达式为丁=依+6,直线3c过点8（5,0）,C（8,4）,

4

a———

0=5Q+Z?3

4=8〃+犷解得

720

b=-----

3

...直线2C的解析式为y=*等,

8

y=-x=6

X

解（不合题意,舍去)或＜4,

y=-

4

・・・点尸的坐标为(6,§),

/.S=-OBFH=-x5x-=—.

O0BF2233

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形、菱形的性质、勾股定理、反比例函数和一次函数综合应用等知识,

解题的关键是正确确定点B坐标，从而确定直线的解析式.

19.（本题2分）（2022•福建三明•统考模拟预测）反比例函数必=幺（a>0,。为常数）和%=?在第

XX

一象限内的图象如图所示，点M■在%=2的图象上，MC丄X轴于点C,交％=9的图象于点A；9丄y轴

XX

于点D,交％=幺的图象于点B,当点M在％=2的图象上运动时，以下结论：

XX

①SODB=SOCA；

②四边形。4M3的面积为2-〃；

③当。=1时，点A是MC的中点;

④若S四边形0AM§—SQDB+SOCA,则四边形0cMe为正方形.

其中正确的是.（把所有正确结论的序号都填在横线上）

【答案】①②③

【分析】①由反比例函数的几何意义可得答案；②S四边形=S矩形DMCO-SBDO-AOC，进行计算即可得到

答案；③连接OM,根据已知条件得到％=乌=丄，根据三角形的面积公式即可得到结论；④由①②知，

XX

2-a=a,解得：a=l,得到0C不一定等于从而得出结论.

【详解】解：①，MC丄x轴于点C,交3=4的图象于点A；9