2024年广东省高考数学一轮复习第8章第3讲：圆的方程（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第8章第3讲：圆的方程

【考试要求】1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标掂方程与一般方程.

2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.圆的定义和圆的方程

定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆

圆心C(a,b)

标准(K—〃)2+(V-。)2=JgO)

半径为二

方程圆心《一色-£)

x2+y^+Dx+Ey+F=O

一般

(D1+E1-4F>0)半径r=^\jD2+E2~4F

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M(xo，州)与圆C：(x—a)2+(y—6)2=户之间存在着下列关系：

田M在圆外,即(xo—。)2+(加一在圆外；

2

(2)|MC|=在圆上,即(即一nA+(y0-b)=30M在圆上；

⑶|MC|<启M在圆内,即(即一。)2+(如一加2<於0M在圆内.

【常用结论】

1.以A(x”)1),8(X2，丫2)为直径端点的圆的方程为(X—X|)(X—X2)+(y—»)。'一了2)=0.

2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

3.圆心在任一弦的垂直平分线上.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(V)

(2)(x-2)2+O，+l)2="2(aW0)表示以(2」)为圆心，”为半径的圆.(X)

(3)方程AA2+Bxy'+Cy2+Dx+Ey+F^0表示圆的充要条件是A=C#0,B=0,D2+E2-

4AF>0.(-J)

(4)若点M(xo,州)在圆片+^+6+4+/=。夕卜，则焉+y8+Qxo+Eyo+E>O.(J)

【教材改编题】

1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

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A.(x-l)2+(y-l)2=l

B.(x+l)2+(y+1>=1

C.(x+l)2+(y+l)2=2

D.(x—l)2+(y—1)2=2

答案D

解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径厂=/可，=/，则该圆的方程为(X—1)2

+(y-l)2=2.

2.若曲线C：/+^+2"-4ay—10a=0表示圆，则实数。的取值范围为()

A.(-2,0)

B.(-8,-2)U(0,+8)

C.[-2,0]

D.(-8,-2]U[0,+8)

答案B

解析由f+V+Zax—4ay—10〃=0,

得(x+a)2+(y—2a产=5/+10a,

由该曲线表示圆，可知"2+lOa>0,解得a>0或a<—2.

3.(多选)下列各点中，在圆(x—1)2+。+2)2=25的内部的是()

A.(0,2)B.(3,3)

C.(-2,2)D.(4,1)

答案AD

解析由(0—1)2+(2+2)2<25知(0,2)在圆内；由(3—1)2+(3+2)2>25知(3,3)在圆外；由(一2

―1)2+(2+2)2=25知(一2,2)在圆上，由(4-1)2+(1+2)2<25知(4,1)在圆内.

■探究核心题型

题型一圆的方程

例1(1)(2022•全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(—1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为

答案抖QI)』。-IP

169

解析依题意设圆的方程为f+y2+6+Ey+F=O,其中》+E2-4Q0.

若过(0,0),(4,0),(-1,1),

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F=0,

则76+4。+尸=0,

.l+l-D+E+F=0,

F=O,

解得,。=一4,满足£>2+E2—4E>0,

E=-6,

所以圆的方程为x1+y2—4x—6y—0,

即(》一2)2+0-3)2=13；

若过(0,0),(4,0),(4,2),

fF=0,

则J16+40+尸=0,

[16+4+4O+2E+尸=0,

F=0,

解得，D=~4,满足

、E=-2,

所以圆的方程为x1+y1-4x-2y^0,

即(x—2)2+(y—l)2=5;

若过(0,0),(4,2),(-1,1),

F=0,

则《l+l-D+E+F=0,

16+4+4D+2E+F=0,

'F=0,

解得<"=一]’满足£>2+E2-4QO,

I"-于14

所以圆的方程为x2+f—京一色=0,

即Gf+o卷

若过(一1,1),(4,0),(4,2),

1+1-O+E+尸=0,

贝卜|16+4。+尸=0,

16+4+4O+2E+尸=0,

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„16

一亍

解得〈。=一号,满足。2+/—4广＞0,

所以圆的方程为

j?+y2—^A—2y—y=0,

即O+UT）』黑

（2）（2022•全国甲卷）设点M在直线2x+y—1=0上，点（3,0）和（0,1）均在OM上，则。M的方程

为.

答案（x-1）2+。+1）2=5

解析方法一设。M的方程为（X—4）2+（丫-6）2=户，

'20+6—1=0,

贝小(3—

.a2+(l-fe)2=r2,

a=\,

解得卜=-1，

/=5,

；.OM的方程为(x-l)2+(y+l)2=5.

方法二设。M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+^-4F>0),

\D=-2,

解得卜=2,

b=一3,

；.。用的方程为x2+y2~2x+2y-3=0,即（%一1尸+。+1）2=5.

方法三设A（3,0）,8（0,1）,。”的半径为r,

则心8=公f=-/A8的中点坐标为（|,；）,

：.AB的垂直平分线方程为y—1=3|'3'

X~Z即3x—y—4=0.

3x-y-4=0,x=\,

联立CIIC解得.

2x+y—1=0,尸_1，

・・・M(1,-1),

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.".r2=|AfA|2=(3-l)2+[0-(-l)]2=5,

...OM的方程为(x-l)2+(y+l)2=5.

思维升华求圆的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

⑵待定系数法

①若已知条件与圆心①，匕)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a,b,r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于£>,E,尸的方程组，进而求出。，E,尸的值.

跟踪训练1(1)圆心在y轴上，半径长为1,且过点A(l,2)的圆的方程是()

A.f+(厂2)2=1

B.f+°>+2)2=l

C.(x-1)2+。一3尸1

D.f+&-3)2=4

答案A

解析根据题意可设圆的方程为一+&—份2=1,因为圆过点4(1,2),所以P+(2—勿2=[,

解得匕=2,所以所求圆的方程为<+。-2)2=1.

(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y=-2x+3上运动，当半径最小时，圆的方程为

答案§2+(y—§2=|

解析设圆心坐标为(〃，-2〃+3),则圆的半径r=y](a—0)2+(—2«+3—0)2=yj5a2—12«+9

业6.3小

当时，"也=寸".

故所求圆的方程为、专+1-IM

题型二与圆有关的轨迹问题

例2已知RtZ\ABC的斜边为AB,且A(-l,0),仇3,0).求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边3c的中点M的轨迹方程.

解(1)方法一设C(x,>•),因为A,B,C三点不共线，所以yWO.

因为ACLBC,且BC,AC斜率均存在，

所以kAckec——1,

又Mc=#T'"BC=M，

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yy

所以1,

x+1x-3

化简得x1+y2—2x—3=0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为f+y2—2x—3=0(>¥0).

方法二设AB的中点为力，由中点坐标公式得。(1,0),由直角三角形的性质知|<7。|=34引

=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以0(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A,B,C三点不共

线，所以应除去与x轴的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为(x—1)2+丁=4()¥0).

(2)设M(x,y),C(x(),yo),

因为3(3,0),且M是线段BC的中点，

所以由中点坐标公式得》=空，、=空，

所以xo=2x-3,y0=2y.

由(1)知，点C的轨迹方程为

(x—1)2+产=4°，/0),

将xo=2x—3,yo=2y代入得

(2x-4)2+(2y)2=4,

即(》-2)2+产=1/0).

因此动点M的轨迹方程为

(》-2)2+9=1严0).

思维升华求与圆有关的轨迹问题的常用方法

⑴直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.

(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.

跟踪训练2(2023・宜昌模拟)已知定点M(l,0),N(2,0),动点P满足|PN]=W|PM.

(1)求动点尸的轨迹C的方程：

(2)己知点8(6,0),点力在轨迹C上运动，求线段48上靠近点B的三等分点0的轨迹方程.

解(1)设动点尸的坐标为(x,y),

因为M(l,0),N(2,0),且1PM=啦1PM,

所以N(x—2)2+y2=^N(x—l>+y2,

整理得f+y2=2,

所以动点P的轨迹C的方程为/+>2=2.

(2)设点。的坐标为(x,y),点A的坐标为(XA,YA),

因为。是线段AB上靠近点8的三等分点，

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所以恁=2而，即(X—XA,＞一用)=2(6—x,~y),

XA=3X—12,

解得

J'4=3y,

又点A在轨迹C上运动，

由(1)有(3x-12)2+(3y)2=2,

化简得(x-4)2+y2=*

2

即点。的轨迹方程为(X—4)2+卡奇.

题型三与圆有关的最值问题

命题点1利用几何性质求最值

例3(2022・泉州模拟)已知实数x,y满足方程—4x+l=o.求：

(1巳的最大值和最小值；

(2)y—x的最小值；

(3)f+)2的最大值和最小值.

解(1)如图，方程4无+1=0表示以点(2,0)为圆心，小为半径的圆.

设即、=丘，则圆心(2,0)到直线了=质的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、

最小值.

由^^=小,解得3=3,

"ax=A/3,Amin=—"\/3.

g)max=小，g)min=-小.

(2)设y—x=6,则)，=x+/>,当且仅当直线了=光+/;与圆相切于第四象限时，截距匕取最小值,

由点到直线的距离公式，得党1=小，即6=-2i\同，

故(y-x)min=-2—\[6.

(3)f+V是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x轴相交于点8和C'(点B在点C'左侧),

贝lJ(f+V)max=|OC'『=(2+小)2=7+4小，(/+9)„^=|。8|2=(2—小户=7—4小.

命题点2利用函数求最值

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例4(2023・湘潭质检)设点尸(x,y)是圆『+。-3)2=1上的动点，定点A(2,0),B(—2,0).则

两•闲的最大值为.

答案12

解析由题意，得出=(2—x,-y),

PB—(—2—x,一y),

所以说•/=f+y2-4,

由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程

*+°，-3)2=1,

故W=一(y—3)2+1,

所以萩・丽=-(y-3)2+1+/-4

=6y~12.

易知2WyW4,所以当y=4时，丽•丽的值最大，最大值为6X4—12=12.

延伸探究若将本例改为“设点尸(x,y)是圆(x-3>+y2=4上的动点，定点A(0,2),8(0,

一2)”，则曲+而|的最大值为.

答案10

解析由题意，知必=(—x,2—y),

PB—(—x,—2—y),

所以或+而=(—2x,-2y),

由于点P(x,y)是圆上的点，

故其坐标满足方程(x—3尸+)，2=4,

故)2=一(犬-3)2+4,

所以|立+崩|=山止+4)2=246x—5.

由圆的方程(x—3)?+y2=4,易知1WXW5,

所以当x=5时，|说+成|的值最大，最大值为2乂寸6义5—5=10.

思维升华与圆有关的最值问题的求解方法

(1)借助几何性质求最值：形如t=ax+by,(x—〃)2+。，一份2形式的最值问题.

(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选

用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.

(3)求解形如IPM+FM(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：

①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和

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转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

跟踪训练3(1)设尸(x,y)是圆(x—2)2+尸=1上的任意一点，则(x—5)2+(y+4)2的最大值是

()

A.6B.25C.26D.36

答案D

解析(x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到(5,—4)的距离的平方，

,；P(x,y)是圆(x—2)2+V=l上的任意一点，

...(x-5)2+(y+4)2的最大值为圆心(2,0)到(5,-4)的距离与半径之和的平方，

*122

即[(x-5)+(y+4)]n,ax=N(2—5)2+(0+4>+1『=36.

(2)若点P(x,y)在圆x2+y2—2x—2y+1=0上，则一、的最大值为.

4

答

案-

3

解析圆f+V—2x—2)，+1=0可化为(x—l)2+(y—1)2=1,圆心为(1,1),半径为1,

表示圆上的点a,y)与点(一1,0)连线的斜率，

设过点(一1,0)的圆的切线斜率为k,

则圆的切线方程为y—0=&a+l),即履一y+左=0,

由圆心到切线的距离等于半径，

\k~\+k\

可得

6+1=1,

4

解得k=0或k=].

所以04号4，即本V的最大值为青4

课时精练

立基础保分练

1.(2023・六安模拟)圆心为(1,-2),半径为3的圆的方程是()

A.(x+l)2+(y—2尸9B.(x-1)2+(J+2)2=3

C.(x+l)2+(y-2)2=3D.(X-1)2+(J+2)2=9

答案D

解析因为圆心为(1,-2),半径为3,

所以圆的方程为(x—1户+。+2)2=9.

2.(2023•宁德模拟)已知点M(3,l)在圆C：一2x+4y+2Z+4=0外，则k的取值范围为

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()

A.—f)<k<2B.A<—6或

C.fc>_6D.k<^

答案A

解析:,圆C：r+y2—2x+4y+2氏+4=0,

.•.圆C的标准方程为(x-1)2+。+2)2=1-2&,

圆心坐标为(1,-2),半径r=q—2k.

若点Af(3,l)在圆C：f+)2—2x+4y+2k+4=0外，则满足叱3—1)2+(1+2)2内1一2%,且1

-2k>0,即13>1—2人且即一6c上<1.

3.若aAOB的三个顶点坐标分别为A(2,0),仇0,-4),0(0,0),则4AOB外接圆的圆心坐

标为()

A.(1,—1)B.(―1,—2)

C.(1,-2)D.(-2,1)

答案c

解析由题意得AAOB是直角三角形，且NAOB=90。.

所以△AOB的外接圆的圆心就是线段48的中点，

设圆心坐标为(x,y),

由中点坐标公式得x===l,>=\一=-2.

故所求圆心坐标为(1,-2).

4.圆C：f+y2-标-3=0关于直线/：y=x对称的圆的方程为()

A.B./+产一2)'—15=0

C.x2+9+2y-3=0D.^+/+2y-15=0

答案A

解析由题意，得圆C：。-1)2+尸=4的圆心为(1,0),半径为2,

故其关于直线/：y=x对称的圆的圆心为(0,1),半径为2,

故对称圆的方程为f+(y—1)2=4,

即f+f—2y—3=0.

5.点M,N是圆/+尸+丘+2y—4=0上的不同两点，且点M,N关于直线/：%—y+1=0

对称，则该圆的半径等于()

A.26B.y[2C.3D.9

答案C

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解析圆f+丹履+2），—4=0的标准方程为（%+舒2+。+1）2=5+与，

则圆心坐标为（一奈一1）,半径为r=75+号,

因为点M,N在圆x2+尸+履+2y—4=0上，且点M,N关于直线/：x—y+l=0对称，

所以直线/：无一），+1=0经过圆心，

L

所以一］+1+1=0,解得％=4.

所以圆的半径/'=、/"4=3.

6.自圆C：。-3）2+（）・+4）2=4外一点尸引该圆的一条切线，切点为Q,PQ的长度等于点P

到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（）

A.8x—6y—21=0B.8x+6y—21=0

C.6x+8y-21=0D.6x—8y—21=0

答案D

解析由题意得，圆心。的坐标为（3,—4）,半径r=2,如图所示.

设P（xo,"），由题意可知『。|=h0|,且PQJ_CQ,所以|POF+/=|PC|2,所以焉+4+4=（xo

—3）2+（^O+4）2,

即6x（）—8y（）—21=0,结合选项知D符合题意.

7.已知“WR,方程a2%2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标为,半径

为.

答案（一2,-4）5

解析由圆的一般方程的形式知，。+2=〃，解得。=2或〃=一1.

当。=2时，该方程可化为f+y2+x+2y+|=0,

VD2+£2-4F=12+22-4X|<0,

.'-a=2不符合题意；

当。=一1时，方程可化为l+y2+4x+8），一5=0,

即(x+2)2+(y+4)2=25,

圆心坐标为(-2,-4),半径为5.

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8.已知等腰△ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1』)，则另一个

端点C的轨迹方程为.

答案/+产=2(除去点(1,1)和点(一1,-1))

解析设C(x,y),根据在等腰4ABC中|4剧=|AQ,可得。-0)2+。-0/=(1—0)2+(1—0)2,

即/+产=2.

考虑到A,B,C三点要构成三角形，因此点C不能为(1,1)和(一1,-1).

所以点C的轨迹方程为f+9=2(除去点(1,1)和点(一1,-1)).

9.已知圆心为C的圆经过点A(l,l)和点8(2,-2),且圆心C在直线/：x—y+l=0上.线

段PQ的端点尸的坐标是(5,0),端点。在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程.

解设点。为线段A8的中点，直线胆为线段AB的垂直平分线，则从|,一；).

又AAB=-3,所以

所以直线m的方程为x—3y—3=0.

fx-3y-3=0,

由J得圆心C(—3,—2),

[x—y+l=0,

则半径r=\CA\=^/(-3-l)2+(-2-l)2=5,

所以圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=25.

设点M{x,y),<2(xo,yo).

因为点尸的坐标为(5,0),

xo+5

x~~2

即J\XQ=2X-5,

所以

yo+0

y=2

又点Q(项,yo)在圆C：(x+3)2+(y+2)2=25上运动，所以(XO+3)2+8)+2)2=25,

即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25.

25

整理得(X—1)2+(y+1)2=

即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(》-1)2+。，+1)2=年25

10.已知圆G经过点A(l,3)和8(2,4),圆心在直线2x—)—1=0上.

⑴求圆Ci的方程；

(2)若M,N分别是圆G和圆。2：(x+3)2+(y+4)2=9上的点，点尸是直线x+y=0上的点,

求IPM+IPN的最小值，以及此时点尸的坐标.

解⑴由题意知48的中点坐标为g今，

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4-3

KAB-2_j=]»

的垂直平分线为y=5-x,

p=5-x,

联立

1,

解得

即圆Ci的圆心坐标为(2,3),半径r=l,

其方程为(x-2)2+(y—3)2=1.

(2)注意到点G(2,3)和点C2(—3,—4)在直线x+y=O的两侧,

直线x+y=O与两圆分别相离，如图所示.

.•.|PM+|PN》|PG|-l+|PC2|-3N|GC2|—4=6-4,

当且仅当M,N,P在线段C1C2上时取等号，

此时点P为直线C\C2与x+y=O的交点，

过G,C2的直线方程为7x-5y+l=0,

1

x+y=O,x=~n'

联立,解得，

Jx—5y+1=0,i

F，

.,.点P的坐标为(一心，苗

理综合提升练

33

11.若直线6=0(tf>0,fr>0)始终平分圆/十:/—4x+4y=0的周长，则1+g的最小值

为()

A.1B.2C.3D.4

答案D

解析圆f+y?—4x+4y=0,即(x—2A+(y+2)2=8,圆心为(2,-2),依题意，点(2,-2)

在直线ax—by—6=0上，

则有2“一(一2)b•-6=0,整理得a+i>=3,而a>0,h>0,

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于是得".”+“!+£|=2+如注2+2优1=4,当且仅当“=匕=|时取

所以：3+方3的最小值为4.

12.（多选）已知圆x2+y2—2x—4y+a—5=0上有且仅有两个点到直线3x—4y—15=0的距离

为1,则实数a的可能取值为（）

A.-12B.-8C.6D.-1

答案ABD

解析由题意可得圆的标准方程是a—1）2+