山东省潍坊市2023届高三二模数学含解析

潍坊市高考模拟考试

数学试卷

本试卷共4页.满分150分.

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷.答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合加={6+12°},"={刈2'<1},则下列Venn图中阴影部分可以表示集合

【解析】

【分析】化简集合M,N,根据集合的运算判断{幻-1WX<O}为两集合交集即可得解.

【详解】A/={x|x+l>0}=[-l,-Ko),N={x|2'<1}=(9,0),

：.M7V={x|-l<x<0}

由Venn图知，A符合要求.

故选：A

2.若角a的终边过点P(3,-4),贝ijsin2a的值为()

12122424

A.—B.------C.—D.

25252525

【答案】D

【解析】

【分析】结合三角函数定义求得sina,cos。，由sin2a=2sinacosa即可求解

【详解】：角a的终边过点P(3,T),，|OP\=5,

.43

/.sina=——,cosa=一,

55

・c-•24

sin2a=2sinacosa=------

25

故选：D

【点睛】本题考查三角函数的定义，正弦二倍角公式的使用，属于基础题

3.已知函数=-3S则/(%)=()

A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数

【答案】C

【解析】

【分析】判断/.(-x),/(x)的关系即可得出函数的奇偶性，再根据指数函数的单调性即可得出函数的单调

性.

【详解】函数的定义域为R,

因〃_力=3'—口］=-/(x),所以函数为奇函数，

又因为函数y=»=-3-'在R上都是减函数，

所以函数=K—3、在R上是减函数.

故选：C.

4.在4ABe中，=点E是AO的中点，记=AC=b，则BE=()

1.121,11,21,

A.——a+-bB.——a+—bC.——a——bD.-a——b

33363336

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形中向量对应线段的数量及位置关系，用A3、AC表示出即可.

1____11___1__1_____2__1___

【详解】由题设3E=—(3A+3O)=—(BA+—3C)=—[3A+—(3A+AC)]=--AB+-AC,

2232336

21

所以哈丁+/

5.已知事件A、8满足P(A|B)=0.7,P(A)=0.3,则()

A.P[AB)=0.3B.P(6|A)=0.3

C.事件A,5相互独立D.事件A,B互斥

【答案】C

【解析】

【分析】利用对立事件概率求法得P(A)=0.7,结合已知即独立事件的充要条件=P(A)P(B)判断

C,由于P(8)未知其它选项无法判断.

【详解】由题设[(由)=1一尸(>)=0.7=>(A17),

所以P(A8)=P(A|8)P(B)=P(A)P(8),即A,8相互独立，同一试验中不互斥，

而P(8)未知，无法确定P(AcB)、P(B\A).

故选：C

6.某公司为实现利润目标制定奖励制度，其中规定利润超过10万元且少于1000万元时，员工奖金总额y

(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总额不超过5万元，则y关于x的函数可

以为()(参考数据：1.002IOOO«7.37，lg7=0.845)

1

A.y=1.002'B.=log7x+lC.),=*5_5D.y=5+sinx

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数单调性排除D,再由函数值在(0,5］排除AC,即可得解.

【详解】由题意，函数在x6(10,1000)时为增函数，故D不合题意，排除D；

因为当xw(10,125)时，y=%_5<0,故C不符合题意，排除C；

当x=1000时，1.0021°0°*7.37>5,故y=1.002'不符合题意，排除A；

因为y=log7x+l为增函数，且x>10时，y>(),当x=1000时，上=3+1少4.55<5,满足

怆7

题意，故B正确.

故选：B

7.如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫

灯模型，三层均为正六棱柱(内部全空)，其中模型上、下层的底面周长均为36j§cm，高为4cm.现在

其内部放入一个体积为36兀口力的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于8cm.则该模型的侧面积至

少为()

rr

A.800^cm2B.544^cm2C.(288x^+384)cm2D.(28873+768)cm2

【答案】B

【解析】

【分析】由球心到各面距离为8,求出对应正棱柱的侧面积，即可得解.

【详解】由题意，上下两层是底面周长36j§cm，高为4cm的正六棱柱，

所以侧面积为£=2x36^x4=288&cm2,

当球形灯球心到各面的距离等于8cm时，中间六棱柱的高为/z=2x8—2x4=8cm,

由球心到侧面距离为8,可知棱柱底面边长满足ax3=8,解得。=也叵，

23

所以中层正六棱柱的侧面积邑=6x当1x8=2566cm2，

2

故该模型的侧面积至少为S=S,+S2=544gcm，

故选：B

8.已知双曲线=l(。＞0力＞0)的左，右焦点分别为£,F2,。为坐标原点，过耳作。的

ab~

一条浙近线的垂线，垂足为£＞,且|。鸟|=2及|0。|,则C的离心率为()

A.V2B.2C.V5D.3

【答案】C

【解析】

【分析】利用点到直线的距离公式求出|。制，利用勾股定理求出由锐角三角函数得出

cosZPOf；=-,在，。。国利用余弦定理可得出。、b、。的齐次方程，可解出双曲线C离心率。的值.

C

【详解】如下图所示，双曲线。的右焦点耳(-c,o),渐近线4的方程为云-砂=。，

由勾股定理得|。4=加用2T*2="2一/=a,

兀\0D\a

在Rt^OO片中，ZODF；=-,cosZDOF[=~=-

2C/JT|C

在,DO七中，|OD|=a,周二2啦Q,|Og|二c,

cosZDOF2-cos(n-ZDOF})=-cosZDOF1=--,

\ODf+\OF2f-\DF2fQ2+C2—8。~

由余弦定理得cos/DOF?

2|0蛆叫一lac

化简得，C2=5〃，即C=6,因此，双曲线。的离心率为e=£=石，

a

故选：C.

【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：

①直接求出〃、C,可计算出离心率；

②构造C的齐次方程，求出离心率；

③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解.

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.在复数范围内关于x的实系数一元二次方程/+内+2=0的两根为由,与，其中玉=l+i,则

()

A.p=2B.%2=1-iC.X•可=-2iD.—L=i

X2

【答案】BD

【解析】

【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出々判断B，再由韦达定理判断A,根据复数的乘法及

共枕复数判断C,再由复数除法判断D.

【详解】因为占=1+1且实系数一元二次方程/+a+2=0的两根为内,当，

22

所以砧=2,可得％=,=币=故B正确;

又玉+W=l+i+l—i=2=一〃，所以p=-2,故A错误;

由E=l+i,所以为•弓=(l+i)2=2iw—2i,故C错误；

%,1+i(1+i)22i.-“

—=——=-~-=-=i,故D正确.

x21-i22

故选：BD

10.已知实数a>b>0，则()

bb+2a+b〉Iga+lgb

A.-<----B.(XH—>bT—C.b>bnD.1g

aa+2baa22

【答案】ABD

【解析】

【分析】作差法判断A、B；特殊值法。=4,6=2判断c；由基本不等式易知丝2>J茄，再根据对数

2

性质判断D.

b〃+22(1-a)则9<力+2

【详解】A：--^2正确;

a(a+2)aa+2

B：a+--h-=(«-/7)+---=(a-Z?)(l+—)>0,则+正确；

baababha

C：当。=4,Z?=2时，a。=/,错误；

D：由土吆>5/茄(注意等号取不到)，则但"2>3疝=思”殴，正确.

222

故选：ABD

11.已知函数/(x)=Asin(5+°)+B(其中4>0,。>0,冏<兀)的部分图象如图所示，贝U()

B.函数小+,为偶函数

c.y(x)+/[—x)=2

D.曲线)=/(力在X=强处的切线斜率为—2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据图象求出函数解析式，根据解析式及正弦函数的性质判断AB,再由函数图象中心对称的性

质判断C,利用导数的几何意义判断D.

【详解】由函数图象可知，A=—=\,B=-=\,7=2(弓+11=兀，

22136J

2兀

CD=—=2,

71

,兀।/兀、兀5兀_,

当x=时，2x()+°=—卜2kli(k£Z),(p-F2Zc7i,(keZ),

6626

又冏V7C,：.(p=斗,

6

/./(x)=sin(2x+—)+1,

6

对A,/(F)=sin(47i+£)+l=2,孚］正确；

62I6/

TT77rjr

对B,/(x+—)=sin(2x+——)+l=—sin(2无+—)+1,显然不是偶函数，故错误；

666

对C,若+—x)=2,则f(x)图象关于点信1］对称，又呜)=sin(2x联+也+1=1,

故正确；

57rTTIT>TTTT

对D,/'(x)=2cos(2x+—),，/'(—)=2cos(2x—+~)=-2,所以曲线丁=/(%)在1=一■处的

61212612

切线斜率为一2，故D正确.

故选：ACD

12.已知四棱锥P-ABCD,底面ABC。是正方形，24,平面ABC。，B4=AZ)=2，点〃在平面

ABCD1.,且AM=/IAZ>(O</1<1),则()

A.存在2,使得直线依与A〃所成角为£

B.不存在几，使得平面RW_L平面

C.当2一定时，点P与点〃轨迹上所有的点连线和平面A8CQ围成的几何体的外接球的表而积为

4(万+1)~兀

D.若4=也，以尸为球心，为半径的球面与四棱维P—ABCD各面的交线长为叵辿兀

22

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据线面角是斜线与平面内直线所成角的最小角判断A,根据平面平面Q46判断B,根

据圆锥与其外接球轴截面求球的半径判断C,利用侧面展开图求球与侧面交线长，再由球与底面交线为以

点A为圆心，、历为半径的四分之一圆弧即可判断D.

【详解】对A,如图,

//''八/

BC

7TTTJT7T

由题意NPBA=-为直线与平面ABCD所成的角,所以必与AM所成的角不小于^，匕〉,，故A错

4446

误；

对B,PAmABCD,BCu平面ABC。，：.BC±PA,又BCLAB,PAoAB^A,PA,ABcz

面R4B，•面Q46，二点M要在直线B(「上，

因为AM=/LAZ)(O</1<1),所以不存在，故B正确.

对C,由题意知，几何体为圆锥，作圆锥及外接壬龙的轴截面图，如图，

P

所以外接球的半径R满足收=(2—R)2+(22)2,解得R=%2+I，

所以外接球的表而积为5=4(万+1)2兀，故Cif三确;

对D,将侧面展开，知球与侧面的交线为以点P为圆心，逐为半径的圆与侧面展开图的交线，即图中

EMF>

D

__

CC

因为tanNAPb=Y2=tanN8PC=」==也，所以NAPF=NBPC,

22V22

7T71

又ZAPF+ZFPB=—，所以ZFPC=ZBPC+ZFPB=-,

44

71

由对称性知NEPC=NCPE,所以NFPE=一,

2

故EM尸的长为

又球与底面交线为以点A为圆心，V2为半径的圆与底面ABCD的交线，

故长度为色xJ5,所以球面与四棱璀p-ABC。各面的交线长为叵辿兀，D正确.

22

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：因为平面与球的截面为圆面，交线为一段圆弧，所以球与棱锥各面的交线是圆上

一段，且圆的半径为卡，所以只需求出圆心角，本题选项D可以沿侧棱展开，棱锥各个侧面放在同一

平面上，借助平面几何知识及对称性求出圆心角为百即可得解.

2

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.若“x=a”是“sinx+cof<x>l”的一个充分条件，则々的一个可能值是.

【答案】:（只需满足。€（2为1,2也+5）（左€2）即可）

【解析】

【分析】解不等式sinx+co&x>l,可得出满足条件的一个a的值.

【详解】由sinx+cosx>l可得V^sin"胃>1,则可/引>当，

所以，2阮+：<工+：<2阮+’（攵£2）,解得2E<%<2攵兀+5（左eZ）,

因为“x=a”是“sinr+cosx>l”的一个充分条件，故。的一个可能取值为色.

4

故答案为：:（只需满足+（女eZ）即可）.

14.某学校门口现有2辆共享电动单车，8辆共享自行车.现从中一次性随机租用3辆，则恰好有2辆共享

自行车被租用的概率为.

7

【答案】—

【解析】

【分析】根据古典概型列式结合组合数计算求解概率即可.

C2cd28x27

【详解】恰好有2辆共享自行车被租用的概率为P=『2=——=—

Lx।Q，4U1J

7

故答案为：~.

15.如图，菱形架A8CC是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用钱链首尾连接而成.已知4,C可在

带滑槽的直杆/上滑动：另一根带滑槽的直杆。，长度为4,且一端记为从另一端用钱链连接在。处，

上述两根带滑槽直杆的交点尸处有一栓子（可在带滑槽的直杆上滑动）.若将“，8固定在桌面上，且两

点之间距离为2,转动杆4D,则点尸到点8距离的最大值为.

【解析】

【分析】根据题意分析可得|P〃|+|~B|=4,

【详解】如图，连接BD,PB,BH,故点P的轨迹为以为焦点的椭圆，结合椭圆的性质分析运算.

因为ABCO为菱形，则AC为线段的垂直平分线，故|P4=归。，

所以|PH|+|P@=|「印+|^^\DH\=4>\BH\,

故点P的轨迹为以8,“为焦点的椭圆，

可得2。=4,2c=2,即。=2,c=1,

所以|「邳的最大值为a+c=3.

故答案为：3.

=2023(1-——)

n+1

[S“]=2023(1—-=2021

2021<2023(1-——)<2022

〃+1

<n<2022

2

1011</2<2021,/?eN+

故答案为：257；1011<«<2021,neN+

【点睛】方法点睛：本题综合性较强，第一问即可直接写出生，也可构造等比数列求出4,结合取整函

数，能够分析出a=〃是解题的关键，据此利用裂项相消法求和，再由[S“]=2021建立不等式求解，属

于难题.

四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在四边形ABC。中，ABAD=~,ZACD=-,AD=6，S为二ABC的面积，且

23

2S=—也BABC.

(2)若cosZ)=L,求四边形ABCO的周长.

2

2兀

【答案】(1)—

3

(2)2+2百

【解析】

【分析】(1)根据三角形面积公式及数量积的定义化简方程可得tan3,即可得解;

7T

(2)求出。=一，再由正弦定理求出A8=8C=1,即可得解.

3

【小问1详解】

由2s=,

在.ABC中得2x,ABx8Csin8=->/3ABxBCcosB,

2

即sinB=-gcosB，可得tanB=-，

27r

因为3e(O,7r),所以8=3-.

小问2详解】

ITT

由cosO=],£)w(0,兀)，所以£>=§,

所以ABC为等边三角形，AC=6,/CAD=/,

一兀71

所以N8AC=—,/AC8=—,

66

V3xl

ACABAC-sin/AC8

由正弦定理知得AB=-------------

sinBsin/ACBsinfi73

T

故四边形ABCD的周长为2+273.

18.己知等差数列｛4｝的公差为2,前〃项和为S“，且S，S2，S4成等比数歹ij.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）若勿，〃eN”,求数列也“｝的最大项.

%,向+6

【答案】（1）%=2〃—1

,1

（2）b=-

-27

【解析】

【分析】（1）由等差数列前〃项和及等比中项列方程求出首项即可得出通项公式;

（2）化筒为，利用换元法由函数的单调性确定数列的最大项.

【小问1详解】

由题意知S“=叫1）,

又因为s；=s/s”

即（2q+2『=a,-｛4a,+12）,

解得4=1，又d=2,

所以勺=2〃-1.

【小问2详解】

,2n-l2n-l

由（1）知—（2n-l）（2n+l）+6-4n2+5'

设，=2九-1,（1=1,3,5）,

所以〃=上1,又因为2>0,

2

所以/（'）=«+1）2+5=产+2+6=,+9+2,（，=1，3,5,…）

t

因为函数在时递减，

所以的最大值可能出现在，=1或r=3时,

1_

1=1时，n=

1+6+2-5'

111

1=3时，〃=2也.............———

3+2+2-79'

所以数列｛2｝的最大项为a=；

19.如图，圆台QQ上底面半径为1,下底面半径为近，A3为圆台下底面的一条直径，圆。2上点。

满足AC=BC,是圆台上底面的一条半径，点RC在平面45。的同侧，且pq〃8c.

（1）证明：0］。2〃平面PAC；

（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面P8C所成的正弦值.

4

条件①：三棱锥a-A3C的体积为1；条件②：与圆台底面的夹角的正切值为J5.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）证明见解析

力2而

15

【解析】

【分析】（1）根据题意证明四边形POQM为平行四边形，得到「加〃。1。2,利用线面平行的判定定理

证明；

选择条件①根据体积求出。选择条件②根据线面角的正切值求出建立

（2）02=2,ZOXAO2OR=2,

空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【小问1详解】

取AC中点连接如图，

又PO/BC,PO]=；BC

又0?M〃BCQM=；BC,

故P0\〃O[M,PO\=O1M,

所以四边形P。。2M为平行四边形，

则PM//OR，又加u面PAC,ORU平面PAC,

故。仪平面PAC.

【小问2详解】

选①：S——AC-BC=—x2x2=2,

ARC22

又。。2，平面4BC,

14

所以三棱锥a-ABC体积丫=§XSABCX002=-.

所以002=2.

选②：因为平面ABC,

所以“qAQ为A。与底面所成的角,

所以tan/RAO,=0,

又AQ=3,所以。。2=2；

以。z为坐标原点，O2B,O2C,O2O｝所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则有A（-V2,0,0）,B（V2,0,0）,C（0,V2,0）,P

-与'与'2

故A«=（夜,0,2）,

设平面PBC的法向量n=（x,y,z）,

而3C=b1V^,V^,0）,CP=,

ri-BC=-V2x+\Z2y=0,

故.72>/2

n•CP=---x———y+2z=0,

令z=l，解得x=y=0,得〃=（夜,也,1）,

设所求角的大小为氏

卜。|.“_|2+2|_2回

则sin®=|cosAO1,“=

.同店x店15

所以直线A。与平面PBC所成角的正弦值为拽°.

15

20.已知抛物线口)2=2内(0>0)的焦点为尸，圆M:(x—4〃)2+y2=4〃2,抛物线上一点N到其准线

215/2

的距离等于其到圆心M的距离，且S

NFM32

（1）求抛物线C和圆M的方程；

（2）过抛物线上一点〃（气，几）作圆”的切线PAPB分别交抛物线于A,8两点，已知直线AB的斜率

3

为-一，求点尸的坐标.

4

【答案】（1）抛物线C的方程为V=x,圆”的方程为（x—2）2+y2=i

（2）尸（；,—g）或P（4,2）

【解析】

【分析】（1）根据题意求出N点的横坐标，再根据在抛物线上求出纵坐标，由三角形面积可得。，即可得

解；

（2）设直线A3的方程为y=—：x+O,联立抛物线，由根与系数关

系求出乂+%=-。，再写出圆的切线方程，得出九%为方程（义―1）9+2先丁+3-必=0的两根，即

可借助根与系数的关系求解.

【小问1详解】

由题意知|NF|=|NM],易知点知横坐标为4+4旨=9口,故N（?,±±孕），

1

而7C_AP3ap_210由z2_1H|I_1

所以S.NFM=^x4p_gX—厂=32，所以〃=1，即p=5，

所以抛物线C的方程为＞2=X,圆M的方程为（X—2）2+V=1.

【小问2详解】

设P（N；，%），A（y；，M）,B（y；,y2），直线A8的方程为y=一：》+6,

3,

y=—x+b,,°

由彳4得3y2+4y-4A=0,

y2=x,

,4

则ny+%=_§，

设直线24的方程为（y-yi）（y；-加一（y-%乂x-y；）=o,

整理得x_（%+y）y+%y=0,

2+%y,

因为附与圆相切，所以/,F=i，

，i+（%+x）~

整理得（乂-l）y；+2%y+3-巾=0,

同理可得（乂-1）£+2%%+3-尤=。，

所以X,为为方程（乂-1）/+2为y+3-尤=0的两根,

2yo

则必+必=一y七

2yo42

所以一亍合=一§，即2/一3%一2=0,

所以%=-；或%=2,经检验符合题意.

所以P或P（4,2）

21.5G网络是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.已知某精密设备制造企业加工5G零件，根据长期检

测结果，得知该5G零件设备生产线的产品质量指标值服从正态分布N（〃,b2）.现从该企业生产的正品中

随机抽取100件、测得产品质量指标值的样本数据统计如图.根据大量的产品检测数据，质量指标值样本数

据的方差的近似值为100,用样本平均数元作为〃的近似值，用样本标准差s作为cr的估计值.已知质量

指标值不低于70的样品数为25件.

频率

附：尸(〃一cr«XW〃+CT)H0.683,P(/Z-2cr<X<//+2cr)«0.954,

P^-3a<X<〃+3o■卜0.997.

（1）求亍（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）若质量指标值在［54,84］内的产品称为优等品，求该企业生产的产品为优等品的概率；

（3）已知该企业的5G生产线的质量控制系统由“（〃eN,〃之3）个控制单元组成，每个控制单元正常工

作的概率为〃（0<〃<1）,各个控制单元之间相互独立，当至少一半以上控制单元正常工作时，该生产线

正常运行生产.若再增加1个控制单元，试分析该生产线正常运行概率是否增加？并说明理由.

【答案】（1）64

（2）0.819

（3）质量控制系统有奇数个控制单元，增加1个控制单元设备正常工作的概率变小；质量控制系统有偶数

个控制单元，增加1个控制单元设备正常工作的概率变大.答案见解析

【解析】

【分析】（I）根据题意求出再由频率分布直方图中频率之和为1求人，计算均值即可；

（2）由产品质量指标值X〜N（64』（）2）,根据正态分布曲线的对称性求解即可；

（3）分原控制单元的个数为偶数、奇数两类情况分别讨论，分别计算增加一个控制单元后正常工作概率，

作差比较即可得解.

【小问1详解】

因为质量指标值不低于70的样品数为25件，所以

25

（a+0.005）x10=—

所以a=0.020,

因为(0.010+0.020+0+0.020+0.005)x10=1,

所以6=0.045,.

由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取100件的平均数为:

元=0.010>10><4°+50+0020x10〉50+6°+065x1。〉6°+70+oo2OxlOx

222

70+8080+90

+0.005x10x64.

22

【小问2详解】

由题意知4=64,

样本方差『=100,故b=10,

所以产品质量指标值X〜N(64,l()2),

优等品的概率P(54<X<84)=P(54<X<64)+P(64<X<84)

=P(〃-cr4X4〃)+P(〃MX4〃+2b)=gx0.683+；x0.954y0.819;

【小问3详解】

假设质量控制系统有奇数个控制单元,

设〃=2I(ZeN+«22),

记该生产线正常运行的概率为0,若再增加1个控制单元，

则第一类：原系统中至少有攵+1个控制单元正常工作，

其正常运行概率为M1)=卫—0火_”(1—7?广.

第二类：原系统中恰好有&个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，其正常运行概率为

p(2)=CMp*(l-p)ip=CkpN(l-p广；

所以增加一个控制单元正常运行的概率为

PN=P*(1-〃广+vi-产=/+c"(i—p)z

即—

因为。<?<1,所以<0,

即增加1个控制单元设备正常工作的概率变小；•

假设质量控制系统有偶数个控制单元，设〃=2MkeN+次22),记该生产线正常运行的概率为％,若增

加1个元件，

则第一类：原系统中至少有A+1个元件正常工作，其正常运行概率为〃。)=〃«；

第二类：原系统中恰好有上个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，

kk

其正常运行概率为p(2)=C2kp(1-〃)"〃=(1一；

k+

所以增加一个控制单元正常运行的概率为P