2022-2023学年浙江省宁波市余姚市舜水中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省宁波市余姚市舜水中学八年级（上）期末数学试

卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.科学防控知识的图片上有图案和文字说明，图案是轴对称图形的是（）

有症状早就医防控疫情我们在一起

C.打喷嚏捂口鼻勤洗手勤通风

2.下列长度的三条线段，首尾相接能构成三角形的是（）

A.1cm,2cm,3cmB.5cm,5cm,5cm

C.2cm,5cm,8cmD.1.5cm,1.4cm,2.9cm

3.如图，茗茗从点。出发，先向东走15米，再向北走10米到达点M,如果点M的位

置用（15,10）表示，那么（—10,5）表示的位置是（）

A.点4

B.点8

C.点C

D.点。

4.如果m>n,那么下列结论错误的是（）

A.m+2>n+2B.m-2>n—2C.2m>2nD.-2m>—2n

5.对于命题“如果41+42=90。，那么41工42”,能说明它是假命题的反例是（）

A.zl=Z2=45°B.zl=50°,Z2=50°

C.Z1=50°,Z2=40°D.zl=40°,Z2=40°

6.如图，△ABC中，48的垂直平分线DE交2C于D,如果△DBC的周长等于

9cm,BC=4cm,那么4c的长是（）

A.5cm

B.6cm

C.7cm

D.9cm

7.如图，△力BC沿直线MN折叠，使点4与AB边上的点E重合，若NB=54。/。=90°,

则ZENC等于（）

54°

B.62°

C.72°

D.76°

8.定义新运算“㊉”如下：当a>匕时，a㊉b=ab+b；当a<b时，a㊉b=就一b,若3㊉（x+2）>0,

则》的取值范围是（）

A.-1<%<1或x<-2B.x<—2或1V%V2

C.—2<x<1或%>1D.x<-2或%>2

9.若一次函数y=kx+b（k,b都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y=bx+k的图象大致是

)

10.如图，把一个大矩形分割成5小块，其中⑤号是正方形，其余都是矩形，且①

号和④号全等，⑤号的周长是①号的2倍，已知大矩形的面积，可以求出下列哪

一个图形的面积（）

A.①

B.②

C.③

D.⑤

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有

12.点4(-3,2)关于y轴的对称点坐标是

13.命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是命题(填“真”或"假”).

14.如图，直线y=2x与y=for+b相交于点P(m,2),则关于x的方程

kx+b=2的解是.

15.如图，在△ABC中，。是BC上一点，AB^AD,E,F分别是AC,BD的中点，EF=2,则AC的长是

16.如图，直角坐标系中两点4(0,，谷)B(-1,O),点P为线段0B上一动

点，P关于ZB,4。的对称点分别为点C、D,连接CC,交AB,40分别

为点M、N,则CD的最大值是,NMPN的度数是.

三、解答题(本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题6.0分)

解下列不等式(组)：

(1)5%+3<3(2+%)

(3%+14

(2)-4->2*-9

4%4-6>3%4-7

18.（本小题6.0分）

在△力BC和AAOE中，AB=AD,Z1=z2,ZE=ZC,求证：BC=DE.

19.（本小题6.0分）

在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形，现有4B两个

格点，请以为边分别画出符合下列要求的格点三角形.

（1）在图甲中画一个面积为4的直角三角形；

（2）在图乙中画一个等腰（非直角）三角形，且这个等腰三角形的腰长为

甲乙

20.（本小题8.0分）

甲、乙两人分别从4,B两地去同一城市C,他们离4地的路程y（千米）随时间x（时）变化的图象如图所示，根

据图象解答下列问题：

（1）4B两地的路程为千米；

（2）乙离4地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是

（3）求当甲、乙两人在途中相遇时离4地的路程？

21.(本小题6.0分)

已知点P(2a-12,1-a)位于第三象限，点Q(x,y)位于第二象限且是由点P向上平移一定单位长度得到的.

(1)若点P的纵坐标为-3,试求出a的值;

(2)在(1)题的条件下，试求出符合条件的一个点Q的坐标;

(3)若点P的横、纵坐标都是整数，试求出a的值以及线段PQ长度的取值范围.

22.(本小题10.0分)

某电器超市销售4、B两种型号的电风扇，4型号每台进价为200元，B型号每台进价分别为150元，下表是

近两天的销售情况：

销售数量

销售时段销售收入

4种型号B种型号

第一天3台5台1620元

第二天4台10台2760元

(进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)

(1)求4、B两种型号的电风扇的销售单价；

(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求4种型号的电风扇最多能采购

多少台？

(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采

购方案；若不能，请说明理由.

23.(本小题12.0分)

如图，在中，AB=BC,/.ABC=90°,B。14c于点0,P是。C的中点，。是BC延长线上一点,

满足PB=PD

(1)求证41=42：

(2)探究CD与4P之间的数量关系，并给出证明.

24.(本小题12.0分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线k：y=2x与直线L：y=-gx+与相交于点B.

(1)如图1,①求点4、点B的坐标；

②求证：AB=AO.

(2)。在线段。4上，过点。作OE〃OB,将△4DE绕点4顺时针方向旋转一个角度，得到图3,然后取。。的中

点M,取BE的中点N,连接4M,AN,MN,得到图4,请解答下列问题：

①在图3中，。。与BE的数量关系是；

②判断AAMN的形状，并说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：选项A、C、。均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互

相重合，所以不是轴对称图形，

选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图

形，

故选：B.

根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴

对称图形进行分析即可.

此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键.轴对称图形是针对一个图形而言的，

是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合.

2.【答案】B

【解析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.即可求解.

解：根据三角形的三边关系，得：

A、1+2=3,不能构成三角形，不符合题意；

B、5+5>5,能构成三角形，符合题意；

C、2+5<8,不能构成三角形，不符合题意；

D、1.5+1.4=2.9,不能构成三角形，不符合题意；

故选：B.

本题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.

3.【答案】D

【解析】解：根据如图所建的坐标系，易知(-10,5)表示的位置是点D；

故选：D.

根据题意可得：茗茗从点。出发，先向东走15米，再向北走10米到达点M,如果点M的位置用(15,10)表示，

即向西走为x轴负方向，向南走为y轴负方向；则(-10,5)表示的位置是向西10,北5；即点。所在位置.

本题考查了坐标位置的确定，能根据已知点的坐标确定坐标轴的位置是解决本题的关键.

4.【答案】D

【解析】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型.

根据不等式的性质即可求出答案：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变;不

等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不

等号的方向变。

解：vm>n,

­•—2m<—2n,

故选：D.

5.【答案】A

【解析】解：A、满足条件，不满足结论，故A选项正确，符合题意；

8、不满足条件，也不满足结论，故B选项错误，不符合题意；

C、满足条件41+42=90。，也满足结论42,故C项错误，不符合题意；

。、不满足条件，也不满足结论，故。选项错误，不符合题意.

故选：A.

能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子.

本题考查命题的真假判断，正确记忆能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键.

6.【答案】4

【解析】解：「OE是AB的垂直平分线，

■1•DA=DB,

的周长为9,

CB+CD+DB

=CB+CD+DA

=BC+AC

=9（cm）,

vAC=4,

•••BC=5（cm）,

故选：A.

根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到ZM=DB,根据三角形周长与4c的值即可

求得结论.

此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距

离相等是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：乙3=54。，ZC=90°,

.・・z_A=90°-54°=36°,

由折叠的性质可知，匕NEA=^A=36°,

・・・乙ENC=乙NEA+=72°,

故选：C.

根据直角三角形的性质求出再根据折叠的性质、三角形的外角性质计算即可.

本题考查的是直角三角形的性质，折叠的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：当3>%+2,即％VI时，

•・.30(%4-2)>0,

・•・3(%+2)+Q+2)>0,

・,,3%+6+%+2>0,

x>-2,

・•,-2<%<1；

当3<%4-2,即％>1时，

•:3㊉(％+2)>0,

3(%+2)—(x4-2)>0,

2%+4>0,

:.x>—2,

A%>1；

综上所述，一2cxe1或x>1,

故选：C.

分当3>x+2,即XVI时，当3<%+2,即时，两种情况根据题目所给的新定义建立关于％的不等式

进行求解即可.

本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式组，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是

解题的关键.

9【答案】B

【解析】解：一次函数y=/c%+b过一、二、四象限，

则函数值y随X的增大而减小，因而攵<0；

图象与y轴的正半轴相交则b>0,

因而一次函数y=bx-k的一次项系数b>0,

y随x的增大而增大，经过一三象限，

常数项化<0,则函数与y轴负半轴相交，

因而一定经过一三四象限，

故选:B.

根据一次函数丁=kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k,b的取值范围，再根据k,b的取值范围确

定一次函数y=bx+k图象在坐标平面内的位置关系，从而求解.

本题考查了一次函数的图象与系数的关系.函数值y随x的增大而减小Qk<0；函数值y随％的增大而增大

=k>0；

一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交Ob>0,一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交=b<

0,一次函数丫=kx+b图象过原点qb=0.

10.【答案】B

【解析】解：设①号的长为a,宽为b,①和④的面积为ab；

由题意可知⑤号的边长为a+b,面积为(a+b)2：

②号的长为a+b,宽为a,面积为a(a+b)；

③号的长为2a+b,宽为a—b,面积为(2a+6)(a—b)；

大长方形的长为2(a+b),宽为2a,面积为4a(a+b).

又因为4a(a+b)已知，所以a(a+b)可求.

故选：B.

首先设①号的长和宽，再根据题意表示⑤号的边长，进而得出②号和③号的边长，然后表示出面积，最后

比较各图形的面积与大长方形面积可得答案.

本题主要考查了列代数式，根据各图形之间的关系表示出面积是解题的关键.

11.【答案】稳定性

【解析】【分析】

本题考查的是三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键.

根据三角形具有稳定性解答.

【解答】

解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性.

12.【答案】(3,2)

【解析】解：点4(一3,2)关于、轴的对称点坐标是(3,2).

本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐

标相同，横坐标互为相反数.

解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

(1)关于支轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

13.【答案】假

【解析】写出这个命题的逆命题，根据全等三角形的判定判断即可.

解：命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，

是假命题；

故答案为：假.

本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，

而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命

题的逆命题.

14.【答案】x=1

【解析】解：因为直线y=2工与、=kx+b相交于点2),

将点(m,2)代入y=2x得2=2m,

解出m--1,

所以点P的坐标为(1,2),

因为当x=l时，y=kx+b=2,

所以关于x的方程kx+b=2的解是％=1,

故答案为：x=1.

首先利用函数解析式y=2x求出Tn的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程依+b=2

的解可得答案.

此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标.

15.【答案】4

【解析】解：如图，连结力£

•••AFLBD.

•••在RtUCF中，Z.AFC=90°,E是ZC的中点，EF=2,

AC=2EF=4.

故答案为：4.

连结ZF.由4B=AD,F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出4F1BD.再根据直角三角形斜边

上的中线等于斜边的一半求得AC=2EF=4.

本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜

边的一半.利用等腰三角形三线合一的性质得出AF1BD是解题的关键.

16.【答案】2120°

【解析】解：连接CP,AC,AD,AP,

•••4(0,C),Z.AOB=90°,

■■.AB=2,乙BAO=30°,

由轴对称知：AC=AP=AD,AB1CP,AO1PD,

•••/.CAB=Z.PAB,乙DAO=Z.PAO,

：./.CAD=2/.BAO=60°,

.•.△ACD为等边三角形，

CD=AC=APf

-y/~l<AP<2,

・•・CO的最大值为：2,

-AB1CP,AO1PD,Z.BAO=30°,

・・・Z.CPD=150°,

・♦・乙PCD+乙CDB=30°,

・•・"PM+乙NPD=30°,

:.乙MPN=150°-30°=120°,

故答案为：2,120°.

添加辅助线，构造等边三角形，再根据轴对称的性质求解.

本题考查了坐标与图形的变化-对称，掌握对称的性质是解题的关键.

17.【答案】解：(1)・・・5%+3<3(2+%),

・,,5%+3V6+3%,

5x—3%<6—3,

2x<3,

则％<1.5；

(2)由土卢>2x-9,得：x<10,

由4x+6N3x+7,得：%>1,

则不等式组的解集为1<%<10.

【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；

(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确

定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大

小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

18.【答案】证明：•.•41=42,

•••Z.DAC+Z.1=Z2+Z.DAC

Z.BAC=乙DAE,

在AABC和ZMOE中,

ZC=乙E

乙BAC=4DAE，

=AD

・••△/DE三△4BC(44S)

.・.BC=DE.

【解析】根据44s证明三角形全等即可.

本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“sss”、“S4S”、“asa"、“as”；

全等三角形的对应边相等.

19.【答案】，■诃

【解析】解：（1）如图甲中，AABC即为所

求；

（2）如图乙中，△ABC即为所求，以1=CB=

VI2+32=V10-

故答案为：V10.

（1）利用数形结合的思想作一个腰为

的等腰直角三角形即可；

（2）根据等腰三角形的定义作出图形即可.

本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键是学会利用数形结合的思

想解决问题，属于中考常考题型.

20.【答案】30y=3Ox+30

【解析】解：（1）4B两地的路程为30千米，

故答案为：30；

（2）设乙离4地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是y=ax+b,

则｛忆『5。，

解得仁翁

二乙离4地的路程y（千米）关于时间时）的函数表达式是y=30x+30,

故答案为：y=30x+30；

（3）设甲离4地的路程y（千米）关于时间双时）的函数表达式是y=kx,

把（3,150）代入得：3k=150,

解得k=50,

甲离4地的路程y(千米)关于时间x(时)的函数表达式是y=50%,

联立方程组得群北+30，

解得产=5,

ly=75

答：当甲、乙两人在途中相遇时离4地的路程为75千米.

(1)根据函数图象中的数据可以解答本题；

(2)根据图中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；

(3)先求出甲离4地的路程y(千米)关于时间时)的函数表达式，再联立方程组，解方程组即可.

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用待定系数法求出一次函数解析式.

21.【答案】解：

(1)1—a=-3,Q=4.

(2)由Q=4得：2。-12=2x4—12=—4,又点Q(招y)位于第二象限，所以y>0；

取y=l,得点Q的坐标为(-4,1).

(3)因为点P(2a-12,1-a)位于第三象限，

所以

H—a<0

解得：1<a<6.

因为点P的横、纵坐标都是整数，所以a=2或3或4或5；

当a=2时，1-a=-1,所以PQ>1；

当a=3时，l-a=-2,所以PQ>2；

当a=4时，1一。=一3,所以PQ>3；

当a=5时，l-a=-4,所以PQ>4.

【解析】(1)点P的纵坐标为一3,即l—a=—3；解可得a的值；

(2)根据题意：由a=4得：2a-12=-4；进而根据又点Q(x,y)位于第二象限，所以y>0；取符合条件的

值，可得Q的坐标；

(3)根据点P(2a-12,1-a)位于第三象限，且横、纵坐标都是整数，可得0°;

解而求其整数解可得a的值以及线段PQ长度的取值范围.

此题主要考查图形的平移及平移特征.在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同.

平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.

22.【答案】解：(1)设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，

依题意，得:{St10；=2760'

解得：

答：4种型号电风扇的销售单价为240元，B种型号电风扇的销售单价为180元.

(2)设采购4种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30-a)台，

依题意，得：200a+150(30-a)<5400,

解得：a<18.

答：4种型号的电风扇最多能采购18台.

(3)依题意,得：(240-200)a+(180-150)(30-a)>1060,

解得：a>16.

a<18.

16<a<18.

・・・a为整数，

・•・a=16,17,18.

•••共有三种采购方案，

方案1：采购4种型号电风扇16台，B种型号电风扇14台；

方案2：采购4种型号电风扇17台，8种型号电风扇13台；

方案3：采购4种型号电风扇18台，B种型号电风扇12台.

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，

正确列出二元一次方程组；(2)(3)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

(1)设4种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，根据近两天的销售情况表，即可

得出关于％,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设采购4种型号电风扇a台，则采购8种型号电风扇(30-a)台，根据总价=单价x数量结合总价不超过

5400元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；

(3)根据总利润=每台利润x数量结合总利润不少于1060元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得

出a的取值范围，结合(2)的结论及a为整数，即可得出各采购方案.

23.【答案】(1)证明：・.・AB=BC,Z,ABC=90°,

・•・NA=Z-BCA=45°,

・・・Z2=乙BCA一乙D=45°-乙PDB,

・・•8。_L4C于点0,

1

・・・乙OBC=乙OBA=^ABC=45°,

・•・Z1=Z.OBC一乙PBD=45°-(PBD,

,:PB=PD,

・•・乙PBD=乙PDB,

:.45°-Z,PBD=45°-乙PDB,

・•・zl=z.2.

(2)解：C0=?4P，

证明：vNA=^.OBA=/.OBC=NOCB=45°,

OA=OB=OC，

•••P是oc的中点，

11

・•・OP=^0C=^0A,

・•.OP=^APf

作DE1AC交AC的延长线于点E,贝叱E=乙BOP=90°,

•・・4ECD=乙BCA=45°,

・・・乙EDC=Z-ECD=45°,

EC=ED,

・・・CD=VEC2+ED2=V2ED2=—ED，

在APED和△BOP中，

ZE=4BOP

Z.2=Z1,

PD=BP

•••△PE0wZkB0P(44S),

-ED=OP=^AP,

CD=yT2ED=。X^AP=?4P.