2023-2024学年甘肃省张掖市某重点校高二（上）暑期开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年甘肃省张掖市某重点校高二(上)暑期开学数学

试卷

-v单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知芋=i(i为虚数单位)，则复数z=()

A.1+iB.1—iC.-1+iD.一1一i

2.s)210。的值为()

3.如图，在A04B中，P为线段4B上的一点，OP=xOA+y'OB＞且亙X=4港，()

12

X=-y=-

33

AB.

X21

y

=J-3=-

3

cX

31

=y=

4-4-

4.某校举办文艺汇演，高二(1)班的大合唱“保卫黄河”的12位评委的打分如下：8.4,9.3,

8.9,8.8,8.6,8.2,8.5,8.4,9.2,8.8,8.7,9.4,则这组数据的()

A.极差为1B.众数为8.4

C.80%分位数为8.9D.第三四分位数为9.05

5.cos20°cos40°-s讥20%os50啲值等于()

A.B.0C.1D'号

6.已知随机事件A,B,C中，4与B互斥，B与C对立，且P(4)=0.3,P(C)=0.6,则P(4+

B)=()

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9

7.已知rn,ri是两条不同的直线，a,/?,y是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()

A.m//a,n//a,则zn〃nB.m//n,m//a,则九〃a

C.m1a,m1则a//£D.a1y,51y,贝!Ja//£

8.在△48C中，sinA：sinB：sinC=4：5：6,则cost=()

A]7口4

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列命题正确的是（）

A.不共线的三点确定一个平面

B.平行于同一条直线的两条直线平行

C.经过两条平行直线，有且只有一个平面

D.如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角一定相等

10.从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列叙述正确的是（）

A.取出的两个球同为红色和同为黑色是两个互斥而不对立的事件

B.至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件

C.事件4="两个球同色”，贝卯（4）=|

D.事件8=“至少有一个红球”，则P（B）=磊

11.己知函数/'（X）=Asin（a）x+屮）（其中4>0,<o>0,\（p\<今的部

分图象如图所示，贝4（）

.n

A.0=一%

B.3=4

c.f（x）的图象关于直线x=靑对称

D.fQ）在%币上的值域为[-5,3]

12.已知平面四边形ABCD,。是四边形ABCD所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（）

A.若四=瓦，则四边形4BCO是平行四边形

B.若|万？一兩|=|函+兩一2。？|，则AHBC为直角三角形

C.^\AB+AD\=\AB-AD\，则四边形4BCD是矩形

AC

D.若动点P满足赤=OA++ArD）（m>0）,则动点P的轨迹一定通过厶

\AB\smz.ABC\AC\s\m.ACB

ABC的重心

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.i是虚数单位，己知心一1|=|3-i|.写岀一个满足条件的复数3=.

14.已知向量五=(2,4),b=(k,6)，若行〃3，则k=.

15.已知球的体积为36兀，球的表面积是.

16.若函数/'(x)=4sina)x-siM(等+■+cos2a)x-1(&)>0)在［一試］内有且仅有一个最

大值点，则3的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知向量五，石满足0+B)•0-2区)=一6，且间=1,\b\=2-

(1)求。広

(2)若五与方的夹角为。，求。的值.

18.(本小题12.0分)

某学校派甲、乙两人组成“少年队”参加射击比赛，每轮比赛由甲、乙各射击一次，已知甲

每轮射中的概率为:，乙每轮射中的概率为|.在每轮比赛中，甲和乙射中与否互不影响，各轮

比赛结果也互不影响.

Q)求“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次的概率；

(2)求“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次的概率.

19.(本小题12.0分)

△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosC+ccosA=btanA.

⑴求4

(2)若。=5b=求△ABC的面积.

20.(本小题12.0分)

如图，在正三棱柱ABC—4選16中，已知4B=441=2,。是4B的中点.

(1)求直线CG与OB1所成角的正切值；

(2)求证：平面COB1丄平面488送1，并求点B到平面CD当的距离.

A

21.(本小题12.0分)

为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某

机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中

随机选出200人,并将这200人按年龄分组，记第1组［15,25),第2组［25,35),第3组［35,45),

第4组［45,55),第5组［55,65),得到如下频率分布直方图：

(1)求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的中位数及平均数；

(2)从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求

这两人恰好属于同一组别的概率.

22.(本小题12.0分)

如图所示，在四棱锥尸一A8CD中，该四棱锥的底面4BCD是边长为6的菱形，Z.ABC=120°,

PA=PC,4PBD=4PDB=60°,E为线段48上靠近8点的三等分点.

(1)证明：平面P4C丄平面PBD；

(2)在线段PD上是否存在一点F,使得EF〃平面PBC?若存在，求器的值及直线EF与平面

4BCD所成角的大小；若不存在，请说明理由.

A1

EB

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：—Z=i.

1+i(l+i)i].

则Z=—==1-1.

故选:B.

根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：s讥210。=sin(180°+30°)=-sm30°=

故选:B.

根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及特殊角，即可求解.

本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：在ACMB中，P为线段AB上的一点，OP=xOA+y'OB^且瓦？=4两，

则：OA-OB=4(0^4-OP)，

整理得：OP^^'OA+^'OB,

44

由于：0P=x04+y0B，

所以：%=|»y=7-

4,4

故选：C.

直接利用向量的共线的充要条件和向量的减法求出结果.

本题考查的知识要点：向量共线的充要条件，向量的线性运算，属于基础题型.

4.【答案】D

【解析】解：将这组数据按照从小到大排列为：8.2,8.4,8.4,8.5,8.6,8.7,8.8,8.8,8.9,9.2,

9.3,9.4,

对于4因为极差为9.4一8.2=1.2,所以4不正确；

对于B,因为8.4和8.8岀现的次数最多，都是2次，所以众数为8.4和8.8,所以B不正确；

对于C,因为12x80%=9.6,所以80%分位数为9.2,所以C不正确；

对于。，因为12x75%=9,所以第三四分位数为空岁=9.05,所以。正确.

故选：D.

将这组数据按照从小到大进行排列，再根据极差、众数和百分数的定义求解.

本题主要考查了极差、众数和百分数的计算，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：cos20°cos40°—sin20°cos50°=cos20°cos40°—sin20°sin40°=cos(20°+40°)=

1

cos600=

故选：C.

代数式化简，再由两角和的余弦公式可得它的值.

本题考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：•随机事件4,B,C中，4与B互斥，B与C对立，

P(4)=0.3,P(C)=0.6,

•••P(B)=1-P(C)=0.4,

P(A+B)=P(4)+P(B)=0.7.

故选：C.

利用对立事件概率公式先求出P(B)=1-P(C)=0.4,再由互斥事件概率加法公式能求出P(4+

B)=P(4)+P(B)的值.

本题考查概率的求法，考查对立事件概率公式、互斥事件概率加法公式能等基础知识，考查运算

求解能力，是基础题.

7.【答案】C

【解析】【分析】

对每个选项，利用线面平行的关系判断线线平行，线面平行，面面平行的判定方法，可得结论.

本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是对空间中的线与线、线与面，面与面

的位置关系有着较强的空间感知能力，能运用相关的定理与条件对线面位置关系作岀准确判断.

【解答】解：对于4平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确；

对于8,m//n,m//a,则n〃a或nua,故2不正确；

对于C,利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；

对于o,因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故。不正确.

故选C.

8.【答案】A

【解析】解：因为sin/1：sinB：sinC=4：5：6,

所以由正弦定理知：a：b：c=4：5：6,

令a=4x,b—5x.c=6x,(%>0)

由余弦定理有：cosC=a2+M-c2=16x2+25x2-36”=丄

2ab2x4xx5x8

故选：A.

由正弦定理及己知设a=4x,b=5x,c=6x,再用余弦定理求cosC即可.

本题考查利用正、余弦定理解三角形，属于基础题.

9.【答案】ABC

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A正确；

对于8,由平行公理可得平行于同一条直线的两条直线平行，可知8正确；

对于C,由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知C选项正确；

对于D,如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，可知。错误；

故选：ABC.

根据平面的确定情况及点线面的位置关系直接判断即可得到答案.

本题考查平面的基本性质，涉及空间直线平行的性质，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：对于4两球同时为红球和为黑球不可能同时发生，并且除了这两个事件，实验还

会发生一个事件，即两球一黑一白，所以两球同时为红球和为黑球的事件为互斥而不对立事件，A

正确；

对于8,至多有一个黑球包括一黑一红和两红球，其对立事件为两黑球，B错误；

对于C,4事件发生的结果数为3+1=4,实验的总结果数为4+3x2=10,

所以P(4)=微气，C正确；

对于D,事件B的对立事件结果数为1,所以P(5)=2,所以P(B)=4,。正确.

故选：ACD.

结合互斥事件和对立事件的概念进行分析即可.

本题主要考查互斥事件和独立事件的概念和计算方法，属中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：由函数f(x)=Zsin(3X+9)的部分图象知，4=3,/(0)=3sin(p=解得sin。=

1

T

因为切〈看所以3=-会选项A正确；

因为f%)=3sin備3-*=0,所以看3-詳kTT(keZ),解得3=8+48k(keZ)；

又因为。=勺>白，所以0<3<24,当k=l时，3=8,选项B错误；

因为f(x)=3s讥(8x所以令8xY=3+kWez),解得+案(kez),

所以/(无)的图象关于直线％=靑对称，选项C正确；

因为当xe%5时,8%_之呜爸,所以3s讥(8xY)e

所以/(x)在成币上的值域为3],选项。正确.

故选：ACD.

根据函数f(x)=4s/(3X+")的部分图象求出4、w和3的值，写出函数的解析式，再判断选项中

的命题是否正确.

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：由荏=诧，可得4B〃CD,且4B=C。故A8CO是平行四边形，所以A正确；

由|瓦?-函=同+而-2元|，

可得|瓦？|=\OA-OC+OB-OC\<

^\CA-CB\=\CA+CB\，

因此乙4丄CB,所以AABC为直角三角形，所以B正确；

由|而+而|=|為-而|，平方可得荏•而=0，

即4B丄AD,但ABCD不一定是矩形，所以C错误；

作4E1BC于E,由于|松|sinB=|AC\sinC=|荏|，

所以诃=讪+.(而刀诉+团前“/=况+誥(荏+市),

y\AB\sinZ-ABC\AC\s\nZ.ACBJ\AE\\)

即而=詣懑+硝，

故P的轨迹一定通过的重心，所以。正确.

故选：ABD.

由向量相等可判断A;

由数量积的性质结合模的运算可判断B和C；

由向量的线性运算结合向量共线可判断0.

本题主要考查平面向量的数量积和运算，属于中档题.

13.【答案】1+i(答案不唯一，满足a+ai(aCR)均可)

【解析】解：设3=a+bi(a,6eR),因为⑷—1|=,

22

所以|a-1+=|a+(b—l)i|,即J(a-l++b2=a+(b-l),

整理得a=b,取a—b=1得3=1+i.

故答案为：1+i(答案不唯一，满足a+ai(a6R)均可).

设3=a+bi(a,beR),根据已知得a,b关系，然后可得答案.

本题主要考查复数的模，属于基础题.

14.【答案】3

【解析】解：a=(2,4)>b—(/c,6)>

•••2x6=4/c,

:・k=3.

故答案为：3.

直接利用向量平行的坐标运算求解.

本题主要考查向量共线的性质，属于基础题.

15.【答案】367r

【解析】【分析】

本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力.

通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积.【解答】

解：因为球的体积为36几，

所以等=36TT，球的半径为：r=3,

所以球的表面积为：4TTx32=367r.

故答案为：367r.

16.【答案】［W)

【解析】【分析】

本题结合三角恒等变换和三角函数的图象及性质考查，考查数形结合思想，属于难题.

利用二倍角公式化简/(x)=2sin(ux,再结合正弦函数的图象构建3的不等式.

【解答】

—

ATJ1cos((z)x+5)~

解：J(.x)=4sincox------------—+cos2a)x—1=2sina)x(l+sina)x)+2cos£a)x—2=2sina)x-

如图，因为|话|＜《|,所以/(x)在区间［-羽］有且仅有一个最大值点等价于，X［一，解得

143＜/故＜0取值范围为［W).

17.【答案】解：(1)因为@+b).0—2b)=一百■b—2b=-6»

又同=1,|K|=2.

所以五•方=五2-2,+6=1—8+6=—1；

(2)因为cos。=雋=—,又)€［0向,

冋网2

所以"竽.

【解析】(1)按照数量积运算律展开条件式，代入模长即可求解；

(2)根据向量的夹角公式求出夹角余弦值，结合夹角范围得出仇

本题考查平面向量数量积及其夹角的运算，属基础题.

18.【答案】解：(1)设力k，8上分别表示甲、乙在第k(k=1,2,3,...)轮射中,

则P(AQ見,P(4)=1，P(%)=4

设C表示“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次，

则P(C)=P(41)P®)+=|x|+ix|=i,

所以“少年队”在一轮比赛中恰好射中1次的概率为今

(2)设为,以，D2,。3分别表示甲在三轮比赛中射中。次，1次，2次，3次,

E。，Ei，E2,%分别表示乙在三轮比赛中射中0次，1次，2次，3次，

M表示“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次.

11111111113

XX-XX3XXX

-2-2-2*_-2-2-2=：，P(Di)-2-2-2=-

^08

3%1131111

XXX=-=XX-X---X-X-=-

82282228

111112

二P

X-X==X-X==XX-X=-

33339

2727

8

24142

XX=P3XXXXX

-3-9=-3-9-3=

27

所以P(M)=P(D0)P(E3)+P(5)P(5)+P(Q)P(Ei)+P(D3)P(&))="捺+p《+|x"

117

-X--

8

2724

故“少年队”在三轮比赛中恰好射中3次的概率为

24

【解析】(1)根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式计算即可；

(2)根据二项分布算出甲和乙在三轮比赛中，射中0次，1次，2次，3次的概率，然后利用独立事件

的乘法公式和概率的加法即可.

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题.

19.【答案】解：(1)已知QCOSC+ccosA=从。九4,

由正弦定理可得siTL4cosc+cosAsinC=sinBtanA,

整理得sin(A+C)=sinB=sinBtanA,

因为＞0,所以tcmA=1,因为/G(0,乃)，所以A=今

(2)由余弦定理可得a?=b2+c2-2bccosA,即5=2+c?-2yl~2cx

即c2-2c-3=0,解得c=3或c=一1（舍）,

所以△ABC的面积为。x3xCxsinJ=复

242

【解析】(1)根据正弦定理，结合三角形内角和求解即可；

(2)根据余弦定理可得c=3,再根据面积公式求解即可.

本题考查解三角形，正余弦定理的应用，考查学生的运算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)由正三棱柱的结构特征可知：CCJ/BBi，BB］丄平面4BC,△ABC为等边三角

形；

二直线CG与OB1所成角即为ND&B,

•••80u平面ABC,BBi丄平面ABC,BBX1BD,

因为。是AB的中点，所以

所以在RtABiBD中，tan/DBiB=腎=惮=＜，

1BB［4412

即直线CCi与。丸所成角的正切值为

(2)证明：因为。是4B的中点，△力BC为等边三角形，所以CD丄4B,

因为8Bi丄平面4BC,CDu平面ABC,所以CD丄

又因为ABCIBBLB,AB,幽u平面488出，

所以CO丄平面

又因为CDu平面CD/,所以平面CDB］丄平面

在平面4BBM1内作BE丄Bi。，垂足为E,

A

•.•平面COB1丄平面ABB141，平面CDB】n平面AB81A1=Bi。，BEBE1BXD,

BE丄平面.•.点B到平面CD%的距离即为BE的长，

由（1）知：BBiJLBD,:.B^D=Vl2+22=V5>

c1Dn口匸1DDDnnnDrrBBi，BD22V-5

•1•SAB$D=/D.BE=-BBA-BD,即BE==7^=—>

・・•点B到平面CD%的距离为雪.

【解析】(1)通过平行线转化，从而找到直线与直线所成角，然后通过解三角形知识即可求解；

(2)利用平面与平面垂直的判定定理即可证明：再作出点到平面的垂线段，然后利用等面积法即可

求解.

本题考查求异面直线所成的角，以及面面垂直的判定和点到面的距离的求法，属于中档题.

21.【答案】解：(1)根据频率分布直方图的性质可得：

(0.01+0.015+a+0.03+0.01)x10=1,

解得a=0.035,

设年龄的中位数为b,

则0.1+0.15+(b-35)X0.035=0.5,

解得b«42.14,

••・平均数1=20x0.1+30x0.15+40x0.35+50x0.3+60x0.1=41.5:

(2)根据题意及分层抽样的概念可得：在第一组抽2人，在第二组抽3人，

再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，

则这两人恰好属于同一组别的概率P=叁以=|.

【解析】(1)根据频率分布直方图的性质，中位数的概念，平均