第3节圆周运动

第四章曲线运动万有引力与宇宙航行第3节圆周运动目录CONTENT立足“四层”·夯基础着眼“四翼”·探考点聚焦“素养”·引思维020301锁定“目标”·提素能04Part01立足“四层”·夯基础⁠一、圆周运动1.匀速圆周运动（1）定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的弧长

相等

⁠，其所做的运动就是匀速圆周运动。（2）速度特点：速度的大小

不变

⁠，方向始终与半径垂直。相等

不变

2.描述圆周运动的物理量意义公式/单位线速度（v）（1）描述做圆周运动的物体运动

快慢

⁠的物理量（2）是矢量，方向沿圆周切线方向角速度（ω）描述物体绕圆心

转动

⁠快慢的物理量周期和转速（T和n）物体沿圆周运动

一周

⁠的时间叫周期，单位时间内转过的圈数叫转速向心加速度（an）（1）描述速度

方向

⁠变化快慢的物理量（2）方向指向圆心，时刻在改变快慢

转动

rad/s

一周

方向

ω2r

二、匀速圆周运动的向心力1.作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的

方向

⁠，不改变速度的

大小

⁠。

3.方向：始终沿半径方向指向

圆心

⁠，时刻在改变，即向心力是一个变力。4.来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的

合力

⁠提供，还可以由一个力的

分力

⁠提供。方向

大小

mrω2

圆心

合力

分力

三、离心现象1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供做圆周运动所需

向心力

⁠的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。2.本质：做圆周运动的物体，由于本身的

惯性

⁠，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势。向心力

3.受力特点（如图所示）（1）当F

＝mω2r时，物体做匀速圆周运动，如图所示；（2）当F＝0时，物体沿切线方向飞出；（3）当F＜mω2r时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力。惯性

⁠

现在有一种叫作“魔盘”的娱乐设施，如图所示。当“魔盘”转动很慢时，人会随着“魔盘”一起转动，当盘的速度逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越明显，当“魔盘”转动到一定速度时，人会“贴”在“魔盘”竖直壁上而不会滑下。（1）人随“魔盘”一起做匀速圆周运动时，其角速度是不变的。

（

√

）（2）人随“魔盘”一起做匀速圆周运动时，其合外力是不变的。

（

×

）√×（3）人随“魔盘”一起做匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比。

（

×

）（4）随“魔盘”一起做匀速圆周运动时，人离“魔盘”中心越远，人运动得越快。

（

√

）（5）“魔盘”的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，这是人受沿半径向外的离心力作用的缘故。

（

×

）×√×Part02着眼“四翼”·探考点⁠考点一

描述圆周运动的物理量

[素养自修类]1.[圆周运动各物理量间的关系]如图所示的旋转脱水拖把，拖把杆内有一段长度为35cm的螺杆通过拖把杆下段与拖把头接在一起，螺杆的螺距（相邻螺纹之间的距离）d＝5cm，拖把头的半径为10cm，拖把杆上段相对螺杆向下运动时拖把头就会旋转，把拖把头上的水甩出去。某次脱水时，拖把杆上段1s内匀速下压了35cm，该过程中拖把头匀速转动，下列说法正确的是（

）A.拖把头边缘的线速度为1.4πm/sB.拖把杆向下运动的速度为0.1πm/sC.拖把头转动的角速度为7πrad/sD.拖把头的转速为1r/s

2.[同轴传动类圆周运动问题]（2023·扬州中学检测）硬盘是电脑主要的存储媒介之一，由一个或者多个铝制或者玻璃制的碟片组成。碟片外覆盖有铁磁性材料。如图所示，电动机使磁盘以5400r/min的转速匀速转动，磁头在读、写数据时是不动的，磁盘每转一圈，磁头沿半径方向跳动一个磁道。外磁道某一点P与内磁道某一点Q相比，有（

）A.nP＞nQB.ωP＞ωQC.vP＜vQD.aP＞aQ解析：D

P、Q两点同轴转动，故两点有相同的角速度，即ωP＝ωQ，根据ω＝2πn有nP＝nQ，A、B错误；由于P点的半径大于Q点的半径，根据v＝rω、rP＞rQ得vP＞vQ，C错误；根据a＝ω2r、rP＞rQ得aP＞aQ，D正确。3.[齿轮传动类圆周运动问题]在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6，当齿轮转动的时候，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点（

）A.线速度大小之比为1∶1B.角速度之比为1∶1C.角速度之比为1∶3D.向心加速度大小之比为1∶3解析：A

题图中三个齿轮边缘线速度大小相等，A点和B点的线速度大小之比为1∶1；由v＝ωr可得，线速度大小一定时，角速度与半径成反比，A点和B点角速度之比为3∶1；由an＝ω2r可知，A点和B点的向心加速度大小之比为3∶1。故选项A正确，B、C、D错误。⁠1.匀速圆周运动各物理量间的关系2.三种传动方式及特点（1）皮带传动：皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等。（2）齿轮传动：两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等。（3）同轴传动：两轮固定在同一转轴上转动时，两轮转动的角速度大小相等。考点二

水平面内的匀速圆周运动

[互动共研类]1.向心力的来源向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。2.运动模型运动模型向心力的来源示意图运动模型向心力的来源示意图飞机水平转弯⁠火车转弯⁠圆锥摆⁠飞车走壁⁠运动模型向心力的来源示意图运动模型向心力的来源示意图汽车在水平路面转弯⁠水平转台（光滑）⁠【典例1】

天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B（m1≠m2）。设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则（

）A.B球周期大于A球周球B.两球的向心加速度大小相等C.球A、B到P的距离之比等于m2∶m1D.球A、B到P的距离之比等于m1∶m2审题指导

光滑的小圆环P相当于光滑的定滑轮，因此连接小球的绳子上的拉力大小相等，分别以两球为研究对象，受力分析列方程即可解答。尤其要注意两球的角速度关系：二者角速度相等。

答案

C⁠

把【典例1】中A、B两个小球改为如图所示，则A、B两个小球转动的角速度、线速度、向心加速度及运动周期之比是多少？

｜一题悟通｜

（2）双圆锥摆模型（如图乙所示）：P、Q随旋转圆盘绕中心轴匀速转动，则它们做圆周运动的角速度相等，故它们的线速度、向心加速度均与轨道半径成正比，且在竖直方向上受到的合力为零。【典例2】

如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连的物体A和B，A和B质量都为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA＝r，RB＝2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法错误的是（

）A.绳子的张力为FT＝3μmgC.A所受摩擦力方向沿绳指向圆外D.烧断绳子，物体A、B仍将随盘一块转动审题指导

A、B刚好未发生滑动时，二者与接触面间都达到最大静摩擦力，都是拉力与最大静摩擦力的合力提供向心力。不同的是，B所受的静摩擦力沿半径指向圆心，A所受的静摩擦力沿半径背离圆心。

答案

D⁠（1）图甲为水平转盘基本模型：当转动的角速度多大时，物体就要相对转盘发生滑动？

（2）把【典例2】中A、B两个物体改为如图乙所示，物体A与转轴之间的距离为r，A、B之间的绳长仍为3r，随着转盘缓慢加速，则绳子何时出现拉力？若A、B与转盘始终保持相对静止，转盘的角速度需要满足什么条件？

｜一题悟通｜水平面内圆周运动临界问题的分析方法几何分析目的是确定圆周运动的圆心、半径等运动分析目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等受力分析目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力⁠1.[圆锥摆模型]如图所示，用一根质量不计、不可伸长的细绳，一端系一可视为质点的小球，另一端固定在O点。当小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω时，悬点O到轨迹圆心高度为h，细绳拉力大小为F，小球的向心加速度大小为a，线速度大小为v，下列描述各物理量与角速度ω的关系图像正确的是（

）

2.[火车转弯问题]

A.外轨对外侧车轮轮缘有挤压B.内轨对内侧车轮轮缘有挤压C.这时铁轨对火车的支持力等于mg

3.[水平面内圆周运动临界问题]（2023·江苏金陵中学模拟）如图，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块a所受的摩擦力随圆盘角速度的平方（ω2）的变化关系正确的是（

）解析：D

转动过程中a、b角速度相同。当圆盘角速度较小时，a、b由静摩擦力充当向心力，细线拉力为零，此过程中a、b所需要的摩擦力分别为fa＝mraω2，fb＝mrbω2，因为rb＞ra，故fb＞fa，又因为a、b与平台的最大静摩擦力相同，所以随着角速度增大，b先达到最大静摩擦力，当b达到最大静摩擦力f0时绳子开始出现拉力，此时对于a、b有fa－T＝mraω2，f0＋T＝mrbω2，联立可得fa＝m（ra＋rb）ω2－f0，由上述分析可知，细线拉力出现之前fa－ω2图像的斜率为mra，细线拉力出现之后图线的斜率为m（ra＋rb），所以细线有拉力时图线斜率变大。故选D。轻“绳”模型轻“杆”模型情境图示⁠⁠弹力特征弹力可能向下，也可能等于零弹力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意图⁠⁠力学方程考点三

竖直面内的圆周运动

[方法模型类]轻“绳”模型轻“杆”模型临界特征v＝0，即Fn＝0，此时FN＝mg模型关键（1）“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力。（2）小球通过最高点的速度最小可以为0【典例3】

如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，则球B在最高点时（

）A.球B的速度为零C.水平转轴对杆的作用力为1.5mgD.水平转轴对杆的作用力为2.5mg

答案

C⁠1.[轻“杆”模型]一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（

）A.在最高点杆给小球有竖直向下的拉力B.在最低点杆给小球可以是有竖直向下的弹力C.在B点杆给小球的拉力F＝mω2l

2.[轻“绳”模型]如图甲所示，一长为l的轻绳，一端固定在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知、可视为质点的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F大小与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是（

）C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大D.绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置变化

3.[“双绳”模型]如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根轻绳的拉力大小为（

）C.3mg

Part03聚焦“素养”·引思维⁠“形同质异”慎解题─斜面上圆周运动的临界问题在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。下面列举三类实例。类型一

斜面上静摩擦力控制下的圆周运动【典例1】

如图所示，有一倾斜的匀质圆盘（半径足够大），盘面与水平面的夹角为θ，绕过圆心并垂直于盘面的转轴以角速度ω匀速转动，有一物体（可视为质点）与盘面间的动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），重力加速度为g。要使物体能与圆盘始终保持相对静止，则物体与转轴间最大距离为（

）

答案

C类型二

斜面上轻杆控制下的圆周运动【典例2】

如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8m的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2kg的小球，沿斜面做圆周运动。g取10m/s2。若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是（

）A.4m/s

答案

A类型三

斜面上轻绳控制下的圆周运动【典例3】

如图所示，一倾角为θ＝30°的斜劈静置于粗糙水平面上，斜劈上表面光滑，一轻绳的一端固定在斜面上的O点，另一端系一小球。在图示位置垂直于绳给小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圆周运动。已知O点到小球球心的距离为l，重力加速度为g，整个过程中斜劈静止，下列说法正确的是（

）C.小球运动过程中，地面对斜劈的摩擦力大小不变D.小球运动过程中，地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和

小球在斜面上受重力、支持力和绳的拉力作用做变速圆周运动，其所受重力与斜面的支持力大小和方向均保持不变，绳的拉力大小和方向均不断变化，根据牛顿第三定律，以斜劈为研究对象，斜劈在小球恒定的压力、绳沿斜面方向不断变化的拉力、地面的支持力、摩擦力和自身的重力作用下保持平衡，绳的拉力沿斜面方向不断变化，故其在水平和竖直方向上的分量也在不断变化，根据斜劈的平衡条件可知，它受到的水平方向上的摩擦力大小是变化的，地面对斜劈支持力的大小不一定等于小球和斜劈重力之和，选项C、D错误。答案

BPart04锁定“目标”·提素能⁠1.“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点向心加速度大小约为（

）A.10m/s2B.100m/s2C.1000m/s2D.10000m/s2解析：C

纽扣在转动过程中ω＝2πn＝100π

rad/s，则向心加速度a＝ω2r≈1

000

m/s2，故选C。2.陀螺是人们小时候特别喜欢玩的玩具，在公园里也经常可见很多老大爷通过玩陀螺来健身。如图所示，陀螺上a、b、c三点钉了三颗质量均为m＝0.01kg的小钉子，其中钉子c距离中心的距离为R＝5cm，则当陀螺以角速度ω＝10rad/s旋转时，转轴在竖直方向，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（

）A.三颗钉子的向心加速度aa＞ab＞acB.三颗钉子的线速度va＞vb

＞vcD.钉子c受到陀螺对它的作用力为5×10－2N

3.（2023·泰州中学检测）单板滑雪是2022年北京冬奥会的比赛项目之一。如图所示，单板滑雪U形池场地可简化为固定在竖直面内的半圆形轨道场地，雪面不同曲面处的动摩擦因数不同。因摩擦作用，

滑雪运动员从半圆形场地的坡顶下滑到坡底的过程中速率不变，则（

）A.运动员下滑的过程中加速度不变B.运动员下滑的过程所受摩擦力先增大后减小C.运动员下滑过程中与雪面的动摩擦因数变小D.运动员滑到最低点时对轨道的压力等于物体的重力

4.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，如图所示，经过最高点而不脱离轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力值是（

）A.0B.mgC.3mgD.5mg

5.如图所示，甲、乙为两辆完全一样的电动玩具汽车，以相同且不变的角速度在水平地面上做匀速圆周运动。甲运动的半径小于乙运动的半径，下列说法正确的是（

）A.甲的线速度大于乙的线速度B.甲、乙两辆车的摩擦力相同C.若角速度增大，乙先发生侧滑D.甲的加速度大于乙的加速度

6.如图所示，一可视为光滑的玻璃球，设其可在碗内不同的水平面上做匀速圆周运动，下列说法不正确的是（

）A.玻璃球越靠近碗口其对碗的压力越大B.玻璃球越靠近碗口其向心加速度越小C.玻璃球越靠近碗口其线速度一定越大D.玻璃球的重力与碗内壁对它的弹力的合力提供玻璃球做圆周运动所需的向心力

7.（2023·江苏扬州模拟预测）气嘴灯安装在自行车的气嘴上，骑行时会发光，一种气嘴灯的感应装置结构如图所示，一重物套在光滑杆上，重物上的触点M与固定在B端的触点N接触后，LED灯就会发光。下列说法正确的是（

）A.感应装置的原理是利用离心现象B.安装气嘴灯时，应使感应装置A端比B端更靠近气嘴C.要在较低的转速时发光，可以减小重物质量D.车速从零缓慢增加，气嘴灯转至最高点时先亮解析：A

感应装置的原理是利用离心现象，使两触点接触而点亮LED灯，故A正确；由离心运动原理可知，B端在外侧，所以B端比A端更靠近气嘴，故B错误；转速较小时，向心力较小，则可以增加重物质量、减小弹簧劲度系数或增大转动半径来增大弹力，从而使N点更容易与M点接触来发光，故C错误；当车速缓慢增加时，气嘴灯转至最高点时，弹力最小，在最低点弹力最大，所以应在最低点先亮，故D错误。8.如图甲所示，轻杆的一端固定一小球（可视为质点），另一端套在光滑的水平轴O上，O轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度大小v；O轴处有一力传感器，可以测量小球通过最高点时O轴受到的杆的作用力F，若取竖直向下为F的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F－v2（v为小球在最高点处的速度）图像如图乙所示，取g＝10m/s2，则（

）A.O轴到小球的距离为0.5mB.小球的质量为3kgC.小球恰好通过最高点时的速度大小为5m/s

⁠9.（2023·江苏泰州模拟）关于如图所示的四种圆周运动模型，下列说法正确的是（

）A.如图（a）所示，汽车安全通过拱桥最