江西省多校联考2023-2024学年高一下学期第一次阶段性考试（3月月考）数学试题

2023—2024学年高一年级第二学期第一次阶段性考试数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与角终边相同的角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】只需将两角作差，看差是否是的整倍数即得.【详解】因不能表示成的形式，故A项错误；同理因也不能表示成的形式，故B项错误；由，而也不能表示成的形式，故C项错误；而，具备的形式，故D项正确.故选：D.2.已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件【答案】D【解析】【分析】利用函数单调性的定义易得“”是“函数在区间上单调递增”的必要条件；可通过举例子说明“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件，即得.【详解】由得不到“函数在区间上单调递增”，如，，显然满足，但是函数在上递增，在上递减，故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件；而由“函数在区间上单调递增”可得.则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：D.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】多次利用诱导公式，将所求式化简，再代入条件求值即得.【详解】由.故选：B.4.，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数运算求得，利用指数的性质与运算比较，从而得解.【详解】因为，，所以．故选：A．5.已知角的终边经过点，若，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数定义得到不等式，求出答案.【详解】由三角函数定义可得在第四象限，，解得，故的取值范围是.故选：B6.函数，的值域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可.【详解】故选：C.7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据分段函数的单调性知，函数g(x)每一段均需单调增，且每相邻两段函数，右段函数的左端点函数值不小于左段函数右端点函数值，列出不等式组求解即可.【详解】由题：函数在上单调递增，故，解得：,故选：C.8.鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”（如图1），是一种特殊三角形，指分别以正三角形顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔.今有一个半径为的圆（如图2），，，分别为圆周上的点，其中，，现将扇形，分别剪下来，又在扇形中裁剪下两个弓形分别补到扇形的两条直边上，将扇形补成鲁洛克斯三角形，设此鲁洛克斯三角形的面积为，扇形剩余部分的面积为，若不计损耗，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，先由扇形求出弓形面积，再分别计算和，化简即得.【详解】由题意，先求出弓形的面积为,则,,故故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】AC【解析】【分析】利用象限角的定义即可得解.【详解】依题意，得，所以，当为偶数时，的终边在第一象限；当为奇数时，的终边在第三象限．故选：AC10.若点在函数的图象上，且满足，则称是的点.下列选项中的是函数的点的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】【分析】根据是的点的定义，对选项一一分析计算，检验即得.【详解】对于A，因，，则符合题意，故A项正确；对于B，因，，则，不符题意，故B项错误；对于C，因，，则，符合题意，故C项正确；对于D项，由，因，，，则，不合题意，故D项错误.故选：AC.11.已知定义域均为的奇函数和偶函数，满足，则（）A.在上单调递减B.C.当时，的最大值为D.函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象【答案】ABD【解析】【分析】利用函数奇偶性先求解析式，利用三角函数的图象与性质一一选项即可.【详解】由题意及诱导公式可知：，两式相加得，所以，对于A，，由正弦函数的图象与性质可知单调递减，即A正确；对于B，根据诱导公式易知，即B正确；对于C，时，易知，令，由对勾函数的性质可知在时取得最大值，故C错误；对于D，函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2024年3月1日，某蛋糕店共有10位顾客预订生日蛋糕，他们的年龄按预订的顺序依次是6，12，54，30，8，10，18，24，30，32，则这10位顾客年龄的中位数是________.【答案】【解析】【分析】利用中位数的定义计算即可.【详解】由题意将顾客的年龄从小到大排列：，则中位数为.故答案为：13.已知函数具有下列性质：①值域为；②其图象的对称轴为直线，，则的一个解析式为________.（写出满足条件的一个解析式即可）【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】依题意使其值域和对称轴满足即可选定一个函数.【详解】可使函数的值域为，且其图象的对称轴为直线即可，故可取.故答案为：.(答案不唯一)14.已知函数的定义域为，值域为，若存在整数，，且，则为函数的“子母数”.已知集合，函数，（表示不超过的最大整数，例如），当时，函数的所有“子母数”之和为________.【答案】【解析】【分析】解不等式，得集合，画出的图象，根据图象得到g(x)<0的部分，求出x∈Z且在定义域内的x之和即可求解.【详解】因为,，，所以由，可得，解得，即，如图为的图象，由的周期性，所以只需讨论一个周期内的情况即可，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，所以，即在一个周期内的部分，由图得时，，，，所以且在定义域内的为，所以数所有“子母数”之和为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键在于画出的图象，根据图象得到的部分，求出且在定义域内的之和.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在某单位元旦联欢会上，为了活跃气氛，设计了一个游戏环节：在，，三个不透明的盒子中均装有3个黑球和2个白球，这些球形状大小完全相同，每个职工均摸球两次，第一次从盒子中随机摸出两个球，如果摸出的均是白球，则得奖金100元，否则奖金为0元；第二次从，两个盒子中各摸一个球，若两球的颜色相同，则得奖金50元，否则奖金为0元，小明参与了此次游戏.（1）求小明在第一次摸球中得奖金100元的概率；（2）求小明在两次摸球中得奖金150元的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用古典概率模型概率公式即可求得；（2）小明在两次摸球中得奖金150元即在第一次从盒子中摸出两个白球的前提下，再分别从，两个盒子中各摸到一个颜色相同的球，可表示成两个事件的积事件，利用积事件的概率乘法公式即可求得.【小问1详解】因盒子中装有3个黑球和2个白球，则从中摸出两个白球得奖金100元的概率为；【小问2详解】因小明在两次摸球中得奖金150元是在第一次从盒子中摸出两个白球的前提下，再分别从，两个盒子中各摸到一个颜色相同的球.不妨记“第一次从盒子中摸出两个白球”为事件M，“分别从，两个盒子中各摸到一个颜色相同的球”记为事件N，则小明在两次摸球中得奖金150元的概率即.由（1）可知,而,故由积事件的概率乘法公式，可得：.16.定义域为的奇函数满足，当时，，且.（1）当时，画出函数的图象，并求其单调区间、零点；（2）求函数在区间上的解析式.【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用条件得出，计算结合对数函数的图象与性质作图并求单调区间与零点即可；（2）利用（1）的结论及求解析式即可.【小问1详解】由题意可知：，所以，即，则时，令，则，综上，作图如下：结合对数函数的单调性与奇函数的性质知的单调递增区间为，无单调递减区间，且其零点有三个，分别为；【小问2详解】因为，则，当时,,当时,,当时,，则.17.函数（，，）的部分图象如图.（1）求函数的解析式；（2）将函数上的每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.已知函数若函数的零点从左到右依次为，，…，，求的值，并求的值.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）根据函数图象，由最值求，由和求与，可得函数的解析式；（2）由图象变换得的解析式，可作出的图象，由图象与函数图象的交点，确定的零点个数及位置关系.【小问1详解】由函数图象可知，，，得，由，得，结合图象可得，，由五点法作图可得，解得，所以.【小问2详解】函数上的每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得函数的图象，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，函数则的图象如图所示，函数的零点，即函数的图象与函数的图象交点的横坐标，由图象可知，函数的零点有6个，从左到右依次为，，…，，，由余弦函数的性质结合图象可知，关于对称，关于对称，关于对称，.18.为弘扬中华民族优秀传统文化，春节前后，各地积极开展各种非遗展演、文化庙会活动.某地庙会每天8点开始，17点结束.通过观察发现，游客数量（单位：人）与时间之间，可以近似地用函数（，）来刻画，其中，8点开始后，游客逐渐增多，10点时大约为350人，14点时游客最多，大约为1250人，之后游客逐渐减少.（1）求出函数的解析式；（2）腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送福字？【答案】18.，19.选择在12点之前或16点之后两个时间，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意得到方程组，求出和，得到答案；（2）在（1）的基础上得到方程，求出或，得到答案.【小问1详解】由题意得，，且，故，故，又，，解得，故函数的解析式为，；【小问2详解】当时，，令，解得或，解得或，结合函数图象及，可得或，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在12点前或16点之后两个时间段赠送福19.对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像.（1）若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；（2）若，；，，且与具有关系，求的像；（3）若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围.【答案】19.不具有，理由见解析；20.或或；21.或，【解析】【分析】（1）根据具有关系的定义及三角函