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近世代数§24/18/202010:59元素的指数在群中,由于结合律成立,有意义,据此,可定义群的元素的指数:
设为正整数,则规定:显然有,,其中为任意整数.4/18/202010:59定义1设为群的一个元素,使的最小正整数叫做元素的阶,记作;若不存在这样的,则称的阶显然,群中单位元的阶为1,其他元的阶为无限.都大于1,
4/18/202010:59例1关于数的普通乘法做成4次单位根群.4/18/202010:59例2正有理数乘群单位元的阶是1,其他元的阶均为无限.例3非零有理数乘群1的阶是1,-1的阶是2,其余元的阶均为无限.4/18/202010:59定理1有限群中每个元素的阶均有限.,在中必有相等的.设则,从而阶有限.证明:设4/18/202010:59注:无限群中元素的阶可能无限,也可能有限,,其中是次单位根群关于普通乘法作成无限交换群,甚至可能都有限.例4,则其中每个元素的阶都有限.4/18/202010:59定理2若群中,则证明:令,,则.证明中,只需证.(2)若4/18/202010:59定理3若群中,则,其中为任意的整数.设,则证明:4/18/202010:59两个推论:推论1在群中,若,则,其中s,t均为正整数.推论2在群中,若,则4/18/202010:59定理4在群中,若,,则当且时,证明:,,,于是若同理,4/18/202010:59例5|ab|一定等于|a||b|吗?是有理数域Q上的全体二阶满秩方阵关于矩阵乘法做成的群.4/18/202010:59例5|ab|一定等于|a||b|吗?是有理数域Q上的全体二阶满秩方阵关于矩阵乘法做成的群.4/18/202010:59思考题:设G是群,且|G|>1.证明:若G中除e外其余
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