广东省肇庆市高新区2023-2024学年九年级数学三月质量检测试题

2023-2024学年广东省肇庆市高新区九年级（下）质检数学试卷（3月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2024的相反数是(

)A.2024 B. C. D.2.在，，，0这四个数中，最小的数是(

)A. B. C. D.03.下列运算正确的是(

)A. B. C. D.4.已知，下列不等式变形中正确的是(

)A. B. C. D.5.下列从左到右的变形，是因式分解的是(

)A. B.

C. D.6.下列根式中，属于最简二次根式的是(

)A. B. C. D.7.我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为(

)A. B. C. D.8.一元二次方程的两根分别是，，若，则b的值为(

)A.2 B. C.4 D.9.我国古代数学名著《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少5元.问有多少人？该物品价值多少元？如果设有x人，该物品值y元，那么可列方程组为(

)A. B. C. D.10.如图，抛物线的图象经过点，且与x轴交于点、，其中，，则在结论①；②；③；④中，正确的个数有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.分解因式：______.12.使函数有意义的x的取值范围是______.13.已知点关于原点的对称点在第一象限，则a的取值范围是______.14.若是方程的解，则______.15.分式方程的解是______.16.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图，将9个数填在三行三列的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方.图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则__________.

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题4分

计算：18.本小题4分

解不等式组，并把它的解集表示在数轴上.19.本小题6分

先化简，再求值：，其中20.本小题6分

一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？21.本小题8分

商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量台与销售单价元之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：销售单价元…506070…月销量台…908070…求y与x之间的函数关系式；

当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？22.本小题10分

如图，根据小孔成像的科学原理，当像距小孔到像的距离和物高蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高单位：是物距小孔到蜡烛的距离单位：的反比例函数，当时，

求y关于x的函数解析式．

若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．

23.本小题10分

如图，中，，，，点P从点A出发沿边AB向点B以的速度移动，点Q从B出发沿边BC向点C以的速度移动，P、Q两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为

若P、Q两点的距离为时，求t的值？

当t为何值时，的面积最大？并求出最大面积.24.本小题12分

视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“

”形图都是正方形结构，同一行的“

”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表.素材1国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“”形图边长，在平面直角坐标系中描点如图

探究1检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值所对应行的“”形图边长.素材2图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角视力值n与分辨视角分的对应关系近似满足

探究2当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围.素材3如图3，当确定时，在A处用边长为的Ⅰ号“”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“”测得的视力相同.

探究3若检测距离为3米，求视力值所对应行的“”形图边长.25.本小题12分

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为，点C坐标为

求此抛物线的函数解析式．

点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

点P为该抛物线对称轴上的动点，使得为直角三角形，请求出点P的坐标．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：2024的相反数是，

故选：

根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．

本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．2.【答案】A

【解析】解：，

最小的数是，

故选：

根据实数的大小比较方法得出比较结果即可．

本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键．3.【答案】C

【解析】解：，故此选项不符合题意；

B.，故此选项不符合题意；

C.，故此选项符合题意；

D.，故此选项不符合题意．

故选：

根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．

本题考查整式的运算，掌握整式运算的相关法则是关键．4.【答案】C

【解析】解：A、，，原变形错误，不符合题意；

B、，，原变形错误，不符合题意；

C、，，正确，符合题意；

D、，，原变形错误，不符合题意．

故选：

根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可．

本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．5.【答案】A

【解析】解：从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

B.从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

C.从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

D.从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

故选：

根据因式分解的定义逐个判断即可．

本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．6.【答案】C

【解析】解：，所以A选项不符合题意；

B.，所以B选项不符合题意；

C.为最简二次根式，所以C选项符合题意；

D.为三次根式，所以D选项不符合题意．

故选：

根据二次根式的定义进行判断．

本题考查了最简二次根式：最简二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．7.【答案】A

【解析】解：将21500000用科学记数法表示为：

故选：

科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8.【答案】C

【解析】解：一元二次方程的两根分别是，，

，

，

，

故选：

根据一元二次方程根与系数关系即可求解．

本题考查了一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．9.【答案】B

【解析】解：每人出9元，多4元，

；

每人出8元，少5元，

根据题意可列方程组

故选：

根据“每人出9元，多4元；每人出8元，少5元”，可列出关于x，y的二元一方程组，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．10.【答案】D

【解析】解：当时，，可得①正确；

，，

即，

，

又，

，②正确；

由知点不是顶点，

，即，③正确；

因为抛物线过点，

，

，

，，而根据图象知，

，即，故④正确．

故选：

将代入，结合图象即可判断①；由的图象的对称轴小于，从而得出，即可判断②；根据抛物线顶点的纵坐标大于2，即可判断③；再由抛物线过点，可求出，结合②的结论即可判断④．

此题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标性质，掌握二次函数与系数的关系是解题的关键．11.【答案】

【解析】解：

故答案为：

直接找出公因式提取进而得出答案．

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12.【答案】

【解析】解：由题意得，

解得

故答案为：

根据被开方数是非负数，可得答案．

本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．13.【答案】

【解析】解：点关于原点对称的点在第一象限，

即点在第三象限，

，

解不等式①得，

解不等式②得，

所以这个不等式组的解集为，

故答案为：

直接利用关于原点对称点的性质以及第三象限内点的坐标特点得出关于a的不等式组，进而得出答案．

此题主要考查了关于原点对称点的性质以及解一元一次不等式组，正确解不等式组是解题关键．14.【答案】3

【解析】解：把代入，

得：，

解得：；

故答案为：

根据使方程成立的未知数的值，是方程的解，把代入方程，计算即可．

本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键．15.【答案】

【解析】解：，

方程两边都乘，得，

解得：，

检验：当时，，

所以是分式方程的解．

故答案为：

方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．

本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．16.【答案】7

【解析】解：设右下角方格内的数为x，

根据题意可知：，

解得，

根据题意得：，

解得，

则

故答案为：

直接利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等得出m、n的值，再根据任何一个不等于0的数的0次幂都等于1，即可得出答案．

此题主要考查了有理数的乘方，推理与论证，有理数的加法，正确得出n的值是解题关键．17.【答案】解：原式

【解析】将二次根式化为最简二次根式，再用幂的运算公式，并根据绝对值的性质将绝对值去掉，进行计算即可．

本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则及性质是解题的关键．18.【答案】解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

表示在数轴上为：

，

不等式组的解集是：

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可．

本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】解：

，

当时，原式

【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．

本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．20.【答案】解：设每顶头盔的售价是x元，则每顶头盔的销售利润是元，每月可售出顶，

根据题意得：，

整理得：，

解得：

答：每顶头盔的售价是70元．

【解析】设每顶头盔的售价是x元，则每顶头盔的销售利润是元，每月可售出顶，利用总利润=每顶头盔的销售利润月销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.【答案】解：设月销量台与销售单价元之间满足一次函数关系式为，

把和代入得，

解得，

；

设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，

根据题意得，，

当护眼灯销售单价定为90元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2500元．

【解析】设月销量台与销售单价元之间满足一次函数关系式为，把和代入解方程组即可得到结论；设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，根据题意得到二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．

本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是列出关系式，熟练掌握二次函数的性质，准确计算．22.【答案】解：由题意设：，

把，代入，得，

关于x的函数解析式为：；

把代入，得，，

小孔到蜡烛的距离为

【解析】【分析】

此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定系数法得出反比例函数的解析式解答．

根据待定系数法得出反比例函数的解析式即可；

根据解析式代入数值解答即可．23.【答案】解：由题知，

，

在中，

，

又因为P、Q两点的距离为，

所以，

解得

又因为，

所以上述两解都符合题意，

故t的值为2或

由知，

，

又因为，

所以当时，

有最大值为

【解析】用含t的代数式分别表示PB和QB的长，再借助于勾股定理即可解决问题．

用含t的代数式表示出的面积即可解决问题．

本题考查二次函数的最值及勾股定理，能根据点Q和点P的运动方式，用含t的代数式表示出BP和BQ的长是解题的关键．24.【答案】解：探究1：

由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，

设，将其中一点代入得：，

解得：，

，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；

将代入得：；

答：检测距离为5米时，视力值所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值所对应行的“E”形图边长为6mm；

探究2：

，

在自变量的取值范围内，n随着的增大而减小，

当时，，

，

；

探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，

由探究1知，

，

解得，

答：检测距离为3m时，视力值所对应行的“